2009年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题 为必考题。本试卷共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内 作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1．已知x R ∈，i 不虚数单位，若()()12i x i 43i -+=-，则x 的值等于 A ．6- B ．2- C ．2 D ．6
2．设向量()a 4sin ,3=α ，()b 2,3cos =α ，且a ∥b
，则锐角α为
A ．
6
π
B
C ．
3
π
D ．
512
π 3．“k 1=”是“线x y k 0-+=与圆22x y 1+=相交”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数()y ln 1x =-的图像大致为
5． 设α、β为不重合的平面，m 、n 为不重合的直线，则下列命题正确的是 A ．若α⊥β，n αβ= ，m n ⊥，则m ⊥α B ．若m ?α，n ?β，m ∥n ，则α∥β
C ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β
D ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α
6
．关于函数y sin 2x =图像的对称性，下列说法正确的是 A ．关于直线x 3π
=对称
B ．关于直线x 6π
=对称
C ．关于点,03π??
?
对称
D 7．右图是计算函数2
x ,x 1
y 0,1x 2x ,x 2
?-≤-?
=-<≤??>?的值的程序框图，
在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x = B ．y x =-，2y x =，y 0= C ．y 0=，2y x =，y x =-
D ．y 0=，y x =-， 2y x =
8．已知直线2a x y 20+==与直线()
2bx a 1y 10-+-=互相垂直，则ab 的最小值为
A ．5
B ．4
C ．2
D ．1
9．已知函数()f x 满足()()f x f x π+=π-，且当()x 0,∈π时，()f x x cos x =+，则()f 2，()f 3，()f 4的大小关系是
A ．()()()f 2f 3f 4<<
B ．()()()f 2f 4f 3<<
C ．()()()f 4f 3f 2<<
D ．()()()f 3f 4f 2<<
10．()n
1x +的展开式中，k x 的系数可以表示从n 个不同物体中选出k 个的方法总数。下列各式的展开式中8x 的系数恰能表示从重量分别为1、2、3、…、10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是
A ．()()()()
2310
1x 1x 1x 1x ++++
B ．()()()()1x 12x 13x 110x ++++
C ．()()()()
23101x 12x 13x 110x ++++
D ．()()()()
22323101x 1x x 1x x x 1x x x x +++++++++++
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。 11．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将
其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点。已知恰有 200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是 _____________。 12．已知x ，y 满足约束条件y x x y 1y 1≤??
+≤??≥-?，则x 2x y =-的最大值是_____。
13．如图，直线y 1=与曲线2
y x 2=-+所围图形的 面积是_________。
14．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且a 4bsin A =，则cos B =______。
15．已知椭圆1C 的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线2C 的顶点在原点、焦点在x 轴上。小明从曲线1C 、2C 上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标()x ,y 。由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆1C 上，也不在抛物线2C 上。小明的记录如下：
据此，可推断椭圆1C 的方程为_______________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分13分） 在等比数列{}n a 中，1a 2=，4a 16=。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令*n 2n 2n 1
1
b ,n N log a log a +=∈?，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
17．（本小题满分13分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲82 81 79 78 95 88 93 84
乙92 95 80 75 83 80 90 85 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ。
18．（本小题满分13分）
四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。
（Ⅰ）写出四棱锥P－ABCD中四对
．．线面垂直关系（不要求证明）；
（Ⅱ）在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；
（Ⅲ）在四棱锥P－ABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为θ()
090
?<θ≤?，求cosθ的值
19．（本题满分13分）
已知椭圆C
的离心率e=
别为()
1
A2,0
-，()
2
A2,0。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线x my1
=+与椭圆C交于P、Q两
点，直线
1
A P与
2
A Q交于点S。试问：当
m变化时，点S是否恒在一条定直线上？
若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
B
20．（本小题满分14分）
已知函数()f x ax ln x ,a R =+∈
（Ⅰ）求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点()111P x ,y ，()222P x ,y ，如果存在曲线上的点()00Q x ,y ，且102x x x <<，使得曲线在点Q 处的切线 ∥12P P ，则称 为弦12P P 的伴随切线。特别地，当()()012
x x 1x 01=λ+-λ<λ<时，又称 为12P P 的λ
－伴随切线。
（ⅰ）求证：曲线y f (x)=的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的； （ⅱ）是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有
1
2
-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。 如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应
的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知a R ∈，矩阵 1 2A a 1??
= ???
对应的线性变换把点()P 1,1变成点()P 3,3'，
求矩阵A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线 经过点()M 1,3，且倾斜角为
3π
，圆C 的参数方程为x 15cos y 5sin =+θ??=θ?
（θ
是参数）。直线 与圆C 交于1P 、2P 两点，求1P 、2P 两点间的距离。 （3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
解不等式：2x 1x 2x 1++-<+。
2009年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，共20分。
11、9 12、5 13、4
3 1
4 15、22x y 1126
+=
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分13分）
在等比数列{}n a 中，1a 2=，4a 16=。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令*n 2n 2n 1
1
b ,n N log a log a +=
∈?，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
16、本小主要考查等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力。满分13分 解：（Ⅰ） 设等比数列{}n a 的公比为q 。
依题意，得13
41
a 2
a a q 16=???==?? ………………………………………………
2分
解得q 2=，
………………………………………………………………
4分
∴数列{}n a 的通项公式：n 1n n a 222-=?=。 …………………………
7分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得2n log a n =，2n 1log a n 1+=+。
()n 111
b n n 1n n 1
=
=-++。 ………………………
10分 ∴n 12n S b b b =+++ 1111
11223n n 1??????=-+-++- ? ? ?+??????
1n
1n 1n 1
=-
=
++。 …………………………
13
分 17、（本小题满分13分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78
95 88 93 84
乙 92 95 80 75
83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参
加合适？请说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成
绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。 17、本小主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分13分。 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：
(4)
分
（Ⅱ）派甲参赛比较合适。理由如下：
()1
x 70280490289124835858
=?+?+?++++++++=甲， ()1
70180490350035025858
=
?+?+?++++++++=乙，
()()()()()22222
21s 788579858185828584858?=-+-+-+-+-+
?
甲
()
()()2
22
88859385958535.5?-+-+-=?
，
()()()()()22222
21s 758580858085838585858?=-+-+-+-+-+?
乙
()
()()2
22
90859285958541?-+-+-=?
∵x =甲x 乙，22s s <乙甲，
甲乙988421535
0035
025
789
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。 ……………………………… 8分
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分。如
派乙参赛比较合适。理由如下：
从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率13
P 8
=，
乙获得85分以上（含85分）的概率241P 82
==。 ∵21P P >，∴派乙参赛比较合适。
（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， ()63
P A 84
=
=。 …………………………… 9分
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且33,4??
ξ∈ ???。
∴()k
3k
k 3
31P k C 44-????
ξ== ? ?
????
，k 0,1,2,3=。
所以变量ξ的分布列为：
11
分 1927279E 0123646464644
ξ=?
+?+?+?=。 （或39
E nP 344
ξ==?=）
…………………………………… 13分
18、（本小题满分13分）
四棱锥P －ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。
（Ⅰ）写出四棱锥P －ABCD 中四对．．线面垂直关系（不要求证明）； （Ⅱ）在四棱锥P －ABCD
中，若E 为PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ；
（Ⅲ）在四棱锥P －ABCD 中，设面PAB 与面PCD
所成的角为θ()090?<θ≤?，求cos θ
B
的值
18、本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间
想象能力，推理论证能力和运算求解能力。满分13分。 解法一：
（Ⅰ）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，
AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，AB ⊥平面PAD
…………………………………… 4分
注：多写的按前四对给分，每正确一对，给一分。 CD ⊥平面PAC 也符合要求。
（Ⅱ）依题意AB 、AD 、AP 两两垂直，分别以直线AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴，
建立空间直角坐标第，如图。 …………………………………………… 5分
则()P 0,0,2，()B 2,0,0，()C 2,2,0，()D 0,4,0。
∵E 是PA 中点，∴点E 的坐标为()0,0,1，
()BE 2,0,1=- ，()PC 2,2,2=- ，()PD 0,4,2=-
。
设()1n x ,y ,z =
是平面PCD 的法向量。
由11n PC n PD
?⊥??⊥?? ，即2x 2y 2z 04y 2z 0+-=??
-=? 取y 1=，得()1n 1,1,2=
为平面PCD 的一个法向量。
(6)
分
∵1BE n 2101120?=-?+?+?= ，∴1BE n ⊥
，
(7)
分
∴BE
∥平面PCD 。又BE ?平面PCD ，∴BE∥平面PCD 。 …………
8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），平面PCD 的一个法向量为()1n 1,1,2=
，
(10)
分
又∵AD ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的一个法向量为()2n 0,1,0=
……
11
分
∴1212
n n cos n n ?θ==
=?
。 ……………………………………
13
分 解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取PD 的中点F ，连接EF 、CF 。
A
E
P B
C
D
F
∵E 、F 分别是PA 、PD 的中点， ∴EF ∥AD ，EF 1
2
=
AD ，∴EF ∥BC ，且EF =BC ， ∴四边形BEFC 是平行四边形，∴BE ∥CF 。 ………………………… 6分
又∵CF ?平面PCD ，BE ?平面PCD ，
∴BE ∥平面PCD 。 ……………………………………………………… 8分
（Ⅲ）依题意AB 、AD 、AP 两两垂直，分别以直线AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴，
建立空间直角坐标第，如图。 …………………………………………… 9分
则()P 0,0,2，()C 2,2,0，()D 0,4,0。 ∵E 是PA 中点，∴点E 的坐标为()0,0,1，
()PC 2,2,2=- ，()PD 0,4,2=-
。 设()1n x ,y ,z =
是平面PCD 的法向量。
由11n PC n PD
?⊥??⊥?? ，即2x 2y 2z 04y 2z 0+-=??
-=? 取y 1=，得()1n 1,1,2=
为平面PCD 的一个法向量。
………………
10分
又∵AD ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的一个法向量为()2n 0,1,0=
…… 11分
∴1212
n n cos n n ?θ==
=? 。 ………………………………………… 13分 解法三：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取AD 的中点N ，连接EN ，BN ， ∵E 、N 分别是PA 、AD 的中点， ∴EN ∥平PD ，又EN ?平面PCD ， ∴EN ∥平面PCD …………………………………………………………… 5分
在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD 且BC 1
2
=
AD =DN ， ∴四边形BCDN 是平行四边形，BN ∥CD 。
又∵BN ?平面PCD ，∴BN ∥平面PCD 。 …………………………… 6分 ∵BN EN N = ，∴平面BEN ∥平面PCD 。……………………………… 7分
A
E P
B C
D
N
又BE ?平面BEN ，∴BE ∥平面PCD 。 ……………………………… 8分
（Ⅲ）同解法二。 19、（本题满分13分）
已知椭圆C
的离心率e =
，长轴的左右端点分 别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两
点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当
m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？
若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
19、本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形
结合思想和化归与转化思想等。满分13分。 解法一：
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22
22x y 1a b 0a b
+=>>。
…………………………
1分
∵a 2=
，c e a ==
c =222b a c 1=-=。 ………………
4分
∴椭圆C 的方程为2
22x y 14
+=。 ……………………………………… 5分
（Ⅱ）取m 0,=
得P ,Q 1,?? ????
， 直线1A P
的方程是y =+直线2A Q
的方程是y =-
交点为(1S .
………………………………………………………7分
若P 1,,Q ?? ????
，由对称性可知交点为(2
S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4= 。
…………………
8分
以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4= 上。 事实上，由22
x y 1
4x my 1?+=???=+?
得()2
2my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=，
1122121222
m 4m 4
++分
设1A P 与 交于点00S (4,y ),由
011y y ,42x 2=++得1016y y .x 2
=+ 设2A Q 与 交于点00S (4,y ),''由02
2y y ,42x 2
'=--得2022y y .x 2'=
- (10)
分 12
00126y 2y y y x 2x 2
'-=
-+- ()()()()
1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=
+-()
()()
1212124my y 6y y x 2x 2-+=
+-
()()
2
2
1212m 12m
m 4m 40x 2x 2---++==+-，
…………………………… 12分
∴00y y '=，即0S 与0S '重合，
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4= 上。 ………………
13分
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取m 0,=
得P ,Q 1,?? ????
， 直线1A P
的方程是y =
+直线2A Q
的方程是y =
交点为(1S . ……………………………………………………………7分 取m 1,=得()83P ,,Q 0,155??
- ???
，
直线1A P 的方程是11y x ,63=
+直线2A Q 的方程是1
y x 1,2
=-交点为()2S 4,1. ∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4= 。 ……………8分
以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4= 上。 事实上，由22
x y 1
4x my 1?+=???=+?
得()2
2my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=，
1122121222
m 4m 4
++1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y
y x 2,x 2
=--
消去y,得
()()1212y y
x 2x 2x 2x 2
+=-+-……………………………………① 以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。
要证明①式恒成立，只需证明
12
126y 2y ,x 2x 2
=+- 即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+……………… ② ∵()1212226m 6m
2my y 3y y 0,m 4m 4
---+=
-=++∴②式恒成立。 这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4= 上。
解法三：
（Ⅰ）同解法一。 （Ⅱ）由22
x y 1
4x my 1?+=???=+?
得()2
2my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=。 记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212
222m 3
y y ,y y m 4m 4
--+=
=++。……………6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y
y x 2,x 2
=-- ……7分
由()()11
22y y x 2,x 2y y x 2,x 2?
=+?+???=-?-?得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+- …………………9分
即()()
()()21122112y x 2y x 2x 2y x 2y x 2++-=+--
()()
()()
2
1122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+-- 122121
2my y 3y y 23y y +-=+
11
2211232m 2m 3y y m 4m 42 4.2m 3y y m 4--??+-- ?++??==-??-+ ?+??
....................................12分 这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4= 上。 (13)
分
20、（本小题满分14分）
已知函数f (x)ax ln x,a R =+∈ （Ⅰ）求函数f (x)的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点111222P (x ,y ),P (x ,y )，如果存在曲线上的点00Q(x ,y )，
且102x x x <<，使得曲线在点Q 处的切线12l //P P ，则称l 为弦12P P 的伴随切线。 特别地，当012x x (1)x (01)=λ+-λ<λ<时，又称l 为12P P 的λ-伴随切线。 （ⅰ）求证：曲线y f (x)=的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的； （ⅱ）是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有
1
2
-伴随切线？若存在，给出 一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。
20、本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形
结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分14分。 解法一：
（Ⅰ）1
f '(x)a ,x 0x
=+> (2)
分
当a 0≥，f '(x)0>，函数f (x)在(0,)+∞内是增函数，
∴函数f (x)没有极值。 ……………………………………………………
3分
当a 0<时，令f '(x)0=，得1
x a
=-。
当x 变化时，f '(x)与f (x)变化情况如下表：
∴当1x a =-时，f (x)取得极大值11
f ()1ln()a a
-=-+-。
综上，当a 0≥时，f (x)没有极值；
当a 0<时，f (x)的极大值为1
1ln()a
-+-，没有极小值。
……………5分
（Ⅱ）（ⅰ）设111222P (x ,f (x )),P (x ,f (x ))是曲线y f (x)=上的任意两点，要证明
12P ,P 有伴随切线，只需证明存在点00102Q(x ,f (x )),x x x <<，使得 21021
f (x )f (x )
f '(x )x x -=
-，且点Q 不在12P P 上。
……………………7分
∵1f '(x)a x =+
，即证存在012x (x ,x )∈，使得2211
021
ax ln x ax ln x 1a x x x +--+=-，
即22110
x 1
ln
(x x )0x x --=成立，且点Q 不在12P P 上。 …………………8分 以下证明方程2211x 1
ln (x x )0x x
--=在12(x ,x )内有解。 记2211x 1
F(x)ln
(x x )x x
=--，则22111x x F(x )ln 1x x =-+。
令g(t)ln t t 1,t 1=-+>，
∴11t
g'(t)10t t
-=-=<，
∴g(t)在(1,)+∞内是减函数，∴g(t)g(1)0<=。
取21x t 1x =>，则222111
x x x
g()ln 1g(1)0x x x =-+<=，即1F(x )0<。……9分
同理可证2F(x )0>。∴12F(x )F(x )0<。 ∴函数2211x 1
F(x)ln (x x )x x
=--在12(x ,x )内有零点。 即方程2211x 1
ln
(x x )0x x
--=在12(x ,x )内有解0x x =。………………10分 又对于函数g(t)ln t t 1,=-+取21x t 1x =>，则222000
x x x
g()ln 1g(1)0,x x x =-+<= 可知20020
f (x )f (x )
f '(x )x x -≠
-，即点Q 不在12P P 上。
F(x)是增函数，∴F(x)的零点是唯一的，
即方程2211x 1
ln
(x x )0x x
--=在12(x ,x )内有唯一解。 综上，曲线y f (x)=上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。 …………………………………………………………………………… 11分
（ⅱ）取曲线C ：2y h(x)x ==，则曲线y h(x)=的任意一条弦均有
1
2
-伴随切线。 证明如下：
设3344R(x ,y ),S(x ,y )是曲线C 上任意两点34(x x )≠， 则22
4343RS
344343
y y x x k x x x x x x --===+--， 又34
34RS x x h '(x)2x,h '(
)x x k 2
+=∴=+=， 即曲线C ：2y x =的任意一条弦均有
1
2
-伴随切线。 …………………14分 注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲 线，没有给出正确的证明，不给分。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（ⅰ）设111222P (x ,f (x )),P (x ,f (x ))是曲线y f (x)=上的任意两点，要证明
12P ,P 有伴随切线，只需证明存在点00102Q(x ,f (x )),x x x <<，使得 21021
f (x )f (x )
f '(x )x x -=
-，且点Q 不在12P P 上。 …………………………… 7分
∵1
f '(x)a x =+
，即证存在012x (x ,x )∈，使得2211021
ax ln x ax ln x 1a x x x +--+=-， 即020112x ln x x ln x x x 0-+-=成立，且点Q 不在12P P 上。 …………… 8分 以下证明方程2112x ln x x ln x x x 0-+-=在12(x ,x )内有解。 设21122F(x)x ln x x ln x x x ,0x x =-+-<<。 则1121112F(x )x ln x x ln x x x =-+-。 记222g(x)x ln x x ln x x x ,0x x =-+-<<， ∴2g'(x)ln x ln x 0=->， ∴g(x)在2(0,x )内是增函数，
∴112F(x )g(x )g(x )0=<=。 …………………………………………… 9分 同理2F(x )0>。12F(x )F(x )0∴<。
∴方程2112x ln x x ln x x x 0-+-=在12(x ,x )内有解0x x =。 …………10分
又对于函数22g(x)x ln x x ln x x x =-+-，
∵1020x x x <<<，00200022g(x )x ln x x ln x x x g(x )0∴=-+-<=， 可知20020
f (x )f (x )
f '(x )x x -≠
-，即点Q 不在12P P 上。
又2112F(x)(ln x ln x )x x x =-+-在12(x ,x )内是增函数， ∴方程2112x ln x x ln x x x 0-+-=在12(x ,x )内有唯一解。
综上，曲线y f (x)=上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。
…………………………………………………………………………… 11分
（ⅱ）同解法一。 21、（1）（本小题满分7分）
已知a R,∈矩阵 1 2A a 1??
= ???
对应的线性变换把点P(1,1)变成P'(3,3)，求矩阵A 的特征值
以及属于每个特征值的一个特征向量。
21（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求
解能力。满分7分。 解：由 1 213a 113??????
??? ???????
＝，得a 13,a 2+==
…………………………………………2分
矩阵A 的特征多项式为()()()12
f 1321
λ--λ=
=λ+λ--λ-。
…………… 4分
令()f 0λ=，得矩阵A 的特征值11λ=-，23λ=。
………………………5分
对于特征值11λ=-，解相应的线性方程组2x 2y 02x 2y 0--=??--=?，得一个非零解x 1
y 1=??=-?。
因此，111??
ξ= ?-??
是矩阵A 的属于特征值11λ=-的一个特征向量。………
6分
对于特征值13λ=，解相应的线性方程组2x 2y 02x 2y 0-=??-+=?，得一个非零解x 1
y 1=??=?。
因此，211??
ξ= ??? 是矩阵A 的属于特征值13λ=的一个特征向量 …………7分
注：写出的特征向量只要满足()1t t 0t ??ξ=≠ ?-?? ，()2t t 0t ??
ξ=≠ ???
即可。
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线 经过点()M 1,3，且倾斜角为
3π
，圆C 的参数方程为x 15cos y 5sin =+θ??=θ?
（θ
是参数）。直线 与圆C 交于1P 、2P 两点，求1P 、2P 两点间的距离。
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。
解法一：将圆的参数方程化为普通方程，得()2
2x 1y 25-+=。………………
2分
直线 的方程为)y 3x 1-=-y 30-+=。 ………………3分
圆心到直线的距离3
d 2
=
=
， ……………………… 5分
所以
12
P P==。……………………………7分
解法二：直线的参数方程为
x1t cos
3
y3t sin
3
π
?
=+
??
?
π
?=+
??
，即
1
x1t
2
y3t
?
=+
??
?
?=+
??
（t为参数）， (1)
分
将圆的参数方程化为普通方程，得()22
x1y25
-+=。 (3)
分
将直线的参数方程代入圆的普通方程得：
2
2
1
t325
2
??
??
++=
?
? ?
????
，即2t160
+-=。…………………4分
∵
12
t t+=-，
12
t t16
=-，……………………………………5分
12
t t-===，
∴
1
P、
2
P………………………………7分（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
解不等式：2
x1x2x1
++-<+。
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。
解：当x1
≤-时，原不等式可化为：
()()2
x1x2x1
-+--<+，解得：x2
<-或x0
>。
∴x2
<-。………………………………………………………………………2分当1x2
-<<时，原不等式可化为：
()()2
x1x2x1
+--<+，解得：
x2
<-或
x>
x2
<<。………………………………………………………………4分当x2
≥时，原不等式可化为：
()()2
x1x2x1
++-<+，解得x R
∈。
∴x2
≥。 (6)
分
综上所述，原不等式的解集为())
,2
-∞-+∞
。…………………7分
2012年福建省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2012?福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（） A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i 考 点： 复数代数形式的乘除运算． 专 题： 计算题． 分 析： 由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果． 解答：解：∵复数z满足zi=1﹣i， ∴z===﹣1﹣i，故选A． 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 2．（5分）（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 考 点： 等差数列的通项公式． 专 题： 计算题． 分 析： 设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值． 解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2， 故选B． 点 评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题． 3．（5分）（2012?福建）下列命题中，真命题是（） A．?x 0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2 C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用． 专 题： 计算题．
分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误； 解答：解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确； 因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确； a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确． 故选D． 点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用． 4．（5分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（） A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 考 点： 由三视图还原实物图． 专 题： 作图题． 分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等 解答：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等； B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同； C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形； D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形． 故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱． 故选D． 点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题 5．（5分）（2012?福建）下列不等式一定成立的是（） A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R） 考 点： 不等式比较大小． 专 题： 探究型． 分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可 解 答： 解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等； B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2； C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0； D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ （2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
2015高考数学全国卷1(完美版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1．设复数z满足1＋z 1－z ＝i，则|z|＝ A．1 B．2 C． 3 D．2 2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ A．－ 3 2B． 3 2C．－ 1 2 D．1 2 3．设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为 A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测 试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2 ＝1 上的一点， F 1、F 2是C 上的两个焦点，若 M F 1→· M F 2 →＜0 ，则y 0的取值范围是 A ．? ???? －33 ，33 B ． ? ???? －36 ，36 C ．? ????－223，223 D ．? ?? ?? －233，233 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
2011年福建省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、（2011?福建）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（） A、{0，1} B、{﹣1，0，1} C、{0，1，2} D、{﹣1，0，1，2} 考点：交集及其运算。专题：计算题。 分析：根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解答：解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}， 得到M∩N={0，1}．故选A 点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题． 2、（2011?福建）i是虚数单位1+i3等于（） A、i B、﹣i C、1+i D、1﹣i 考点：虚数单位i及其性质。专题：计算题。 分析：由复数单位的定义，我们易得i2=﹣1，代入即可得到1+i3的值． 解答：解：∵i是虚数单位 ∴i2=﹣1 1+i3=1﹣i 故选D 点评：本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，属简单题，其中熟练掌握虚数单位i的性质i2=﹣1是解答本类问题的关键． 3、（2011?福建）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；充要条件。 分析：先判断“a=1”?“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案． 解答：解：当“a=1”时，“|a|=1”成立 即“a=1”?“|a|=1”为真命题 但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立 即“|a|=1”时，“a=1”为假命题 故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件 故选A 点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”?“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键． 4、（2011?福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（） A、6 B、8 C、10 D、12 考点：分层抽样方法。 专题：计算题。 分析：根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数． 解答：解：∵高一年级有30名， 在高一年级的学生中抽取了6名，
2014年福建省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．（5分）复数z=（3﹣2i）i 的共轭复数等于（） A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i 2．（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱 3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14 4．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（） A ． B ． C ． 1
D ． 5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（） A．18 B．20 C．21 D．40 6．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件 2
7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数 C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞） 8．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（） A ．=（0，0），=（1，2） B ．=（﹣1，2），=（5，﹣2） C ．=（3，5），=（6，10） D ．=（2，﹣3），=（﹣2，3） 9．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（） A．5 B ．+ C．7+D．6 10．（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（） A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5 C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相 3
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）2-（B ）2 （C ）12- （D ）12 （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
（5）已知00(,)M x y 是双曲线2 2:12 x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是 （A ）（ （B ）（ （C ）（3-，3 ） （D ）（3-，3） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)13(,),44k k k Z ππ- +∈ (B) 13(2,2),44 k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z 1z - =i，则|z|= （A）1 （B（C（D）2 【答案】A 考点：1.复数的运算；2.复数的模. （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A）（B（C） 1 2 -（D） 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ，故选D. 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 （3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为 （A）?n∈N, 2n>2n（B）?n∈N, 2n≤2n （C）?n∈N, 2n≤2n（D）?n∈N, 2n=2n
【答案】C 【解析】 试题分析：p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C. 考点：特称命题的否定 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】 试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 22330.60.40.6C ?+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦 点，若1MF ?2MF ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（ （B ）（） （C ）（） （D ）（） 【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(福建卷 ) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.理科：第Ⅱ卷第21题为选考题， 其他题为必考题，满分1５0分. 第Ⅰ卷 一、选择题：（理科)本大题共10小题,每小题5分，共５０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科）本大题共12小题,每小题5分，共6０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数z 满足z i ＝１-i ，则ｚ等于( ) A ．-1-i B.１－i C ．-1+i Ｄ．１+i Ａ．3+4i B ．５+4i C.3+2i D ．5+２i 2.等差数列{a ｎ}中,a 1+a 5＝10，a ４＝７，则数列{a ｎ}的公差为( ) Ａ．1 B.2 Ｃ.3 D ．4 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．ｘ０∈R ,0e 0x ≤ B.ｘ∈R ，２ｘ>ｘ2 C ．ａ+b =０的充要条件是1a b =- Ｄ．a ＞1,b ＞1是ａb >1的充分条件 4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 Ｃ．正方体 D.圆柱 ５.下列不等式一定成立的是( ) A ．l ｇ(x 2＋ 14 )>lg x (ｘ＞0） Ｂ.s ｉn x ＋1sin x ≥2（ｘ≠ｋπ，k ∈Ｚ） C.x 2＋1≥２|ｘ|(x ∈R ） D.2111 x >+(x ∈R ） 6.如图所示，在边长为1的正方形ＯAB Ｃ中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) Ａ． 14 B ．15 C.16 D ．17 7.设函数1,()0,x D x x ?=??为有理数，为无理数，则下列结论错误的是（ ) A.D (x )的值域为{0,1} B ．D （x )是偶函数 C.Ｄ(ｘ）不是周期函数 Ｄ．D (x )不是单调函数
2011年福建省高考数学文科试卷与答案 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-++- 其中x 为样本平均数 柱体体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高 锥体公式V= 1 3 Sh ，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式S=4πR 2，V=43 πR 3 ，其中R 为球的半径 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个项是符合题目要求的。) 1. 若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于 A.｛0，1｝ B.｛-1，0，1｝ C.｛0，1，2｝ D.｛-1，0，1，2｝ 2. i 是虚数单位，3 1i +等于 A.i B.-i C.1+i D.1-i 3. 若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。 现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的 学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A.6 B.8 C.10 D.12 5. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A.3 B.11 C.38 D.123 6. 若关于x 的方程x 2 +mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞，-2)∪（2，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞） 7. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABC ?内部的概率等于 A ． 14 B. 13 C. 12 D. 23 8. 已知函数2, >0 ()1, 0 x x f x x x ?=? +≤?，若f(a)+f(1)=0，则实数a 的值等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 9. 若a ∈（0， 2π），且sin 2 a+cos2a=14 ，则tana 的值等于 A. 22 B. 33 C. 2 D. 3 10. 若a>0,b>0,且函数f(x)=4x 3 -ax 2 -2bx+2在x=1处有极值，则ab 的最大值等于
2013年福建高考理科数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学 （理工农医类） 一．选择题 1．已知复数z的共轭复数12i z=+（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【测量目标】复平面 【考查方式】给出复数z的共轭复数，判断z在复平面内所在的象限. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】由12i z=+，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限． 2．已知集合{}1, a=”是“A B?”的 A a =,{} B=,则“3 1,2,3 （） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件. 【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断
4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 第4题图 【测量目标】频率分布直方图. 【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480. 5．满足{} a b∈-，且关于x的方程220 ,1,0,1,2 ++=有实数解的 ax x b
★启封并使用完毕前 试题类型：A 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的、号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）12 【答案】D 【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ，故选D. （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n 【答案】C 【解析】p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C.
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ?+=0.648，故 选A. （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ： 2 212 x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u r ?2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值围是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223-，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A （6）《九章算术》是我国古代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委 米依垣角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 【解析】
第 1 页 共 5 页 绝密☆启用前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。满分150分。 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考 证号，姓名是否一致。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字 笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式 13 V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=Sh 2344,3 S R V R ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1 -，则 A.i S ∈ B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D. 2S i ∈ 2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的 A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于 A.2 B.3 C.4 D.6 4.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于
2012年福建省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（） A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i 2．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4 3．（5分）下列命题中，真命题是（） A．?x0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2 C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 4．（5分）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（） A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 5．（5分）下列不等式一定成立的是（） A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z） C．x2+1≥2|x|（x∈R） D．（x∈R） 6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（） A．B．C．D． 7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（） A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数 8．（5分）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双 曲线的焦点到其渐近线的距离等于（） A．B．C．3 D．5 9．（5分）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件， 则实数m的最大值为（） A．B．1 C．D．2 10．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题： ①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的； ②f（x2）在[1，]上具有性质P； ③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]； ④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）] 其中真命题的序号是（） A．①②B．①③C．②④D．③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．（4分）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=． 12．（4分）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于．
2011年福建省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（） A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D． 2．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）若tanα=3，则的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（） A．B．C．D． 5．（5分）（e x+2x）dx等于（） A．1 B．e﹣1 C．e D．e2+1 6．（5分）（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于（） A．80 B．12 C．20 D．10 7．（5分）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（） A．B．或2 C． 2 D． 8．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则?的取值范围是（） A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，2]
9．（5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 10．（5分）已知函数f（x）=e x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断： ①△ABC一定是钝角三角形； ②△ABC可能是直角三角形； ③△ABC可能是等腰三角形； ④△ABC不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是（） A．①③B．①④C．②③D．②④ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）运行如图所示的程序，输出的结果是． 12．（4分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于． 13．（4分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．14．（4分）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于． 15．（4分）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量=（x1，y1）∈V，=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λ+（1﹣λ））=λf（）+（1﹣λ）f（）则称映射f具有性质P．先给出如下映射：
环球天下教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司 2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋i D ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i 2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( ) A ．x 0∈R ，0 e 0x ≤ B ．x ∈R ，2x ＞x 2 C ．a ＋b ＝0的充要条件是 1a b =- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件 4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋ 1 4)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1 sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ． 2 1 11 x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A ． 14 B ．15 C ．16 D ．17
2010年高考福建数学试题（理科解析） 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．cos13 计算sin43cos 43 -sin13的值等于（ ） A. 12 B.3 C.2 D. 2 【答案】A 【解析】原式=1 sin (43-13)=sin 30= 2 ，故选A 。 【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。 2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 4．函数2x +2x-3,x 0 x)=-2+ln x,x>0 f ?≤? ?（的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】当0x ≤时，令2 230x x +-=解得3x =-； 当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题 1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x –1)(x+2)<0}，则A∩B=( ) A ．{–1,0} B ．{0,1} C ．{–1,0,1} D ．{0,1,2} 2、若a 为实数，且(2+ai)(a –2i)= – 4i ，则a=( ) A ．–1 B ．0 C ．1 D ．2 3、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( ) A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关 4、已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5、设函数f(x)=? ??1+log 2(2–x)(x<1) 2x –1(x≥1)，则f(–2)+f(log 212)=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下左1图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ． B ． C ． D ． 7、过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,–7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 8、如上左2程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 9、已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球上的动点，若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 10、如上左3图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数，则y=f(x)的图像大致为( )
2008年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版) 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共 ?小题，每小题 分，共 ?分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ???若复数?? ?? ?????????是纯虚数，则实数?的值为 ??? ?? ??或 ??? ???设集合???? 1x x -＜0?????? ?＜?＜ ??那么“?∈?”是“?∈ ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若a 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4 5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96625 C.192625 D.256625 (6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 6 B. 5 5 2 15 10 (7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数x 、y 满足 x-y+1≤0，则y x 的取值范围是 x>0
A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+∞) D. [1, +∞] (9)函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y = -f ′(x )的图象，则m 的值可以为 A.2π B.π C.－π D.－ 2 π (10)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为 A.6 π B. 3π C.6 π或56π D. 3 π或 23π (11)双曲线 12 22 2=-b y a x （a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心 率的取值范围为 A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ (12)已知函数y =f (x ), y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________.(用数字作答) x =1+cos θ (14)若直线3x+4y+m=0与圆 y =-2+sin θ （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是. （153，则其外接球的表面积是. （16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a -b ， ab 、 a b ∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{} 2,F a b b Q =+∈也是数域.有下列命题： ①整数集是数域； ②若有理数集Q M ?，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）