高中数学(平面向量)综合练习含解析
1．在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC =
，则AD = （ ）
A ．2133b c -
B ．5233c b -
C ．2133b c +
D ．1233
b c +
2．已知1,OA OB ==
，0OA OB ?= ，点C 在AOB ∠内，且30AOC ?∠=，
(),OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m
n
等于（ ）
A ．3
B ．
13 C ．3
D 3．若向量,,a b c
满足a b ∥，且a c ⊥ ，则()
2c a b ?+= （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
4．已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-
，且m n ∥，则实数=a （ ）
A ．1-
B ．2或1-
C ．2
D ．2-
5．已知向量(1,2)a = ，向量(,2)b x =- ，且()a a b ⊥-
，则实数x 等于
A ．4-
B ．4
C ．0
D ．9
6．已知|a |＝1，|b |()a a b ⊥-
，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）
A ．
6π B ．4π C ．3
π
D ．23π
7．已知平面向量a ，b 满足()
3a a b ?+= ，且2a = ，1b =
，则向量a 与b 夹角的
正弦值为（ ）
A ．12-
B ．2-
C ．12
D ．2
8．在平行四边形ABCD 中，2=AD ，60BAD ∠=
，E 为CD 的中点．
若1AD BE ?= ，则AB 的长为( )
A ．4 C ．5 D ．6
9．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若
()(2)0OB OC OB OC OA -?+-=
，则ABC ?是（ ）
A ．以A
B 为底面的等腰三角形 B ．以B
C 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形
10．在ABC ?中，14
MB AB =
，且对AB 边上任意一点N ，恒有NB NC MB MC ?≥? ，
则有（ ）
A ．A
B B
C ⊥ B ．AB AC ⊥ C ．AB AC =
D ．AC BC =
11．点P 是ABC ?所在平面内的一点，若()CB PA PB R λλ=+∈
，则点P 在（ ）
A ．ABC ?内部
B ．A
C 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上
D ．BC 边所在的直线上
12．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6c b -=，2c b a +-=，且O 为此三角形的内心，则AO CB ?=
（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
13．在ABC ?中，3,3||,2||,,=?====则∠C 的大小为（ ） A ．30?
B ．60?
C ．120?
D ．150?
14．在ABC ?中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c o s 3c o s c o s b C a B B
=-，
2BA BC ?=
，则ABC ?的面积为（ ）
A ．3
2
C ．．
15．若非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量b 与a b +的夹角为 . 16．在平面直角坐标系中，设,,M N T 是圆C :2
2
(1)4x y -+=上不同三点，若存在正
实数,a b ，使得CT aCM bCN =+ ，则3221
a a
b ab b a
++++的取值范围为 ．
17．已知向量(1a = ，向量,a c 的夹角是3
π，2a c ?=
，则||c 等于 ．
18．已知正方形ABCD ，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边CD AB ,于点
N M 、，则2
2
BN
MN 最小值为_________________． 19．若,a b 均为非零向量，且()()
2,2a b a b a b -⊥-⊥ ，则,a b
的夹角为 ．
20．在等腰梯形ABCD 中，已知AB//DC ，∠ABC=60°，BC=
1
2
AB=2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE =λBC ，DF =λ
21DC ，则AE ·BF
的最小值为 ．
21．已知ABC ?是边长为1的正三角形，动点M 在平面ABC 内，若0AM AB ?<
，||1CM =
，则CM AB ? 的取值范围是 ．
22．向量(1,1)a =
，且a 与a b + 的方向相反，则a b ? 的取值范围是 ．
23．如图，在三棱锥中D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ?=-
，设AD a =，
BC b =，CD c =，则2
1
c ab +的最小值为 ．
24．已知A 点坐标为(1,0)-，B 点坐标为(1,0)，且动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的
垂直平分线l 交线段MA 于点P ． （1）求动点P 的轨迹C 方程．
（2）若P 是曲线C 上的点，，求k PA PB =?的最大值和最小值．
25．△ABC 中，内角为A ，B ，C ，所对的三边分别是a ，b ，c ，已知2
b a
c =，3cos 4
B =
． （1）求
11
tan tan A C +； （2）设BA ·3
2BC = ,求a c +．
26．已知函数()11
f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *
),向量()0,1=i ，
n θ是向量n OA 与i 的值为 ． 27．已知向量3(sin ,),(cos ,1).2
a x
b x ==-
（1）当//a b
时，求22cos sin 2x x -的值； （2）求b b a x f ?+=)()(在,02π??
-????
上的值域．
28．如图，在平面直角坐标系中，方程为022=++++F Ey DX y x 的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线BD AC 和互相垂直，且BD AC 和分别在x 轴和y 轴上．
（1）若四边形ABCD 的面积为40，对角线AC 的长为8，0=?，且ADC ∠为锐角，求圆的方程，并求出D B ,的坐标；
（2）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，AB OH ⊥，且垂足为H ，试用平面解析几何的研究方法判断点H G O 、、是否共线，并说明理由．
29．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ?中三边
围成的区域（含边界）上，且(,)OP AB AC R λμλμ=+∈
．
（1）若2
3
λμ==
，求OP ； （2）用,x y 表示λμ-并求λμ-的最大值．
30．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>,过左焦点1(1,0)F -的直线与椭圆C 交于M 、
N 两点，且2F MN ?的周长为8；过点(4,0)P 且不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交
于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）求OA OB ?
的取值范围；
（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：如图所示，在ABC 中，AD AB BD =+
又
2BD DC
= ，
()
2222133333
BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c ∴==-=-∴=+=+-=+
故选C ．
考点：向量加法 2．A 【解析】
试题分析：如图所示，建立直角坐标系．则()(1,0,,OA OB ==
∴()
,tan 303m
OC mOA nOB m n
∴=+=∴=
==
．故选B 考点：共线向量
【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题．解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果． 3．D 【解析】 试
题
分
析
：
设
b
a λ= ，则由已知可得
()(2)(2)(2b)210c a b c a c b c a c c a λλ?+=?+?=?+?=+??=
考点：向量的运算 4．B 【解析】
试题分析：由已知m n
∥，则()2(1)21201,2a a a a a a ?---?=-++=?=-=
考点：共线向量 5．D
【解析】
试题分析：()1,4a b x -=- 由()()()1,21,41809a a b x x x ⊥-??-=-+=?=
考点；向量垂直的充要条件 6．B 【解析】
试题分析：
由题意得2()01cos ,||||
a b a a b a b a a b a b ??-=??==?<>==? ，所以向量a r 与
向量b r
的夹角为4π，选Ｂ．
考点：向量夹角 7．D 【解析】 试
题分析：
()
212331cos ,,.
23a a b a a b a b a b a b π-?+=?+?=??=-?<>=?<>= 选D ．
考点：向量夹角
8．D 【解析】 试
题分析：
11+)+))
22AD BE AD BA AD DE AD AB AD AB AD AD AB ?=?+=?+=?- （（-（ 11
42cos 41
232AB AB π=-???=-=，因此 6.AB =选D ．
考点：向量数量积 9．B 【解析】
试题分析：设BC 的中点为 D ，∵()()20OB OC OB OC OA -?+-=
，∴()220CB OD OA ?-=
，
∴20CB AD ?= ，∴CB AD ⊥
，故△ABC 的BC 边上的中线也是高线．故△ABC 是以BC 为
底边的等腰三角形，故选 B ． 考点：三角形的形状判断． 10．D 【解析】
试题分析：以A 为原点，AB
为x 轴，建立直角坐标系，设(4,0),(,)B C a b ，(,0)N x ，则(3,0)
M ，
(1,0)(3,)3
MB MC a b a ?=?-=-
，
(4,0)(,)(4)()NB NC x a x b x a x ?=-?-=--
，
2
(4)()(4)4x a x x a x a --=-++2
24(4)()424
a a x a ++=-+-， 由题意2(4)434
a a a +-=-（或4
32a +=），解得2a =，所以AC BC =．故选D ． 考点：向量的数量积，数量积的坐标运算．
【名师点睛】1．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA ＝a ，点A 的位置被a
所唯
一确定，此时a
的坐标与点A 的坐标都是（x ，y ）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的
向量是一一对应的，即向量（x ，y ）向量OA
点A （x ，y ）．要把点
的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也
不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A （1，2），B （3，4），则AB ＝（2，2）．
3．用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思
维量，降低难度．本题建立坐标系后，(4,0)(,)(4)()NB NC x a x b x a x ?=-?-=--
，问
题转化为函数()(4)()f x x a x =--的最小值是3a -或在3x =时取得最小值，由二次函数的性质结论易得． 11．B 【解析】
试题分析：由CB PA PB λ=+ 得CB PB PA λ-= ，即CP PA λ= ，所以CP 与PA
共线，
故选B ．
考点：向量的线性运算，向量的共线． 12．C 【解析】
试题分析：如下图所示，过O 作OD AB ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，
∴()||||||||AO CB AO AB AC AO AB AO AC AD AB AE AC ?=?-=?-?=?-?
，
又∵O 为ABC ?内心，∴||||||||||||AD AB AE AC AD c AD b ?-?=?-?，
(||||||)||22
a b c BD BC CE c b a
AD ++-+++-=
=，
∴()()
()62c b c b a AO CB AO AB AC AO AB AO AC -+-?=?-=?-?=
= ，故选C ．
考点：1．三角形内心性质；2．平面向量数量积． 【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 13．B 【解析】
2
1cos =C ，所以060=C ，故选B ．
考点：平面向量数量积的应用． 14．C 【解析】
试题分析：由c o s 3c o s b C
a B c B =-，根据正弦定理可得
s i n c o s 3s i n c o B C A B C B =-，
()1
sin 3sin cos sin ,cos 3B C A B A B ∴+==∴=；再根据2BA BC ?= ，得
c o s c a B ??=，6ac ∴=，所以ABC ?的面积为1
sin 2
ac B ?=C 为正确答案．
考点：1、正弦定理；2、向量的数量积． 【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用，属于中档题；由cos 3cos cos b C a B c B =-，根据正弦定理求出cos B 的值，进而求出sin B
的值；再根据2BA BC ?=
，利用两个向量的数量积的定义求得ac 的值，最后根据面积公式
1
sin 2
ac B ?求出ABC ?的面积即可． 15．
6
π 【解析】
试题分析：如图所示，设AB ,a AD b ==
，∵两个非零向量满足||||2||a b a b a +=-=，
则四边形ABCD 是矩形，且 1
236
AB cos BAC BAC OAB OAD AC ππ
==∠∴∠=∠=∴∠=，，．
而向量b 与a b + 的夹角即为OAD ∠，故向量b 与a b + 的夹角为6
π
考点：向量的夹角的计算 16．(2,)+∞ 【解析】
试题分析：由题意，2
CT CM CN ===
，设,C M C N 夹角为θ，对C
T a C M b C N =+ 两
边
平
方
，
整
理
得
()()
22
22224424112o 11c s a abCM CN cos a b a b b a ab b θθ=+?+?=+-≤≤∴-≤++≤ ，可得到
11,11a b a b a b -≤-≤+≤-+≥或，以为a 横坐标, b 为纵坐标,表示出满足上面条件的平
面
区
域
．
如
图
阴
影
部
分
所
示
，
则
()322
2222111211a ab ab b b b a b b a b a a a
++++++=+++=++-+，
它表示点(),a b 到点()0,1-的距离的平方及点(),a b 与点()0,1-连线斜率的和，由可行域可知当点(),a b 位于点()1,0时取到最小值2，但由题意,a b 为正实数，故
3221
a a
b ab b a
++++的取值范围为(2,)+∞
【名师点睛】本题主要考查向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识，属难题．解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义，需要一定的数学功底． 考点：
17．2 【解析】
试题分析：cos ,=2cos 223
a c a c a c c c π?=????=∴=
考点：向量的运算 18．53- 【解析】
试题分析：以正方形中心O 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设正方形边长为2个单
位，则(1,1),(,1),(,1),[1,1]B M m N m m --∈-，因此
222244(1)4
MN m y BN m +==
++，由
222
8(41)0
[(1)4]m m y m +-'==++
得22()m m =或舍
，因此函数在2,1)
单调增，在
(2)-
单调减，即2m =时，函数取最小值53-
考点：利用导数求函数最值 【思路点睛】
函数最值存在的两条定论
1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点．
2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．“单峰”利用导数探求．
19．3π
【解析】
试题分析：()()()()
22
2,220,202a b a b a b a b a b a b a b a b -⊥-⊥?-?=-?=?=?= ，
因此1cos ,.2
3||||a b a b π
θθ?===
考点：向量夹角 20
．l3 【解析】
试题分析：由题意得4,2AB CD ==
()()AE BF AB BE BC CF AB BC BE BC AB CF BE CF ?=+?+=?+?+?+? ||||cos120||||||||||||cos60AB BC BE BC AB CF BE CF =?+?-?+?
2111142()24(1)22(1)22222
λλλλ=??-+?-?-?+?-?
?
4
13613λλ
=-++
≥-+
=
l3，
当且仅
=
λ当时取等号，即AE ·BF
的最小值为l3
考点：向量数量积，基本不等式求最值 21．1[1,)2
-- 【解析】
试题分析：如图，以A 为原点，AB 为x
轴建立直角坐标系，则1(1,0),(2B C ，设(,)M x y ，(,)(1,0)0AM AB x y x ?=?=< ，由1CM =
得22
1()(12x y -+=，所以
102x -≤<
，所以11
(,(1,0)22
CM AB x y x ?=-?=- 1[1,)2∈--．
考点：向量的数量积，数量积的坐标运算．
【名师点睛】1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．
2．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA ＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a
的坐标与点A 的坐标都是（x ，y ）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应
的，即向量（x ，y ）
向量OA
点A （x ，y ）．要把点的坐标与向量的
坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A （1，2），B （3，4），则AB
＝（2，2）．
3．用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思
维量，降低难度． 22．(,2)-∞- 【解析】
试题分析：因为a 与a b + 的方向相反，所以a 与b 共线，且方向相反．设(,)b ka k k ==
（0k <），又(1,1)a b k k +=++
与a 方向相反，所以10k +<，1k <-，所以
22a b k k k ?=++<-
．
考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算． 23．2． 【解析】
试题分析：设AD a = ，CB b = ，DC c = ，∵2AB =，∴2
222
||4a b c a b c ++=?+++
2()4
a b b c c a ?+?+?= ，
又
∵
3
A C
B D ?
=-
，∴
2
()()
33a c b
c a b b c c a +
?
--=-??+?+
， ∴2
2
2
2
2
2
2
2(3)=42a b c c c a b +++-?=++，∴
22222
211a b ab ab ab +++≥=++，当且仅当a b =时，等号成立，即2
1
c ab +的最小值是2．
考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．
【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．
24．（1）22
143
x y +=；（2）max 4k =，min 3k =． 【解析】
试题分析：（1）根据题意知||||||||42PA PB PA PM +=+=>，所以P 的轨迹是以,A B 为
焦点的椭圆，且24,22a c ==，所以轨迹的方程为22
143x y +=；
（2）设点00(,)P x y 则22
00143
x y +=，根据两点之间的距离公式得：k =得：2
0144
k x =-
，又有椭圆的范围知022x -≤≤，求函数的最值． 试题解析：（1）∵||||||||4PA PB PA PM +=+=；又||2AB =， ∴P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆， ∵24,22a c ==，∴2223b a c =-=，
所求轨迹方程为22143x y +=．
（2）解：设点00(,)P x y 则22
00143
x y +=
k =0(22)x -≤≤
=
0011(2)(2)22x x =-+201
44
x =- 0max 0 4x k ∴==当时，0min 2 3x k ∴=±=当时，
考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值． 【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题．求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误．
25．（1（2）3． 【解析】
试题分析：（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：2 sin B sinAsinC =，又
3cos 4B =
，所以sin A C sinB +==（） sin A C sinAsinC +（）=，展开两边同除以sinAsinC 即可；（2）因为BA ·32
BC = ，3cos 4B =，所以33
42ac cosB ac ?==，
则22b ac ==，由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=
2222()223
444a c a c ac +-+--===，所以
29a c +=（） ，3a c +=． 试题解析：（1）2
2 b ac sin B sinAsinC =∴=
3 ?4cosB B sin A C sinB =∴+==
且为三角形内角（）
∴
11cos cos tan tan sin sin A C A C A C +=+=（2）∵BA ·32BC = ，cosB =34 ∴ac cosB ?=34ac =3
2
，
则2
2b ac == ∴2222222()223
cos 2444
a c
b a
c a c ac B ac +-+-+--=
=== ∴
29a c +=（） ，3a c += 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式．
26
【解析】
试题分析：由题意可得90n
θ?-是直线n
OA 的倾斜角，
()()90111
9090()()11
n n n n n f n cos sin tan sin cos n n n n n θθθθθ?-∴
==?-===-
?-++（），
∴
考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算
27．（1）2
2cos sin 2x x -2013=；（2）???
??
?-
21,22)(的值域为x f 【解析】
试题分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx 的值，然后化简2
22cos
x sin x -即可
（2）先表示出b b a x f
?+=)()
( 224sin x π?+?=?
?
，再根据x 的范围求出函数f x （）的最大值及最小值． 试题解析：（1）||a b
，∴
3cos sin 02x x +=，∴3tan 2
x =-
22
2222cos 2sin cos 22tan 20
2cos sin 2sin cos 1tan 13
x x x x x x x x x ---===++．
（2）1
(sin cos ,)2
a b x x +=+
()())24
f x a b b x π=+?=+
∵02
x π
-
≤≤，∴32444x πππ-
≤+≤
，∴1sin(2)42
x π-≤+≤
∴1()22f x -≤≤ ∴函数 ???
??
?-
21,22)(的值域为x f ． 考点：正弦函数的性质
28．（1）()2532
2
=-+y x ，())2,0(,8,0-D B （2）共线
【解析】
试题分析：（1）利用四边形ABCD 面积得直径10=BD ，因而半径为5，利用弦AC=8可求
得圆心M 到直线AC 距离为3，即圆心()3,0M ，方程为
()25322
=-+y x ，可得圆在y 轴上的交点())2,0(,8,0-D B （2）判断三点H G O 、、是否共线，一般利用斜率进行判定，即判断OG OH k k =是否成立，而OH AB ⊥，因此只需判断1O G A B
k k
=-是否成立，设
()()()()0,0,,00,d D c C b B a A ，，，．则转化为判断bd ac =是否成立：对于圆M 的一般方
程022=++++F Ey DX y x ，a ，c 为02=++F DX x 两根，b ，d 为
02=++F Ey y 两根，从而由韦达定理得ac F bd ==，因此三点共线．
试题解析：解：（1）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 面积2
BD AC S ?=
，因
为8,40==AC S 可得10=BD ．
又因为0AB AD ?=
，所以A ∠为直角，而因为四边形是圆M 的内接四边形，故
5,102===r r BD ，连接MA ，求得3=MO ，所以()3,0M ，故圆M 的方程为
()2532
2=-+y x ，
令28,0-==或y x ，求得())2,0(,8,0-D B
证：设四边形四个顶点的坐标分别为()
()()()0,0,,00,d D c C b B a A ，，，． 则可得点G 的坐标为?
?? ??2,2d c ，即
???
??=2,2d c 又(),AB a b =-
，且OH AB ⊥，故使H O G 、、共线，只需证0AB OG ?= 即可
而2
bd ac AB OG -?= ，且对于圆M 的一般方程
02
2=++++F Ey DX y x ， 当0=y 时，可得02
=++F DX x ，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，
于是有
F ac x x C A ==．
同理，当0=x 时，可得
02=++F Ey y ，其中方程的两根分别为点B 和点D 的纵坐标， 于是有F bd y y D B ==，所以，02
bd ac AB OG -?=
= ，即OG AB ⊥， 故H O G 、、必定三点共线 考点：圆的方程，直线与圆位置关系
29．（1
）OP =；（2）λμ-的最大值为1． 【解析】
试题分析：（1）直接求出向量的坐标，即可计算模的大小；（2）由向量相等的定义可得,λμ，
试题解析：（1）由已知(1,2),(2,1)AB AC == ，所以22(2,2)33
OP AB AC =+=
，
OP =，
（2）由已知得(1,2)
(2,1)(2
OP λμλμλμ=+=++
，∴22x y λμ
λμ
=+??=+?，1(2)3
1(2)3y x x y λμ?=-???
?=-??
， ∴y x λμ-=-．由简单线性规划的思想可得λμ-的最大值为1． 考点：向量的坐标运算，向量的相等，简单线性规划．
30．（1）22143
y x +=；
（2）13
[4)4-，；（3）证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）由题意得可得1c =，由椭圆的定义可求得2a =，再由,,a b c 的关系，可得
到椭圆的标准方程；（2）设直线PB 的方程为(4)y k x =-，代入椭圆的方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围；（3）求得E 的坐标，以及直线AE 的方程，令0y =，运用韦达定理，即可得到所求定点．
试题解析：（1）椭圆的方程为22143
y x +=
（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =- 由2
2(4)14
3y k x y x =-???+=??得： 2222(43)3264120k x k x k +-+-=
由2222(32)4(43)(6412)0k k k ?=--+->得：21
4
k <
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则22121222
326412
4343
k k x x x x k k -+==++， ① ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++
∴22222
121222264123287(1)41625434343
k k OA OB x x y y k k k k k k -?=+=+?-?+=-+++
∵2104k <≤，∴2878787
3443
k --<-
+≤，∴13[4)4OA OB ?∈- ， ∴OA OB ? 的取值范围是13[4)4
-，．
（3）证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E （x 2，－y 2）
直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令y = 0得：11
2112
()
y x x x x y y -=-+ 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12121224()
8
x x x x x x x -+=+-
由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）．
考点：椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，本题的解答中，把直线方程(4)y k x =-代入椭圆的方程，
得二次方程2
2
2
2
(43)3264120k x k x k +-+-=，把向量OA OB ?
的运算转化为二次方程韦达定
理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点．
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ） A 、A B u u u r 与A C u u u r 共线 B 、DE u u u r 与CB u u u r 共线C 、1sin A D θ-u u u r 与A E u u u r 相等 D 、AD u u u r 与BD u u u r 相等 2、下列命题正确的是（ ） A 、向量A B u u u r 与BA u u u r 是两平行向量 B 、若a r 、b r 都是单位向量,则a r =b r C 、若AB u u u r =DC u u u r ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ） (1)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的必要不充分条件；(2)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的既不充分也不必要条件；(3)a r 与b r 方向相同且|a r |=|b r |是a r =b r 的充要条件；(4)a r 与b r 方向相反或|a r |≠|b r |是a r ≠b r 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4) 4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。 5、已知|AB u u u r |=1，|AC u u u r |=2，若∠BAC =60°，则|BC uuu r |= 。 6、在四边形ABCD 中, AB u u u r =DC u u u r ，且|AB u u u r |=|AD u u u r |，则四边形ABCD 是 。 7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL u u u r =NM u u u u r 。 8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。 (1)作出向量AB u u u r 、BC uuu r 、CD uuu r (1 cm 表示200 m )。 (2)求DA u u u r 的模。 T ={PQ uuu r 、 9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合 Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。 向量的加法 1、下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A 、（A B +CD ）+B C B 、（A D +MB ）+（BC +CM ） C 、MB +-A D BM D 、OC OA -+CD 2、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） 第9题图
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八 专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析： 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等 D ．AD 与BD 相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22 ) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1) D ．λ(AB －BC )，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋ED B ．EF －DE C ．EF ＋AD D ．EF ＋AF 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2 (4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分） 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区 别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同) ,(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算 （1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A a b b b a A A B C C ) 2() 3( 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。 ②向量减法： 同一个图中画出a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB = 练习1.下列命题中正确的是 A ．OA O B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r C ．00AB r u u u r r D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r 2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r 得 A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则 平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D 平面向量板块测试 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(12×5′＝60′) 1.下列五个命题：①|a 2|=2a ;②a b a b a =?2;③222)(b a b a ?=?;④2222)(b b a a b a +?-=-; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0. 其中正确命题的序号是 ( ) A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤ 2.若AB =3e ,=-5e 且|AD |=|，则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形 3.将函数y =sin x 按向量a ＝(1,-1)平移后，所得函数的解析式是 ( ) A.y ′=sin(x ′-1)-1 B.y ′=sin(x ′+1)-1 C.y ′=sin(x ′+1)+1 D.y ′=sin(x ′-1)+1 4.若有点1M (4，3)和2M (2，-1)，点M 分有向线段21M M 的比λ＝-2，则点M 的坐标为 ( ) A.(0，-35) B.(6，7) C.(-2，-3 7 ) D.(0，-5) 5.若|a +b |=|a -b |，则向量a 与b 的关系是 ( ) A.a =0或b =0 B.|a |=|b | C.ab =0 D.以上都不对 6.若|a |=1，|b |=2，|a +b |=7，则a 与b 的夹角θ的余弦值为 ( ) A.-21 B.21 C.3 1 D.以上都不对 7.已知a =31e -42e ,b =(1-n )1e +3n 2e ,若a ∥b 则n 的值为 ( ) A.- 54 B.5 4 C.4 D.2 8.平面上三个非零向量a 、b 、c 两两夹角相等，|a |=1，|b |=3,|c |=7,则|a +b +c |等于 ( ) A.11 B.27 C.4 D.11或27 9.等边△ABC 中,边长为2,则·BC 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 10.已知△ABC 中，)(2222444b a c c b a +=++，则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.45°或135° D.120° 11.将函数y =f (x )cos x 的图象按向量a =( 4 π ,1)平移，得到函数x y 2sin 2=的图象，那么函数f (x )可以是 （ ） A.cos x B.2cos x C.sin x D.2sin x 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23 b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ， i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时高考数学平面向量及其应用习题及答案 百度文库
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