第四章 圆与方程复习学案（两课时）
Ⅰ、请你画出本章的知识结构图
Ⅱ、知识梳理 圆的方程
1. 圆的标准方程： ( ) 表示圆心为 ，半径长为 的圆.
2. 圆的一般方程： （ ）圆心是 ，半径长为 的圆. 当 时，上述方程不表示任何图形 当 时，上述方程表示点
3. 点00(,)M x y 与圆222()()(0)x a y b r r -+-=>
（1）当满足 时,点在圆外; （2）当满足 时,点在圆上; （3）当满足 时,点在圆内 注：. 求圆的方程的常用方法：
（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；
（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 或D,E,F 的方程组，然后解出a 、b 、r 或D,E,F ，再代入
方程.
4. 轨迹方程指动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.求轨迹方程的一般步骤为： ① ② ③ ④ ⑤
注:通常求轨迹方程的方法有：相关点法、定义法、参数法等
直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系有: 、 、 三种形式.
2.直线与圆的位置关系的判断方法:
(1)几何法——比较圆心距与圆半径r 的大小.圆心C (a,b )到直线Ax +By +C =0的距离d
(2)代数法——由直线与圆的方程联立方程组22
Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=???,消去一个未知数得方程
20ax bx c ++=利用方程的解个数,得直线与圆的交点个数来判断位置关系.
①相交? ? ； ②相切? ? ； ③相离? ? .
3．经过一点M （x 0，y 0）作圆（x-a ）2+（y-b ）2=r 2
的切线
①点M 在圆上时，切线方程为（x 0-a ）（x-a ）+（y 0-b ）（y-b ）= r 2
②点M 在圆外时，有2条切线、2个切点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），方程（x 0-a ）（x-a ）+（y 0-b ）（y-b ）= r 2
不是切线方程，而是经过2个切点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线方程. 4. 直线被圆所截得的弦长公式
│AB │=222d r -（垂径分弦定理） =]4))[(1(212212x x x x k -++=]4))[(1
1(212212y y y y k
-++ 5.圆上的点到直线的距离的最值
①设圆心C 到直线l 的距离为d ，圆的半径为r 。P 是圆上的动点，则P 到直线l 距离的记为d ' 当直线l 与圆相离时，d '的最大值是 d '的最小值是 当直线l 与圆相交时，d '的最大值是 d '的最小值是
②.a 圆的半径为3，圆心C 到直线l 的距离为d ，随d 的变化圆上到l 的距离为1的点的个数变化情况是 当 d 满足 条件时，圆上到l 的距离为1的点的有一个 当 d 满足 条件时，圆上到l 的距离为1的点的有两个 当 d 满足 条件时，圆上到l 的距离为1的点的有三个 当d 满足 条件时，圆上到l 的距离为1的点的有四个
.b 圆的半径为r ，记圆心C 到直线l 的距离为3，随着r 的变化圆上到l 的距离为1的点的个数变化情况是
当r 满足 条件时，圆上到l 的距离为1的点的有一个
当r 满足 条件时，圆上到l 的距离为1的点的有两个 当r 满足 条件时，圆上到l 的距离为1的点的有三个 当r 满足 条件时，圆上到l 的距离为1的点的有四个 圆与圆的位置关系
1、设两圆半径分别为1r ，2r ，连心线长为d ，则：
当两圆外离时，它们的外公切线长为_____________；内公切线长为_____________。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长_________，___ _____平分两条切线的夹角。 2、 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是 3.圆系方程
①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为
②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为
③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为 （不表示圆2C ）
直线与圆的方程的应用
注：用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几
何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系一般用的是 定则
2. 点P （x ，y ，z ）其中x ，y ，z 的几何意义可以有两种解释
① ② 3．在空间直角坐标系中，点P （x ，y ，z ）的几种特殊的对称点的坐标如下：
点P （x ，y ，z ）关于原点对称的对称点是P 1_______________；
点P （x ，y ，z ）关于横轴（x 轴）对称的对称点是P 2_______________； 点P （x ，y ，z ）关于纵轴（y 轴）对称的对称点是P 3_______________； 点P （x ，y ，z ）关于竖轴（z 轴）对称的对称点是P 4_______________； 点P （x ，y ，z ）关于xOy 平面对称的对称点是P 5_______________；
点P （x ，y ，z ）关于yOz 平面对称的对称点是P 6_______________； 点P （x ，y ，z ）关于zOx 平面对称的对称点是P 7_______________。 3、空间两点间的距离公式：已知空间两点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 。 （1）线段12PP 的中点(,,)M x y z 坐标公式： 122x x x +=
，122y y y +=，12
2z z z +=。
（2）12||PP =
特别地：空间任意一点(,,)P x y z 到原点O 的距离为： ||OP =。
Ⅲ、典型例题分类 一．求圆的方程与直线方程
例1：. 已知圆228x y +=内有一点()01
,2P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦.
（１）当α＝１３５°时，求AB 的长； （２）当弦AB 被0P 平分时，写出直线AB 的方程.
变式：一直线过点3
(3,)2
P --，被圆2225x y +=截
得的弦长为8, 求此弦所在直线方程
例2：已知()()2020A ,,B ,,-点C 在x 轴的上方，且
45ACB ∠=?，求ABC ?外接圆的方程
变式：
求过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-= 的交点，并且圆心在直线40x y --=上的的方程.
例3：求与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线y x =
截得的弦长等于.
变式①、已知一圆与直线0243=-+y x 相切于
点)1,2(-P ，且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程。
变式②已知圆M 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为1:3；③圆心
M 到直线02:=-y x l 的距离为
5
5
，求这个圆的方程．
例4：已知圆1C ：22660x y x +--=，圆2C ：22460x y y +--=（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.（3）求公共弦长
例5．已知圆2260x y x y m ++-+=和直线
230x y +-=交于P 、Q 两点且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.（不解方程）
二、求轨迹方程
1、为圆x 2+y 2=1外一点，过
P 引圆的两条切
线，切点分别为A,B.∠ APB 为60
，则P 的轨迹方程 2、长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分
别在x 轴和y 轴上滑动，线段AB 的中点的轨迹方程
3、x 2+y 2-2(m +3)x +2(1-4m 2)y +16m 4-7m 2+9=0,若该方程表示一个圆，则m 的取值范围为 圆心的轨迹方程 4：已知(1,21)A -、(2,0,2)B ，在xOz 平面内的点
M 到A 点与B 点等距离，则点M 的轨迹方程 例1：．（03年京春文）设A （－c ，0），B （c ，0） （c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点 的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.
例2：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程.
例3．如图，过圆O ：x 2+y 2=4与y 轴正半轴交点A 作此圆的切线AT ，M 为AT 上任一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，求△MAQ 垂心P 的轨迹方程.
三、求最值
例1：实数,x y 满足222410x y x y ++-+=， 求下列各式的最大值和最小值：
（1）
4
y x -；（2）2x y -.（3）20862
2+-++y x y x 解：原方程为22(1)(2)4x y ++-=，表示以(1,2)P -为圆心，2为半径的圆.
（1）设4
y
k x =-，几何意义是：圆上点(,)
M x y 与点(4,0)Q 连线的斜率.
由图可知当直线MQ 是圆的切线时，
k 取最大值与最小值。
设切线0(4)y k x -=-，即40kx y k --=.
圆心P
到切线的距离
2=，化简
为221200k k +=，解得0k =或20
21
k =-.
∴ 4y x -的最大值为0,最小值为20
21-.
（2）设2x y m -=，几何意义是：直线20x y m --=与圆有公共点.
∴ 圆心P
≤2，解
得4--m
≤4-+ ∴ 2x y -
的最大值为4-+
4--
例2. 已知圆1)2(:22=-+y x M ,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于B A ,两点 (1)若Q 的坐标为（1,0），求切线QA 、QB 的方程 (2)求四边形QAMB 的面积的最小值 (3)若3
2
4=AB ，求直线MQ 的方程
例3．已知圆M ：()2
221x y ,+-=直线l ：
20x y -=，点P 在直线l 上，过P 做圆M 的切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ．
⑴若∠APB 60≥?，则点P 的纵坐标的取值范围是___________；
⑵若AB =
则点P 的坐标是__________； ⑶经过A 、P 、M 三点的圆必过定点___________；
⑷是否存在定点Q 使PQ
PA
为定值？若存在，求出
定点坐标；若不存在，说明理由． 四、空间坐标系
例1：已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
直线与圆的方程练习题 1．圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( ) A 、(1,－1) B 、(21,－1) C 、(－1,2) D 、(－2 1,－1) 2．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（ ） A ．(x －3)2+(y+1)2=4 B ．(x －1)2+(y －1)2=4 C ．(x+3)2+(y －1)2=4 D ．(x+1)2+(y+1)2=4 3．方程()22()0x a y b +++=表示的图形是（ ） A 、以(a,b)为圆心的圆 B 、点(a,b) C 、(－a,－b)为圆心的圆 D 、点(－a,－b) 4．两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（ ） A ．x+y+3=0 B ．2x －y －5=0 C ．3x －y －9=0 D ．4x －3y+7=0 5．方程 052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是（ ） A ．141< 第四章 圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程 （1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当042 2 >-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为? ? ? ? ? --2,2 E D ，半径为 F E D r 42 122-+= 当0422 =-+F E D 时，表示一个点； 当042 2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离 为2 2B A C Bb Aa d +++= ，则有相离与C l r d ?>； 相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 《圆的标准方程》教学设计 一、教材分析 1、教学内容 人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。 2、教材的地位与作用 圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。 本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。 3、三维目标 （1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。 （2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。 （3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。 4．教学重点 圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程 5. 教学难点 根据条件求圆的标准方程。 二．教法分析 高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。 在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。 必修2 第四章 圆与方程 176.(P 122例5)线段AB ,(4,3)B ,A 在圆22 :(1)4C x y ++=上运动,求AB 中点M 的 轨迹方程(用两种方法). 177.(P 124A 组5)直径的两端点为1122(,),(,)A x y B x y ,求证: 此圆方程为:1212()()()()0x x x x y y y y --+--=,(此结论的应用:例133页B 组5). 178.(P 124B 组1)等腰ABC ?顶点(42)A ， ,底边一端点(35)B ，,求顶点C 的轨迹方程. 179.(P 132 练习 4)如图,等边ABC ?,,D E 为其三等分点 1||||3BD BC =,1 ||||3 CE CA =, AD BE P =.求证:AP CP ⊥. 180.(P 132A 组4)求圆心在直线:40l x y --=上,并且经过圆221:640 C x y x ++-=与圆22 2:6280C x y x ++-=的交点的圆的方程. A B C E P 181.(P 132A 组6)求圆心在直线130l x y -=； 上,与x 轴相切,且被直线2:0l x y -=截得 的弦长为. 182.(P 133A 组7)求与圆22 120C x y x y +-+=：关于:10l x y -+=对称的圆的方程. 183.(P 133A 组10)求经过点(2,2)M 以及圆221:60C x y x +-=与圆222:4C x y +=交点的圆的方程. 184.(P 133A 组11)求经过(3,1)M -且与圆22 :2650C x y x y ++-+=相切于(1,2)N 的圆的方程. 185.(P 133B 组2)已知(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----,点P 在圆22 4x y +=上运动, 求222 ||||||PA PB PC ++的最大值和最小值. 186.(P 133B 组3)已知圆224x y +=,直线:l y x b =+,当b 为何值时,圆22 4x y +=上 （数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。 高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 () ()2 2 2 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()2 2 2 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()22 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.22 0Ax By C xy D x Ey F +++++=表示圆方程则 2222 000 4040A B A B C C D E AF D E F A A A ?? =≠=≠???? =?=????+->??????+-?> ? ???? ??? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 m i n P A A N r A C ==- m a x P A A M r A C = = + 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直A C ） 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 必修2 第四章 圆与方程复习小结 一、知识点归纳 （一）．圆的两种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，表示_____________． （2）圆的一般方程 022=++++F Ey Dx y x ． ①当D 2＋E 2 －4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示__________； ： ②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2 E y -=，即只表示_______； ③当0422<-+ F E D 时，方程_____________________________________________． 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆． （二）．点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______； （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在______． （三）．直线与圆的位置关系 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2 ,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： # （1）当r d >时，直线l 与圆C ______；（2）当r d =时，直线l 与圆C ________； （3）当r d <时，直线l 与圆C ________． （四）．圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______． 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用 4.1.1圆的标准方程 教学目标： (1)掌握圆的标准方程，会由标准方程得出圆心与半径，能根据圆 心、半径写出圆的标准方程． (2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程． (3)培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想， (4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美． 教学重点：圆的标准方程的得出与应用． 教学难点：根据不同的已知条件，求圆的标准方程 教学方法: 启发、引导、讨论． 教学过程： 一、新课引入 1.引入语： 通过上一章的学习，我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示，称此方程为直线的方程。从而，通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。事实上，这种方法是解析几何解决问题的基本方法，我们还可以采用它研究其他的一些平面图形，比如：圆。 在直角坐标系中，两点确定一条直线，或者一点和倾斜角也能确定一条直线。圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ （圆心，半径。圆心决定位置，半径决定大小） 那么我们能否在圆心与半径确定的条件下，找到一个方程与圆对应呢？这就是我们这节课的主要任务。（书写标题） 回顾直线方程得出的过程：在直线l 上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式，通过验证，称此方程为直线的方程。 类似的，我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。 二、讲授新课 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点， 那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件r =① 引导学生自己 证明r =为圆的方程，得出结论． 1.若点),(00y x M 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程①． 2.若),(00y x 是方程①的一组解，则以这组解为坐标的点),(00y x M 到圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上． 故方 程r =为圆的一个方程。 方程①可等价变为：222()()x a y b r -+-= ② 方程②形式较①式更为和谐美观。 方程②也是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程． 特别地,若圆心为O （0，0），则圆的标准方程为：222r y x =+ 练习1 (口答) 、求圆的圆心及半径 (1)、422=+y x (2)、1)1(22=+-y x 练习2、写出下列圆的方程 （1）、圆心在原点，半径为3； 922=+y x （2）、圆心在(-3、4),半径为5 5)4()3(22=+++y x 三、例题解析 例1 已知两点A(4,9)、B(6,3)，求以AB 为直径的圆的方程 分析：可以从计算圆心与半径． 解：解:圆心C （5，6）半径r=10 所求的圆的标准方程是10)6()5(22=-+-y x 把点)7,8(1M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边相等，点1M 的坐标适合圆的方程，所以点1M 在这个圆上；把点)5,3(2M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边不相等，点2M 的坐标不适合圆的方 程，所以点2M 不在这个圆上． 是否在这个圆上？并判断点 )5,3(),7,8(21M M 第四章圆与方程 4.1 圆得方程 4.1、1 圆得标准方程 1.以(3,－1)为圆心,4为半径得圆得方程为() A.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 B.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－3)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋3)2＋(y－1)2＝16 2.一圆得标准方程为x2＋(y＋1)2＝8,则此圆得圆心与半径分别为() A.(1,0),4 B.(－1,0),2 2 C.(0,1),4 D.(0,－1),2 2 3.圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2得圆心为________,半径为________. 4.若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上,则a得值就是________. 5.以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切得圆得方程就是____________________. 6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)得圆得方程为() A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 7.一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1),圆心在直线x－3y－10＝0上,求此圆得方程. 8.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1得内部,则a得取值范围就是() A.|a|＜1 B.a＜1 13 C.|a|＜1 5 D.|a|＜1 13 9.圆(x－1)2＋y2＝25上得点到点A(5,5)得最大距离就是__________. 10.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A,B两点,且弦AB得长为 2 3,求a得值. 4、1、2 圆得一般方程 1.圆x2＋y2－6x＝0得圆心坐标就是________. 2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2,－4)为圆心,以4为半径得圆,则F＝________、 3.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则k得取值范围就是() A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1 4.已知圆得方程就是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0,则下列直线中通过圆心得就是() A.3x＋2y＋1＝0 B.3x＋2y＝0 C.3x－2y＝0 D.3x－2y＋1＝0 5.圆x2＋y2－6x＋4y＝0得周长就是________. 6.点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0得内部,则a得取值范围就是() 标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F 习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆 心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例1 (06卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543= +-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x (C)9)1() 2(22 =++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 解 已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ， 故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+ 解 化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切；? 第四章综合检测题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1.下面表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为（） B. 2个 D. 4个 x + y+ m= 0表示圆，则实数 ) 1 A. mv 厂 1 C. m> 3. 已知空间两点 P1(— 1,3,5), P2(2,4,— 3),则IPRI等于( ) A. 74 B. 3. 10 C. 14 D. 53 4.圆x2 + y2 + 2x— 4y= 0的圆心坐标和半径分别是_( ) A . (1,— 2), 5 B . (1,— 2), 5 C . (— 1,2),5 D . (— 1,2), 5 5.圆心为(1 , — 1),半径为2的圆的方程是() A . (x— 1)2 + (y+ 1)2= 2 B . (x+ 1)2 + (y — 1)2= 4 C . (x+ 1)2 + (y —1)2= 2 D . (x— 1)2 + (y+ 1)2 = 4 6.直线I: x — y= 1与圆C： x2 + y2— 4x= 0的位置关系是( ) A .相离 B.相切 A. 1个 C. 3个 2 .若方程x2+y2m的取值范围为 B. mv 0 D. m< 1 C .相交 D.无法确定 7.当点P在圆x2+ y2 = 1上变动时，它与定点 Q(3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是（） A . （x+ 3）2 + y2=4 B . (x— 3)2 + y2= 1 C. （2x— 3）2 + 4y2 = 1 D. （2x + 3）2 + 电=1 8.（2011?2012北京东城区高三期末检测）直线I过点（—4,0）,且与圆（x+ 1）2 + （y — 2）2 = 25交于A, B两点，如果|AB| = 8,那么直线I 的方程为（） A . 5x+ 12y + 20= 0 B . 5x— 12y + 20= 0 或 x+ 4 = 0 C. 5x— 12y+ 20= 0 D . 5x+ 12y+ 20= 0 或 x+ 4 = 0 9 .一束光线从点A(— 1,1)发出，并经过x轴反射，至U达圆(x— 2)2 + (y— 3)2= 1上一点的最短路程是( ) A . 4 B. 5 C. 3 2 — 1 D. 2 6 10. （2012 ?东卷）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+ 4y— 5= 0 与圆x2 + y2 = 4相交于A, B两点，则弦AB的长等于（） A . 3 3 B . 2 3 C. 3 D . 1 11.方程-.：4— x2= lg x的根的个数是（） A . 0 B . 1 C . 2 D.无法确定 12.过点M(1,2)的直线I与圆C: (x— 2)2 + y2= 9交于A、B两点， C为圆心，当/ ACB最小时，直线I的方程为() A . x= 1 B . y = 1 C . x— y+ 1 = 0 D . x — 2y + 3= 0 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确 答案填在题中横线上) 13.点P(3,4,5)关于原点的对称点是_______ . 14.已知△ ABC 的三个顶点为 A(1,— 2,5), B(— 1,0,1), C(3, —4,5),则边BC上的中线长为__________ . 15.已知圆 C: (x— 1)2 + (y+ 2)2=4,点 P(0,5)，则过 P 作圆 C 的切线有且只有 _______ 条. 16.与直线 x+ y — 2= 0 和曲线 x2+ y2— 12x— 12y + 54= 0 都相切 的半径最小的圆的标准方程是 ________ . 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明， 高中数学必修二直线和圆与方程综合测试卷 姓名 分数 一.选择题(每题3分,共30分) 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ） A ．32- B ．32 C ．23- D ．2 3 5．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23 - 6.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 7.平行直线x －y ＋1 = 0，x －y －1 = 0间的距离是 （ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．22 8. 圆 关于原点对称的圆的方程为 ( ) A. B. C. D. 9. 若为圆 的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. x y O x y O x y O x y O 22(2)5x y ++=(0,0)P 22(2)5x y -+=22(2)5x y +-=22(2)(2)5x y +++=22(2)5x y ++=)1,2(-P 25)1(22=+-y x AB AB 03=--y x 032=-+y x 01=-+y x 052=--y x 高中数学必修2 第四章 圆与方程知识点 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：2 22() ()x a y b r -+-= 圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程 2、点00(,)M x y 与圆2 22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）220 0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：022 =++++F Ey Dx y x 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2 ,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系 1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、 z 轴上的坐标 2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标， y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做 点M 的竖坐标。 4.3.2空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式 2 2122122121) ()()(z z y y x x P P -+-+-= y 高中数学必修2知识点总结 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：2 22() ()x a y b r -+-= 圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程 2、点00(,)M x y 与圆2 22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）220 0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：022 =++++F Ey Dx y x 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2 ,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；第四章 圆与方程知识点总结及习题答案
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