第九章平面解析几何 9.8 曲线与方程试题理北师大版
1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
【知识拓展】
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2
＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2
＝y 2
.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2
表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1
k
y 表示同一直线．( × )
1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－1
4，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴
的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线
答案 D
解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．
2．(2016·广州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线
C ．两条线段
D ．一条直线和一条射线
答案 D
解析 原方程可化为?
??
??
2x ＋3y －1＝0，
x －3≥0或x －3－1＝0，
即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．
3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2
＋y 2
＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2
＋y 2
＝1(y ≠0) C ．(x －2)2
＋y 2
＝4(y ≠0) D ．(x －1)2
＋y 2
＝1(y ≠0) 答案 C
解析 由角的平分线性质定理得|PA |＝2|PB |， 设P (x ，y )，则 x ＋2 2
＋y 2
＝2 x －1 2
＋y 2
， 整理得(x －2)2
＋y 2
＝4(y ≠0)，故选C.
4．过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方
程是________．
答案 x 2a 2＋4y 2
b
2＝1
解析 设MN 的中点为P (x ，y )，
则点M (x,2y )在椭圆上，所以x 2a 2＋ 2y 2
b 2＝1，
即x 2a 2＋4y 2
b
2＝1(a >b >0)． 5．(2016·唐山模拟)设集合A ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝45}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2
＋(y
－4)2
＝165}，C ＝{(x ，y )|2|x －3|＋|y －4|＝λ}．若(A ∪B )∩C ≠?，则实数λ的取值范围
是________． 答案 [25
5
，4]
解析 由题意可知，集合A 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝45上的点的集合，集合B 表示圆(x －3)
2
＋(y －4)2
＝165上的点的集合，集合C 表示曲线2|x －3|＋|y －4|＝λ上的点的集合，这三个
集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A 、B 表示圆，集合C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是[25
5
，4]．
题型一 定义法求轨迹方程
例1 如图，动圆C 1：x 2
＋y 2
＝t 2,
1 9 ＋y 2 ＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点 A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2 B 的交点M 的轨迹方程． 解 由椭圆C 2：x 2 9＋y 2 ＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)． 设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝ y 0 x 0＋3 (x ＋3)．① 直线A 2B 的方程为y ＝ －y 0 x 0－3 (x －3)．② 由①②得y 2 ＝－y 2 0x 20－9(x 2 －9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上， 故y 20 ＝1－x 20 9 .④ 将④代入③得x 2 9－y 2 ＝1(x <－3，y <0)． 因此点M 的轨迹方程为x 2 9 －y 2 ＝1(x <－3，y <0)． 思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解． 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1 内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1| ＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|. ∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2 ＝74 . ∴点M 的轨迹方程为4x 2 9－4y 2 7＝1(x ≤－32)． 题型二 直接法求轨迹方程 例2 (2016·广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为5 3 . (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程． 解 (1)依题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53 ， 因此a ＝3，b 2 ＝a 2 －c 2 ＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 2 4 ＝1. (2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0， 则由????? y ＝k x －x 0 ＋y 0，x 29＋y 2 4 ＝1， 得x 29 ＋[k x －x 0 ＋y 0]2 4 ＝1， 即(9k 2 ＋4)x 2 ＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2 －4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2 －36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2 －4]＝0， 整理得(x 2 0－9)k 2 －2x 0y 0k ＋y 2 0－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2， 于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4 x 20－9 ＝－1， 即x 2 0＋y 2 0＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得??? ?? x 0＝3，y 0＝2或? ?? ?? x 0＝－3， y 0＝2或? ?? ?? x 0＝3， y 0＝－2 或??? ?? x 0＝－3， y 0＝－2， 经检验知均满足x 2 0＋y 2 0＝13. 因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2 ＋y 2 ＝13. 思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0) 的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ； (2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM → ＝－2，求点M 的轨迹方程． 解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即 a －c 2 ＋b 2 ＝2c ， 整理得2? ????c a 2＋c a －1＝0， 得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12 . (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2 ＋4y 2 ＝12c 2 ，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )． A ， B 两点的坐标满足方程组?? ? 3x 2＋4y 2＝12c 2 ，y ＝3 x －c . 消去y 并整理，得5x 2 －8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝8 5 c ， 得方程组的解?? ? x 1＝0， y 1＝－3c ， ???? ? x 2＝8 5 c ， y 2 ＝335c . 不妨设A ? ???? 85 c ，335c ，B (0，－3c )． 设点M 的坐标为(x ，y )， 则AM →＝? ????x －8 5c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )． 由y ＝3(x －c )，得c ＝x － 3 3 y . 于是AM →＝? ????8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即? ????8315y －35x ·x ＋? ???? 85 y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2 －163xy －15＝0. 将y ＝18x 2 －15163x 代入c ＝x －3 3y ， 得c ＝10x 2＋5 16x >0. 所以x >0. 因此，点M 的轨迹方程是18x 2 －163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程 例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2 ＝4y ，C 2：x 2 ＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－1 2 . (1)求p 的值； (2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2 ＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x 2 ， 且切线MA 的斜率为－1 2， 所以点A 的坐标为(－1，1 4)， 故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋1 4 . 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－22 4，① y 0＝－ 1－2 2 2p ＝－3－22 2p .② 由①②得p ＝2. (2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 22 4)，x 1≠x 2. 由N 为线段AB 的中点，知 x ＝x 1＋x 2 2，③ y ＝ x 21＋x 2 2 8 .④ 所以切线MA ，MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤ y ＝x 2 2 (x －x 2)＋x 22 4 .⑥ 由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22 ，y 0＝x 1x 24 . 因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 2 0＝－4y 0， 所以x 1x 2＝－ x 21＋x 2 2 6 .⑦ 由③④⑦得x 2 ＝43y ，x ≠0. 当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ， AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43 y . 因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2 ＝43y . 思维升华 “相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式? ?? ?? x 1＝f x ，y ， y 1＝g x ，y ； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2 ＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任 意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )， 点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由方程组??? ? ? x －y ＝4a ，y 2 ＝4ax ， 消去y 并整理得 x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ， y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . ∵G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴????? x ＝x 0 ＋x 1 ＋x 2 3＝x 0 ＋12a 3，y ＝y 0 ＋y 1 ＋y 2 3＝y 0 ＋4a 3 ，∴? ?? ?? x 0＝3x －12a ， y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上， ∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2 ＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a 3 (x －4a )． 又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±25 3 )a )． 22．分类讨论思想在曲线方程中的应用 典例 (12分)已知抛物线y 2 ＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的右焦点恰为抛物线 的焦点，且椭圆的离心率为1 2. (1)求抛物线与椭圆的方程； (2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP | |OQ |＝λ(λ≠0)， 试求Q 的轨迹． 思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2 ，y 2 的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2 ＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2 ＝4x ， 其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为1 2，所以a ＝2， 可得b 2 ＝4－1＝3，故椭圆的方程为 x 24 ＋y 2 3 ＝1.[3分] (2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点， 所以x 24＋y 20 3＝1， 解得y 2 0＝3－34 x 2. 由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2 |OQ | 2＝λ2， 故 x 2＋3－3 4 x 2 x 2 ＋y 2 ＝λ2 ， 得(λ2－14)x 2＋λ2y 2 ＝3，x ∈[－2,2]．[6分] 当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2 ＝12， 点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[8分] 当λ2<1 4，即0<λ<12时， 得到 x 2 3 λ2－ 14 ＋ y 2 3λ 2＝1， 此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[10分] 当λ2 >14，即λ>12时，得到 x 2 3 λ2 － 14 ＋ y 2 3 λ2 ＝1. 此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[12分 ] 1．(2016·宜春质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9 a (其 中a 是正常数)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在 答案 C 解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9 a ≥29＝6. 当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9 a >6时，点P 的轨迹是椭圆， 故选C. 2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2 ＋y 2 ＝9 C.x 225＋y 2 9＝1 D ．x 2 ＝16y 答案 B 解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)， B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216 －y 2 9 ＝1. A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意； B 项，x 2 ＋y 2 ＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 2 9＝1与M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 2 9＝1，即y 2 －9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意． 3．(2016·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 答案 D 解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0. 4．(2016·太原模拟)已知圆锥曲线mx 2 ＋4y 2 ＝4m 的离心率e 为方程2x 2 －5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B 解析 ∵e 是方程2x 2 －5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝1 2 . mx 2 ＋4y 2 ＝4m 可化为x 24＋y 2 m ＝1， 当它表示焦点在x 轴上的椭圆时， 有 4－m 2＝1 2 ，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时， 有 m －4m ＝12，∴m ＝16 3； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时， 可化为x 2 4－y 2 －m ＝1， 有 4－m 2 ＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个． 5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP → ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8 D ．y ＝2x ＋4 答案 B 解析 设P (x ，y )，R (x 1 ，y 1 )，由RA →＝AP → 知，点A 是线段RP 的中点，∴????? x ＋x 1 2＝1，y ＋y 1 2＝0， 即 ????? x 1＝2－x ， y 1＝－y . ∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上， ∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x . 6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB → (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 答案 A 解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB → ＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB → ，∴??? ?? x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2， 又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨 迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2 . 其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③ 解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2 对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2 ，即 △F 1PF 2的面积不大于12 a 2 ，所以③正确． 8．(2017·西安月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝5 4sin C ，则C 点的轨迹方程为________________． 答案 x 225＋y 2 9 ＝1(x ≠±5) 解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝5 4c ＝10， 则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，所以满足椭圆定义． 令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2 b ′2 ＝1， 则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为 x 2 25 ＋y 2 9 ＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1 → ＋PF 2→ ，则动点Q 的轨迹方程是________． 答案 x 24a 2＋y 2 4b 2＝1 解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→ ， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )， 则OP → ＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2 )， 即P 点坐标为(－x 2，－y 2)，又P 在椭圆上， 则有 －x 2 2 a 2＋ －y 2 2 b 2＝1，即x 24a 2＋y 2 4b 2＝1. 10．已知圆的方程为x 2 ＋y 2 ＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案 x 24 ＋y 2 3 ＝1(y ≠0) 解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4， 由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |， 所以|FA |＋|FB |＝4>2＝|AB |，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 11．已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m,0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积为－1m 2. (1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线； (2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？ 解 (1)设S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0 x －m . 由题意，得 y 2 x 2 －m 2 ＝－1 m 2， 即x 2m 2＋y 2 ＝1(x ≠±m )． ∵m >1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2. (2)m ＝2，则曲线C 的方程为x 2 2＋y 2 ＝1(x ≠±2)． 由????? 2x －y ＋t ＝0，x 22 ＋y 2 ＝1， 消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2 －2＝0. 令Δ＝64t 2 －36×2(t 2 －1)＝0，得t ＝±3. ∵t >0，∴t ＝3. 此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点． 12．(2017·新余一中调研)设点P 是圆x 2 ＋y 2 ＝4上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的射影，动点M 满足 3 PD →＝2MD → . (1)求动点M 的轨迹E 的方程； (2)设点F (－1,0)，若直线y ＝kx ＋m 与轨迹E 相切于点Q ，且与直线x ＝－4相交于点R ，求证：以QR 为直径的圆经过定点F . (1)解 设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得? ??? ? x P ＝x ，y P ＝23y ， ∵点P 在圆上， ∴x 2 ＋(233y )2＝4， 即x 24＋y 2 3 ＝1， ∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)证明 由????? y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2 3 ＝1， 得(4k 2 ＋3)x 2 ＋8kmx ＋4m 2 －12＝0， 如图，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)， 依题意m ≠0且Δ＝0， 则Δ＝64k 2m 2 －4(4k 2 ＋3)(4m 2 －12)＝0， 整理得4k 2 ＋3＝m 2 ， 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ， y 0＝kx 0＋m ＝－4k 2 m ＋m ＝3 m ， ∴Q (－4k m ，3m )， 由? ?? ?? y ＝kx ＋m ，x ＝－4， 解得y ＝－4k ＋m ， ∴R (－4，－4k ＋m )， 由F (－1,0)，得QF → ＝(4k m －1，－3m )， RF → ＝(3,4k －m )， ∴QF →·RF → ＝3(4k m －1)－3m (4k －m )＝0， ∴QF ⊥RF ， ∴以QR 为直径的圆过定点F . 13.(2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2 ＋y 2 ＝16，点F (3，0)，P 是圆 E 上任意一点，线段P F 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q . (1)求动点Q 的轨迹Γ的方程； (2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求 S 1＋S 2 S 的取值范围． 解 (1)连接QF ，根据题意， |QP |＝|QF |， 则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP | ＝4>|EF |＝23， 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 可知a ＝2，c ＝a 2－b 2 ＝3，则b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)． 联立方程? ???? y ＝kx ＋m ， x 2＋4y 2 ＝4，整理得， (1＋4k 2 )x 2 ＋8kmx ＋4m 2 －4＝0， Δ＝16(1＋4k 2 －m 2 )>0， x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4 m 2 －1 1＋4k 2 . ∵k 1，k ，k 2构成等比数列， ∴k 2 ＝k 1k 2＝ kx 1＋m kx 2＋m x 1x 2 ， 整理得km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝0， ∴－8k 2m 2 1＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12. 此时Δ＝16(2－m 2 )>0， 解得m ∈(－2，2)． 又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)． 故S ＝12|AB |d ＝121＋k 2 |x 1－x 2|·|m |1＋k 2 ＝ 12 x 1＋x 2 2 －4x 1x 2·|m | ＝2－m 2 |m |. 又x 21 4＋y 2 1 ＝x 22 4 ＋y 2 2＝1， 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 2 2) ＝π4(34x 21＋34x 2 2＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2 －2x 1x 2]＋π2＝5π4 为定值． ∴ S 1＋S 2S ＝5π4×1 2－m 2 m 2≥5π 4， 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上， S 1＋S 2S ∈[5π 4 ，＋∞)． 2019对口高职高考数学模拟试卷 一、选择题 1.设集合M={x|X2>16},N={x|log3x>1},则M∩N=(). A.{x|x>3} B.{x|x>4} C.{x|x4或x<4} 2.下列函数既是奇函数又是增函数的是（） A.y=x?1 B.y=x3y=log2=2x 3.直线（√3?√2）x+y=3和x+(√2?√3)y=2的位置关系是（） A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合 4.等差数列｛a n｝中，a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列｛a n｝的前9项和S n=() A.66 B.99 C.144 5.若抛物线y2=2px(p>0)过点M(4，4)，则点M到准线的距离d=(). B.4 C.3 6.设全集U={x|4≤X≤10,X≥∈N},A={4,6,8,10},则C U A=(). A.{5} B.{5，7} C.{5，7，9} D.{7，9} 7.“a>0且b>0”是“ab>0”的（）条件。 A.充分不必要 B.充分且必要 C.必要不充分 D.以上答案都不对 8.如果f(X)=a x2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(X)=a x3+b x 2?cx是(). A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 9.设函数f(X)=log a x(a>0且a≠1),f(4)=2,则f(8)=(). C.3 800√3800?2sin200的值为（）。 C.?sin200 D.4sin200 11.等比数列的前4项和是203，公比q=?13,则a1=(). C.9 D.13 12.已知(23)y=(32)x2+1,则y的最大值是（）。 C.0 D.1 13.直线L1:x+ay+6=0与L2:（a-2）x+3y+a=0平行，则a的值为（）。 或3 B.1或3 C.?3 D.?1 14.抛物线y2=-4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标为（）。 B.4 C.3 D.?2 15.现有5套经济适用房分配给4户居民（一户居民只能拥有一套经济适用房），则所有的方法种数为（）。 A.5！ B.20 2020年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数i i z 23-= ，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23 π 的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ． 5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教 （每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数128 1 --= x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin - =θ，2 3πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2 21x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B A tan 3 tan 2- 的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(2 2 =-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ， 在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，?=∠90DAB ，1==DC AD ， AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ． 14．已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1 ()()2f t f t +=-， 则2 2 4a b +的最小值为 ． （第3题） 圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2y =上 的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点， 因为点O 是PF 的中点，则1 2 OB AF = ， 2018年江苏省对口单招数学模拟试卷 （满分：150 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.已知集合{{},1,1,2,3,4,U R A x x B ==≤=则U C A B =（ ） {}.4A {}.3,4B {}.2,3,4C {}.1,2,3,4D 2.6 π α= “” 是“cos21 2 α=”的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数lg(sin )lgcos ,y θθ=-+则θ角为（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 4.已知复数z 满足(1)2,z i i -=则复数z =（ ） A.1i + B.2i + C. 1i - D. 2i - 5.已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==且,a b ⊥则tan 2α的值为（ ） A. 43 B. 43- C.247 D. 247 - 6.()6 12x -展开式的中间项为（ ） A.340x - B. 3120x - C. 3160x - D. 3240x 7.在等差数列{}n a 中，若18153120,a a a ++=则9102a a -的值为（ ） A.24 B.22 C.20 D.-8 8.在正方体1111ABCD A B C D -中，侧面对角线1BC 与上底面对角线11A C 所成的角等于（ ） A.45 B. 60 C. 90 D. 120 9.若直线0x ay a +-=与直线(23)10ax a y ---=垂直，则a =（ ） A.2 B.-3或1 C.2或0 D.0或1 10.抛物线C ：2 2y px =的焦点为F ，弦AB 过焦点F ，则以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线的位置关系是（ ） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 一、选择题答题卡： 对口高考数学模拟试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） h V S =柱体 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积， P （A·B）=P （A ）·P（B ） h 表示柱体的高 一、单项选择题：（每一小题仅有一个正确答案，请将正确答案的代号填入 答题表内。每小题5分，共计60分） 1．下列关系中正确的是 ( ) A. φ∈0 B.a ∈{a} C.{a,b}∈{b,a} D. φ=}0{ 2． 不等式21 ≥-x x 的解集为 （ ） A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ． ]1,(--∞ D ． ),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（ ） A ． ""ac bc >是""a b >的必要条件 B ． ""ac bc =是""a b =的必要条件 C ． ""ac bc >是""a b >的充分条件 D ． ""ac bc =是""a b =的充分条件 4．若平面向量与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=（ ） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(- 5．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ． 1或5 B ． 6 C ． 7 D ．9 6、原点到直线y=kx+2的距离为2，则k 的值为 （ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. ±7 7、若13 5 sin )cos(cos )sin(=+-+αβααβα，且β是第二象限角，则βcos 的值为（ ） A ． 1312 B ．13 12 - C ．53 D ．53- 8、在等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=15 , a 3= ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9、已知函数b a x f x +=)(的图象经过点)3,1(，又其反函数)(1 x f -的图象经过点)0,2(， 则函数)(x f 的表达式是（ ） A ．12)(+=x x f B ．22)(+=x x f C ．32)(+=x x f D ．42)(+=x x f 10、已知向量与，则下列命题中正确的是 （ ） A. 若||>||，则> B. 若||=||，则= C. 若=，则∥ D. 若≠，则与就不是共线向量 11．下列函数中为偶函数的是 （ ） A ．f(x)=1-x 3 B.f(x)=2x-1 C.f(x)=x 2 +2 D.f(x)=x 3 12. 一商场有三个大门,商场内有两部上楼的电梯,一顾客从商场外到商场二楼购物,不同的走法共 有( ) A.5种 B.6种 C.8种 D.9种 市 姓名 准考证号 座位号 2013年江苏高考数学模拟试卷（六） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z = ． 2．“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一). 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→ BC ＝1，则BC ＝ ． 4．一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次， 如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为 ． 5．为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ，则键盘输入x 的值应该为 ． 6．如图，直线与圆12 2 =+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点，若点1P 的横坐标为 3 5，∠21OP P =3 π，则点2P 的横坐标为 ． 7．已知不等式组???? ? x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小 值时的k 的值为 ． 8．若关于x 的方程2 －|x | －x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ． 9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为：1，该 长方体的最大体积是___ _____． 10．直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则22(1)k m +的最小 值为 ． 11．已知双曲线122 22=-b y a x （)0,1>>b a 的焦距为c 2，离心率为e ，若点(-1,0)和(1,0)到直 Read x If x <0 Then y =(x +1)(x +1) Else y =(x-1)(x -1) End If Print y End 对口高考数学模拟试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共50分） 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么柱体(棱柱、圆柱)的体积公式 P（）（A）（B）h V S = 柱体 如果事件A、B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积， P（A·B）（A）·P（B）h表示柱体的高 一、单项选择题：（每一小题仅有一个正确答案，请将正 确答案的代号填入 答题表内。每小题5分，共计60分） 1．下列关系中正确的是 ( ) A. φ∈0∈{a} C.{}∈{} D. φ = }0{ 2．不等式2 1 ≥ - x x的解集为（） A．)0,1 [-B．) ,1 [+∞ - C．]1 , (- -∞D．) ,0( ]1 , (+∞ - -∞ 3．对任意实数,, a b c在下列命题中，真命题是（） A．"" ac bc >是"" a b >的必要条件B．"" ac bc =是"" a b =的必要条件 C．"" ac bc >是"" a b >的充分条件 D．"" ac bc =是"" a b =的充分条件 4．若平面向量与向量)2 ,1(- =的夹角是o 180，且5 3 | |=，则=（）A．)6,3 (-B．)6 ,3(- C．)3 ,6(-D．)3,6 (- 5．设P 是双曲线 192 2 2=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ． 1或5 B ． 6 C ． 7 D ．9 6、原点到直线2的距离为 2，则 k 的值为 （ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. ±7 7、若13 5 sin )cos(cos )sin(=+-+αβααβα，且β是第二象限角，则βcos 的值 为（ ） A ． 1312 B ．13 12 - C ．53 D ．53- 8、在等差数列{a n }中12345 15 , 3 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9、已知函数b a x f x +=)(的图象经过点)3,1(，又其反函数)(1x f -的图象经 过点)0,2(，则函数)(x f 的表达式是（ ） A ．12)(+=x x f B ．22)(+=x x f C ．32)(+=x x f D ．42)(+=x x f 10、已知向量与，则下列命题中正确的是 （ ） A. 若a >b ，则a >b B. 若a b ，则a =b C. 若=，则∥ D. 若≠，则与就不是共线向量 11．下列函数中为偶函数的是 （ ） A ．f(x)=13 (x)=2-1 C(x)2 +2 (x)3 12. 一商场有三个大门,商场内有两部上楼的电梯,一顾客从商场外到 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{ 2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞ 3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ，则αtan ． 【答案】3- 4．在ABC ?中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】 3 2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】 4 3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1 7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y 8．实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 9．在ABC ?中，0 60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若?=?2，则 AD ． 【答案】 3 3 2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则 =d ． 【答案】 6 π 11．如图，在四边形ABCD 中，0 60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=， CD CF λ=其中0>λ，若15=?AD EF ，则λ的值为 ． 【答案】 2 5 12．已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ． 【答案】}1{- 13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2 1 1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5( 14．在ABC ?中，3tan -=A ，ABC ?的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00?≥?，则线段BC 的长为 ． 【答案】6 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. （1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值. 第8讲 曲线与方程 一、选择题 1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线． 答案 D 2． 动点P (x ，y )满足5x －1 2 y －2 2 ＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹 是 ( )． A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 解析 设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝ x －1 2 y －2 2 ，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11| 5 . 由已知得|PF | d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直 线．选D. 答案 D 3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )． A.4x 221－4y 2 25＝1 B.4x 221＋4y 2 25＝1 C.4x 225－4y 2 21 ＝1 D.4x 225＋4y 2 21 ＝1 解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴ a ＝52，c ＝1，则 b 2＝a 2－ c 2＝214 ， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2 21＝1. 答案 D 4．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ? ? ???－ a 2，0，C ? ????a 2，0且满足条件 sin C －sin B ＝1 2sin A ，则动点A 的轨迹方程是( ) A.16x 2 a 2－16y 2 15a 2＝1(y ≠0) B.16y 2a 2－16x 2 3a 2＝1(x ≠0) C.16x 2a 2－16y 2 15a 2＝1(y ≠0)的左支 D.16x 2a 2－16y 2 3a 2＝1(y ≠0)的右支 解析：sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得|AB |－|AC |＝12|BC |＝12a (定值)． ∴A 点的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支，其中实半轴长为a 4，焦距为 |BC |＝a . ∴虚半轴长为? ????a 22－? ?? ??a 42 ＝34a ，由双曲线标准方程得动点A 的轨迹方程 为16x 2 a 2－16y 2 3a 2＝1(y ≠0)的右支． 答案：D 5．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝3 7 .动点 P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )． A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为 2020年口高职高考数学模拟试卷 一、 选择题 1.集合P=｛1、2、3、4｝，Q=｛x ｜｜x ｜≤2,x ∈R ｝则P ∩Q 等于（ ） A 、｛1、2｝ B 、｛3、4｝ C 、｛1｝ D 、｛-1、-2、0、1、2｝ 2.数f(x)=√1+x 的定义域为（ ） A.［0,+∞） B (-1, +∞） C.(-∞,-1) D.R 3.数y = 3 sinx + 4 cosx 的最小正周期为（ ） A. π B. 2π C. 2 π D. 5π 4.数y = ㏒2(6-x-x 2)的单调递增区间是（ ） A.(-∞,- 21] B.( -3,-21) C. ［-21,+∞） D. ［-2 1,2) 5.等比数列｛a n ｝中，a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 5=36那么a 3+a 5的值等于（ ） A.6 B.12 C.18 D.24 6.函数y =log 3( x +x 1) (x>1)的最大值是（ ） A.-2 B.2 C.-3 D.3 7.直线L:4x+3y-12=0与两坐村轴围成三角形的面积是（ ） A.24 B.12 C.6 D.18 8.函数f (x)=3cos 2x+2 1sin2x 的最大值为（ ） A.1-23 B. 23+1 C. 2 3-1 D.1 9.在等差数列中，已知S 4=1 ,S 8=4则a 17 + a 18 + a 19+ a 20（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 10.｜a ｜=｜b ｜是a 2=b 2的（ ） A 、充分条件而悲必要条件， B 、必要条件而非充分条件， C 、充要条件， D 、非充分条件也非必要条件 11.在⊿ABC 中内角A,B 满足t anAtanB=1则⊿ABC 是（ ） A 、等边三角形， B 、钝角三角形， C 、非等边三角形， D 、直角三角形 12.函数y=sin(43x +4 π )的图象平移向量(- 3π,0)后，新图象对应的函数为y=（ ） A.Sin 43x B.- Sin 43x c. Cos 43x D.-Cos 4 3x 13.顶点在原点，对换称轴是x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线方程是（ ） 2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上） 1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=． 2．命题：“?x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是． 3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为． 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人． 5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是． 6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为． 7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程． 8．已知函数的定义域是，则实数a的值为． 9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为． 10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣ a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11 ．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则? 等于． 12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a （x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是． 13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是． 14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图 象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B= （1）若a=2，b=2，求c的值； （2）若tanA=2，求tanC的值． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点． （1）求证：直线EF∥平面BC1A1； （2）求证：EF⊥B1C． 一、选择题 1．(2012·济南模拟)方程(x －y )2 ＋(xy －1)2 ＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对 解析：(x －y )2 ＋(xy －1)2 ＝0???? ?? x －y ＝0， xy －1＝0. ∴??? ? ? x ＝1，y ＝1， 或??? ? ? x ＝－1，y ＝－1. 答案：C 2．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC ＝2CB ，则点C 的轨迹是( ) A ．线段 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2 ＋b 2 ＝9，① 又AC ＝2CB ，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )， 即???? ? a ＝3x ， b ＝3 2 y ，② 代入①式整理可得x 2 ＋y 2 4＝1. 答案：C 3.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 解析：由条件知|PM |＝|PF |， ∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |>|OF | ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案：A 4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( ) A ．y 2 －x 2 48 ＝1(y ≤－1) 对口高职高考数学模拟 试卷新 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 2019口高职高考数学模拟试卷 一、选择题 1.集合A =｛1,2｝，B =｛3,4｝则A∪B等于（） A.｛2｝ B.｛2,3,4｝ C.｛1,3,4｝ D.｛1,2,3,4｝ 2.已知a=2?3,b=21 2,c=(1 2 )2,则a,b,c的大小关系为（） A.72种 B.36 种 C.32种 D. 16种 二、填空题 9.若直线kx-y+6=0经过圆（x ?1）2+（y ?2）2=4的圆心，则k= . 10.函数f(x)=1-2cosx 的最小值为 . 11.若关于x 的不等式|2x +b |<3的解集为{x |?3 镇江市2018届高三年级第一次模拟考试 数学 (满分160分，考试时间120分钟) 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知集合A ＝{－2，0，1，3}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝________． 2. 已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”) 3. 函数y ＝3sin ? ???2x ＋π 4图象两相邻对称轴的距离为________． 4. 设复数z 满足3＋4i z ＝5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝________． 5. 已知双曲线 的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的 焦点重合，则双曲线的右准线方程为________． 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________． 7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________． 8. 已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θ sin θ－cos θ ＝________． 9. 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________． 10. 函数y ＝cos x －x tan x 的定义域为??? ?－π4，π 4，则其值域为________． 11. 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为________． 高考数学复习题库曲线与方程 一.选择题 1.已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.拋物线解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－ 2. 由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆. 答案 B 2.已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( ). A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线解析由已知：|MF|＝ |MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D. 答案 D 3.长为3的线段AB的端点A.B分别在x轴.y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是( ) A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线解析设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，① 又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，即② 代入①式整理可得x2＋＝ 1.答案 C 4.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( ). A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝ 1.答案 D 5.已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l 的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是( ) A.x2－y2＝9(x≥0) B.x2－y2＝9(x≥0，y≥0) C.y2－x2＝9(y≥0) D.y2－x2＝9(x≥0，y≥0) 解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形 Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式.如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0， y≥0). 答案 B 6.△ABC的顶点A(－5,0).B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x>3) 重庆市对口高职数学综合试卷 一、选择题（共12小题，每小题7分，共84分） 1.已知集合A={x|-2 2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷(解析版) 2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷 一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则? U M= ．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|= ． 3．函数f（x）=的定义域为． 4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为． 6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为． 9．设等比数列{a n }的前n项和为S n ，若S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列．且a 2 +a 5 =4，则 a 8 的值为． 10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为． 11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且?=1，则实数λ的值为． 12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）= ． 13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为． 二.解答题：本大题共6小题，共计90分 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B= （1）求边c的长； （2）求角B的大小． 16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，侧面AA 1 C 1 C是菱形，AC 1 与A 1 C交于点O， E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC 1B 1 （1）求证：E是AB中点； （2）若AC 1⊥A 1 B，求证：AC 1 ⊥BC． 17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l． （1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）； （2）问当α为何值时l最小？并求最小值．2019对口高职高考数学模拟试卷
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