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2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇
编
08圆锥曲线
三、解答题(第一部分)
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是
椭圆22
154
x y +=的左、右焦点.
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===
设P （x ，y ），则1),1(),1(2
2
21-+=--?---=?y x y x y x PF PF
35
1
1544222+=--
+x x x ]5,5[-∈x ，
0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3；
当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不
存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y
由方程组22
22221(54)5012520054
(5)x y k x k x k y k x ?+
=?+-+-=??=-?
，得
依题意2
20(1680)055
k k ?=->-
<<，得
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当5
5
55<
<-
k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4
5252,45502
2
2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4
520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k
k k k x k y
又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F
1204204
5251)4520(02
22
222-=-=+-+-
-?=?∴k k k k k k
k k k R
F
∴20k 2
=20k 2
－4，而20k 2
=20k 2
－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|
2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.
(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；
.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.
解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.
:
y x
4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得???
=--=--=.
316
2x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得
假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()13
1(,)316()32y ()13(222222222
2舍不符解得相减得-=-+=++?????=-
++=+++
因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，
.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=???
-=--=故三点共线此时得由，
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9256
)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222=
=+-=-+--=又， , 392
y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->
+++>
∠CAB 为钝角.
9256
y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即
当
.CBA 3310
y 为钝角时∠-<
2
2222y y 3428y 3y
349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又 0)32y (,034y 334y :2
2<+<++
即.
该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.
因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:
)32(93
23310≠>-
解法二： 以AB 为直径的圆的方程为: 38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为 到直线圆心-=-=++-. ).33 2,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 93 2y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=- 得令垂直的直线为且与过点. 3310 y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-= +得令垂直的直线为且与过点. , )32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=??? -=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形. 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是： ).32(93 23310≠>- 3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明： ⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上； https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** （2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。 解：（1）略；（2）A(2+3,2－3), B(2－3,2+3)或A(2－3,2+3), B(2+3,2－3) 4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v =(1, 2 1 )为方向向量的直线l 过点(0, 4 5)，抛物线C ：px y 22 =(p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线上． （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若02 =+?p (O 为原点，A 、B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程． 解：（Ⅰ）由题意可得直线l ：4 5 21+= x y ① 过原点垂直于l 的直线方程为 x y 2-= ② 解①②得2 1 - =x ． ∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上． ∴22 1 2?-=- p ，2=p ∴抛物线C 的方程为x y 42 =． （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x N ， 由02 =+?p ，得042121=++y y x x ． 又12 14x y =，22 24x y =． 解得 821-=y y ③ 直线ON ：x x y y 22= ，即x y y 2 4 = ④ 由③、④及1y y =得， 点N 的轨迹方程为2-=x )0(≠y ． 5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB 过y 轴上一点),0(m P ，斜率为k ， https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 两端点A ，B 到y 轴距离之差为k 4)0(>k ， （1）求以O 为顶点，y 轴为对称轴，且过A ，B 两点的抛物线方程； （2）设Q 为抛物线准线上任意一点，过Q 作抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，求 证：直线MN 过一定点； 解：（1）设抛物线方程为)0(22 >=p py x ，AB 的方程为m kx y +=， 联立消y 整理，得0222 =--pm pkx x ；∴pk x x 221=+， 又依题有pk k x x 24||21==+，∴2=p ，∴抛物线方程为y x 42 =； （2）设M )4,(211x x ，N )4,(2 22x x ，)1,(0-x Q ，∵2 1x k MQ =， ∴MQ 的方程为?-=-)(2 411 21x x x x y 042121=+-y x x x ； ∵MQ 过Q ，∴042012 1=--x x x ，同理042022 2=--x x x ∴21,x x 为方程04202=--x x x 的两个根；∴421-=x x ； 又4 2 1x x k MN += ，∴MN 的方程为)(4412121x x x x x y -+=- ∴14 2 1++= x x x y ，显然直线MN 过点)1,0( 6、( 江西省五校 2008 届高三开学联考 )已知圆 M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在 MP 上，且满足0,2=?=. （I ）求点G 的轨迹C 的方程； （II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,+= 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在， 求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由. 解：（1）??? ? ??=?=02NQ NP Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN ?GQ 为PN 的中垂线?|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半 https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 焦距5=c ，∴短半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14 92 2=+y x ………5分 （2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得|OS |=||，则四边形OASB 为矩形0=?∴OB OA 若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2，由?? ???±==?????=+=35 221492 22y x y x x 得 0,09 16 =?>= ?∴与矛盾，故l 的斜率存在. ………7分 设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -= 0)1(3636)49(149 )2(222222=-+-+???? ??=+-=k x k x k y x x k y 由 4 9) 1(36,49362 2212221+-=+=+∴k k x x k k x x ① )]2()][2([2121--=x k x k y y 4 920]4)(2[22 21212 +-=++-=k k x x x x k ② ……………9分 把①、②代入2 302121± ==+k y y x x 得 ∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等. 7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y = 41x 2 的焦点，离心率等于5 52. （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若=λ1AF ， MB =λ2BF ，求证λ1+λ2为定值. https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 解：（I ）设椭圆C 的方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，则由题意知b = 1. .5.55211.5522 2 222=∴=-=-∴a a a b a 即 ∴椭圆C 的方程为 .15 22 =+y x …………………………………………………5分 （II ）方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 易知F 点的坐标为（2，0）. 分 8. 1,12).,2(),(,1 0111 11110111 λλλλλ+=+=∴--=-∴=y y x y x y y x 将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12( 5121 02 11=+++λλλy 去分母整理得.055102 0121=-++y λλ …………………………………………10分 , 05510,. 05510:,2 2 212 02222的两个根是方程可得由同理=-++∴=-++=y x x y λλλλλ .1021-=+∴λλ …………………………………………………………12分 方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 又易知F 点的坐标为（2，0）. 显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是).2(-=x k y https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得 .052020)51(2222=-+-+k x k x k ……………………………………7分 .515 20,51202 2212221k k x x k k x x +-=+=+∴ ……………………………………8分 又.2,2,,2 2 211121x x x x BF MB AF MA -=-= ==λλλλ将各点坐标代入得 .10)(242)(2222 1212 121221121-==++--+=-+-= +∴ x x x x x x x x x x x x λλ 8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ += ，0RP PM ?= . （Ⅰ）⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使AB AN λ= ，且16 3 AB ||=. 解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由230PM MQ += 得P(0，2y - )，Q(,03 x ). 由0,RP PM ?= 得(3，2y - )·(x ，32 y )＝0,即x y 42 = 又点Q 在x 轴的正半轴上，0>∴x 故点M 的轨迹C 的方程是 24(0)y x x =>.……6分 （Ⅱ）解法一：由题意可知N 为抛物线C:y 2＝4x 的焦点，且A 、B 为过焦点N 的 直线与抛物线C 的两个交点。 当直线AB 斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|16 43 =<，不合题意；………7分 当直线AB 斜率存在且不为0时，设: (1)AB l y k x =-，代入24y x =得 22222(2)0k x k x k -++= https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 则|AB|21222 2(2)416 2243k x x k k +=++=+=+=,解得32=k …………………10分 代入原方程得031032=+-x x ，由于11>x ，所以121 3,3 x x ==, 由AB AN λ= ，得 2111343313 N x x x x λ--== =--. ……………………13分 解法二：由题设条件得 ????? ? ????? =-+--=--=-==) 5(316)()()4()3()1()2(4)1(42 122121 1 211222 2121y y x x y y y x x x x y x y λλ 分 化简后可得 ） ）并结合（）代入（）、（同样把（分 ）代入上式并化简得 再把（）得代入（）得）、（由（11)7(3 16 )1(15439)6(1 )1(1) 1(44)1(2)1() 1(4311112121 2112 = +=--+=-?? ?-=-+=λλλλλλx x x x y y y x x x 由（6）、（7）解得????? ==3341 x λ或??? ??==3141x λ，又11>x ，故34=λ. 9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，离 心率为 3 ，两条准线间的距离为6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C . （Ⅰ）求椭圆W 的方程； （Ⅱ）求证：CF FB λ= (λ∈R )； （Ⅲ）求MBC ?面积S 的最大值. https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 解：（Ⅰ）设椭圆W 的方程为22 221x y a b +=，由题意可知 222 2 ,26,c a a b c a c ?=???=+????=?? 解得a =，2c = ，b =， 所以椭圆W 的方程为22162x y +=．……………………………………………4分 （Ⅱ）解法1：因为左准线方程为2 3a x c =-=-，所以点M 坐标为(3,0)-.于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+． 22 (3),16 2y k x x y =+???+=? ?得2222 (13)182760k x k x k +++-=. 由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知 2222(18)4(13)(276)0k k k ?=-+->，解得22 3 k < ． 设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y , 则21221813k x x k -+=+，2122 276 13k x x k -=+，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 因为(2,0)F -，11(,)C x y -， 所以11(2,)FC x y =+- ，22(2,)FB x y =+ . 又因为1221(2)(2)()x y x y +-+- 1221(2)(3)(2)(3)x k x x k x =+++++ 1212[25()12]k x x x x =+++ 2222 541290[12]1313k k k k k --=++++ https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 2222 (5412901236)013k k k k k --++==+， 所以CF FB λ= ． ……………………………………………………………10分 解法2：因为左准线方程为2 3a x c =-=-，所以点M 坐标为(3,0)-. 于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y , 则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 由椭圆的第二定义可得 22113|| ||||3|| x y FB FC x y +== +, 所以B ，F ，C 三点共线，即CF FB λ= ．…………………………………10分 (Ⅲ)由题意知 1211 ||||||||22S MF y MF y = + 121 ||||2MF y y =?+ 121 |()6|2k x x k =++ 2 3||13k k = +3123|||| k k =≤=+， 当且仅当2 1 3 k = 时“=”成立， 所以MBC ?面积S 的最大值为 32 ． 10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知抛物线2 :ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0. （I ）求抛物线C 的焦点坐标； （II ）若点M 满足=，求点M 的轨迹方程. 解：（I ）将P （1，－1）代入抛物线C 的方程2 ax y =得a =－1， https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** ∴抛物线C 的方程为2x y -=，即.2 y x -= 焦点坐标为F （0，－ 4 1 ）.……………………………………4分 （II ）设直线PA 的方程为)1(11-=+x k y ， 联立方程???-=-=+. ),1(12 1x y x k y 消去y 得,01112 =--+k x k x 则.1,111111--=--=?k x k x 即 由.2,0)2()1(412 112 1-≠>+=---=?k k k k 得………………7分 同理直线PB 的方程为),1(12-=+x k y 联立方程?? ?-=-=+. ), 1(12 2x y x k y 消去y 得,01222 =--+k x k x 则.2.1,1122222-≠--=--=?k k x k x 且即 又.2,0121≠∴=+k k k …………………………9分 设点M 的坐标为（x ，y ），由.2 ,2 1x x x += =则 .2 ) (22112121k k k k x +--=----= 又.1,021-=∴=+x k k …………………………………………11分 . 5,2,1)1(2)1()1(2)1()1(22121212122212 22121-≠∴±≠-≤+-=-----= -----=--=+=y k k k k k k x x y y y 又 ∴所求M 的轨迹方程为：).51(1-≠-≤-=y y x 且 11、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知定圆,16)1(:2 2 =++y x A 圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C . （I ）求曲线C 的方程； https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** （II ）若点),(00y x P 为曲线C 上一点，求证：直线01243:00=-+y y x x l 与曲线C 有且只有一个交点. 解：（I ）圆A 的圆心为4),0,1(1=-r A 半径， 设动圆M 的圆心.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为 由|AB|=2，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ， 故|MA|=r 1—r 2，即|MA|+|MB|=4， 所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 设椭圆方程为12222=+b y a x ，由.3,4,22,422 2====b a c a 可得 故曲线C 的方程为.13 42 2=+y x …………6分 （II ）当2,13 4,0020 400±==+=x y x y 可得由时， ???? ?? ?=+-=-=≠--==-====.134 ,4312:,4312,0).0,2(,2,0,2).0,2(,2,0,22 2000 00000000y x y x x y y x x y l y C l x l y x C l x l y x 联立方程组的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当 消去.0164824)34(,2 002 3 02 0=-+-+y x x x x y y 得 ① 由点),(00y x P 为曲线C 上一点， .1234.13 420202 020=+=+x y y x 可得得 于是方程①可以化简为.022 002=+-x x x x 解得0x x =， https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** ), ,(,4312000000y x P C l y y y x x y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-= = 综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为),(00y x P . 12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条 渐近线方程为x y 3= ，两条准线的距离为l . （1）求双曲线的方程； （2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点， 且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值. （1）解：依题意有：. 3,1,,12,3222222==???? ???? ?=+==b a c b a c a a b 解得 可得双曲线方程为.13 2 2 =-y x ………………………………………………6分 （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性 , 33,33, 13.),,(222 0202 20 2 22 020000-=-==---=++?--=?P P P P P P P P PN PM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设 所以.333332 22 02=-+--=?x x x x k k P P PN PM 13、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1, 0)、 B (1, 0), 动点 C 满足条件：△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (Ⅰ)求W 的方程； https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 求的取值范围； （Ⅲ）已知点M （2，0），N （0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k ，使得 向量OP OQ + 与MN 共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C （x , y ）, ∵ 2AC BC AB +=+＋2AB =, ∴ 2AC BC +=>, ∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点. ∴ =1a c =. ∴ 2221b a c =-=. ∴ W : 2 212 x y += (0)y ≠. …………………………………………… 2分 (Ⅱ) 设直线l 的方程为 y kx =22(12 x kx +=. 整理，得 221()102k x +++=. ①………………………… 5分 因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 222184()4202 k k k ?=-+=->，解得k ∴ 满足条件的k 的取值范围为 ,()22 k ∈ -∞-+∞ （………… 7分 （Ⅲ）设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ + ＝（x 1+x 2，y 1+y 2), 由①得12x x +=. ② 又1212()y y k x x +=++③ 因为 0)M ，(0, 1)N ， 所以( 1)MN = .……………………… 11分 所以OP OQ + 与MN 共线等价于1212)x x y y ++. 将②③代入上式，解得k = 所以不存在常数k ，使得向量OP OQ + 与MN 共线. https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 14、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)已知点,A B 分别是射线()1:0l y x x =≥， ()2:0l y x x =-≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ?的面积为定值2． （I ）求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程； （II ）过点()0,2N 作直线l ，与曲线C 交于不同的两点,P Q ，与射线12,l l 分别交于点,R S ，若点,P Q 恰为线段RS 的两个三等分点，求此时直线l 的方程． 解：（I ）由题可设()11,A x x ，()22,B x x -，(),M x y ，其中120,0x x >>. 则1212,(1) 2,(2) 2 x x x x x y +?=??? -?=?? 1分 ∵OAB ?的面积为定值2， ∴ ) 1 21211 222 OAB S OA OB x x ?= ?===. 2分 22(1)(2)-，消去12,x x ，得：222x y -=． 4分 由于120,0x x >>，∴0x >，所以点M 的轨迹方程为2 2 2x y -=（x ＞0）． 5分 （II ）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+． 由22 2,2, y kx x y =+??-=?消去y 得：()22 1460k x kx ---=， 6分 设点P 、Q 、R 、S 的横坐标分别是P x 、Q x 、R x 、P x ， ∴由,0P Q x x >得()222 2210,162410,40,160,1P Q P Q k k k k x x k x x k ?-≠??=+->?? ?+=>?-?-?=>?-? 8分 解之得：1k <<-． https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** ∴ 2 1 P Q x x k -= =-. 9分 由2,,y kx y x =+?? =? 消去y 得：2 1R x k =-， 由2,,y kx y x =+??=-? 消去y 得：21S x k =--， ∴2 4 1 R S x x k -= -. 10分 由于,P Q 为RS 的三等分点，∴3R S x x -=P Q x x -. 11分 解之得5 3 k =- . 12分 经检验，此时,P Q 恰为RS 的三等分点，故所求直线方程为5 23 y x =-+. 15、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F 与抛物线2 4y x =-的焦点重合，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，CD AB = （Ⅰ）求椭圆的方程； （II ）求过点O 、1F ，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （Ⅲ）求22F A F B ? 的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -． 设椭圆的方程：)0(122 22>>=+b a b y a x ． 解方程组241y x x ?=-?=-? 得C （-1，2），D （1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称， ∴ 1 1|||||||| FC CD F A AB = =1||2F A = ， ∴(1, 2A ． …………2分 ∴ 2211 12a b +=又1222==-c b a ， https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 因此， 22 11 112b b +=+，解得21b =并推得22a =． 故椭圆的方程为2 212 x y += ． …………4分 （Ⅱ）1,1a b c = == ， 圆过点O 、1F ， ∴圆心M 在直线1 2 x =-上． 设1 (,),2 M t -则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切， ∴13()(2).22 r =---= 由,OM r =3 ,2 = 解得t = ∴所求圆的方程为2219 ()(.24 x y ++±=…………………………8分 （Ⅲ） 由12(1,0),(1,0)F F -点 ①若AB 垂直于x 轴，则)2 2 ,1(),22, 1(---B A ， 22((2,F A F B ∴=-=- ， 2217 422 F A F B ?=-= …………………………………………9分 ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为 )1(+=x k y 由?? ?=-++=0 22) 1(2 2y x x k y 得 0)1(24)21(2 222=-+++k x k x k 0882>+=?k ，∴方程有两个不等的实数根． 设),(11y x A ，),(22y x B . https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 2221214k k x x +-=+, 2 22121) 1(2k k x x +-=?………………………………11分 ),1(),,1(222112y x F y x F -=-=∴ )1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=?x x k x x y y x x F F 2 212 212 1))(1()1(k x x k x x k +++-++= 22 22 222 1)214)(1(21)1(2)1(k k k k k k k +++--++-+= =) 21(29272117222k k k +-=+- 1211 0,121,02 22≤+< ≥+≥k k k ]27,1[22-∈?∴F F ，所以当直线l 垂于x 轴时，F F 22?取得最大值2 7 当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22?取得最小值1- 16、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知定点)01(，-C 及椭圆532 2 =+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是1 2 - ，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使?为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）解： 依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 将 (1)y k x =+代入 5 322=+y x ， 消去 y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-= ………….. 2分 设 1122() () A x y B x y ，，，， 则 4222 122364(31)(35)0 (1) 6. (2) 31k k k k x x k ??=-+->? ?+=-?+? ， ………….. 4分 https://www.doczj.com/doc/8417776295.html, 电 话:010-******** 由线段AB 中点的横坐标是1 2 -， 得2122312312x x k k +=-=-+， 解 得 k =，适合 (. ………….. 5分 所 以 直 线 AB 的方程为 10 x -+=，或 10x ++=. ………….. 6分 （Ⅱ）解： 假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使?为常数. ① 当 直 线 AB 与 x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知 22121222635 . (3)3131 k k x x x x k k -+=-=++， 所以2 12121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ?=--+=--+++ 22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++ ………….. 8分 将(3)代入，整理得 2 2 2222 114(2)(31)2(61)5 333131 m k m m k MA MB m m k k -+----?=+=+++ 2 2 1614 2.33(31) m m m k +=+- -+ 注意到MB MA ?是与k 无关的常数， 从而有7 61403 m m +==- ，， 此时4.9 M A M B ?= .. 11分 ② 当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ， 的坐标分别为11??-- ??、， 当 73 m =- 时， 亦 有 4 .9 M A M B ?= ………….. 13分
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