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第19章 特殊的平行四边形

第19章 特殊的平行四边形
第19章 特殊的平行四边形

第十九章 特殊的平行四边形

(2012湖南益阳,7,4分)如图,点A 是直线l 外一点,在l 上取两点B 、C ,分别以A 、C 为圆心,BC 、

AB 长为半径画弧,两弧交于点D ,分别连结AB 、AD 、CD ,则四边形ABCD 一定是( )

A .平行四边形

B .矩形

C .菱形

D .梯形

【解析】从题目中(BC 、AB 长为半径画弧,两弧交于点D ,)可以得到四边形ABCD 的两组对边分别相等,所以得到四边形ABCD 是平行四边形。 【答案】A

【点评】根据尺规作图得到对边相等,只要考生记住两组对边分别相等的四边形是平行四边形这一定义,就可以得到答案,难度不大。

23.1 矩形

(2012湖北襄阳,9,3分)如图4,ABCD 是正方形,G 是BC 上(除端点外)的任意一点,DE ⊥AG 于点E ,BF ∥DE ,交AG 于点F .下列结论不一定成立的是

A .△AED ≌△BFA

B .DE -BF =EF

C .△BGF ∽△DAE

D .D

E -BG =FG

【解析】由ABCD 是正方形,得AD =BA ,∠BAD =∠ABG =90°,∴∠DAE +∠BAF =90°.又∵DE ⊥AG ,BF ∥DE ,∴BF ⊥AG ,∠BAF +∠ABF =90°.∴∠DAE =∠ABF .而∠AED =∠BFA =90°,∴△AED ≌△BFA .∴DE =AF ,AE =BF .∴DE -BF =AF -AE =EF .由AD ∥BC 得∠DAE =∠BGF 及∠AED =∠GFB =90°,可知△BGF ∽△DAE .可见A ,B ,C 三选项均正确,只有D 选项不能确定.

【答案】D

【点评】此题是由人教课标版数学教材八年级下册第104页的第15题改编而成,并将九年级下册第48页练习2融合进来,源于教材而又高于教材,综合考查了正方形的性质、全等三角形、相似三角形知识,是一道不可多得的基础好题.

(2012山东泰安,9,3分)如图,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4,对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC

图4

于点E 、O ,连接CE ,则CE 的长为( ) A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8

【解析】设CE 的长为x,因为EO 垂直平分AC ,所以AE=CE=x,所以ED=4-x, 在Rt △CED 中,由勾股定理得CD 2

+ED 2

=CE 2

,22

+(4-x )2

=x 2

,解得x=2.5. 【答案】C.

【点评】本题在矩形中综合考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识,用方程的思想解几何问题是一种行之有效的思想方法。

(2012安徽,14,5分)如图,P 是矩形ABCD 内的任意一点,连接PA 、PB 、PC 、PD ,得到△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ,设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4,给出如下结论: ①S 1+S 2=S 3+S 4 ② S 2+S 4= S 1+ S 3

③若S 3=2 S 1,则S 4=2 S 2 ④若S 1= S 2,则P 点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是_________________(把所有正确结论的序号都填在横线上)

.

解析:过点P 分别向AD 、BC 作垂线段,两个三角形的面积之和42S S +等于矩形面积的一半,同理,过点P 分别向AB 、CD 作垂线段,两个三角形的面积之和31S S +等于矩形面积的一半. 31S S +=42S S +,又因为21S S =,则32S S +=ABCD S S S 2

1

41=+,所以④一定成立 答案:②④.

点评:本题利用三角形的面积计算,能够得出②成立,要判断④成立,在这里充分利用所给条件,对等式进行变形.不要因为选出②,就认为找到答案了,对每个结论都要分析,当然感觉不一定对的,可以举反例即可.对于 ④这一选项容易漏选.

A

D

(2012江苏盐城,15,3分)如图,在四边形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB=DC ,在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形为矩形,只需加上的一个条件是 (填上你认为正确的一个答案即可)

.

【解析】本题考查了矩形的判定.掌握矩形的定义和判定方法是关键.由四边形ABCD 的两组对边AB=DC ,AD=BC 知:四边形ABCD 是平行四边形,而“有一个角是直角或对角线相等”的平行四边形的矩形,故可填的条件是:四边形ABCD 内有一个直角或AC=BD. 【答案】答案不唯一,如∠A=90°或AC=BD ,等.

【点评】本例考查平行四边形和矩形的判定,解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法,及其相互关系.

(2012湖南湘潭,20,6分)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD (围墙MN 最长可利用m 25),现在已备足可以砌m 50长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为2

300m .

【解析】要利用条件确定矩形的长和宽,设矩形的长为X ,宽为x

300

, 根据条件要求:0<X ≤25且0<X+

x 600≤50,且X ≥x

300

, 从而确定20≤X ≤25,再设计一种具体砌法,若X 取20,则x 300

=15,

矩形花园ABCD 的BC 长20米,AB 长15米。若X 取25,则x

300

=12,矩形花园ABCD 的BC 长25米,

AB 长12米。等等。

【答案】设矩形的长为X ,宽为

x 300

, 根据条件要求:0<X ≤25且0<X+x 600≤50,且X ≥x

300

从而确定20≤X ≤25,再设计一种具体砌法,如,

矩形花园ABCD 的BC 长20米,AB 长15米。或矩形花园ABCD 的BC 长25米,AB 长12米。等等。 【点评】此题考查了矩形的面积和不等式的解集。根据限制条件列不等式,确定矩形的长和宽的取值范围, 并由矩形面积选取矩形的长和宽的具体值。

(2012浙江省绍兴,15,5分)如图,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD 上,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在AC 上的点B`处,又将△CEF 沿EF 折叠,使点C 落在直线EB`与AD 的交点C`处.则BC ∶AB 的值为 ▲

.

【解析】连接CC ′,根据题意可知∠AEF=90°,又C 、C ′关于EF 对称,所以CC ′⊥EF ,所以AE ∥CC ′,又AC ′∥EC ,所以四边形AECC ′是平行四边形,又∠B=∠AB ′E=90°,所以四边形AECC ′是菱形,所以∠EAC=∠ECA ,又∠EAC=∠BAE ,所以∠EAC=∠ECA=∠BAE=30°,在Rt △ABC 中,BC :

. 【答案】3

【点评】解答折叠问题的关键是利用折叠前后其中相等的边和相等的角之间的等量关系..

(2012湖南湘潭,19,6分)如图,矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图,已知m BC 2=,

m CD 4.5=,?=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米?

(73.13≈,结果保留两位有效数字.)

E

F

C

D

A

B

【解析】运用直角三角形边角关系或三角函数值求出DE 和DF 的长。 【答案】在直角三角形CDF 中,?

=∠30DCF ,DF=

2

1CD=2.7,∠ADE=900-∠CDF=∠DCF=300

, 在直角三角形ADE 中,DE=ADcos ∠ADE=2×

2

3

=3,FE=DF+DE=2.7+3≈4.43.

【点评】此题考查了矩形和直角三角形边角关系及三角函数值的运用。[来源:学+

23.2菱形

(2012四川成都,9,3分)如图.在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误

..的是()A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OC

解析:本题考查的是菱形的性质,菱形是特殊的平行四边形,所以四边形具有的性质,菱形都有,所以选项A、D都是对的;另外菱形还有自己特殊的性质,对角线互相垂直等等,所以选项C也是对的。

所以,根据排除法可知,选项B是错误。

答案:选B

点评:平行四边形及各种特殊的平行四边形的性质,是一个重要的考点,同学们要能结合图形熟练掌握它们的性质和判定。

(2012山东省临沂市,17,3分)如图,CD与BE互相垂直平分,

AD⊥DB,∠BDE=700,则∠CAD= 0.

【解析】∵CD与BE互相垂直平分,∴四边形BDEC是菱形,又∵AD⊥DB, ∠BDE=700,∴∠ADE=200,∠DEF=550,∴∠DAE=350,∴∠CAD=700.

【答案】700

【点评】此题主要考查了学生对线段垂直平分线及菱形的性质和判定的理解及运用.菱形的特性是:对角线互相垂直、平分,四条边都相等.

(2012山东省聊城,19,8分)矩形ABCD对角线相交与O,DE//AC,CE//BD.

求证:四边形OCED是菱形.

解析:可以先证四边形OCED 是平行四边形,再找一组邻边相等. 解:因为DE//AC ,CE//BD , 所以四边形OCED 是平行四边形. 又因为在矩形ABCD ,BD 、AC 是对角线, 所以AC=BD ,OC=OD=

21AC=2

1

BD. 所以四边形OCED 是菱形.

点评:熟练掌握菱形判断方法是解题的关键.

(2012湖北襄阳,23,7分)如图10,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 为BC 的中点,BC =2AD ,EA =ED =2,AC 与ED 相交于点F .

(1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形;

(2)当AB 与AC 具有什么位置关系时,四边形AECD 是菱形?请说明理由,并求出此时菱形AECD 的

面积.

【解析】(1)通过证明△DEC ≌△AEB ,得AB =CD .(2)运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”易发现四边形ABED 和四边形AECD 均为平行四边形,从而有AB∥DE,然后结合菱形的性质,发现AB 需与AC 垂直,接着发现△ABE 是等边三角形即可解决问题.

【答案】解:(1)证明:∵AD ∥BC , ∴∠DEC =∠EDA ,∠BEA =∠EAD . 又∵EA =ED ,∴∠EAD =∠EDA . ∴∠DEC =∠AEB .

又∵EB =EC ,∴△DEC ≌△AEB .

图10

∴AB =CD .∴梯形ABCD 是等腰梯形. (2)当AB ⊥AC 时,四边形AECD 是菱形. 证明:∵AD ∥BC ,BE =EC =AD ,

∴四边形ABED 和四边形AECD 均为平行四边形. ∴AB =ED .

∵AB ⊥AC ,∴AE =BE =EC . ∴四边形AECD 是菱形.

过A 作AG ⊥BE 于点G ,∵AE =BE =AB =2,

∴△ABE 是等边三角形,∠AEB =60°.∴AG

∴S 菱形AECD =ECAG =2

【点评】第(1)问简单,第(2)问属于条件开放探究性问题,解答时,可以“执果索因”,从题目的结论出发逆向追索,再通过综合分析推理而获得结果.

(2012浙江省温州市,19,8分)如图,△ABC 中,90B ∠=

,AB=6cm,BC=8cm 。将△ABC 沿射线BC 方向

平移10cm ,得到△DEF ,A,B,C 的对应点分别是D,E,F ,连结AD 。求证:四边形ACFD 是菱形。

【解析】把握平移的特征:平移不改变图形的形状和大小,对应线段相等,平行(或在同一条直线上.菱形判定方法:邻边相等的平行四边形;四条边相等的四边形。 【答案】证法一:∵∠B=90°,AB=6cm , BC=8cm , ∴AC=10cm . 由平移变换的性质得 CF=AD=10cm ,DF=AC , ∴AD=CF=AC=DF ,

∴四边形ACFD 是菱形.

证法二:由平移变换的性质得AD ∥CF ,AD=CF=10cm , ∴四边形ACFD 是平行四边形. ∵∠B=90°,AB=6cm , BC=8cm , ∴AC=10cm . ∴AC =CF , ∴AD=CF=AC=DF , ∴ACFD 是菱形.

【点评】本题考察了平移及菱形的判定方法,难度不大.

(2012浙江省嘉兴市,19,8分)如图,已知菱形ABCD 的对角线相交于点O,延长AB 至点E,使BE=AB,连结CE. (1)求证:BD=EC;

(2)若∠E =50° ,求∠BAO 的大小.

第19题

B

【解析】(1)证得四边形BECD 是平行四边形即可;(2)先证∠ABO =∠E =50°.再证∠BAO =90°-∠ABO =40°.

【答案】(1)∵菱形ABCD ,∴AB =CD,AB ∥CD,又∵BE=AB ,∴四边形BECD 是平行四边形,∴BD=EC. (2)∵ BECD ,∴BD ∥CE,∴∠ABO =∠E =50°.又∵菱形ABCD ,∴AC ⊥BD,∴∠BAO =90°-∠ABO =40° 【点评】本题主要考查学生的逻辑推理能力,要求能灵活运用菱形的性质及平行四边形的判定、性质进行推理论证.中档题.

本市若干天空气质量情况条形统计图

(2012北京,19,5)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC BD ,交于点E

,904530BAC CED DCE DE ∠=?∠=?∠=?,,,

BE =.求CD 的长和四边形ABCD 的面积.

【解析】利用特殊的度数解直角三角形,并求其面积。 【答案】过点D 作DF ⊥AC ∵∠CED =45°,DF ⊥EC ,DE

∴EF =DF =1 又∵∠DCE =30° ∴DC =2

∵∠AEB =45°,∠BAC =90°,BE

∴AE =2

∴AC

∴S 四边形ABCD

=

112(31(322??++??+=

【点评】本题考查了已知特殊角(如45°、30°)和其邻边的长度,利用这些条件构造直角三角形,求出

其它边的长度。

(2012湖南娄底,23,9分)如图11,在矩形ABCD 中,M 、N 分别是AD 、BC 的中点,P 、Q 分别是BM 、DN 的中点.

(1)求证:△MBA ≌△NDC ;

(2)四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形?请说明理由.

【解析】(1)根据矩形的性质和中点的定义,利用SAS 判定△MBA ≌△NDC ;

(2)四边形MPNQ 是菱形,连接AN ,有(1)可得到BM=CN ,再有中点得到PM=NQ ,再通过证明△MQD ≌△NPB 得到MQ=PN ,从而证明四边形MPNQ 是平行四边形,利用三角形中位线的性质可得:MP=MQ ,进而证明四边形MQNP 是菱形.

【答案】证明:(1)∵四边形ABCD 是矩形,∵AB=CD ,AD=BC ,∠A=∠C=90°,∵在矩形ABCD 中,M 、N 分

A D C

B M N

P

Q

B

C

别是AD 、BC 的中点,∴AM=12AD ,CN=1

2

BC ,∴AM=CN ,在△MAB ≌△NDC ,∵ AB=CD ,∠A=∠C=90°,AM=CN ,∴△MAB ≌△NDC ;

(2)四边形MPNQ 是菱形,理由如下:连接AN ,易证:△ABN ≌△BAM ,∴AN=BM ,

∵△MAB ≌△NDC ,∴BM=DN ,∵P 、Q 分别是BM 、DN 的中点,∴PM=NQ ,∵DM=BN ,DQ=BP ,∠MDQ=∠NBP ,∴△MQD ≌△NPB .∴四边形MPNQ 是平行四边形,∵M 是AB 中点,Q 是DN 中点,∴MQ=12AN ,∴MQ=1

2

BM ,∴MP=

1

2

BM ,∴MP=MQ ,∴四边形MQNP 是菱形. 【点评】此题主要考查了菱形的判定与矩形的判定,灵活地应用矩形与菱形的性质是解决问题的关键. 23.(2012江苏盐城,23,10分)如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BDC=900

,E 为BC 上一点,∠BDE=∠DBC . (1)求证:DE=EC .

(2)若AD=12

BC,试判断四边形ABED 的形状,并说明理由.

【解析】本题考查了平行四边形、菱形的性质与判定.掌握判定的方法是关键.(1)根据条件可用等角对等边来证明(2)先证四边形BCDE 是平行四边形,然后再证它是菱形.

【答案】(1)∵∠BDC=900

,∴∠BDE+∠CDE=900

,∠B+∠C=900

,由∵∠BDE=∠DBC ,∴∠CDE=∠C ,∴DE=EC . (2)∵∠BDE=∠DBC ,∴BE=DE ,∴BE=EC ,又∵AD=1

2

BC ,∴AD=BE ,又∵AD ∥BC ,∴四边形ABED 是平行四边形,又∵BE=DE ,∴四边形ABED 是菱形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定定理、菱形的判定定理.

(2011山东省潍坊市,题号22,分值10)22、(本题满分10分)如图,已知平行四边形ABCD ,过A 作AM ⊥BC 与M ,交BD 于E ,过C 作CN ⊥AD于N,交BD于F,连结AF 、CE. (1)求证:四边形AECF 为平行四边形;

(2)当AECF 为菱形,M 点为BC 的中点时,求AB :AE 的值。

第23题图

考点:平行四边形的判定,菱形的判定

解答:(1)证明:因为AE ⊥BC ,所以∠AMB=90°, 因为CN ⊥AD,所以∠CNA=90° 又因为BC ∥AD ,所以∠BCN=90° 所以AE ∥CF

又由平行得∠ADE=∠CBD,AD=BC 所以△ADE ≌△BCF ,所以AE=CF

因为AE ∥CF ,AE=CF 所以四边形AECF 为平行四边形. (2)当平行四边形AECF 为菱形时,连结AC 交BF 于点O , 则AC 与EF 互相垂直平分, 又OB=OD,

所以AC 与BD 互相垂直平分 所以,四边形ABCD 为菱形 所以AB=BC

因为M 是BC 的中点,AM ⊥BC , 所以△ABM ≌△CAM , 所以AB=AC 为等边三角形,

所以∠ABC=60°,∠CBD=30° 在RT △BCF 中,CF:BC=tan ∠CBF=3

3

, 又AE=CF,AB=BC,

所以AB :AE=3

点评:本题考查了平行四边形的判定,菱形的性质,解直角三角形的有关知识。解决此类综合问题的关键在于根据已知图形,联想到它的性质,选择其中的部分性质进行计算或证明。

(2012重庆,24,10分)已知:如图,在菱形ABCD 中,F 为边BC 的中点,DF 与对角线AC 交于点M ,过M

作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。

(1)若CE=1,求BC的长;(2)求证AM=DF+ME。

A

C

解析:延长DF,BA交于G,可证△CEM≌△CFM, △CDF≌△BGF,通过线段的简单运算,即可求得。

答案:(1)∵四边形ABCD是菱形∴CB=CD,AB∥CD∴∠1=∠ACD ,∵∠1=∠2 ∴∠2=∠ACD ∴MC=MD ∵ME ⊥CD ∴CD=2CE=2 ∴BC=CD=2

(2) 延长DF,BA交于G,∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA , ∵BC=2CF,CD=2CE ∴CE=CF ∵CM=CM∴△CEM≌△CFM, ∴ME=MF∵AB∥CD∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD∵CF=BF∴△CDF≌△BGF∴DF=GF∵∠1=∠2, ∠G=∠2∴∠1=∠G∴AM=GM=MF+GF=DF+ME

点评:利用三角形全等来解决线段的有关问题是常见的思考方法,遇到中点延长一倍,是常见的辅助性做法。

G

(2012山东省临沂市,22,7分)如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.

(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;

(2)若∠ABC=900

,AB=4,BC=3,当AF 为何值时,四边形BCEF 是菱形。

【解析】(1)证明△ABC ≌△DEF ,即可得到∴BC=EF,BC ∥EF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断;

(2)假设四边形BCEF 是菱形,连接BE ,当∠ABC=900

,AB=4,BC=3时,应用勾股定理可求得AC=5342222=+=+BC AB ,可求得△ABC ∽△BGC,应用三角形相似的性质求得AF=57,所以当AF=5

7时,四边形BCEF 是菱形.

解:(1)读图分析线段FC 是公共部分,∵AF=DC, ∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF ,

又∵AB=DE,∠A=∠D,∴△ABC ≌△DEF, ∴BC=EF,∠ACB=∠DFE.

∴BC ∥EF,∴四边形BCEF 是平行四边形;

(2)若四边形BCEF 是菱形,连接BE ,交CF 于点G , ∴BE ⊥CF,FG=CG,

∵∠ABC=900

,AB=4,BC=3,由勾股定理得, AC=5342222=+=+BC AB , ∵∠BGC=∠ABC=900

,∠ACB=∠BCG, ∴△ABC ∽△BGC, ∴

BC

CG

AC BC =

,即353CG =,CG=59,∴FC=2CG=518. ∴AF=AC-FC=5-518=5

7. ∴当AF=

5

7

时,四边形BCEF 是菱形。 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法,正确掌握判定定理是解题的关键.

23.3 正方形

(2012贵州铜仁,18,4分以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A、B两点,则线段AB的最小值是__________.

【解析】如图∵四边形CDEF是正方形,

∴∠OCD=∠ODB=45°,∠COD=90°,OC=OD,

∵AO⊥OB,

∴∠AOB=90°,

∴∠COA+∠AOD=90°,∠AOD+∠DOB=90°,

∴∠COA=∠DOB,

∵在△COA和△DOB中,

∴△COA≌△DOB,

∴OA=OB,

∵∠AOB=90°,

∴△AOB是等腰直角三角形,

由勾股定理得:AB==OA,

要使AB最小,只要OA取最小值即可,

根据垂线段最短,OA⊥CD时,OA最小,

∵正方形CDEF,

∴FC⊥CD,OD=OF,

∴C A=DA,

∴OA=CF=1,

∴AB=OA=

【解答】2.

【点评】本题考查了正方形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等知识,题目具有代表性,有一定的难度。解答本题关键是判断AB=2OA时,AB最小,即OA与OB分别与

正方形边长垂直时AB有最小值。

( 2012年浙江省宁波市,12,3)勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中,就有“若勾三,股四,则弦五”记载,如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为

(A)90 (B)100 (C)110 (D)121

【解析】如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,

所以,四边形AOLP是正方形,

边长AO=AB+AC=3+4=7,

所以,KL=3+7=10,LM=4+7=11,

因此,矩形KLMJ的面积为10×11=110.

故选C.

【答案】C

【点评】本题考查了勾股定理的证明,作出辅助线构造出正方形是解题的关键.

(2012四川内江,21,9分)如图11,四边形ABCD是矩形,E是BD上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,点G是BC、AE延长线的交点,AG与CD相交于点F.

(1)求证:四边形ABCD是正方形;

(2)当AE=2EF时,判断FG与EF有何数量关系?并证明你的结论.

【解析】(1)四边形ABCD 是矩形,只需证得一组邻边相等即可说明它是正方形.接下来通过证明△AED ≌△CED 得AD =CD 解决问题.(2)由(1)中全等三角形得AE =CE ,∠DAE =∠DCE ,再由BG ∥AD 得∠G =∠EAD ,从而∠DCE =∠G ,这样就可证明△CEG ∽△FEC ,由它产生相似比并结合AE =2EF 即可得解.

【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =∠BCD =90°. ∵∠BAE =∠BCE ,∴∠BAD -∠BAE =∠BCD -∠BCE ,即∠EAD =∠ECD . ∵∠AED =∠CED ,ED =ED ,∴△AED ≌△CED .∴AD =CD . ∴矩形ABCD 是正方形. (2)FG =3EF .

理由:∵BG ∥AD ,∴∠G =∠EAD . 由于∠EAD =∠ECD ,∴∠G =∠ECD . ∵∠CEG =∠FEC ,∴△CEG ∽△FEC .∴

CE EF =EG

CE

. 由(1)知CE =AE ,而AE =2EF ,故CE =2EF . ∴EG =2CE =4EF ,即EF +FG =4EF . ∴FG =3EF .

【点评】本题综合考查了矩形、正方形、全等三角形、相似三角形知识,题目条件简洁明了,突出了对基础知识、核心知识的交叉考查,是一道中档好题.解决问题(2),还可通过证明△AEB ≌△FED ,△ADF ∽△GCF 解决.

(2012贵州贵阳,21,10分)如图,在正方形ABCD 中,等边三角形AEF 的顶点E,F 分别在BC 和CD 上.

(1)求证:CE=CF ;

(2)若等边三角形AEF 的边长为2,求正方形ABCD 的周长

.

图11

解析:(1)可证Rt △ABE ≌Rt △ADF ;(2)可得△EFC 是等腰直角三角形,由等边三角形AEF 的边长为2,可得EF=2,解直角三角形可得正方形ABCD 的边长.

解:(1)证明:∵四边形ABCD 正方形,∴∠B=∠D=90°,AB=AD. ∵△AEF 是等边三角形,∴AE=AF. ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF, ∴BE=DF, ∵BC=CD, ∴CE=CF.

(2)在Rt △EFC 中,CE=CF=2×sin45°=2.

设正方形ABCD 的边长为x ,则x 2

+(x-2)2

=22

.解得,x=

2

6

2±(舍负),正方形ABCD 的周长为4×

2

6

2+=22+26. 点评:直线型问题主要有两种形式,一种是证明,一种是计算,主要考查学生的逻辑推理能力以及空

间观念.计算时一般考虑勾股定理、特殊角等的运用,列方程求解是常用方法.

23.4梯形

(2012广州市,5, 3分)如图2,在等腰梯形ABCD 中,BC ∥AD ,AD=5,DC=4,DE ∥AB 交BC 于点E ,且EC =3,则梯形ABCD 的周长是( )

C

A. 26

B. 25

C. 21

D.20

【解析】由题意知,四边形ABED 为平行四边形,可知BE=AD=5,从而得到BC

的长, 【答案】梯形ABCD 的周长为AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21.答案为C 。

D A

C

E

F

第21题图

【点评】本题主要用到梯形常用的辅助线,把等腰梯形分为平行四边形和等腰三角形。关键是求出下底的长。

(2012山东省临沂市,11,3分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,下列结论不一定正确的是()

A.AC=BD

B. OB=OC

C. ∠BCD=∠BDC

D. ∠ABD=∠

ACD

【解析】∵四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∴AC=BD,∠ABC=∠DCB,△AOD∽BOC,∴OB=OC,∠OBC=∠OCB,∠ABD=∠DCA.

【答案】选C.

【点评】此题考查了等腰梯形的性质与相似三角形的判定与性质.解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用.

(2012四川内江,16,5分)如图8,四边形ABCD是梯形,BD=AC且BD⊥AC,若AB=2,CD=4,则S梯形ABCD=.

【解析】如下图所示,过点B作BE∥AC,与DC的延长线交于点E,BF⊥DE于F.接下来,可证得△BDE

是等腰直角三角形,BF=1

2

DE=

1

2

(DC+CE)=

1

2

(DC+AB)=

1

2

(2+4)=3,所以S梯形ABCD=

1

2

( AB+DC)·BF

=1

2

(2+4)·3=9.

【答案】9

【点评】

在等腰梯形问题中,如果有对角线互相垂直条件,将其中一条对角线进行平移产生辅助线是图8

常用解题思路.事实上,对角线互相垂直的等腰梯形的高等于其上、下底和的一半.解决此题,还可以证

明△AOB和△COD是等腰直角三角形,在求得AC、BC长后,利用S梯形ABCD=△ACD+△ACB=1

2

AC·BD解答.

(2012四川省南充市,17,6分) 如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是AD延长线上的一点,且CE=CD.

求证:∠B=∠E.

解析:先利用等腰三角形等边对等角推得∠CDE=∠E。根据AD∥BC,可得∠CDE=∠DCB,等量代换得到∠E=∠DCB,再根据等腰梯形性质可知∠B=∠DCB,从而证得∠B=∠E。

答案:证明:∵CE=CD,

∴∠CDE=∠E.

∵AD∥BC,

∴∠CDE=∠DCB.

∴∠E=∠DCB.

∵AB=DC,

∴∠B=∠DCB.

∴∠B=∠E.

点评:本题主要考查等腰梯形的性质、等腰三角形的性质,及平行线性质。对于等腰梯形、等腰三角形内的角度问题,要充分利用底角相等的特点,再利用等量代换的方法即可探寻到所要求证角的相等关系。

(2011江苏省无锡市,8,3′)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC 于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于()

A.17 B.18

C.19

D.20

【解析】利用垂直平分线的性质可以知道DE=EC,把求四边形ABED的周长问题转化为求已知三条线段的和。四边形ABED的周长等于AD+AB+DE+BE=AD+AB+BE+EC=AD+AB+BC=3+5+9=17.

【答案】A

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,也考查学生的转化能力。

(2012山东省滨州,11,3分)菱形的周长为8cm ,高为1cm ,则该菱形两邻角度数比为( ) A .3:1 B .4:1 C .5:1 D .6:1

【解析】如图所示,根据已知可得到菱形的边长为2cm ,从而可得到高所对的角为30°,相邻的角为150°,则该菱形两邻角度数比为5:1. 【答案】选C .

【点评】本题考查菱形的性质;此菱形含30度角的直角三角形,便可推出它的相邻内角分别30°,150°.

(2012北海,6,3分)6.如图,梯形ABCD 中AD//BC ,对角线AC 、BD 相交于点O ,若AO ∶CO =2:3,AD =4,则BC 等于:( )

A .12

B .8

C .7

D .6

【解析】根据AD//BC 易知△AOD ∽△COB ,相似比为2:3,所以当AD=4时,BC=6. 【答案】D

【点评】本题考查的是梯形的性质和相似三角形的判定和性质,属于简单几何题型。

(2012江苏苏州,6,3分)如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE 的周长( )

A

D

B

C O

第6题图

第一章特殊平行四边形教案

第一章特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定(1) 【教学目标】 1.理解菱形的概念,了解它与平行四边形的关系。 2.经历菱形性质定理的探索过程,进一步发展合情推理能力。 3.能运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学重难点】 重点:掌握菱形的性质。 难点:运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学过程】 一、回顾复习 1.平行四边形的定义。 2.平行四边形的性质。 3.平行四边形的判定。 二、新课讲授 1.出示生活中菱形的例子,引出这类特殊的平行四边形——菱形,并得出菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.组织学生活动,通过折菱形纸片,得出以下结论: (1)菱形是轴对称图形; (2)菱形的四条边相等; (3)菱形的对角线互相垂直。

3.证明这些结论。 已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O。 求证:(1)AB=BC=BC=AD;(2)AC⊥BD。 证明: 由此可以得到菱形的两条性质定理: 菱形的四条边相等。 菱形的对角线互相平分。 4.总结菱形所有的性质: 边:菱形的四条边相等; 角:菱形的对角相等,领角互补; 对角线:菱形的对角线互相垂直且平分。 对称性:菱形是轴对称图形(两条对称轴是对角线所在的直线)

菱形也是中心对称图形(对称中心是两条对角线的交点)5.范例学习(P3) 例1 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长。 6、随堂练习,巩固新知 1)已知菱形的周长是12cm,那么它的边长是______. 2)菱形ABCD中∠BAD=60°,则∠ABD=_______. 3)菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的边长是()4)菱形ABCD中,O是两条对角线的交点,已知AB=5cm,AO=4cm,求两对角线AC、BD的长。 5)“P4随堂练习”

初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板

初中数学特殊平行四边形的证明 一.解答题(共30小题) 1.(2015?泰安模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于 D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE. (1)求证:四边形ACEF是平行四边形; (2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请回答并证明你的结论. 2.(2015?福建模拟)已知:如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF. 求证:四边形BCFE是菱形. 3.(2015?深圳一模)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD 交AB于E. (1)求证:四边形AECD是菱形; (2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由. 4.(2015?济南模拟)如图,四边形ABCD是矩形,点E是边AD的中点.

求证:EB=EC. 5.(2015?临淄区校级模拟)如图所示,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,设∠ADE=α,且cosα=,AB=4,则AC的长为多少? 6.(2015春?宿城区校级月考)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.求证:BD=BE. 7.(2014?雅安)如图:在?ABCD中,AC为其对角线,过点D作AC的平行线与BC 的延长线交于E. (1)求证:△ABC≌△DCE; (2)若AC=BC,求证:四边形ACED为菱形. 8.(2014?贵阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,连接AF,AC. (1)求证:四边形ADCF是菱形;

经典特殊的平行四边形讲义

特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质:①菱形的四条边都相等.②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. ③具有平行四边形所有性质. 2.菱形的判定:①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.②一组邻边相等的平行四边形是菱形. ③四条边都相等的四边形是菱形. 3.矩形的性质:①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质. 4.矩形的判定:①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②对角线相等的平行四边形是矩形. ③有三个角是直角的四边形是矩形. 5.正方形的性质:①正方形的四个角都是直角,四条边都相等. ②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 6.正方形的判定:①有一个角是直角的柳是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形. ③对角线相等的菱形是正方形.④对角线互相垂直的矩形是正方形. 课前练习: 1.已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ,CD-AD=2cm ,那么AB=______cm ,BC=______cm . 2.菱形的两条对角线分别是6cm ,8cm ,则菱形的边长为_____,一组对边的距离为_____ 3.在菱形ABCD 中,∠ADC=120°,则BD :AC 等于________ 4.已知正方形的边长为a ,则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____. 5.矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ,对角线长是13cm , 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6.如图,有一张面积为1的正方形纸片ABCD ,M ,N 分别是AD ,BC 边的中点, 将C 点折叠至MN 上,落在P 点的位置,折痕为BQ ,连结PQ ,则PQ 二、例题讲解 矩形 例1.如图,已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠,使C 落在C ’处,BC ’边交AD 于E ,AD=4,CD=2 (1)求AE 的长 (2)△BED 的面积 巩固练习: 1.如图,矩形ABCD 中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D 与点B 重合,折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2.如图,已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折,使点A 与C 重合,AB=6,AD=8,求折痕EF 的长 M D Q BAC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D

版北师大版九年级数学上第一章《特殊平行四边形》单元试卷及答案

1 / 3 第一章 特殊平行四边形 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(每题4分,共40分)(下列每小题只有一个正确答案,请将正确答案的序号填 在括号内) 1、下列条件中,能判定一个四边形为菱形的条件是( ) A 、对角线互相平分的四边形 B 、对角线互相垂直且平分的四边形 C 、对角线相等的四边形 D 、对角线相等且互相垂直的四边形 2、下列对矩形的判定:“(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相 等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有四个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩形;(6)对角线相等,且有一个直角的四边形是矩形;(7)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;(8)对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有( ) A 、3 个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 3、过四边形A BCD 的顶点A 、B 、C 、D 作BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH,若EFGH 是菱形,则四边形ABCD 一定是( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、对角线相等的四边形 4、在菱形ABCD 中,,,CD AF BC AE ⊥⊥ 且E 、F 分别是BC 、CD 的中点,那么=∠EAF ( ) A 、075 B 、055 C 、450 D 、060 5、矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形,已知矩形的周长是36,则矩形一条对角线的长是( ) A 、56 B 、55 C 、54 D 、35 6、矩形的内角平分线能够组成一个( ) A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、平行四边形 7、以正方形ABCD 的一组邻边AD 、CD 向外作等边三角形ADE 、CDF ,则下列结论中错误的是( ) A 、BD 平分EBF ∠ B 、030=∠DEF C 、B D EF ⊥ D 、045=∠BFD 8、已知正方形ABCD 的边长是10cm ,APQ ?是等边三角形,点P 在BC 上,点Q 在CD 上,则BP 的边长是( ) A 、55cm B 、33 20cm C 、)31020(-cm D 、)31020(+cm 9、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1,则一组对边的距离为( ) A 、32 B 、332 C 、3 3 D 、532 10、正方形具有而菱形不具有的性质是( ) A 、四个角都是直角 B 、两组对边分别相等 C 、内角和为0360 D 、对角线平分对角

中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案

中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答 案 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一、解答题 1、(1)如图①,?ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF 过点O,分别交AD,BC于点E,F、求证:AE=CF、(2)如图②,将?ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I、求证:EI=FG、考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)、分析:(1)由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,OA=OC,又由平行线的性质,可得∠1=∠2,继而利用ASA,即可证得△AOE≌△COF,则可证得AE=CF、(2)根据平行四边形的性质与折叠性质,易得 A1E=CF,∠A1=∠A=∠C,∠B1=∠B=∠D,继而可证得 △A1IE≌△CGF,即可证得EI=FG、解答:证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC,∴∠1=∠2,在△AOE和△COF中,,∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF;(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D,由(1)得AE=CF,由折叠的性质可得:AE=A1E,∠A1=∠A,∠B1=∠B,∴A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C,∠B1=∠B=∠D,又∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,

∵∠5=∠3,∠4=∠6,∴∠5=∠6,在△A1IE与△CGF中,, ∴△A1IE≌△CGF(AAS),∴EI=FG、点评:此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想的应用、 2、在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F、若点P在BC边上(如图1),此时PD=0,可得结论: PD+PE+PF=A B、请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC 内(如图2),△ABC外(如图3)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明、考点:平行四边形的性质、专题:探究型、分析:在图2中,因为四边形PEAF为平行四边形,所以PE=AF,又三角形FDC为等腰三角形,所以 FD=PF+PD=FC,即PE+PD+PF=AC=AB,在图3中,PE=AF可证, FD=PF﹣PD=CF,即PF﹣PD+PE=AC=A B、解答:解:图2结论:PD+PE+PF=A B、证明:过点P作MN∥BC分别交AB,AC于M,N两点, ∵PE∥AC,PF∥AB,∴四边形AEPF是平行四边形,∵MN∥BC,PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形,∴AE=PF, ∠EPM=∠ANM=∠C,∵AB=AC,∴∠EMP=∠B,∴∠EMP=∠EPM,

九年级数学上册特殊平行四边形练习题42795

九年级数学上册《特殊平行四边形》 一、填空题: 1.判定一个四边形是矩形,可以先判定它是__________,再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________. 2.菱形的面积为24cm 2,边长为5cm ,则该菱形的对角线长分别为 。 3.正方形以对角线的交点为中心,在平面上旋转最少_______度可以与原图形重合. 4.正方形的对角线长为10 cm ,则正方形的边长是_________. 5.矩形的两条对角线的一个交角是60°,一条对角线与较短边 的和是12 cm ,则对角线长是_ __. 6.如图,矩形ABCD 沿AF 折叠,使点D 落在BC 边上,如果 ∠BAE=50°,则∠DAF=_______. 7.顺次连接四边形各边中点,所得的图形是 ;顺次连接平行四边形各边中点,所得的图形是 ;顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________;顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________;顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_________。由此猜想:顺次连结___ ____的四边形四边中点所得四边形是矩形,顺次连结_ _ _______的四边形四边中点所得四边形是菱形。即新四边形的形状与原四边形的____ _____有关。 8.已知菱形ABCD 的两条对角线长分别是6 cm 和8 cm ,则菱形的周长是_________. 9.如图,正方形ABCD ,以AB 为边分别在正方形内、外作等边△ABE 、△ABF ,则∠CFB=_______,若AB=4,则AFBE 四边形S =_________. 10.如图,E 为正方形ABCD 边BC 延长线上一点,且CE=BD ,AE 交DC 于F ,则∠AFC=________. 11.如图,把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案, 则FAC ∠= ,FCA ∠= 。 12.边长为a 的正方形,在一个角剪掉一个边长为的b 正方形, 则所剩余图形的周长为 。 13.已知菱形一个内角为120,且平分这个内角的一条对角线 长为8cm ,则这个菱形的周长为 。 14.如图,矩形纸片ABCD ,长AD =9cm ,宽AB =3 cm ,将其折 叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长为 ,折痕EF 的长为 。 二、选择题: 1.能判定一个四边形是菱形的题设是( ) A.有一组邻边相等 B.对角线互相垂直 C.有三边相等 D.四条边都相等 2.□ABCD 是正方形需增加的条件是( ) A.邻边相等 B.邻角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 3.矩形边长为10cm 和15cm ,其中一个内角的角平分线分长边为两部份,这两部份的长为( ) A.6cm 和9cm B. 5cm 和10cm C. 4cm 和11cm D. 7cm 和8cm 4.从菱形的钝角顶点,向对角的两边条垂线,垂足恰好在该边的中点, 则菱形的内角中钝角的度数是( ) A.150 B. 135 C. 120 D.100 5.如图,在矩形ABCD 中,O 是BC 的中点,∠AOD=90°, 若矩形ABCD 的周长为30 cm ,则AB 的长为( ) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.7.5 cm 6.矩形各内角的平分线若能围成一个四边形,则这个四边形一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 7.若菱形ABCD 的周长为16,∠A ∶∠B=1∶2,则菱形的面积为( ) A.23 B.33 C.43 D.83 8.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中,能够找到一个点, 使该点到各顶点距离相等的图形是( ) A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形 9.如图,过矩形ABCD 的顶点A 作对角线BD 的平行线交CD 的延长线于E ,则△AEC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.等腰直角三角形 10.矩形的对角线长10 cm ,顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为( ) A.40 cm B.10 cm C.5 cm D.20 cm 11.如图,正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边, 则∠FAB 等于( ) A.135° B.45° C.22.5° D.30° 12.如图矩形ABCD 中,AB=2AD,E 是CD 上一点,AE=AB,则∠CBE 等于( ) A F D C B E B D A F 9题图 E B C D A F 10题图 E B C D A G F 11题图 14题图 D C B A F E G 5题图 A C B D A D C B E 9题图 11题图 12题图

最新特殊平行四边形综合练习题

特殊平行四边形综合练习题 考点综述: 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形,它们是四边形的必考内容之一,主要出现的题型多样,注重考查学生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括:矩形、菱形、正方形的性质与判定,以及相关计算,了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系,掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题:(基础简单题) 例1:在下列命题中,正确的是( ) A .一组对边平行的四边形是平行四边形 B .有一个角是直角的四边形是矩形 C .有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2:如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,若OA =2,则BD 的长为( )。 A .4 B .3 C .2 D .1 例3:如图,在菱形ABCD 中,对角线AC BD ,相交于点O E ,为AB 的中点,且OE a =,则菱形ABCD 的周长为( ) A .16a B .12a C .8a D .4a 例4:已知:如图,在正方形ABCD 中,G 是CD 上一点,延长BC 到E ,使CE CG =,连接BG 并延长交DE 于F . (1)求证:BCG DCE △≌△; (2)将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△,判断四边形E BGD '是什么特殊四边 形?并说明理由. 实战演练:(中档题) 1.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( ) A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 笔记:中点四边形(补充知识点) (1)连接四边形各边中点: (2)连接平行四边形各边中点: (3)连接矩形各边中点: (4)连接菱形各边中点: (5)连接正方形各边中点: A 、顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的图形是: . B 、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得到的图形是: . C 、顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边的中点所得到的图形是 : . A B C D E F E ' G

第一章 特殊平行四边形单元测试及答案

第一章特殊平行四边形单元测试 一、选择题 1.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若AB=8,则CD的长是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠OAD=40°,则∠COD=( ) A.20° B.40° C.80° D.100° 3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列说法错误的是( ) A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OC 4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.如果要证明 ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明( ) A.AB=AD且AC⊥BD B.AB=AD且AC=BD C.∠A=∠B且AC=BD D.AC和BD互相垂直平分 6.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( ) A.10 B.8 C.6 D.5 7.在正方形ABCD中,AB=12,对角线AC,BD相交于点O,则△ABO的周长是( ) A.12+12 2 B.2+6 2 C.12+ 2 D.24+6 2 8.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为AB的中点,且OE=a,则菱形ABCD的周长为( ) A.16a B.12a C.8a D.4a 9.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形面积是( ) A.8 B.4 2 C.8 2 D.16 10.下列命题中,错误的是( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直平分 C.矩形的对角线相等且互相垂直平分 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 11.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( ) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 12.如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G点,若∠AEB=55°,则∠DAF=( ) A.40° B.35° C.20° D.15° 13.如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( ) A.75° B.60° C.55° D.45° 14.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图1,测得AC=2,当∠B=60°时,如图2,AC=( ) A. 2 B .2 C. 6 D.2 2 15.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件, 不能使四边形DBCE成为矩形的是( ) A.AB=BE B.DE⊥DC C.∠ADB=90° D.CE⊥DE 二、填空题 16.如图,菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2,那么O点到另一边的距离为________.第1题图 第2题图第3题图 第4题图第7题图 第8题图 第11题图第12题图第13题图 第14题图 第15题图 第16题图第17题图

特殊的平行四边形知识梳理+典型例题

特殊的平行四边形 知识点一:矩形 1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质定理(1)矩形的四个角是直角 (2)矩形的对角线相等且互相平分 (3)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 特殊运用:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、判定定理 (1)有一个角为直角的平行四边形叫矩形 (2)对角线相等平行四边形为矩形 (3)有三个角是直角的四边形是矩形 推论:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 归纳补充: 1、矩形是对称图形,对称中心是,矩形又是对称图形,对称轴有条 2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时,利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题 3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab

知识点二:菱形 1、定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质定理: (1)菱形的四条边都相等 (2)菱形的对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 (3)菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是都是它的对称轴 菱形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心 2、判定定理: (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (3)四条边都相等的四边形是菱形 ※注意:对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 归纳补充: 1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形 2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算,也可以用两对角线积的来计算 3、菱形常见题目是内角为1200或600时,利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三:正方形 1、定义:有一组邻边相等的矩形叫正方形 2、性质定理 (1)正方形的四条边都相等,四个角是直角。 (2)正方形的两条对角线相等且互相垂直平分,每一组对角线平分一组对角 (3)正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形 3、判定定理 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)对角线相互垂直的矩形是正方形 (3)对角线相等的菱形是正方形 (4)有一个角是直角的菱形是正方形 方法总结: (1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种: 先证它是矩形,再证有一组邻边相等。先证它是菱形,再证有一个角是直角。

北师大版 九年级数学 上第一章特殊的平行四边形练习题(含答案)

特殊的平行四边形练习题 一、填空题 1、如图,矩形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点O,若AO=5 cm,则AB的长为( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 2、如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积( ) A.2B.4 C.4D.8 3、如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF=,BD=2,则菱形ABCD的面积为( ) A.2 B.C.6D.8 4、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2,∠ABC=60°,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.D.2 5、如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC= ( ) A.5 B.4 C.3.5 D.3

6、如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为()cm2. A.16﹣8 B.﹣12+8 C.8﹣4 D.4﹣2 7、如图,正方形ABCD的边长为1,则正方形ACEF的面积为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8、如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为() A. 5 B. 4 C. D. 9、如图,P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点,点E是AB的中点,则PA+PE 的最小值是() A. B. C. D. 二、填空题 10、如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=10,则菱形ABCD的面积为_______. 11、如图,边长为a、b的矩形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为. 12、如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,,= .

特殊的平行四边形的证明

特殊的平行四边形的证明 --矩形(复习课)教学设计 知识清单 一.矩形的性质: 四个角相等(都是90。) 对角线相等 推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二.矩形的判定: 1、“平行四边形”+“一个角为直角”=“矩形” 2、“平行四边形” +“对角线相等”=“矩形” 3、“四边形”+“三个角是直角”=“矩形” 练习题: 1、下列性质中,矩形具备而一般平行四边形不具备的是( ) A.内角和为360° B.对边平行且相等 C.对角线相等 D.对角相等 2、如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,则矩形的对角线AC的长是( ) A.2 B.4 C.2 D.4 3、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AD=4,∠AOD=60°,求AB的长. 4、如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上一点,将矩形ABCD沿CE折叠后,点B落 在AD边的F点上,求DF和AE的值。

5、在平行四边形ABCD,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,CF=AE,连接AF,BF. (1)求证:四边形BFDE是矩形; (2)若AD=DF,求证:AF平分∠BAD 6、(变式一)在平行四边形ABCD,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,CF=AE,连接AF,BF. (1)求证:四边形BFDE是矩形; (2)若AF平分∠BAD,求证:DF=BC 7、(变式二)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F. (1)求证:OE =OF; (2)若CE =12,CF =5,求OC的长; (3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由. 8、如图所示,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动,点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(s).当t= 时,四边形APQD也为矩形.

特殊四边形经典例题

特殊四边形经典例题 ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形; ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; ③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形; 于点M,N.给出下列结论: ①△ABM≌△CDN;②AM=AC;③DN=2NF;④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD. 其中正确的结论有() MNQP,分别内接于△BCD和△ABD,设矩形EFCH,MNQP的周长分别为m1,m2,则 m1,m2的大小关系为() 6.如图,已知AD是三角形纸片ABC的高,将纸片沿直线EF折叠,使点A与点D重合,给出下列判断: ①EF是△ABC的中位线; ②△DEF的周长等于△ABC周长的一半; ③若四边形AEDF是菱形,则AB=AC; ④若∠BAC是直角,则四边形AEDF是矩形, 其中正确的是()

7.如图,已知A1,A2,A3,…A n是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1,分别过点A1,A2,A3,…A n作x轴的垂线交反比例函数y=(x>0)的图象于点B1,B2,B3,…B n, 过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…,记△B1P1B2的面积为S1,△B2P2B3的面积为S2…,△B n P n B n+1的面积为S n,则S1+S2+S3+…+S n=_________.8.如图,在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中,作内接正方形A1B1D1C1;在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2;在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形 A3B3D3C3;…;依次做下去,则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________. 9.已知如图,在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG,其中BG=10,BC:CG=2:3,则S△ECG=_________,S△AEG=_________. 10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始,沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动,动点D从点A开始,沿边AB向点B以每秒个单位长 度的速度运动,且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC,动点Q从点C开始,沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,连结PQ.点P,D,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另两个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0). (1)当t为何值时,四边形BQPD的面积为△ABC面积的? (2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由; (3)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q 的速度.

九年级第一章特殊的平行四边形知识点总结教程文件

第一章特殊平行四边形 一、矩形 1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2、矩形的性质: (1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等。(4)矩形是轴对称、中心对称图形。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD 5、矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)有三个角是直角的四边形是矩形. (3)对角线相等的平行四边形是矩形. 注意:①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件:一是有一个角是直角;二是平行四边形.也就是说有一角是直角的四边形,不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形. ②用定理证明一个四边形是矩形,也必须满足两个条件:一是对角线相等;二是平行四边形.也就说明:两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形. 二、菱形 1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 注意:菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等. 2.菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质. (2)菱形的四条边都相等. (3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. (4)菱形是轴对称、中心对称图形. (5) 菱形面积=底×高=对角线乘积的一半. 3.菱形的判定: (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)四边都相等的四边形是菱形. (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 注意:①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,必须加上平行四边形这个条件它才是菱形. O D C B A

三.正方形 1.正方形的概念:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形,所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形, 它们的包含关系如图: 2.正方形的性质 (1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. (2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等. (3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. (4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴. (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形. (6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等. (7)正方形的面积:若正方形的边长为a ,对角线长为b ,则22 2 b a S ==. 3.正方形的判定 (1)判定一个四边形为正方形主要根据定义,途径有两种: ①先证它是矩形,再证它有一组邻边相等. ②先证它是菱形,再证它有一个角为直角. (2)判定正方形的一般顺序:①先证明它是平行四边形,②再证明它是菱形(或矩形);③最后证明它是矩形(或菱形). 四、三角形中位线定理: (1)三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。、 (2)过三角形一边的中点,平行于另一边的直线,必平分第三边。 五、中点四边形 1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形 2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关,若不相等也不垂直是平行四边形;若相等是菱形;若垂直是矩形;若相等且垂直是正方形。

平行四边形分类证明

四边形判定定理以及性质定理 一、平行四边形: 判定:(1)两组对边分别平行的四边形(2)两组对边分别相等的四边形(3)一组对边平行且相等的四边形(4)对角线互相平分的四边形(5)两组对角分别相等的四边形 性质:两组对边分别平行对边相等对角相等两条对角线互相平分是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点 二、矩形: 判定:(1)有一个内角是直角的平行四边形(2)有三个内角是直角的四边形(3)对角线相等的平行四边形 性质:四个角都是直角两条对角线相等 三、菱形: 判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形(2)四条边都相等的四边形(3)对角线互相垂直的平行四边形 性质:四条边都相等对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角 四、正方形: 判定:(1)有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形(2)有一组邻边相等的矩形(3)有一个内角是直角的菱形 性质:四个角都是直角四条边都相等两条对角线相等,并且互相垂直每条对角线平分一组对角 五、其他定理 中位线定理:三角形两边中点连线平行于第三边,且等于第三边的一半 斜边中线:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 六、平行四边形证明题 1、如图,四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F。(1)求证:BE=DF (2)若M、N分别为边AD、BC上的点,且DM=BN,判断四边形MENF的形状 2、如图,□AECF的对角线相交于点O,DB经过点O,分别与AE、CF交于点B、D。求证:四边形ABCD是平行四边形 3、如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F。(1)求证:△ABE≌△CDF (2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO 4、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD。求证:EF=AD

特殊的平行四边形(知识点、例题、练习)

知识点 知识点1、平行四边形 1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、性质: (1)平行四边形两组对边分别平行。 (2)平行四边形的对边相等。 (3)平行四边形的对角相等。 (4)平行四边形的两条对角线互相平分。 (5)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。 3、判定: (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 知识点2、矩形 1、定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质: (1)矩形的四个角都是直角。 (2)矩形的两条对角线相等。 (3)矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。 3、判定: (1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形。 (2)有三个内角是直角的四边形是矩形。 (3)对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点3、菱形 1、定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质: (1)菱形的四条边都相等。 (2)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角。(3)菱形是轴对称图形,也是中心对称图形。 3、判定: (1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 (2)四条边都相等的四边形是菱形。 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 知识点4、正方形 1、定义:有一个角是直角,一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 2、性质: (1)正方形的四个角都是直角,四条边都相等。

(2)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直,每条对角线平分一组对角。 (3)矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。 3、判定: (1)有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。 (2)有一组邻边相等的矩形是正方形。 (3)有一个内角是直角的菱形是正方形。 例题 一、选择题 1、下列说法不正确的是( ) (A )一组邻边相等的矩形是正方形 (B )对角线相等的菱形是正方形 (C )对角线互相垂直的矩形是正方形 (D )有一个角是直角的平行四边形是正方形 2、如图,在菱形ABCD 中,∠ADC=120°,则 BD :AC 等于( ). (A )3:2 (B )1:3 (C )1:2 (D )3:1 3、矩形的边长为10 cm 和15 cm ,其中一内角平分线分长边为两部分,这两部分的长为( ) (A )6 cm 和9 cm (B )5 cm 和10 cm (C )4 cm 和11 cm (D )7 cm 和8 cm 4、如图,四边形ABCD 是菱形,过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ,则下列式子不成立的是( ) (A )DB=AE (B )BD=CE (C ) 90=∠EAC (D ) E ABC ∠=∠2 5、菱形周长为20 cm ,它的一条对角线长6 cm ,则菱形的面积为( ) (A )6 (B )12 (C )18 (D )24 6、矩形长是8cm ,宽是6cm ,和它面积相等的正方形的对角线的长是( )

特殊的平行四边形试题及答案

第一章特殊平行四边形检测题 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列四边形中,对角线一定不相等的是( D ) A.正方形 B.矩形 C.等腰梯 形 D.直角梯形 3.顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形中满足条件的是( D ) ①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形. A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长为( B ) A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm 5.如图,在矩形 中, 分别为边 的中点.若

, ,则图中阴影部分的面积为( B ) A.3 B.4 C.6 D.8 第6题图 第5题图 6.如图,在菱形 中, ,∠ ,则对角线 等于(D )

A.20 B.15 C.10 D.5 7.若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为( B ) A.4 B.2 C. D. 8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( C ) A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 A. B. C. D.

(1)(2) 一、填空题(每小题3分,共24分) 11.已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形的较短对角线的长是___6______. 13.如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使 ,则∠BCE的度数是22.5° . 14.如图,矩形 的两条对角线交于点 ,过点 作 的垂线 ,分别交 , 于点 ,

完整版九年级上册-特殊的平行四边形知识点

九年级上册-特殊的平行四边形知识点总结 一、平行四边形 1、定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、表示:字母按顺序书写。 3、性质:①边:对边平行且相等;②角:对角相等;③对角线:互相平分 4、判定:①以定义证明:两组对边平行的四边形是平行四边形; ②对角线互相平分的四边形是平行四边形; ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 二、矩形 1、定义:有一个角是直角的平行四边形。 2、性质:①边:对边平行且相等(具有平行四边形的一切性质); ②角:四个角相等,都是直角; ③对角线:相等,互相平分。 3、判定:①以定义证明:有一个角是直角的平行四边形; ②有三个角是90°的四边形; ③对角线相等的平行四边形; ④对角线互相平分且相等的四边形。 三、菱形 1、定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质:①边:四条边相等; ②角:对角相等(具有平行四边形的一切性质); ③对角线:互相平分且垂直,并且每一条对角线平分一组对角。 ④菱形的面积等于对角线乘积的一半。 3、判定:①以定义证明:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形; ②四条边都相等的平行四边形是菱形; ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四,正方形的性质-具有矩形的性质,也具有菱形的性质。 1,定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2,性质:①边:对边平行,四边相等; ②角:四个角都是直角; ③对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 3,判定: ①有一个角是直角的菱形是正方形; ②对角线相等的菱形是正方形; ③有一组邻边相等的矩形是正方形. ④对角线垂直的矩形是正方形; 五,直角三角形斜边中线的性质与直角三角形的判定 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; ②判定:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

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