第5课 函数的定义域与值域
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1.(必修1P93习题1改编)函数f (x )
1
4x +的定义域为 .
【答案】[1，+∞)
【解析】由-1040x x ≥??
+≠?，，解得x ≥1.
2.(必修1P93习题5改编)已知函数y=x 2
-x 的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为 . 【答案】{0，2，6}
【解析】当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；当x=2时，y=2；当x=3时，y=6，所以值域为{0，2，6}.
3.(必修1P27练习7改编)函数f (x )=x 2-2x-3，x ∈[-1，2]的最大值为 . 【答案】0
【解析】因为f (x )=(x-1)2
-4，所以当x=-1时，函数f (x )取得最大值0.
4.(必修1P32例2改编)函数f (x )=1
1-(1-)x x 的最大值是 .
【答案】4
3
【解析】1-x (1-x )=x 2
-x+1=2
1-2x ?? ???+34≥34.因此，有0<11-(1-)x x ≤43，所以f (x )的最大值为
43.
5.(必修1P36习题13改编)已知函数f(x)=x2的值域为{1，4}，则这样的函数有个. 【答案】9
【解析】定义域为两个元素有{-2，-1}，{-2，1}，{-1，2}，{1，2}；定义域为三个元素有{-2，-1，1}，{-2，-1，2}，{-1，1，2}，{-2，1，2}；定义域为四个元素有{-2，-1，1，2}，故这样的函数一共有9个.
1.函数的定义域
(1)函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.
(2)分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数，奇次根式中被开方数为一切实数；零指数幂中底数不等于0.
(3)对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1，含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.
(4)实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
2.求函数值域的主要方法
(1)函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.
(2)二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用配方法求值域.
(3)分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).
(4)单调函数常根据函数的单调性求值域.
(5)很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用基本不等式求值域.
(6)有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域.
(7)只要是能求导数的函数常采用导数的方法求值域.
【要点导学】
要点导学各个击破
求函数的定义域
例1(1)函数
的定义域是.
(2)设函数f(x)=ln 2
2-
x
x
+
，则函数g(x)=f
2
x
??
?
??+f
1
x
??
?
??的定义域是.
【思维引导】(1)分式函数中分母不等于零；偶次根式函数，被开方式大于或等于0；(2)
对数式中真数大于0，列出不等式组，求解，对应法则“f”作用下的
1
2
x
x
和
是f(x)的定义域
内的值，同时要记住函数的定义域要用集合或区间表示.
【答案】(1)(-3，2)(2)
1
-4-
2
??
?
??
，
∪
1
4
2
??
?
??
，
【解析】(1)由函数解析式可知6-x-x2>0，即x2+x-6<0，故-3 (2)由2 2- x x + >0，得f(x)的定义域为-2 故 -22 2 1 -22 x x ? << ?? ? ?<< ?? ， ， 解得-4 2或 1 2 【精要点评】(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集.(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x))的定 义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是 x ∈[a ，b ]. 【高频考点·题组强化】 1.(2016·苏州期中)函数y=ln(x 2 -x-2)的定义域是 . 【答案】(-∞，-1)∪(2，+∞) 【解析】由题意知，x 2 -x-2>0，解得x>2或x<-1，故函数的定义域为(-∞，-1)∪(2，+∞). 2.函数f (x )=2-111 14-1x x x x ?<≤??<≤??，，， 的定义域是 . 【答案】(-1，4] 【解析】两个分段区间是(-1，1]和(1，4]，取它们的并集得所求函数的定义域为(-1，4]. 3.(2014·山东卷)函数f (x ) = 的定义域为 . 【答案】102?? ? ??，∪(2，+∞) 【解析】由题意得22 0(log )-10x x >??>?，，解得01202x x x >?? ?>< ，或，所以f (x )的定义域为102?? ? ??，∪(2，+∞). 4.(2014·珠海模拟)函数 的定义域为 . 【答案】 1-2∞??+ ???， 【解析】由题意得 10 210 x x +≠ ? ? +> ? ， ， 解得x>- 1 2，所以函数的定义域为 1 - 2 ∞ ?? + ? ?? ， . 5.已知函数f(x)的定义域是[3，10]，则函数f(x+1)的定义域是. 【答案】[2，9] 【解析】因为f(x)的定义域是[3，10]，所以使f(x+1)有意义的条件是3≤x+1≤10，即 2≤x≤9，所以函数f(x+1)的定义域是[2，9]. 求函数的值域 微课1 ● 问题提出 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域，都应先考虑其定义域.有时我们需要求函数在某个区间上的值域，结合函数图象，根据函数图象的分布得出函数的值域.那么，求函数值域的方法有哪些呢? ● 典型示例 例2求下列函数的值域. (1)y=3x2-x+2，x∈[1，3]；(2)y=31 -2 x x + ；(3)y=x+ ；(4)y= 2 2-11 2-12 x x x x +?? > ? ??. 【思维导图】 【规范解答】(1)(配方法)因为y=3x2-x+2=3 2 1 - 6 x ?? ? ??+ 23 12， 所以函数y=3x2-x+2在[1，3]上单调递增， 所以当x=1时，原函数取得最小值4； 当x=3时，原函数取得最大值26， 所以函数y=3x2-x+2(x∈[1，3])的值域为[4，26]. (2)(分离常数法)y=31 -2 x x + = 3(-2)7 -2 x x + =3+ 7 -2 x， 因为 7 -2 x≠0，所以3+ 7 -2 x≠3， 所以函数y=31 -2 x x + 的值域为 {y|y≠3}. (3)(换元法)设 ，t≥0，则x=1-t2， 所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(-∞，5]. (4)(基本不等式法)y= 2 2-1 2-1 x x x + = (2-1)1 2-1 x x x + =x+ 1 2-1 x=x- 1 2+ 1 2 - 2 x + 1 2， 因为x>1 2，所以x- 1 2>0，所以x- 1 2+ 1 2 1 - 2 x 当且仅当x-1 2= 1 2 1 - 2 x ，即 x= 1 2时等号成立， 所以y 1 2 ，即原函数的值域为 1 2 ∞? +? ? ， . 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. ● 总结归纳 (1)首先我们要掌握初中学过的基本初等函数，y=kx，y=kx+b(k≠0)， y=ax2+bx+c(a≠0)，y=k x(k≠0)的值域. (2)求函数值域的常用方法有：直接法、逆求法、换元法、配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法等. ● 题组强化 1.(2016·苏州期中)函数f(x) x-cos x-2(x>0)的值域是. 【答案】[-4，0] 【解析】因为f(x) x-cos x-2=2sin π - 6 x ?? ? ??-2，且x>0，所以sin π - 6 x ?? ? ??∈[-1，1]， 所以函数f(x)的值域是[-4，0]. 2.(2015·扬州调研)函数 的值域为. 【答案】 1 - 2∞ ?? ??? ， 【解析】方法一：(换元法) ，t≥0，x= 2 1- 2 t ，于是y= 2 1- 2 t -t=- 1 2(t+1)2+1， 由于t≥0，所以y≤1 2，故函数的值域为 1 - 2 ∞ ?? ? ?? ， . 方法二：(单调性法)函数的定义域为 1 - 2 ∞ ?? ? ?? ， ，且函数 1 - 2 ∞ ?? ? ?? ， 上单调递增， 所以y≤1 2，故函数的值域为 1 - 2 ∞ ?? ? ?? ， . 3.(2014·海门中学)函数f (x )=2log 01-2(-1)(-3)1x x x x x < ≥? ，，，的值域是 . 【答案】(-∞，2] 【解析】当0 4.(2015·南通中学)函数y=2 52-43x x +的值域是 . 【答案】(0，5] 【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2 +1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0 5]. 5.(2014·青阳中学)若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0，m ]，值域为25--44????? ?，，则实数m 的取值范围是 . 【答案】332?? ??? ?， 【解析】因为f (x )=x 2-3x-4=2 3-2x ?? ???-254，所以f 32?? ???=-25 4.又f (0)=f (3)=-4， 故由二次函数图象可知3 2≤m ≤3. 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围 例3 若函数 R ，求实数a 的取值范围. 【思维引导】 可先求出使函数有意义的不等式(组)，再对其中的参数进行分类讨论即可. 【解答】由题意知当x∈R时，(a2-1)x2+(a-1)x+ 2 1 a+≥0恒成立. ①当a2-1=0，即 2-10 10 a a ?= ? +≠ ? ， 时，得a=1， 此时有(a2-1)x2+(a-1)x+ 2 1 a+=1. 可知当x∈R时，(a2-1)x2+(a-1)x+ 2 1 a+≥0恒成立. ②当a2-1≠0，即 2 22 -10 2 (-1)-4(-1)0 1 a a a a ?> ? ? ?=?≤ ?+ ? ， 时， 有 2 2 1 -1090 a a a ?> ? +≤ ? ， ， 解得1 综上所述，实数a的取值范围是[1，9]. 【精要点评】解决本题的关键是理解函数的定义域是R的意义，并会对函数式进行分类讨论，特别要注意不要遗漏对第一种情况a2-1=0的讨论. 变式(1)(2014·常州一中)若函数f(x)=2 -4 43 x mx mx ++的定义域为R，则实数m的取值范围是. (2)若函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R，则实数m的取值范围是. 【答案】(1) 3 4 ?? ? ??? ， (2)(-∞，1] 【解析】(1)f(x)的定义域为R， 即mx2+4mx+3≠0恒成立. ①当m=0时，符合题意. ②当m≠0时，Δ=(4m)2-4×m×3<0， 即m(4m-3)<0，所以0 综上所述，实数m 的取值范围是304???? ??，. (2)由题意可知x 2 +2x+m 能取遍一切正实数，从而可知Δ=4-4m ≥0，则m ≤1. 新定义下的函数值域创新问题 例4 已知函数f M (x )的定义域为实数集R ，满足f M (x )=10x M x M ∈?? ?? ，，，(M 是R 的非空真子集). 在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A ∩B=?，则F (x )= ()1 ()()1A B A B f x f x f x +++ 的值域为 . 【思维引导】求F (x )的值域→确定f A (x )，f B (x )以及 A B f (x )的取值? ???→函数定义 探讨x 与A ，B ，A ∪B 的关系. 【答案】 {1} (例4) 【解析】因为A ，B 是R 的两个非空真子集，且A ∩B=?， 画出韦恩图如图所示，则实数x 与集合A ，B 的关系可分为x ∈A ，x ∈B ，x ?A 且x ?B 三种. ①当x ∈A 时，根据定义， 得f A (x )=1. 因为A ∩B=?， 所以x ?B ，故f B (x )=0. 又因为A ?(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ， 所以f A ∪B (x )=1. 所以F (x )=()1 ()()1A B A B f x f x f x +++ =11 101+++=1. ②当x ∈B 时，根据定义，得f B (x )=1. 因为A ∩B=?，所以x ?A ，故f A (x )=0. 又因为B ?(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ， 所以f A ∪B (x )=1. 所以F (x )=()1 ()()1A B A B f x f x f x +++ =11 011+++=1. ③当x ?A 且x ?B 时，根据定义， 得f A (x )=0，f B (x )=0. 由图可知，显然x ?A ∪B ，故f A ∪B (x )=0， 所以F (x )=()1 ()()1A B A B f x f x f x +++ =01 001+++=1. 综上，函数的值域中只有一个元素1，即函数的值域为{1}. 【精要点评】(1)如果函数f (x )的定义域为A ，那么f (g (x ))的定义域是使函数g (x )∈A 的x 的取值范围.(2)如果f (g (x ))的定义域为A ，那么函数f (x )的定义域是函数g (x )的值 域.(3)f (g (x ))与f (h (x ))联系的纽带是g (x )与h (x )的值域相同.本题以集合之间的关系为背景考查新定义函数值的计算，所以准确利用已知条件梳理各个集合之间的关系是解决该题的关键.可借助韦恩图表示出各个集合，再根据图形的直观性进行分类，简单又直接. 变式 把本例中“A ∩B=?”变为x ∈A ∩B ，其他条件不变，试求之. 【解答】当x ∈A ∩B 时，因为(A ∩B )?(A ∪B )， 所以必有x ∈A ∪B. 由定义，可知f A (x )=1，f B (x )=1，f A ∪B (x )=1， 所以F (x )=()1 ()()1A B A B f x f x f x +++ =11111+++=23. 故函数F (x )的值域为23?? ?? ??. 1.(2014·苏北四市期末)函数f(x)=lg(2x-3x)的定义域为. 【答案】(-∞，0) 【解析】由2x-3x>0得 2 3 x ?? ? ??>1，所以x<0， 即函数f(x)的定义域为(-∞，0). 2.(2014·江西卷)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为. 【答案】(-∞，0)∪(1，+∞) 【解析】由x2-x>0，得x>1或x<0. 3.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为. 【答案】(0，+∞) 【解析】因为3x+1>1， 所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0. 4.若函数f(x) [0，+∞)，则实数a的取值范围是. 【答案】 1 |10 4 a a a ??≥≤≤ ???? 或 【解析】当a=0时，符合要求；当a>0时，方程ax2+(2a-1)x+1 4=0一定有解，所以Δ=(2a-1)2- 4a×1 4≥0， 所以a≥1或0 综上，实数a的取值范围是 1 |10 4 a a a ?? ≥≤≤ ???? 或 . 5.已知函数f(x) (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的定义域为[-2，1]，求实数a的值. 【解答】(1)①若1-a2=0，即a=±1. 当a=1时，f(x) R，符合题意； 当a=-1时，f(x) [-1，+∞)，不合题意. ②若1-a2≠0，则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数. 由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立， 所以 2 1-0 a ?> ? ?≤ ? ， ， 即 -11 (-1)(115)0 a a a << ? ? +≤ ? ， ， 解得-5 11≤a<1. 综上，实数a的取值范围是 5 ,1 11 ??-????. (2)由题意知，不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2，1]，显然1-a2≠0且-2，1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根， 所以 2 2 2 22 1-0 3(1-) -21 -1 6 -2 1- [3(1-)]-24(1-)0 a a a a a a ?< ? ?+= ? ? ?= ? ??=> ? ， ， ， ， 解得a=2，即实数a的值为2. 趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第9~10页. 【检测与评估】 第5课函数的定义域与值域 一、填空题 1.(2014·江苏压题卷)函数y 的定义域是. 2.函数y 的定义域是. 3.函数y 的值域是. 4.若函数f(x R，则实数k的取值范围为. 5.已知函数y [0，+∞)，那么实数m的取值范围是. 6.若函数y=f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)=1-2f(x+3)的值域是. 7.(2015·福建卷)若函数f(x)= -62 3log2 a x x x x +≤ ? ? +> ? ，， ， (a>0 且a≠1)的值域是[4，+∞)，则实数a 的取值范围是. 8.已知对于函数f(x ，存在一个正数b，使得f(x)的定义域和值域相同，则非零实 数a的值为. 二、解答题 9.已知全集U=R，函数f(x +lg(3-x)的定义域为集合A，集合B={x|-2 (1)求集合?U A； (2)若A∪B=B，求实数a的取值范围. 10.(2015·镇江中学)已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). (1)若函数f(x)的值域为[0，+∞)，求实数a的值； (2)若函数f(x)的值域为非负数，求函数g(a)=2-a|a+3|的值域. 11.已知函数g(x ，函数h(x)= 1 3 x+，x∈(-3，a]，其中a>0，令函数 f(x)=g(x)·h(x). (1)求函数f(x)的解析式，并求其定义域； (2)当a=1 4时，求函数f(x)的值域. 三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果) 12.已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)试求f(x)的值域； (2)设函数g(x)= 2-33 ax x x + (a>0)，若对?s∈(0，+∞)，?t∈(-∞，+∞)恒有g(s)≥f(t)成 立，试求实数a的取值氛围. 【检测与评估答案】 第5课函数的定义域与值域 1.(-2，+∞)【解析】由题意得 1 2 x+≥0，解得x>-2，故所求定义域为(-2，+∞). 2.(-1，1)【解析】函数 2 10 --340 x x x +> ? ? +> ? ， ， 解得-1 3. [0，2]【解析】-x2+4x=-(x-2)2+ - y≤2. 4.[0，1]【解析】由题意知kx2-6kx+(k+8)≥0在R上恒成立.当k=0时，显然成立；当k>0时，有Δ=(-6k)2-4k(k+8)≤0，得0 5. [4，+∞)【解析】当m=0时，不符合题意，所以 2 -40 m m m > ? ? ?=≥ ? ， ， 即m≥4. 6.[-5，-1]【解析】因为1≤f(x)≤3，所以1≤f(x+3)≤3，所以-6≤-2f(x+3)≤-2，所以-5≤F(x)≤-1. 7.(1，2]【解析】当x≤2时，-x+6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，+∞)，只需 f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4，+∞)即可，故a>1，所以f1(x)>3+log a2，所以 3+log a2≥4，解得1 8.-4【解析】若a>0，对于正数b，f(x)的定义域为D= -- b a ∞ ?? ? ?? ， ∪[0，+∞)， 但f(x)的值域A?[0，+∞)，故D≠A，不合要求.若a<0，对于正数b，f(x)的定义域为 D= 0- b a ?? ?? ?? ， .由于此时f(x)max=f - 2 b a ?? ? ?? A= ? ? ?.由题意得- b a b>0，所以a=-4. 9.(1) 因为集合A表示 lg(3-x)的定义域，所以 20 3-0 x x +> ? ? > ? ， ， ，即A=(-2，3)，所以 ?U A=(-∞，-2]∪[3，+∞). (2) 因为A∪B=B，所以A?B，所以a≥3. 即实数a的取值范围是[3，+∞). 10.(1)因为函数的值域为[0，+∞)， 所以Δ=16a 2 -4(2a+6)=0， 所以2a 2 -a-3=0， 解得a=-1或a=3 2. (2)因为对一切x ∈R ，函数值均为非负数，所以Δ=16a 2 -4(2a+6)=8(2a 2 -a-3)≤0，所以-1≤a ≤3 2，所以a+3>0， 所以g (a )=2-a|a+3|=-a 2-3a+2=-2 32a ??+ ???+174. 因为二次函数g (a )在3-12???? ??，上单调递减，所以g 32?? ???≤g (a )≤g (-1)，即-194≤g (a )≤4. 所以函数g (a )的值域为19-44??? ???，. 11. (1) f (x ) =1 3x +，x ∈[0，a ](a>0). (2) 由(1)知函数f (x )的定义域为104??? ???，. 令 1=t ， 则x=(t-1)2 ，t ∈312??????，， 则f (x )=F (t )=2 -24t t t +=14-2t t +. 因为当t=4t 时，t=±2?312??? ???，， 又当t ∈312???? ??，时，y=t+4t 单调递减， 故F(t)单调递增，所以F(t)∈ 16 313 ?????? ， . 所以函数f(x)的值域为 16 313 ?????? ， . 12.(1)f(x)∈[-3，3]. (2) 当x>0时，g(x)= 2-33 ax x x + =ax-3+ 3 x -3， 当且仅当ax2=3时等号成立，即g(x)min= -3.由(1)知f(x)max=3. 对?s∈(0，+∞)，?t∈(-∞，+∞)恒有g(s)≥f(t)成立，即g(x)min≥f(x)max， 由 -3≥3，得a≥3，所以实数a的取值范围是[3，+∞). 第1讲 集合及其运算 A 应知应会 一、 选择题 1. (2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0},B ＝{x |x －1<0},则A ∩B 等于( ) A. (－∞,1) B. (－2,1) C. (－3,－1) D. (3,＋∞) 2. (2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2},B ＝{x |x 2≤1},则A ∩B 等于( ) A. {－1,0,1} B. {0,1} C. {－1,1} D. {0,1,2} 3. (2019·宁德质检)已知集合A ＝{x |x ≥1},B ＝{x |x 2－2x －3<0},则A ∪B 等于( ) A. {x |1≤x <3} B. {x |x ＞－1} C. {x |1 B 巩固提升 一、 填空题 1. (2018·南通模拟)已知集合A ＝{0,e x },B ＝{－1,0,1},若A ∪B ＝B ,则x ＝________． 2. (2018·青岛模拟)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0},B ＝? ??? ??x |2x ≤14 ,则(?R A )∩B ＝________． 3. (2019·张家口期末)已知全集U ＝Z,A ＝{x |x ＝3n －1,n ∈Z},B ＝{x ||x |＞3,x ∈Z},则A ∩(?U B )中元素的个数为________． 4. (2019·深圳调研)已知集合M ＝{x |x ＞0},N ＝{x |x 2－4≥0},则M ∪N ＝________． 二、 解答题 5. 设集合U ＝{2,3,a 2＋2a －3},A ＝{|2a －1|,2},?U A ＝{5},求实数a 的值． 6. 已知全集S ＝{1,3,x 3＋3x 2＋2x },A ＝{1,|2x －1|},如果?S A ＝{0},则这样的实数x 是否存在？若存在,请说明理由． 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 1 2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（四） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i 1i +等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ． π6 B ． π4 C ． π3 D ． π2 3．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a = ，b =， π 6A =，则B =（ ） A ． π6 B ． π3 C ． π6或5π6 D ． π3或2π 3 4．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八 卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ） A ． 328 B ． 332 C ． 532 D ． 556 5．[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ） A ．24 π + B ．12 π- C ．14π- D ．13 6．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ） A ．12k ≤ B ．11k ≤ C ．10k ≤ D ．9k ≤ 7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1- 8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ） A B ． C ．D ．9．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A B C ．13 D ． 3 10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单 价的910．若这堆货物总价是910020010n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ） 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.3 三角函数的化简与 求值对点训练 理 1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－3 2 B.32 C ．－12 D.12 答案 D 解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝1 2. 2．化简 cos40° cos25°1－sin40° ＝( ) A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C 解析 原式 ＝ cos 220°－sin 220° cos25° sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220° ＝ cos 220°－sin 220°cos25° cos20°－sin20° ＝ 2sin65°cos25°＝2cos25° cos25° ＝ 2. 3．已知向量a ＝? ????sin ? ????α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ? ????α＋4π3＝( ) A ．－3 4 B ．－14 C.34 D.14 答案 B 解析 ∵a ⊥b ， ∴a ·b ＝4sin ? ?? ?? α＋π6＋4cos α－3 ＝2 3sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ? ???? α＋π3－3＝0， ∴sin ? ????α＋π3＝14 . ∴sin ? ????α＋4π3＝－sin ? ?? ??α＋π3＝－14. 4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1 7，则tan β的值为________． 答案 3 解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ tan α＋β－tan α 1＋tan α＋βtan α ＝ 1 7＋2 1－ 27 ＝3. 5．sin15°＋sin75°的值是________． 答案 62 解析 解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62 . 解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15° ＝ 2sin(45°＋15°)＝ 2sin60°＝6 2 . 6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π 3的交 点，则φ的值是________． 答案 π6 解析 显然交点为? ?? ?? π3，12， 阶段检测卷(第七第八单元) 注意事项: 1. 本试卷满分100分，考试时间60分钟。 2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内。 3. 请同学们根据老师批改需要将选择题的答案填写在试卷第4页的答题栏内。 一、单项选择题:本大题共20小题，每小题3分，满分60分。每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 据史料记载，唐初诏令男20岁、女15岁即要结婚成家。唐玄宗又敕令，男15岁、女13岁，听婚嫁。“刺史、县令以下官人，若能使婚姻及时，鳏寡数少，量准户口增多，以进考第”。该措施的主要目的是( ) A. 促进人口增长 B. 稳定地方秩序 C. 完善政绩考核 D. 增加政府收入 2. 明朝成化年间，徽州人江才3岁丧父，家道中落，13岁时与其兄奔走于青齐梁宋之间，贩运商品，牟取厚利。发迹后，荣归故里，广置田园，大兴宅地。此举反映了( ) A. 小农意识根深蒂固 B. 政府鼓励商业发展 C. 徽人独具商业传统 D. 农产品商品化增强 3. “江南水轮不假人，智者创物真大巧。一轮十筒挹且注，循环下上无时了。”(《土贵要予赋水轮》)该诗描述的灌溉工具是( ) A B C D 4. 宋代梅尧臣有诗云:“既如车轮转，又若川虹饮。能移霖雨功，自致禾苗稔。”该诗所描写的工具( ) A. 用于农田犁耕 B. 借助水力鼓风冶铁 C. 便于交通运输 D. 利用水力灌溉农田 5. 《秦律·均工》规定:“新工初工事，一岁半红(功)，其后岁赋红(功)与故等。工师善教之，故工一岁而成，新工二岁而成。能先期成学者谒上，上且有以赏之。盈期不成学者，籍书而上内史。”材料说明当时( ) A. 手工业官营制度开始形成 B. 注重管理手工业者的劳动 C. 严格限制手工业生产规模 D. 手工技艺的传承不再封闭 6. 世界著名经济史学家贡德弗兰克认为:“11世纪和12世纪的宋代，中国无疑是世界上经济最先进的地区。自11世纪和12世纪的宋代以来，中国的经济在工业化、商业化、货币化和城市化方面远远超过世界其他地方。”下列史实不能够印证材料观点的是( ) A. 交子的出现 B. 坊市界限的突破 C. 商帮的形成 D. 官营手工业的发达 7. 唐代歌咏扬州的名诗佳句很多，有陈羽的“霜落寒空月上楼，月中歌吹满扬州”。李绅的“夜桥灯火连星汉，水郭帆樯近斗牛”。司马光的“万商落日船交尾，一市春风酒并垆”。由此可见当时的扬州( ) ① 来自全国各地的商帮势力强大② 城市中饮食服务设施完备③ 突破时间限制，夜市繁荣④ 商业运输主要借助水路进行 A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 8. 受京杭大运河等因素的综合影响，唐朝时扬州是工商业繁荣的大都会。扬州当时可能出现的场景是( ) A. “大街两边民户铺席……约十余里” B. “南北水陆商货在此云集，海上商船在此起航停泊” C. “夜市直至三更才结束，五更又开晓市” 第八章 解析几何 第41讲 直线的斜率与方程 A 应知应会 一、 选择题 1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－1 4 的直线方程为 ( ) A. 3x ＋4y ＋15＝0 B. 3x ＋4y ＋6＝0 C. 3x ＋y ＋6＝0 D. 3x －4y ＋10＝0 2. 直线2x cos α－y －3＝0??? ?α∈????π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ????π6，π3 B. ????π4，π3 C. ????π4，π2 D. ????π4，2π 3 3. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ????π4－x ＝f ????π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A. π4 B. π3 C. 2π3 D. 3π 4 4. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( ) A. m ＝－3 ,n ＝1 B. m ＝－3 ,n ＝－3 C. m ＝3 ,n ＝－3 D. m ＝3 ,n ＝1 二、 解答题 6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1 3 的直线方程． 7. 求适合下列条件的直线方程． (1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等； (2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程． B巩固提升 一、填空题 1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________． 2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． 3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________． 4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________． 二、解答题 5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M； (2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程． 6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交 OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝1 2x上时,求直线AB的方程． (第6题) F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 第二章 基本初等函数 第6讲 函数的概念及其表示方法 A 组 应知应会 一、 选择题 1. (2019·北京一模)已知函数f (x )＝x 3－2x ,则f (3)等于( ) A. 1 B. 19 C. 21 D. 35 2. (2019·石家庄二模)设集合M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( ) A B C D 3. (2019·厦门质检)已知函数f (x )＝???? ?3x ，x ≤0，－????12x ，x >0， 则f (f (log 23))等于( ) A. －9 B. －1 C. －13 D. －1 27 4. (2019·河南名校段测)设函数f (x )＝?????log 3x ，0＜x ≤9，f （x －4），x ＞9， 则f (13)＋2f ????13 的值为( ) A. 1 B. 0 C. －2 D. 2 5. (2019·河北衡水)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为??? ?－25 4，－4 ,则实数m 的取值范围是( ) A. (0,4] B. ????32，4 C. ????32，＋∞ D. ??? ?3 2，3 二、 解答题 6. (1) 已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,求f (x )的解析式． (2) 已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ???? 1x ·x －1,求f (x )的解析式． 7. 已知 f (x )＝x 2－1, g (x )＝? ?? ??x －1，x >0，2－x ，x <0. (1) 求f (g (2))和g (f (2))的值； (2) 求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式． 2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） 全国高考新课标卷高考总复习二轮提优导学案 化学详解详析 第一篇高考选择题突破 微专题一化学与STSE 【高考回眸】 1. C 2. D 3. A 4. A 5. D 6. A 7. C 8. C 9. C 10. D 【模考前沿】 1. A 2. C 3. B 4. B 【举题固法】 例1 D 解析橡胶有天然橡胶和合成橡胶,不一定是合成高分子化合物,D错误。 变式1 A 解析保鲜膜属于塑料,是合成纤维,橡胶手套是合成橡胶,棉布围裙的成分是棉花,是天然纤维,A错误。 例2 B 解析蛋白质氧化分解时可提供能量,氧化分解的产物是二氧化碳、水和尿素等,尿素通过尿液排出,B正确。 变式2 D 解析食品添加剂要放适量,否则会影响人体健康,D错误。 例3 B 解析大气中的PM2.5会导致雾霾的形成,B正确。 变式3 C 解析没有紫外线时上述反应不能发生,C错误。 例4 A 解析丝绸的主要成分是蛋白质,属于天然高分子化合物,A正确。 变式4 B 解析淀粉和纤维素属于糖类,但没有甜味,B错误。 例5 C 解析N2、通过分析,气体2为一氧化碳和氮气的混合气体,氮气无污染,所以捕获气体为一氧化碳,C正确。 变式5 B 解析偏铝酸钠与碳酸氢铵发生反应生成碳酸钠、碳酸铵和氢氧化铝,故“沉淀”为Al(OH)3,B错误。 【能力评价】 1. D 2. C 解析电热水器用镁棒防止金属内胆腐蚀,原理是镁和铁连接后,镁失去电子受到腐蚀,从而保护铁不受腐蚀,此方法为牺牲阳极的阴极保护法,C正确。 3. B 4. B 解析卤块(主要成分为MgCl2,含Fe2+、Fe3+等杂质离子)加入硫酸溶解,由于氢氧化亚铁难以除去,则应加入氧化剂氧化亚铁生成铁离子,然后调节pH生成氢氧化铁沉淀过滤除去,滤液主要成分为硫酸镁、硫酸等,加入碳酸氢铵,可生成轻质碱式碳酸镁、二氧化碳,碳酸氢铵过量,则“料液Ⅱ”可呈碱性。氢氧化亚铁为絮状沉淀,不易从溶液中除去,沉淀为氢氧化铁,A错误;B正确;加入碳酸氢铵生成碱式碳酸镁,生成的二氧化碳不参与反应,C错误;“料液Ⅱ”呈碱性,D错误。 微专题二基础有机化学 【高考回眸】 1. D 2. C 解析C4H10有两种结构,正丁烷和异丁烷,采用“定一移一”即“定Cl移Br”确定同分异构体的数目。 (4种) (4种) (3种) (1种) 3. C 4. D 5. B 6. AB 7. A 8. C 【模考前沿】 1. B 解析乙醇、苯乙醇和乙酸分别含有羟基、羧基,都可与钠反应,生成氢气,B正确。 2. B 解析分子中含有饱和碳原子,中心碳原子与顶点上的4个碳原子形成4个共价单键,应是四面体构型,则分子中四个碳原子不可能在同一平面上,B错误。 3. A 解析因为烷烃C6H14仅能由1种单炔烃加氢而制得,所以其结构简式可能是CH3CH2C(CH3)3、CH3CH2CH(CH3)CH2CH3,A正确。 4. B 【举题固法】 例1 C 变式1 C 例2 D 变式2 D 例3 AD 变式3 C 【能力评价】 1. B 解析碳酸氢钠溶液和乙酸反应产生气体,和乙醇不反应但能互溶,与甲苯不溶分层,故能鉴别,B正确。 2. B 3. B 解析分子式为C4H8O2,可看成只有4个C、4个H消耗氧气,则1 mol二噁烷完全燃烧消耗O2为1 mol×(4+4 4)=5 mol,B正确。 4. D 微专题三化学实验操作与评价 【高考回眸】 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 解析乙烯中含有碳碳双键,与酸性高锰酸钾溶液发生氧化反应,高锰酸钾被还原,溶液的紫色逐渐褪去,静置后溶液不分层,A错误。 6. A 7. B 8. D 9. D 10. D 11. A 【模考前沿】 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 第三章 导数及其应用 第15讲 导数的几何意义和四则运算 A 应知应会 一、 选择题 1. 已知f (x )＝x (2 018＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 019,则x 0等于( ) A. e 2 B. 1 C. ln 2 D. e 2. 若函数f (x )＝ 33 x 3 ＋ln x －x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线的倾斜角是( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6 3. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)·cos x －ax 在(0,f (0))处的切线倾斜角为45°,则a 等于( ) A. －2 B. －1 C. 0 D. 3 4. (2019·泰安一模)已知函数f (x )满足f ????x 2 ＝x 3－3x ,则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( ) A. 0 B. 9 C. 18 D. 27 5. 已知曲线y ＝sin x 在点P (x 0,sin x 0)(0≤x 0≤π)处的切线为l ,则下列各点中不可能在直线l 上的是( ) A. (－1,－1) B. (－2,0) C. (1,－2) D. (4,1) 二、 解答题 6. 求下列函数的导数． (1) y ＝5 x 3 ； (2) y ＝1x 4 ； (3) y ＝－2sin x 2 ? ???1－2cos 2x 4 ； (4)y ＝log 2x 2－log 2x . 7. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限． (1) 求P 0的坐标； (2) 若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程． 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 2019年高考数学模拟试题(含答案) 一、选择题 1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 2．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 9．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 10．在[0,2]π内，不等式3 sin 2 x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33 ππ?? ??? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 11．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4 π- 12． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D 3二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在ABC 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于1[0,]2 的概率为 ． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 18．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则 ACB =∠______________. 19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥 2017届高考数学一轮复习详细计划及资料推荐_考前复习 高三数学学习可以分为三个阶段：1.一轮复习（至2017年元旦前后）：夯实基础，构建知识体系，强化能力训练；2.二轮复习（从一轮结束至三模结束）：固化与应用，优化思维模式；3.考前冲刺（考前一个月）：巩固已知，调整状态。 一轮复习特点：时间长，任务重，此特点与《课程标准》中“培养学生实事求是的态度，锲而不舍的精神”吻合；学生易懈怠、易迷茫、易焦虑。 一轮复习数学资料：一轮复习讲义、教材（10本）、章节测试、08年——12年高考试题分类汇编、天利38套模拟试题、2013年高考真题。 一轮复习着重从知识、方法、能力、技巧四方面入手，为实现二轮复习“数学思想统领学习”的目标做下坚实基础。知识与方法可以跟随老师的讲解及时整理记忆，与原有知识结构实现对接，实现知识与方法的零死角；能力的提升需要自己细致扎实的练习与思考，基础能力：总结反思、语言表达、阅读理解，学科能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理；技巧是从勤勉的实践中点滴积累起来的，是反复感知与应用后沉淀下的极其实用的小绝招，每个个体总结的技巧是不尽一致的。 一轮复习思路千百种，现仅从“如何搭配练习册及试卷的应用”的角度对一轮复习大致框架加以论述： 1. 无论复习哪一学科，都要有一个系统的练习过程，认准一本复习资料加以练习不放松。课堂上，按照拟好的“主线”进行复习，“函数、几何、概率统计、运算、算法、数学应用”六条主线将课标内容纵横交织，打破资料章节顺序，优化组合串讲课标所要求考点。 2. 新课标精神的直接体现就是教材，重读教材意义重大。要读初学时未关注的细节，要关注数学概念、法则、结论的发展过程。教材上练习题不必每道必做，根据实际情况，有选择地挑出一些必做题。我将依照教材内容组织一张练习卷，尽可能检验出大家对教材的熟悉程度及理解的深度。 3. 必备的章节模拟训练是不可少的，一段时间的复习后来个小测验，及时对所学有一个检验，也时刻提醒我们要注意多回头看看。章节测试所用试题由我为大家提供，在每个章末测试一张卷，限时训练，之后，学生再进行局部弥补性练习。 4. 前几年的高考题就是最好的模拟题，去年暑假始，我们已着手做“分类汇编”，一轮复习时，紧跟模块复习完成“分类汇编”上尚未完成的任务，并且从做过的试题中寻找规律性的东西也是必须面对的任务。 5. 一轮复习战线过长，不对过往重点知识加以多次循环则不能识其本质。天利38套的应用：每周每个同学利用课余时间写一套模拟题，每周日晚上“就题论题，不举一反三”。目的：化整为零，保持新鲜感，给学生以充分思考交流的空间和时间。计划进行20周，余下的试卷由学生自行处理。 6. 不能急于完成“2013年高考真题”，我们可以使其发挥更大利用价值。将这19套真题作为一个研究平台，我们要逐一细致分析试卷的规律性。从哪些角度分析？分析什么内容？如何利用分析结论？这些都会使我们的思考更有条理，使我们的表达更清晰。 江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{ 2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞ 3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ，则αtan ． 【答案】3- 4．在ABC ?中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】 3 2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】 4 3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1 7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y 8．实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 9．在ABC ?中，0 60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若?=?2，则 AD ． 【答案】 3 3 2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则 =d ． 【答案】 6 π 11．如图，在四边形ABCD 中，0 60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=， CD CF λ=其中0>λ，若15=?AD EF ，则λ的值为 ． 【答案】 2 5 12．已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ． 【答案】}1{- 13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2 1 1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5( 14．在ABC ?中，3tan -=A ，ABC ?的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00?≥?，则线段BC 的长为 ． 【答案】6 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. （1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值.高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第一章
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