丢番图和不定方程
——兼谈中国人在这方面的工作
丢番图的工作
埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。
亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。
英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。”
编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。
在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。
这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。
这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。他是第一个引进符号入希腊数学的人。
如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。”
第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。”
第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。”
写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：
a2＋b2＝c2
a＋ b＋ c＝N3
这里就要考虑到三次方程了。
这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程（Diophantine Equations）。
这里举几个例子，像《算术》第二卷第8题：“将一个已知的平方数分为两个平方数。”
例如将16分成两个平方数，设一个平方数是x2，另外一个是16-x2。由于要求是平方数：
16-x2＝y2
因此，我们一个方程有两个未知数x，y。第四卷第3题：“求两个平方，使其和是一个立方数。”写成代数式子是求：
x2＋y2=z3的解。
丢番图不限定解是整数的问题，而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解，这是和他不同的地方。
一次不定方程
我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程。这类方程一般是形如 ax ＋by=c， a、 b、 c都是整数。一般人认为这是印度数学家婆罗笈多（Brohmagupta）所给出的解决，他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法，我们举几个例子来说明。
例1 求1027x＋712y＝1的整数解。
我们这里a=1027， b＝712， c=1
1＝1×13-3×4
=-3×69+16×13
＝16×82-19×69
=-19×315＋73×82
＝73×712-165×315
=-165×1027+238×712
于是x0=－165，y0=238是方程的一个特殊解。
例 2 求 33x＋17y=13的整数解。
先求 33x＋17y=1的整数解
所以 1=17×1-16×1
＝33×1-16×2
故 13=33×13-16×（2×13）
即x0=13，y0=26是 33x＋17y=13的特殊解。
我们有下面的定理：
[定理] 丢番图方程 ax＋by=c有解，当且仅当 a、 b的最大公约数d=（a，b）能整除c。而它的一般解是：
x=x0+Bt
y=y0-At
这里（x0，y0）是方程的一个特殊解，A，B由a=Ad，b=Bd给出，t是任意的整数。
因此方程 33x＋17y=13的一般解是：
x=13+17t
y＝26-33t
《九章算术》的“五家共井”问题
在中国的一部最早的数学专门著述《九章算术》里有一个问题是不定方程组的问题。
在这书的第八章《方程》的第13题是这样：“今有五家共井，甲2绠（绠是汲水桶上的绳索）不足如乙1绠，乙3绠不足如丙1绠，丙4绠不足如甲1绠，丁5绠不足如戊一绠，戊6绠不足如甲1绠。如各得所不足1绠，皆逮（达到的意思）。问井深绠长各几何？”
这书在汉朝写成，文字是古汉语对我们来说是不太容易看得懂。现在翻译成白话：“有五个家庭共同用一口井，他们用甲、乙、丙、丁、戊五根长短不一样的绳子汲水，甲绳两根连接起来还不够井深，短缺数刚好是乙绳的长。乙绳3根连接还不够井深，短缺数刚好是丙
绳的长，丙绳4根连接还不够井深，短缺数刚好是丁绳的长，丁绳5根连接不够井深，短缺数是戊绳的长，戊绳6根连接不够井深，短缺是甲绳的长。问井深、绳长各多少？”
我们假定甲、乙、丙、丁、戊绳分别为x，y，z，s，t以及井深为u。于是根据题意，我们得到下面的方程组：
2x＋y＝u——（1）
3y＋z = u——（2）
4z＋s＝ u——（ 3）
5s＋t＝u——（4）
6t＋x＝u——（5）
这里是有6个未知数5个方程式，因此是不定方程组。
我们试试解这方程组：
2×（5）-（1）得： 12t- y = u——（6）
3×（6）＋（2）得：36t＋z＝ 4u——（7）
4×（7）-（3）得：144t-s=15u——（8）
5×（8）＋（4）得：721t=76u
《张丘建算经》的“百钱买百鸡”问题
在距今1500多年前的南北朝时期（公元500年左右），有一位叫张丘建的数学家编辑了一本算术书叫《张丘建算经》，在下卷第38题有一个不定方程组问题。原文如下：
“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”
如果用x，y，z代表鸡翁，鸡母，小鸡的个数，由题意可得：
x＋y＋z=100——（2）
3×（1）-（2）得 14x＋8y=200
化简 7x＋4y=100
先解 7x＋4y=1
1=4-1×3＝4-（7-4×1）
＝4×2-7×1＝7×（-1）＋4×2
所以 7x＋4y=100的特殊解是：
x0＝-100
y0＝200
故 7x＋4y=100的一般解是：
x=-100+4t
y＝200-7t
由于 0＜x， y，z＜100
所以 0＜-100＋4t＜100——（3）
0＜200-7t＜100——（4）
因此t只能是26，27，28。
所以我们得三组答案：
t 鸡翁鸡母小鸡
[1] 26 4 18 78
[2] 27 8 11 81
[3] 28 12 4 84
“百鸡问题”在张丘建的书提出之后，历代的中国数学家都有叙述。北周甄鸾在《数术记遗》，南宋杨辉在《续古摘奇算法》（1275年）也研究“百鸡问题”，在该书里有一道这样的题目：“钱一百买温柑、绿结、扁桔共一百枚，只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文，问各买几何？”这里鸡变成了柑桔！而杨辉还提出将“百鸡问题”转变为“鸡兔同笼”问题。
在清朝研究“百鸡术”的人很多像骆腾凤、时曰醇、丁取思、黄宗宪都是。我们会在下面的部分再介绍他们的工作。
在9世纪印度数学家摩诃吠罗（Mahavira）在他的著作中有不定方程问题，和“百鸡问题”完全相同的形式出现！
日本人在18世纪数学受中国的影响很大，会田安明写的《诸约混一术》有：“百钱买百果，柿每十个值十钱，梨每十个值二十钱，粟每十个二钱，问三种果各几个？”你能不能找出11组答案？
《孙子算经》的“物不知数”问题
成书比《张丘建算经》还要早一些的《孙子算经》共有三卷。在下卷有一些算术难题，像“鸡兔同笼”的问题。可是最著名的是第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
如我们设未知数为N，则依题意我们得下面的不定方程组：
3x＋2＝ N
5y＋3＝ N
7z＋ 2＝ N
古代称这问题为“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“韩信点兵”、“剪管术”、“神奇妙算”、“大衍求一术”等等。
明朝程大位著的《算法统宗》有一个歌诀讲这个问题的解法：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”
这是什么意思呢？它是把下面的方法用歌诀来帮助记忆：用70乘3除所得的余数，21
乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来。如果它大于105，则减105，还大再减，一直到不能减为止，这时所得的正数就是答数了。
因此以上的《孙子算经》的问题，写成式子是：
2×70＋3×21＋2×15=233
233-2×105＝ 233-210＝ 23
23就是答案了。
宋代有一本笔记，记载另外一首解法的诗歌：
“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇；
七度上元重相会，寒食清明便可知。”
这诗需要解释才能参透其中的奥秘，古时候称正月十五日为“上元”，所以“上元”暗指15。古时称“冬至百六是清明”，寒食是清明前一日，所以“寒食清明”暗指105。
这间题和古代历法的推算有关，可惜这方法没有流传下来，一直到宋代数学家秦九韶写《数书九章》才有系统的叙述。
这个孙子问题在外国是称为“中国剩余定理”，我在《数学和数学家的故事》第一集有详细介绍这个问题及解法。请参阅《举世闻名的中国剩余定理——兼谈南宋秦九韶及黄宗宪的工作》一文。
印度人在古代有类似的问题，例如在公元522年巴斯卡拉（Bhoskara）的书就有：“求一数除8剩5，除9剩4，除7剩1。”
“告诉我数学家，有一被2，3，4，5，6除都剩1，可是却能被7整除。”
中国一直到清朝由于研究数学古籍才发掘秦九韶的《大衍求一术》，在这方面工作的人有张敦仁，他在1831年写《求一算术》，骆腾凤在1815年的《艺术录》中讨论大衍求一术，1873年时曰谆的《求一术指》及黄宗宪1874年《求一术通解》。
我这里想提一点是，时曰谆像著名的欧拉一样，到了晚年两只眼睛都瞎了，他在儿子的协助之下，仍顽强地研究和写作，我会在今后的《数学和数学家的故事》中介绍他的一些工作。
勾股数
在丢番图的《算术》第二卷第8题是：“将一个已知的平方数分为两个平方数。”
该问题是来源于几何的毕达哥拉斯定理，中国由于在《周髀算经》有周公问商高关于测天高的问题，基本上是勾股定理，有人建议称为商高定理。
满足不定方程x2＋y2＝z2，x＜y＜z的自然数（ x，y，z）称为勾股数。《周髀算经》提出“折矩以为勾广三、股修四、径隅五”，因此早在公元前1世纪（即2000多年前），我们的祖宗已经知（3，4，5）是勾股数。
我们不算最早知道勾股定理的民族，埃及人也知道用（3，4，5）来建造埃及的金字塔。
可是人们找到一块距今4000-3300年间的巴比伦人的泥板书，可以证明生活在幼发拉底河及底格里斯河流域的巴比伦人早就对勾股数有深入的认识。
现珍藏在美国哥伦比亚大学，编号为Plimpton322的泥板书在1945年被由欧洲躲避希特勒迫害的巴比伦考古学家及数学家奥图·奈克包威尔（Otto Nangebauer
1899．5．26-1990．12．19）以及他的助手萨克斯（Sachs）破译。
这泥板书不大，只有5英寸、长3英寸半宽。有四列数据，从右边到左看，第一列是代表行数，第二列是代表斜边。第三列代表直角三角形的一边b，最初不知道最左边那列数的意义。后来奈克包威尔发现如
由于巴比伦人是用60进位制，因此把泥板书的数化成10进制我们得到应该是这样的表。这些是一些勾股数。
奈克包威尔估计古代的巴比伦人是这样解x2+y2=z2。他们先假定x，y，z的解是形如x=a ＋t，y＝b＋t，z＝a＋b＋t的样本。这里a，b，t都是未知数我们待决定，代进入方程式我们有：
（a＋t）2＋（a＋t）2=（a＋b＋t）2
化简得：t2-2ab＝0
如果设 a=2m2，b=n2，那么以上的式子得 t=2mn。
现在 x＝a+t=2m2+ 2mn
y=b＋t=n2＋2mn
z=m2+（m＋n）2
我们如果令m＝u-v，n=v 代入以上的式子，我们可以得：
x=2uv
y=u2-v2
z=u2＋v2
以前人们也曾研究过这块泥板，最初以为是巴比伦人的商业记录，没有什么重要的意义。奈克包威尔及萨克斯的破译工作揭示了巴比伦人对数学是曾有深入的认识，对于他们的文明我们还需要更深入的了解。
在中国的《九章算术》的“勾股章”有八组勾数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）、（20，21，29）、（20，99，101）、（48，55，73）、（60，91，109）。
现在让我们看《九章算术》勾股章第14题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南十步而斜东北与乙会，甲乙行各几何？”答数：乙东行10.5步，甲斜行14.5步。这里晋朝的刘徽给出一些注释，并给出求勾股数的一般方法。
由于这注不容易给现代的人明白，中国数学史家沈康身教授在《中算导论》（上海教育出版社1986）给出了一个解释（见下表）。可以看出刘徽的公式基本上是和前面给出的勾股数公式是等价的。
三次的丢番图方程
在丢番图的《算术》第四卷第3题：“求两个平方数，使其和是一个立方数。”
写成代数式子是x2+y2=z3。
丢番图给出一个解答是这样：假设y=2x，则x2+y2=x2＋4x2＝5x2。
如果z是x的第一倍数，比方说它就是x，于是5x2=x3，x=5，所以 y=2x=10。
故两个平方数是25和 100，而25＋100=125=53。
丢番图没有给出一般解，你能找到它的一般解吗？
在《算术》书里还有第六卷第17题：“求直角三角形三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。”
写成式子是 a2+b2=c2
这里我想讲一个故事：印度有一个靠自学成功的数学家，他的名叫拉玛奴江（Srinivasa Ramanujan 1887-1920）（见图一），他在27岁之前靠自修发现了一些美妙的数学定理，后来有机会到英国剑桥大学去和著名的数学家哈地（G．H．Hardy 1877－1947）一起工作。
哈地发现拉玛奴江在某方面的数学知识是很无知就像白痴一样，可是在对数学以及级数的认识以及直觉能力惊人就像天才。哈地认为他不需要去上课，而是直接和他讨论共同研究一些有趣的难题。
拉玛奴江在留英期间不长，只是短短的五年，可是发表了21篇论文和17篇注记。后来由于他在青少年时因贫病，身体衰弱，肺部被结核菌侵蚀，住进医院一个时期。他后来要求回印度，过了不久就去世，死时才33岁。
哈地有一次去医院探望拉玛奴江，他叫了一辆出租汽车，到了医院就对在病床上显得百无聊赖的拉玛奴江说：“我刚才乘的汽车，车牌号码是1729，看来这个数字没有什么特别的意义。”
谁知拉玛奴江稍微思索就回答：“这是最小的整数能用二种方法来表示为二个整数的立方的和。”
即 1729= 13＋ 123 =93＋ 103
后来哈地惊叹地回忆：“所有的数字，好像都是拉玛奴江的朋友，他对他们都非常的熟悉能讲出关于它们的许多美丽的性质。”（读者可以参看《数学和数学家的故事》第一集里“邮票上的印度数学家”一文。）
事实上拉玛奴江是给出三次丢番图方程：
x3＋y3＝u3＋v3
的最小整数解。
人们发现和小于十万的解只有10个：
1729＝13＋123=93＋103
4104＝23＋163＝93+153
13832＝23+243=183＋203
20683＝103＋273＝193＋204
32832＝43+323＝183+303
39312＝23+343＝153+333
40033＝93+343＝163+333
46683＝33+363＝273+303
64232＝173＋393＝263＋363
65728＝123＋403＝313＋333
拉玛奴江给出了以上问题的一般解：
x=α+λ2γ
y=λβ＋γ
u=λα＋γ
v=β＋λ2α
这里α，β，λ，γ满足下面的等式：
α2＋αβ＋β2=3λγ2
拉玛奴江对不定方程有许多精彩的结果以后我会再谈。
中国的丢番图方程权威
我们知道不定方程中国人曾经在历史上有着卓越贡献，现代也有一位中国人在国际上闻名，他的名字叫柯召。
柯召（1910- ）是浙江省温岭人，他在1928年进入厦门大学念数学系，两年后为了要到更好的清华大学去，他教了一年中学，筹备学费在1931年转入清华大学算学系。
当时清华大学算学系系主任是留学法国的熊庆来教授，还有一些名师像孙光远、杨武之（杨振宁的父亲）、郑桐荪（陈省身的岳父）等。
与柯召一起上课的有陈省身、华罗庚、吴大任和许宝騄。那时华罗庚是系的助理员、收发文件、打字刻写讲议，又管理图书、兼管改两个班的卷子，一个月拿四十块大洋。
熊庆来知道柯召家庭贫困，就安排他改一班微积分作业，给他每个月二十块大洋，当时一个月伙食费是五块大洋，他就可以不为衣食而担心，能够安心上课学习。
柯召和杨武之的感情很好，常到他的家中下围棋。杨武之是芝加哥大学毕业，受业于美国著名的数论家狄克生（L．E．Dickson 1874． 1．22－1954．1．17），狄克生在 1919年写了两卷巨著《数论历史》（History of the theory of numbers），特别是第二卷专门谈丢番图方程。杨武之指导过华罗庚和柯召进入数论的不定方程的研究。
1933年柯召以优异成绩毕业，数学系和物理系都是闻名的淘汰率极高的系，同届一年级入学的有三十多人，到他毕业只剩下他和许宝騄两人，其他学生不是留级便是淘汰了。
毕业之后，到姜立夫主持的天津南开大学任数学系的助教，教过复变函数、实变函数和理论力学几门课，薪水是80大洋，第二年升到100大洋的月薪。
1935年，他考上了中英庚子赔款的公费留学生，到英国曼彻斯特大学，跟著名的数学家莫德尔（L．J．Mordell 1888．1．28-1972． 3．12）学习。
导师看了他在清华读书时所写的论文，对他很满意，按规定是要三年学习年限，他缩短为两年。并给他德国数学家闵可夫斯基（Minkowski）的猜测让他去做。
第一个星期，柯召回去报告说他没有什么进展，莫德尔教授安慰他：“我对这问题已做了三年还未解决，所以不要失望。”并鼓励他再接再厉。
两个月后，柯召完成了一篇很有创见的研究论文。莫德尔认为这论文已有博士论文的水平，不过按制度他还要两年后才能毕业，并要他到伦敦数学学会去报告这篇论文。
其中的听众有著名剑桥数学家哈地，两年后，他还是他的博士论文的校外考官。
在曼彻斯特大学，他和从匈牙利来的保罗·厄多斯（Paul Erd s）成为好朋友，他们常到老师的家玩桥牌。（关于厄多斯的传请见《数学和数学家的故事》第二集）
在1938年，厄多斯提出这样的猜想：
不定方程 x x y y=z z，当 x＞1，y＞1，z＞1时没有整数解。
1940年柯召证明当x，y是互质时该不定方程是无解，但如果x和y有公共素因数，则上式有无穷多组解。
厄多斯在许多会议提起柯召这个工作，认为是非常漂亮的结果，并且建议人们是否可能找到其他的解。可是50年过去了还没有什么进展。
我在约20多年前曾在法国巴黎的庞加莱数学研究中心遇见厄多斯，他问我是否认识柯召，有没有他的消息？对这老朋友他是非常的怀念。
在1962年柯召研究了1844年法国数学家卡特兰（Catalan）的猜想：8和9是仅有的两个大于1的连续整数，它们都是正整数的乘幂。
柯召证明了不存在三个连续数都是正整数的乘幂。请看P．Ribenbeim的书“Catalon's conjecture”。
莫德尔是美国人在英国剑桥大学读书，他最初对数论兴趣是看到查马考虑的一个丢番图方程，求y2=x3＋k的整数解问题。
柯召受莫德尔的影响也考虑类似的问题，在1962年，他解决了方程x2-1=y n在n＞3时无xy≠0的正整数解。他的老师在他的名著《丢番图方程》（Diophantine equations）里记载介绍柯召的结果。
1960年，柯召证明了xyz＝x＋y＋z＝1没有有理数解。
他本身也考虑了下面的不定方程：
（1）ax＋by＋cz＝n
（2）（a2-b2）x＋（2ab）y=（a2＋b2）z
（3）x3+y3＋z3＝xyz
（4）x4－pqy2＝1 （和孙琦）
（5）x4-Dy2=1 （和孙琦）
（6）x3-Dy2=±1 （和孙琦）
（7）x2-Dy4=1 （和孙琦）
（8）表数相同的三元二次型（和郑德勋）
他在1980年和孙琦合写《谈谈不定方程》是中国第一本较系统和全面地介绍这领域的通俗读物。
实用标准文档 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-?
数学兴趣课教案 ——丢番图的年龄 辽宁省海城市西柳小学数学思维训练教师赵长林 2019年5月14日 一、教学目的： 1、加强审题指导，运用分析比较的方法，体会从整体到部分从部分到整体的思维方法，使优等生步入更高更广阔的思维空间。 2、加强学法指导，提倡算法多样性，发散思维，培养质疑意识，创新精神。 3、培养学生自主学习合作探究的品质，通过合作学习，协作探索，培养学生合作精神探究品质。感受数学的魅力培养热爱数学的品质。 二、教学过程 一）兴趣导入。 1、由武则天无字墓碑引出丢番图的墓碑故事。 2、讲述丢番图的墓碑故事。出示丢番图的年龄ppt。
说起丢番图，不得不提及关于他的墓志铭。很多平常的墓志铭总是规规矩矩的写上生活年代和时间、姓名、概括一生的话，而丢番图的墓志铭却标新立异。他用自己的代数问题写了一个经典的墓志铭。 “过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？” 4、审题： 1）读题题。演示读题法（一边读一边演示时间的变化），找多个同学运用演示读题法，感知等量关系。 师：这是一道分数应用题怎样根据分数应用题的特征审题呢？ 1）整体“1”，2）理解题意弄清部分和整体的关系，3）画线段图找已知质量对应的分率，4）方程思维解题。 （培养学生审题意识，掌握审题方法——由整体到部分，再由部分回归到整体） 5、整体感知培养数感。
丢番图 丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后． 丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭： 坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了所经历的道路． 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛． 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓． 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途． 这相当于方程 x=84．由此知他享年84岁． 丢番图的著作 确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传． 丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．
.. . … 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++= x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).
(2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的围，就是利用限定条件将未知数限定在某一围，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-? 所以 25)259(107)2526(37=??+?-? 则特解为 ???=?=-=?-=225 259650252600y x 通解为 Z t t t y t t x ∈? ??++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650 或改写为 .,3731078Z t t y t x ∈? ??+=--=
丢番图方程 丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如，其中所有的a j、b j和c 均是整数，若其中能找到一组整数解m1,m2...m n者则称之有整数解。 丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。 3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。 丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。 一次不定方程 一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + a n x n = c的方程，一次不定方程有整数解的充要条件为： (a1,...,a n)须是c的因子，其中(a1,...,a n)表示a1,...,a n 的最大公因子。 若有二元一次不定方程ax+ by= c，且(a,b) | c，则其必有一组整数解x1,y1，并且还有以下关系式： ?x = x1 + [b / (a,b)]t ?y = y1? [a / (a,b)]t t为任意整数，故此一次不定方程有无限多解。请参见贝祖等式。 丢番图分析 经典问题 ?有解答吗？ ?除了一些显然易见的解答外，还有哪些解答？ ?解答的数目是有限还是无限？ ?理论上，所有解答是否都能找到？ ?实际上能否计算出所有解答？ 希尔伯特第十问题
1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式否有解，甚至，在任何兼容于 Peano 算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。 现代研究 ?丢番图集是递归可枚举集。 ?常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。 ?丢番图逼近研究了变量为整数，但系数可为无理数的不等式。
%GPC.m 广义预测自适应控制算法（GPC） clear; %被控对象为y(k)-2y(k-1)+1.1y(k-2)=u(k-4)+2u(k-5)+xi(k)/delta A=[1 -2 1.1];C=1;d=4; B=[zeros(1,d-1) 1 2]; % A=[1 -1.414 0.6065];d=1;B=[0.2088 0.1766]; na=length(A)-1;nb=length(B)-1; %na、nb分别为A、B末项下标 N1=d; %优化时域初值N1 N2=8; %优化时域终值N-7 Nu=2; %控制时域Nu L=400; %仿真步长L xi=sqrt(0.001)*randn(L,1); %xi(k)：方差为0.01的白噪声序列 w=10*[ones(1,L/4),-ones(1,L/4),ones(1,L/4),-ones(1,L/4+d)]; %设定值w （振幅为10的方波信号） dy=zeros(1,L); %用dy(t)表示Δy（t），存放每一时刻的Δy du=zeros(L,1); %用du(k)表示Δu(t)，存放每一时刻的Δu dyt=zeros(na,1); %dyt(i)表示Δy(t-i)，对每一时刻t，存放过去的Δy dut=zeros(nb+1,1); %dut(i)表示Δu(t-i)，对每一时刻t，存放过去的Δu y=zeros(1,L); %存放每一时刻计算的系统输出值 u=zeros(1,L); %控制量初值 Y=zeros(na+1,1); %计算Δu式中的Y'=[Δy（t）Δy(t-1)……Δy(t-i)] theta0=0.9*[A(2:na+1) B]'; %模型参数辨识初值 % theta0=[A(2:na+1) B]';
求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解已知方程可化为 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 从最后一个式子向上逆推得到 所以 则特解为 通解为 或改写为 (3)不等式估值法 先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.
求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-?
丢番图的年龄–初一学生如何学会用方程解 决问题 对于初一新生，从用数学的思维方式解决问题转到用方程的思维方式解决 问题是很关键一步，成年人都知道方程的解题方法比数学简单，但对于孩子这种解题观念的转变却不容易。下面用一个相对复杂的习题总结一下解 题套路，习题选自北师大版《数学》七年级上册P196页8题： 古代希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：“他生 命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细 的胡须；又度过了一生的1/7，他结婚了；再过5年，他有了儿子， 感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在 极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。” 1、他结婚时的年龄是多少？ 2、他去世时的年龄是多少？ 首先，要扭转孩子一上来就用数学的方法去思考的习惯，就这个题来说， 不需要去想5年相当于数学家生命的几分之几、4年相当于数学家生命的几分之几，这是数学的思考方式；而是不管那么多，先按照用方程解决问题的套路，确定一个合理的变量x： 用方程解决问题的第一步：设未知量 x 。 对于初一数学而言，设那个量为 x 也一般不会绕弯： 一般情况下，题中问什么，就设什么为 x 就好。 对于本题，则设数学家去世时的年龄为 x 。接下来： 用方程解决问题的第二步：找等量关系，列出含有未知量 x 的方 程式。 这一步是解方程应用题的关键，对大多孩子而言也是难点，这里的技巧是： 把题中给出的条件先用数学语言表示出来，再思考其中的等量关 系。 这样一个过程可以帮助学生理清思路，降低难度。比如本题，可让孩子将每一条件用数学语言翻译一遍：既然已经设了数学家的生命为 x ，那么，针对题中每句话的数学语言描述就是：
丢番图和不定方程 ——兼谈中国人在这方面的工作 丢番图的工作 埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。 亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。 英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。” 编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。 在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。 这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。 这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。他是第一个引进符号入希腊数学的人。 如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。” 第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。” 第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。” 写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有： a2＋b2＝c2 a＋ b＋ c＝N3 这里就要考虑到三次方程了。
《数学丢番图问题》教案 对于初一新生，从用数学的思维方式解决问题转到用方程的思维方式解决问题是很关键一步，成年人都知道方程的解题方法比数学简单，但对于孩子这种解题观念的转变却不容易。下面用一个相对复杂的习题总结一下解题套路，习题选自北师大版《数学》七年级上册P196页8题： 古代希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的1/7，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。” 1、他结婚时的年龄是多少？ 2、他去世时的年龄是多少？ 首先，要扭转孩子一上来就用数学的方法去思考的习惯，就这个题来说，不需要去想5年相当于数学家生命的几分之几、4年相当于数学家生命的几分之几，这是数学的思考方式；而是不管那么多，先按照用方程解决问题的套路，确定一个合理的变量x：用方程解决问题的第一步：设未知量x 。 对于初一数学而言，设那个量为x 也一般不会绕弯： 一般情况下，题中问什么，就设什么为x 就好。 对于本题，则设数学家去世时的年龄为x 。接下来： 用方程解决问题的第二步：找等量关系，列出含有未知量x 的方程式。 这一步是解方程应用题的关键，对大多孩子而言也是难点，这里的技巧是： 把题中给出的条件先用数学语言表示出来，再思考其中的等量关系。 这样一个过程可以帮助学生理清思路，降低难度。比如本题，可让孩子将每一条件用数学语言翻译一遍：既然已经设了数学家的生命为x ，那么，针对题中每句话的数学语言描述就是：
分析至此，一般孩子都能悟到实际上上式右边的 1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 就是数学家从生到死的年龄，也就是我们设的那个未知量x ，于是也就自然而然地找到了等量方程： 1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 = x 那么剩下的事情就简单了： 用方程解决问题的第三步：解方程。 解方程也是有现成的套路的，用方程解决问题简单就简单在：你只需要按既定套路按部就班地去思考，而不必像用数学方法解题那样，需要想清楚全部的数学逻辑和数量关系。再回顾一下解方程的套路： 解方程的方法是： （1）有分母去分母； （2）有括号去括号； （3）分母、括号都去完后，合并同类项； （4）将未知数的系数化1 ，求出x 的具体值。 本题没有括号问题，只需要去分母。具体做法可以灵活些，比如，先等式两边同乘以12，化为： 2x+x+12/7x+60+6x+48 = 12x 简单整理： 12/7x+108 = 3x 两边同乘以7 ： 12x+756 = 21x 合并同类项： 9x = 756 未知数系统化1 ：
丢番图墓碑上的诗： （微微攥住手心，很紧张的感觉）甲：最近快要期末考了，真紧张。 乙：是呀，我最近再做一些关于方程的怪题（难题）呢。 甲：我这儿倒是有一道怪题（难题）。“丢番图墓碑上的诗”你听说过吗？ （挠脑袋）乙：我还真没听说过。而且，丢番图是谁？ （得意）甲：嘿嘿，这你就不知道了吧。丢番图是古希腊著名的数学家。关于他的出身和生平，后人几乎一无所知，仅据他墓碑上的碑文才能略知一二。 （急切）乙：哎呀，你快把题告诉我吧！ （神秘）甲：别急，别急。“心急吃不了热豆腐”的道理你不会不明白吧？对了，这题我是用方程和分数来解的，方程和分数你学的好吗？ （自豪得意）乙：那是，我学得可好了！ 甲：那我就放心了。仔细听着：过路的人！这人埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知道他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的生命旅程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先于父亲四年而终，年龄不过父亲享年的一半，晚年丧子老人真可怜，悲惨之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多少岁才和死神见面？ （自豪得意）乙：这还不简单！我们把丢番图去世时的岁数设为x，六分之一是幸福的童年，也就是说童年占了丢番图生命旅程中的六分之一，用六分之一x 表示；十二分之一是无忧无虑的少年，那么少年就占了十二分之一，是十二分之一x；以此类推，七分之一的生命旅程，占七分之一，用七分之一x表示；五年后儿子出生，再加上五年；儿子先于父亲四年逝世，加四；年龄是父亲享年的一半，用二分之一x表示。答：丢番图结婚时是12岁，他儿子活了42岁，他活了84岁. 整个方程连起来就是：x=六分之一x+十二分之一x+七分之一x+5+二分之一x+4 x=84 然而，当时方程还没有应用，解这道题是相当麻烦的，需要进行许多的猜测和比较，才能得到正确的答案。 甲：其实，我国的数学家在很早以前就开始研究方程了。方程这个名词，最早是在《九章算术》里出现的。在《九章算术》中还专门有“方程章”一节。 乙：可见，中国的数学家对方程的研究是走在世界前列的。 （激动）甲：是呀，还是我们中国的数学家厉害呀！
丢番图的《算术》 《算术》一书是古希腊亚历山大后期最伟大的数学家丢番图所作．关于他的生平，除了从他的墓志铭上了解到的以外，其余的一无所知．但是他给我们留下了丰厚的文化遗产，最著名的就是《算术》一书． 丢番图一生写了三部数学书，《论多边形数》只保存下一个片断，《衍论》一书失传，不过许多数学家对《衍论》都作过注释，《算术》一书是他最重要的一本书，但是13卷中仅存6卷，就仅存的6卷内容来看，也足以表明作者在这个领域中是个天才． 《算术》一书中讲述了一些深刻的数的定理，这些定理吸引着后来数学家韦达、费尔玛、欧拉、拉格朗日等，在他们的努力下，最终得到了满意的结果． 《算术》主要是研究代数学的，特别是研究一次和二次方程，一元和二元二次或高次不定方程的．它的内容如下： 第二卷的第28个问题是求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数，丢番图的答案是：（43)2，(24 7)2． 第三卷的第7个问题是求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数．丢番图也给出了答案，这三个数分别是120 21、84021、156021． 第三卷的第13个问题是求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数．这个问题在《算术》中虽然提了出来，但是丢番图并没有给出具体的求解方法． 第四卷中的第10个问题也非常有趣，它是求两个数，使得它们的和等于它们的立方和，丢番图的答案是75，7 8． 第六卷中的问题涉及到了几何．第1个问题是这样的，求一组毕氏三数，使其斜边减去每一个直角边均为立方数，丢番图给出的答案是40，96，104．值得注意的是，这里的毕氏三数，就是我们现在所讲的一组勾股数，三个整数a ，b ，c 是毕氏三数，即它们能表示一个直角三角形的两个直角边和一个斜边，即满足勾股定理． 第16个问题也是涉及到求勾股数的问题．它让求一组毕氏三数，使其一个
丢番图的墓志铭(数学题) 简介 古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元246年到公元330年之间，距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。 丢番图著有《算术》一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题，每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，以致后人把这类题目叫做丢番图问题。 但是，对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从《希腊诗文集》中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用诗歌形式写成的： “过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算，丢番图活到多大， 才和死神见面？” 请你算一算，丢番图到底活到多少岁？ 算法 解：设丢番图x 岁。 x x x x x =+++++42157112161,x x =+92825,928 3=x ,84=x 答：丢番图的寿命为84岁。 如果将墓志铭中“只活到父亲岁数的一半”理解为儿子是丢番图当时年龄的一半，那就有了一个完全不同的解了。 解：设丢番图x 岁。 x x x x x =+-+++4)4(217112161,x x =+-922825,7283=x ,3 1653196==x 不过既然丢番图生前这么喜欢整数，我们还是给他的墓志铭一个整数解，让他活的更长一点吧。 其实还有一种更好的方法。因为个人的描述能力，如看不懂不要责怪。 这里要计算的是丢番图的寿命，不可能会有小数点的出现。前面有几个很显眼的分数出现“六分之一”、“十二分之一”、“七分之一”，要想用这些数求出整数，只能求他们的公倍数。其实丢番图所活的寿命就是这些数的最小公倍数。至于别的数字，我觉得都没什么用处。 12=3×2×2 6=2×3 7是素数， 相乘就是2×2×3×7=84 还有一种运用小学六年级知识的方法： 画图 从图中可以看出丢番图一生的的（二分之一-六分之一-十二分之一-七分之一）就是（4+5）岁， 那么可列式：9÷（二分之一-六分之一-十二分之一-七分之一）=84（岁），因此丢番图活了84年。
求不定方程整数解的常用方法 摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等. 关键字：不定方程;整数解;整除性
1引言 不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能. 中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结. 不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料. 2不定方程的定义 所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系. 下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结： 3一般常用的求不定方程整数解的方法 (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即 相应的.0,2,0,4=y
. . . .. .. . 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的围，就是利用限定条件将未知数限定在某一围，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-?
丢番图 说起数学家丢番图旳生平，还有一则别开生面旳记载，在一本《希腊诗文选》中收录了丢番图旳奇特旳墓志铭，现转抄于下： 坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了所经历旳道路． 上帝给予旳童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长须， 再过七分之一，点燃起结婚旳蜡烛． 五年之后天赐贵子， 可怜迟到旳宁馨儿， 享年仅及其父旳一半，便进入冰冷旳坟墓． 悲伤只有用数论旳研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生旳旅途． 细心旳读者已经发现，这独特旳墓志铭就是丢番图一生旳履历表，而且它本身就是一道耐人寻味旳年龄计算题．丢番图大致活动于公元250年前后，其生平不详．他旳著作《算术》和关于所谓多角数（形数）一书，是世界上最早旳系统旳数学论文．《算术》共13卷，现存6卷．这本书可以归入代数学旳范围．因此，他被后人称作是“代数学之父”．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心都在几何，他们认为只有经过几何论证旳命题才是可靠旳．为了逻辑旳严密性，代数也披上了几何旳外衣．所以一切代数问题，甚至简单旳一次方程旳求解，也都纳入僵硬旳几何模式之中．直到丢番图旳出现，才把代数解放出来，摆脱了几何旳羁绊．例如，（a＋b）2=a2＋2ab＋b2旳关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要旳几何定理，而在丢番图旳《算术》中，只是简单代数运算法则旳必然后果．丢番图在数论和代数领域作出了杰出旳贡献，开辟了广阔旳研究道路．这是人类思想上一次不寻常旳飞跃，不过这种飞跃在早期希腊数学中已出现萌芽．丢番图旳著作成为后来许多数学家，如费尔马、欧勒、高斯等进行数论研究
旳出发点．数论中两大部分均是以丢番图命名旳，即丢番图方程理论和丢番图近似理论．
“代数学的鼻祖”丢番图与方程 随着人类社会的不断前进，数学在不断向前发展着，方程同样在不断向前发展着.两千多年前古希腊有一个大数学家，他的名字叫丢番图，他对数学的发展作出过巨大的贡献.他开创了用缩写方法简化文字叙述运算，因此有人把他称为“代数学的鼻祖”.丢番图著《算术》一书，书中借助符号来代替文字叙述，这在代数发展史上是非常重要的一步.《算术》一书中有解一元一次方程的一般方法，他说：“如果方程两边遇到的未知数的幂相同，但是系数不同，那么应该由等量减去等量，直到得出含未知数的一项等于某个数为止.”丢番图的这段话相当于现在解方程中的移项，这样丢番图就给出一元一次方程的普遍解法，但他的解法在解算其他问题时也就不一定行了；往往是因题而异，一道题有一种特殊解法.正如19世纪德国史学家韩克尔所说：“近代数学家研究了丢番图100个题后，再去解101道题， 仍然感到十分困难.” 丢番图生平不详，他的唯一的一个简历是从《希腊方集》中找到的，这是由麦特罗尔写的丢番国的“墓志铭”，“墓志铭”是用诗歌写成的，诗词大意是这样：“过路的人！ 这儿埋葬着丢番图， 请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑. 他的一生中的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年，再过去一生的七分之一， 他建立了幸福的家庭， 五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲岁数的一半， 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年， 请你算一算， 丢番图活到多大，
才和死神见面？ 这是一道刻在墓碑上的方程，可以用一元一次方程来解这个问题，具体解法如下： 没丢番图共活了x 岁，童年6x 岁，少年12 x 岁，过去7x 年建立家庭，儿子活了2x 岁，按题目条件可列出方程：x x x x x =+++++42 57126，解得84=x （岁），通过进一步解算可知丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁丧子，本人活了84岁. 到了公元10世纪至于14世纪，《希腊文集》特别流行，它是一本用诗写成的问题集，其中有一道关于毕达哥拉斯的问题就非常出名.
1丢番图逼近 数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。 1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜