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天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷(理科) (Word版含解析)

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天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷(理科)

一、选择题(每小题有且只有1个选项符合题意,将正确的选项涂在答题卡上,每小题5分,共40分.)

1.(5分)复数z满足(z﹣i)(2﹣i)=5,则z=()

A.﹣2﹣2i B.﹣2+2i C.2﹣2i D.2+2i

2.(5分)已知全集U=R,A={y|y=2x+1},B={x||x﹣1|+|x﹣2|<2},则(?U A)∩B=()A.?B.{x|<x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}

3.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.2B.4C.5D.20

4.(5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则()

A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l

5.(5分)设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2的最大值为()

A.2B.C.1D.

6.(5分)设,则对任意实数a,b,a+b≥0是f(a)+f

(b)≥0的()

A.充分必要条件B.充分而非必要条件

C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件

7.(5分)如图F1、F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()

A.B.C.D.

8.(5分)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是()

A. B.

C.D.

二、填空题:(每小题5分,共30分.)

9.(5分)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果

是.

10.(5分)已知,则二项式的展开式中含x2项的系数是.

11.(5分)如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,CA=5,D是BC的中点,BE⊥AC于E,BE的延长线交△DEC的外接圆于F,则EF的长为.

12.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为

(θ为参数)则圆C上的点到直线l的距离的最大值为.

13.(5分)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=3,BC=4,△ACD是等边三角形,则的值为.

14.(5分)已知函数f(x)=a x+x2﹣xlna,对?x1,x2∈[0,1]不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤a﹣1恒成立,则a的取值范围.

三、解答题:(15-18每小题13分,19-20每小题13分,共80分.)

15.(13分)甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试,在备选的6道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙只能答对其中的3道

题.答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)得0分.

(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;

(Ⅱ)规定:每个人至少得20分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.

16.(13分)已知函数f(x)=2sinxcosx﹣2cos2x+1

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;

(2)在△ABC中,若f()=2,b=1,c=2,求a的值.

17.(13分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;

(Ⅱ)求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;

(Ⅲ)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.

18.(13分)如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.

(Ⅰ)求椭圆E的方程.

(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

19.(14分)已知数列{a n}的前n项和为S n,若4S n=(2n﹣1)a n+1+1,且a1=1.

(Ⅰ)证明:数列{a n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式;

(Ⅱ)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<.

20.(14分)设函数f(x)=lnx+x2﹣ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(0,1],求证:f(x1)﹣f(x2)≥﹣+ln2;(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2ln,对于任意a∈(2,4),总存在,使g(x)>k(4﹣a2)成立,求实数k的取值范围.

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(每小题有且只有1个选项符合题意,将正确的选项涂在答题卡上,每小题5分,共40分.)

1.(5分)复数z满足(z﹣i)(2﹣i)=5,则z=()

A.﹣2﹣2i B.﹣2+2i C.2﹣2i D.2+2i

考点:复数代数形式的乘除运算.

专题:数系的扩充和复数.

分析:由复数z满足(z﹣i)(2﹣i)=5,变形为,再利用复数的运算法则即可

得出.

解答:解:∵复数z满足(z﹣i)(2﹣i)=5,

∴==2+2i.

故选:D.

点评:本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

2.(5分)已知全集U=R,A={y|y=2x+1},B={x||x﹣1|+|x﹣2|<2},则(?U A)∩B=()

A.?B.{x|<x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}

考点:绝对值不等式的解法;交、并、补集的混合运算;函数的值域.

专题:集合.

分析:求出两个集合,然后求解补集以及交集即可.

解答:解:全集U=R,A={y|y=2x+1}={y|y>1},∴?U A={y|y≤1}

B={x||x﹣1|+|x﹣2|<2}={x|},

则(?U A)∩B={x|<x≤1}.

故选:B.

点评:本题考查函数的定义域,绝对值不等式的解法,集合的交、并、补的运算,考查计算能力.

3.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.2B.4C.5D.20

考点:简单线性规划.

专题:不等式的解法及应用.

分析:本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再求

出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数2x+3y 的最小值.

解答:解:由约束条件得如图所示的三角形区域,

令2x+3y=z,显然当平行直线过点A(2,0)时,

z取得最小值为4;

故选B.

点评:在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解.

4.(5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则()

A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l

考点:平面与平面之间的位置关系;平面的基本性质及推论.

专题:空间位置关系与距离.

分析:由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正确的结论.

解答:解:由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l?α,所以l∥α,

又n⊥平面β,l⊥n,l?β,所以l∥β.

由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m∥n,

与m,n异面矛盾.

故α与β相交,且交线平行于l.

故选D.

点评:本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面的基本性质及推论,考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题.

5.(5分)设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2的最大值为()

A.2B.C.1D.

考点:基本不等式在最值问题中的应用.

专题:不等式的解法及应用.

分析:将x,y用a,b表示,用基本不等式求最值

解答:解:∵a x=b y=3,

∴x=log a3=,y=log b3=,

当且仅当a=b时取等号

故选项为C

点评:本试题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力

6.(5分)设,则对任意实数a,b,a+b≥0是f(a)+f

(b)≥0的()

A.充分必要条件B.充分而非必要条件

C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数单调性的性质;奇函数.

专题:计算题;压轴题.

分析:由f(﹣x)=﹣x3+log2(﹣x+)=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2(x+)

=﹣f(x),知f(x)是奇函数.所以f(x)在R上是增函数,a+b≥0可得af(a)+f(b)≥0成立;若f(a)+f(b)≥0则f(a)≥﹣f(b)=f(﹣b)由函数是增函数知a+b≥0成立a+b >=0是f(a)+f(b)>=0的充要条件.

解答:解:f(x)=x3+log2(x+),f(x)的定义域为R

∵f(﹣x)=﹣x3+log2(﹣x+)=﹣x3+log2

=﹣x3﹣log2(x+)=﹣f(x).

∴f(x)是奇函数

∵f(x)在(0,+∞)上是增函数

∴f(x)在R上是增函数

a+b≥0可得a≥﹣b

∴f(a)≥f(﹣b)=﹣f(b)

∴f(a)+f(b)≥0成立

若f(a)+f(b)≥0则f(a)≥﹣f(b)=f(﹣b)由函数是增函数知

a≥﹣b

∴a+b≥0成立

∴a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的充要条件.

点评:本题考查充要条件的判断,解题时要注意单调性的合理运用.

7.(5分)如图F1、F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()

A.B.C.D.

考点:椭圆的简单性质.

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意,解此方程组可求得x,y的值,利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率.

解答:解:设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点A为椭圆C1:+y2=1上的点,

∴2a=4,b=1,c=;

∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4;①

又四边形AF1BF2为矩形,

∴+=,即x2+y2=(2c)2==12,②

由①②得:,解得x=2﹣,y=2+,设双曲线C2的实轴长为2m,焦距为2n,

则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2,2n=2=2,

∴双曲线C2的离心率e===.

故选D.

点评:本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.

8.(5分)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是()

A. B.

C.D.

考点:轨迹方程.

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:设出F1,F2的坐标,在设出动点M的坐标,由新定义列式后分类讨论去绝对值,然后结合选项得答案.

解答:解:设F1(﹣c,0),F2(c,0),

再设动点M(x,y),动点到定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于m(m>2c>0),

由题意可得:|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m,

即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m.

当x<﹣c,y≥0时,方程化为2x﹣2y+m=0;

当x<﹣c,y<0时,方程化为2x+2y+m=0;

当﹣c≤x<c,y≥0时,方程化为y=;

当﹣c≤x<c,y<0时,方程化为y=c﹣;

当x≥c,y≥0时,方程化为2x+2y﹣m=0;

当x≥c,y<0时,方程化为2x﹣2y﹣m=0.

结合题目中给出的四个选项可知,选项A中的图象符合要求.

故选:A.

点评:本题考查轨迹方程的求法,考查了分类讨论的数学思想方法,解答的关键是正确分类,是中档题.

二、填空题:(每小题5分,共30分.)

9.(5分)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是

10.

考点:程序框图.

专题:图表型.

分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出S值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最终的输出结果.

解答:解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:

S n 是否继续循环

循环前0 1

第一圈0 2 是

第二圈 3 3 是

第三圈 5 4 是

第四圈10 5 否

此时S值为10.

故答案为:10.

点评:本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题.

10.(5分)已知,则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192.

考点:二项式定理的应用;定积分.

专题:计算题;概率与统计.

分析:先求定积分得出a的值,再在二项式展开式的通项公式中,再令x的系数等于2,求得r的值,即可求得展开式中含x2项的系数.

解答:解:∵已知=(sinx﹣cosx)=2,

则二项式=的展开式的通项公式为

T r+1=??(﹣1)r?=?x3﹣r.

令3﹣r=2,解得r=1,故展开式中含x2项的系数是=﹣192,

故答案为﹣192.

点评:本题主要考查求定积分,二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.

11.(5分)如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,CA=5,D是BC的中点,BE⊥AC于E,BE的延长线交△DEC的外接圆于F,则EF的长为.

考点:与圆有关的比例线段.

专题:直线与圆;推理和证明.

分析:由已知条件求出BD=2,BE=,再由切割线定理知BE?BF=BD?BC,由此能求出

EF.

解答:解:∵在△ABC中,AB=3,BC=4,CA=5,

D是BC的中点,BE⊥AC于E,

∴BD=2,BE==,

∵BE?BF=BD?BC,

∴,

解得EF=.

故答案为:.

点评:本题考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.

12.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为

(θ为参数)则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3.

考点:参数方程化成普通方程.

专题:坐标系和参数方程.

分析:直线l的参数方程为(t为参数),消去参数化为3x﹣4y+4=0,圆C的参

数方程为(θ为参数),利用cos2θ+sin2θ=1,可得圆的普通方程.求出圆心到直线l的距离d.即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r.

解答:解:直线l的参数方程为(t为参数),消去参数化为3x﹣4y+4=0,

圆C的参数方程为(θ为参数),∵cos2θ+sin2θ=1,∴圆的普通方程为(x﹣2)2+y2=1.

圆心(2,0)到直线l的距离d==2.

则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3.

故答案为:3.

点评:本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

13.(5分)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=3,BC=4,△ACD是等边三角形,则的值为.

考点:平面向量数量积的运算.

专题:平面向量及应用.

分析:通过题意可知AD=AC=5,cos∠CAD=,cos∠BAC=,利用=?﹣

?,代入计算即可.

解答:解:∵AB⊥BC,AB=3,BC=4,

∴AC==5,cos∠BAC=,

又∵△ACD是等边三角形,

∴AD=AC=5,cos∠CAD=,

=?(﹣)

=?﹣?

=﹣

=,

故答案为:.

点评:本题考查平面向量数量积的运算,注意解题方法的积累,属于中档题.

14.(5分)已知函数f(x)=a x+x2﹣xlna,对?x1,x2∈[0,1]不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤a﹣1恒成立,则a的取值范围a≥e.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值.

专题:计算题;导数的综合应用.

分析:对?x1,x2∈[0,1]不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤a﹣1恒成立等价于|f(x1)﹣f(x2)|max≤a ﹣1,而|f(x1)﹣f(x2)|max=f(x)max﹣f(x)min,利用导数可判断函数的单调性,由单调性可求得函数的最值,解不等式即可.

解答:解:f′(x)=a x lna+2x﹣lna=(a x﹣1)lna+2x,

当a>1时,x∈[0,1]时,a x≥1,lna>0,2x≥0,

此时f′(x)≥0;

当0<a<1时,a x≤1,lna<0,2x≥0,此时也有f′(x)≥0,

综上知,f(x)在[0,1]上单调递增,

f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(1)=a+1﹣lna,

而|f(x1)﹣f(x2)|≤f(x)max﹣f(x)min=a﹣lna,

由题意得,a﹣lna≤a﹣1,解得a≥e,

故答案为:a≥e.

点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查恒成立问题,考查转化思想,考查学生解决问难的能力.

三、解答题:(15-18每小题13分,19-20每小题13分,共80分.)

15.(13分)甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试,在备选的6道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙只能答对其中的3道

题.答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)得0分.

(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;

(Ⅱ)规定:每个人至少得20分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.

考点:离散型随机变量的期望与方差.

专题:概率与统计.

分析:(Ⅰ)确定乙得分的取值,求出相应的概率,即可求得分布列和数学期望;(Ⅱ)利用对立事件的概率公式,即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.

解答:解:(Ⅰ)设乙的得分为X,X的可能值有0,10,20,30…(1分)

,,

…(5分)

乙得分的分布列为:

X 0 10 20 30

P

…(6分)

所以乙得分的数学期望为15…(8分)

(Ⅱ)乙通过测试的概率为…(9分)

甲通过测试的概率为…(11分)

甲、乙都没通过测试的概率为

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…(13分)

点评:本题考查概率的求解,考查离散型随机变量的分布列与期望,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

16.(13分)已知函数f(x)=2sinxcosx﹣2cos2x+1

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;

(2)在△ABC中,若f()=2,b=1,c=2,求a的值.

考点:两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;余弦定理.

专题:三角函数的图像与性质;解三角形.

分析:(Ⅰ)函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期,由正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)由f()=2,得到sin(A﹣)=1,确定出A的度数,求出cosA的值,再由b,c 的值,利用余弦定理即可求出a的值.

解答:解:(Ⅰ)f(x)sin2x﹣cos2x=2(sin2x﹣cos2x)=2sin(2x﹣),

∵ω=2,∴最小正周期T==π;

由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z得,kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,

则f(x)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+](k∈Z);

(Ⅱ)∵f()=2,∴2sin(A﹣)=2,即sin(A﹣)=1,

∴A﹣=+2kπ,k∈Z,即A=+2kπ,k∈Z,

又0<A<π,∴A=,

由余弦定理及b=1,c=2,cosA=﹣得:a2=b2+c2﹣2bccosA=7,即a2=1+4+2=7,

解得:a=.

点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,二倍角的正弦、余弦函数公式,余弦定理,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

17.(13分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;

(Ⅱ)求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;

(Ⅲ)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间角.

分析:(I)利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性质即可证明;(II)利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC.通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角;

(III)设点D的竖坐标为t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得

D,利用向量垂直于数量积得关系即可得出.

解答:(I)证明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,

∴AA1⊥平面ABC.

(II)解:由AC=4,BC=5,AB=3.

∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.

建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),

∴,,.

设平面A1BC1的法向量为,平面B1BC1的法向量为=(x2,y2,z2).

则,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴.

,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴.

===.

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为.

(III)设点D的竖坐标为t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得

D,

∴=,=(0,3,﹣4),

∵,∴,

∴,解得t=.

∴.

点评:本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.

18.(13分)如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.

(Ⅰ)求椭圆E的方程.

(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.

专题:综合题;压轴题.

分析:(Ⅰ)根据过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8,可得4a=8,即a=2,利用e=,b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆E的方程.

(Ⅱ)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,利用动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),可得m≠0,△=0,进而可得P(,),由

得Q(4,4k+m),取k=0,m=;k=,m=2,猜想满足条件的点M存在,只能是M

(1,0),再进行证明即可.

解答:解:(Ⅰ)∵过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.

∴4a=8,∴a=2

∵e=,∴c=1

∴b2=a2﹣c2=3

∴椭圆E的方程为.

(Ⅱ)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0

∵动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0)

∴m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0

∴4k2﹣m2+3=0①

此时x0==,y0=,即P(,)

由得Q(4,4k+m)

取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x﹣2)2+(y﹣)2=4,交x轴于点M

1(1,0)或M2(3,0)

取k=,m=2,此时P(1,),Q(4,0),以PQ为直径的圆为(x﹣)2+(y﹣)2=,交x轴于点M3(1,0)或M4(4,0)

故若满足条件的点M存在,只能是M(1,0),证明如下

故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M(1,0)

点评:本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系,考查运算能力,考查化归思想,属于中档题.

19.(14分)已知数列{a n}的前n项和为S n,若4S n=(2n﹣1)a n+1+1,且a1=1.

(Ⅰ)证明:数列{a n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式;

(Ⅱ)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<.

考点:数列的求和.

专题:等差数列与等比数列.

分析:(Ⅰ)利用4S n=(2n﹣1)a n+1+1,写出4S n﹣1=(2n﹣3)a n+1,两式相减,得

,利用累加法求解a n,判断数列{a n}是首项为1,公差为2的等差

数列.

(Ⅱ)利用放缩法以及裂项法,直接证明求解即可.

解答:(Ⅰ)证明:因为4S n=(2n﹣1)a n+1+1,所以当n≥2时,4S n﹣1=(2n﹣3)a n+1,两式相减,得4a n=(2n﹣1)a n+1﹣(2n﹣3)a n(n≥2),

所以(2n+1)a n=(2n﹣1)a n+1,即,

在4S n=(2n﹣1)a n+1+1中,令n=1,得a2=3,

所以

=,

所以a n﹣a n﹣1=(2n﹣1)﹣(2n﹣3)=2(n≥2),

故数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列,且a n=2n﹣1.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,,

当n=1时,;

当n≥1时,,所以.

点评:本题考查等差数列的判定,数列的递推关系式的应用,放缩法以及裂项求和的应用,考查分析问题解决问题的能力.

20.(14分)设函数f(x)=lnx+x2﹣ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(0,1],求证:f(x1)﹣f(x2)≥﹣+ln2;(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2ln,对于任意a∈(2,4),总存在,使g(x)>k(4﹣a2)成立,求实数k的取值范围.

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.

专题:综合题;导数的综合应用.

分析:(Ⅰ)当a=3时,求导数,利用导数的正负,即可求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)函数f(x)有两个极值点x1,x2,则f′(x)==0,即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根,结合韦达定理,可得f(x1)﹣f(x2),构造新函数F(x)=2lnx﹣x2++ln2(0<x≤1),确定其单调性,即可得出结论;

(Ⅲ)确定g(x)在上单调递增,可得g(x)max=g(2)=2ln(2a+2)﹣2a+4

﹣2ln6,h(a)=)=2ln(2a+2)﹣2a+4﹣2ln6﹣k(4﹣a2),分类讨论,确定单调性,即可得出结论.

解答:(Ⅰ)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,

令f′(x)>0,可得0<x<或x>1,f′(x)<0,可得<x<1,

∴f(x)的递增区间为(0,)和(1,+∞),递减区间为(,1);

(Ⅱ)证明:∵函数f(x)有两个极值点x1,x2,

∴f′(x)==0,即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根,

∴x1+x2=,x1x2=

∴2(x1+x2)=a,x2=,

∴f(x1)﹣f(x2)=lnx1+x12﹣ax1﹣(lnx2+x22﹣ax2)=2lnx1﹣x12++ln2(0<x≤1).设F(x)=2lnx﹣x2++ln2(0<x≤1),则F′(x)=﹣<0,

∴F(x)在(0,1)上单调递减,

∴F(x)≥F(1)=﹣+ln2,即f(x1)﹣f(x2)≥﹣+ln2;

(Ⅲ)解:g(x)=f(x)+2ln=2ln(ax+2)+x2﹣ax﹣2ln6,

∴g′(x)=,

∵a∈(2,4),∴x+>0,

∴g′(x)>0,

∴g(x)在上单调递增,

∴g(x)max=g(2)=2ln(2a+2)﹣2a+4﹣2ln6,

∴2ln(2a+2)﹣2a+4﹣2ln6>k(4﹣a2)在(2,4)上恒成立.

令h(a)=2ln(2a+2)﹣2a+4﹣2ln6﹣k(4﹣a2),则h(2)=0,

∴h(a)>0在(2,4)上恒成立.

∵h′(a)=,

k≤0时,h′(a)<0,h(a)在(2,4)上单调递减,h(a)<h(2)=0,不合题意;

k>0时,h′(a)=0,可得a=.

①>2,即0<k<时,h(a)在(2,)上单调递减,存在h(a)<h(2)=0,不合题意;

②≤2,即k≥时,h(x)在(2,4)上单调递增,h(a)>h(2)=0,满足题意.

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p

高考数学模拟试卷(四)

高考模拟试卷(四) 一、填空题 1. 已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =( ) A. B. C. D. 2. 复数 在复平面上对应的点位于第( )象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知在等比数列中,,9,则 ( ) A . B .5 C . D .3 4. 若对任意实数,不等式成立,则实 数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列,已知,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( ) A. 80 B. 120 C. 160 D. 200 6. 已知公差不为的正项等差数列中,为其前项和,若, ,也成等差数列,,则等于( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 7. 一个算法的流程图如图所示.若输入的n 是100,则输出值S 是( ) A. 196 B. 198 C. 200 D. 202 8. 已知周期函数是定义在R 上的奇函数,且的最小正周 期为3, 的取值范围为( ) A. B. C. D. {}0,1{}0,2{}1,2{}2,4i i 4321+-{}n a 11=a =5a =3a 5±3±[] 1,1p ∈-()2 330px p x +-->x ()1,1-(),1-∞-()3,+∞() (),13,-∞-+∞}{n a 122a a =0{}n a n S n 1lg a 2lg a 4lg a 510a =5S )(x f )(x f ,2)1(

2020年高考数学模拟试卷汇编:专题4 立体几何(含答案解析)

2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何(含答案解析) 1.(2020·河南省实验中学高三二测(理))现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合,其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -,如图所示,已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=,三棱锥的外接球的表面积为4π,该三棱锥的体积的最大值为 ( ) A 3 B .36 C 3 D 3 2.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( ) A .16 B .163 C .163 D .1283 3.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)关于三个不同平面,,αβγ与直线l ,下列命题中的假命题是( ) A .若αβ⊥,则α内一定存在直线平行于β B .若α与β不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β C .若αγ⊥,βγ⊥,l αβ=I ,则l γ⊥ D .若αβ⊥,则α内所有直线垂直于β 4.(2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟(理))榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明,

它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑,同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构,榫卯结构 中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( ) A .36 B .45 C .54 D .63 5.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .83π3 B .4π1633 C 16343π+ D .43π1636.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))在平面五边形ABCD E 中,60A ∠=?,63AB AE ==BC CD ⊥,DE CD ⊥,且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起,使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?,则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为( ) A .63π B .84π C .252π D .126π 7.(2020·陕西省西安中学高三三模(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

2013天津高考数学理科试题i答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学 乐享玲珑,为中国数学增光添彩! 免费,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用 第Ⅰ卷 一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B ?= (A) (,2] -∞(B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 2.设变量x, y满足约束条件 360, 20, 30, x y y x y≥ --≤ +- ? -≤ ? ? ? ? 则目标函数z = y-2x的最小值为 (A) -7 (B) -4 (C) 1 (D) 2 3.阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 4.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的1 2 , 则其体积缩小到原来的 1 8 ; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆221 2 x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③ 5.已知双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0) px p y=>的准线分别交于A, B两点, O

为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p = (A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3 6.在△ABC 中, ,3,4 AB BC ABC π ∠===则sin BAC ∠ = (A) (B) (C) (D) 7. 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8.已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ?? -????? , 则实数a 的取值范围是 (A) ????? (B) ? ???? (C) ?? ????? ?? (D) ?- ?? ∞ 第Ⅱ卷 二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9.已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . 10.6 x ? ? 的二项展开式中的常数项为 . 11.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π?? ??? , 则|CP | = . 12.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ? ∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 . 13.如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点 E , AD 与BC 交于点 F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 . 14.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b +取得最小值. 三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π? ?=++- ?+? ?∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;

2016年天津市高考数学试卷(理科)

2016年天津市高考数学试卷(理科) 一、选择题 1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x﹣2,x∈A},则A∩B=() A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4} 2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+5y的最小值为 () A.﹣4 B.6 C.10 D.17 3.(5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(5分)阅读如图的程序图,运行相应的程序,则输出S的值为() A.2 B.4 C.6 D.8 5.(5分)设{a n}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n﹣ 1+a2n<0”的() A.充要条件B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 6.(5分)已知双曲线﹣=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程

为() A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 7.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为() A.﹣B.C.D. 8.(5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.(0,]B.[,]C.[,]∪{}D.[,)∪{} 二、填空题 9.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1﹣bi)=a,则的值为. 10.(5分)(x2﹣)8的展开式中x7的系数为(用数字作答) 11.(5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m3 12.(5分)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE 的长为. 13.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,若实数a

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}=0123A ,,,, {}=21B x x a a A =-∈,,则=( )A B ? A. {}12, B. {}13, C. {}01 , D. {}13-, 2.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( ) A. i - B. i C. 1- D. 1 3.在等比数列{}n a 中, 13521a a a ++=, 24642a a a ++=, 则数列{}n a 的前9项的和9S =( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =以及曲线1x y e =-围成, 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域的概率是( ) A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5.在 52)(y x x ++ 的展开式中,含 2 5y x 的项的系数是( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6.已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7.已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A. 11<<

2019年高考数学模拟试题含答案

F D C B A 2019年高考数学模拟试题(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。 一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.已知集合}032{2>--=x x x A ,}4,3,2{=B ,则B A C R ?)(= A .}3,2{ B .}4,3,2{ C .}2{ D .φ 2.已知i 是虚数单位,i z += 31 ,则z z ?= A .5 B .10 C . 10 1 D . 5 1 3.执行如图所示的程序框图,若输入的点为(1,1)P ,则输出的n 值为 A .3 B .4 C .5 D .6 (第3题) (第4题) 4.如图,ABCD 是边长为8的正方形,若1 3 DE EC =,且F 为BC 的中点,则EA EF ?=

A .10 B .12 C .16 D .20 5.若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ,则y x z 82?=的最大值是 A .4 B .8 C .16 D .32 6.一个棱锥的三视图如右图,则该棱锥的表面积为 A .3228516++ B .32532+ C .32216+ D .32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机取出2张,则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A . 101 B .51 C .103 D .5 4 8.设n S 是数列}{n a 的前n 项和,且11-=a ,11++?=n n n S S a ,则5a = A . 301 B .031- C .021 D .20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8,若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ,则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是

2020高考数学 全国各地模拟试题分类汇编1 集合 文

2020全国各地模拟分类汇编(文):集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1.“lg lg x y >”是“1010x y >”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M , )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I ( ) A .}21||{<≤x x B .}20||{<=<-==B C A x x B x x x A R U u I 则集合,,集合全集,1022 A.{}1x 0x << B. {}1x 0x ≤< C.{}2x 0x << D. {} 10x ≤ 【答案】B 【山东省曲阜师大附中2020届高三9月检测】已知I 为实数集,2{|20},{|M x x x N x y =-<=,则=?)(N C M I ( ) A .{|01}x x << B .{|02}x x << C .{|1}x x < D .? 【答案】A 【陕西省宝鸡中学2020届高三上学期月考文】集合{}0,2,A a =,{} 21,B a =,若 {}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】D 【山东省曲阜师大附中2020届高三 9月检测】若 222250(,)|30{(,)|(0)}0x y x y x x y x y m m x y ?-+≥?????-≥?+≤>?????? +≥??? ,则实数m 的取值范围是 . 【答案】5≥m 【陕西省宝鸡中学2020届高三上学期月考文】设不等式2 0x x -≤解集为M ,函数 ()ln(1||)f x x =-定义域为N ,则M N ?为 ( ) A [0,1) B (0,1) C [0,1] D (-1,0] 【答案】A

2019年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 第Ⅰ卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题。 参考公式: ·如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B ?=+. ·如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =. ·圆柱的体积公式V Sh =,其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13 V Sh =,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5}, {2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈

2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1, x y x y x y +-≤??-+≥??-??-?……则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 画出可行域,用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距, 故目标函数在点A 处取得最大值。 由20,1 x y x -+=??=-?,得(1,1)A -, 所以max 4(1)15z =-?-+=。 故选C 。 【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求. 3.设x R ∈,则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( )

2021届高考数学模拟试卷汇编:立体几何(含答案解析)

第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编:立体几何 1.(2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测)如图,在平面四边形ABCD 中,满足,AB BC CD AD ==,且10,8AB AD BD +==,沿着BD 把ABD 折起,使点A 到达点P 的位置,且使2PC =,则三棱锥P BCD -体积的最大值为( ) A .12 B .2 C .23 D .163 2.(2020届河南省六市高三第一次模拟)已知圆锥的高为33,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A . 53 B .329 C .43 D .259 3.已知三棱锥P ABC -中,O 为AB 的中点,PO ⊥平面ABC ,90APB ∠=?,2PA PB ==,则有下列四个结论:①若O 为ABC V 的外心,则2PC =;②ABC V 若为等边三角形,则⊥AP BC ;③当90ACB ∠=?时,PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ;④当4PC =时,M 为平面PBC 内一动点,若OM ∥平面PAC ,则M 在PBC V 内轨迹的长度为2.其中正确的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 4.(2020届河南省濮阳市高三模拟)在四面体P ABC -中,ABC V 为正三角形,边长为6,6PA =,8PB =,10PC =,则四面体P ABC -的体积为( ) A .811B .10C .24 D .1635.(2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联)已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2,且球心为线段BC 的中点,则三棱锥D ABC -的体积的最大值为( ) A .23 B .43 C .83 D .163 6.(2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联)已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形,

2018年天津市高考数学试卷文科(高考真题)

2018年天津市高考数学试卷(文科) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5.00分)设集合A={1,2,3,4},B={﹣1,0,2,3},C={x∈R|﹣1≤x<2},则(A∪B)∩C=() A.{﹣1,1}B.{0,1}C.{﹣1,0,1}D.{2,3,4} 2.(5.00分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+5y的最大 值为() A.6 B.19 C.21 D.45 3.(5.00分)设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.(5.00分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为()

A.1 B.2 C.3 D.4 5.(5.00分)已知a=log3,b=(),c=log,则a,b,c的大小关系 为() A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 6.(5.00分)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数() A.在区间[]上单调递增B.在区间[﹣,0]上单调递减 C.在区间[]上单调递增D.在区间[,π]上单调递减 7.(5.00分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且 垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为() A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1

8.(5.00分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则的值为() A.﹣15 B.﹣9 C.﹣6 D.0 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(5.00分)i是虚数单位,复数=. 10.(5.00分)已知函数f(x)=e x lnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为. 11.(5.00分)如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为. 12.(5.00分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为. 13.(5.00分)已知a,b∈R,且a﹣3b+6=0,则2a+的最小值为.14.(5.00分)已知a∈R,函数f(x)=.若对任意x∈[﹣3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是. 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13.00分)己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,

2018年高考数学(理科)模拟试卷(二)

2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分150分,考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2016年北京)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=() A.{0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 2.已知z为纯虚数,且z(2+i)=1+a i3(i为虚数单位),则复数a+z在复平面内对应的点所在的象限为() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 3.(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2

4.已知平面向量a =(1,2),b =(-2,k ),若a 与b 共线,则||3a +b =( ) A .3 B .4 C.5 D .5 5.函数y =1 2x 2-ln x 的单调递减区间为( ) A .(-1,1] B .(0,1] C .[1,+∞) D .(0,+∞) 6.阅读如图M2-2所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( ) A .2 B .1 C .0 D .-1 7.(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm ,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8.已知F 1,F 2分别为双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,离心率为5 3,过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ,B ,若|BF 1|-|AF 1|=6,则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29-y 216=1 B.x 218-y 2 32=1 C.x 29-y 225=1 D.x 236-y 2 64=1 9.若函数f (x )=???? ? x -a 2x ≤0,x +1x +a x >0的最小值为f (0),则实数a 的取值范围是( ) A .[-1,2] B .[-1,0] C .[1,2] D .[0,2]

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷236 4

高考模拟复习试卷试题模拟卷 一、选择题 1.已知集合A ={x|x ≥0},B ={x|-1≤x ≤2},则A ∪B =( ) A .{x|x ≥-1} B .{x|x ≤2} C .{x|03 D .t ≥3 解析:B ={y|y ≤t},结合数轴可知t<-3. 答案:A 4.已知集合A ={x|-2≤x ≤7},B ={x|m +1<x <2m -1},且B ≠?,若A ∪B =A ,则 ( ) A .-3≤m ≤4 B .-3<m <4 C .2<m <4 D .2<m ≤4 解析:∵A ∪B =A ,∴B ?A.又B ≠?, ∴???m +1≥-2,2m -1≤7m +1<2m -1 即2<m ≤4. 答案:D 二、填空题

5.设A ={x|x +1>0},B ={x|x <0},则A ∩B =________________. 解析:∵A ={x|x >-1},B ={x|x <0}, ∴A ∩B ={x|-1<x <0}. 答案:{x|-1<x <0} 6.已知集合A ={x|x ≥5},集合B ={x|x ≤m},且A ∩B ={x|5≤x ≤6},则实数m =________. 解析:用数轴表示集合A 、B 如图所示, 由于A ∩B ={x|5≤x ≤6},则m =6. 答案:6 7.已知集合A ={x|x ≤1},B ={x|x ≥a},且A ∪B =R ,则实数a 的取值范围是________. 解析:如图所示,若A ∪B =R ,则a ≤1. 答案:a ≤1 8.已知集合A ={(x ,y)|y =ax +3},B ={(x,y)|y =3x +b},A ∩B ={(2,5)},则a =________,b =________. 解析:∵A ∩B ={(2,5)}. ∴5=2a +3.∴a =1. ∴5=6+b.∴b =-1. 答案:1 -1 三、解答题 9.已知集合A ={x|-1≤x <3},B ={x|2x -4≥x -2}. (1)求A ∩B ; (2)若集合C ={x|2x +a >0},满足B ∪C =C ,求实数a 的取值范围. 解:(1)∵B ={x|x ≥2},A ={x|-1≤x <3}, ∴A ∩B ={x|2≤x <3}. (2)∵C ={x|x >-a 2},B ∪C =C ?B ?C , ∴a >-4. 10.已知集合A =????????? ?x ?????? ??3-x>0,3x +6>0,集合B ={m|3>2m -1},求A ∩B ,A ∪B. 解:解不等式组? ????3-x>0, 3x +6>0,得-2

高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编 专题03 导数含解析理

高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数(含解析)理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( ). A.4 3 B .2 C. 8 3 D. 162 3 【答案】C 考点:定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点:导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图,函数() f x的图象是折线段ABC, 其中A B C ,,的坐标分别为(04)(20)(64) ,,,,,,则((0)) f f=; 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4

(1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? .(用数字作答) 【答案】 2 2 考点:函数的图像,导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-,对于ππ22??-???? ,上的任意12x x ,,有如下条件: ①12x x >; ②22 12x x >; ③12x x >. 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 . 【答案】② 考点:导数,函数的图像,奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1,则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1-

考点:导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】(本小题共13分) 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= (Ⅰ)求)(x f 的单调减区间; (Ⅱ)若)(x f 在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 【答案】

2013年天津市高考数学试卷(理科)

2013年天津市高考数学试卷(理科) 一.选择题:(每题5分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=()A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.[﹣2,2]D.[﹣2,1] 2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=y﹣2x的最小 值为() A.﹣7 B.﹣4 C.1 D.2 3.(5分)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出 S的值为() A.64 B.73 C.512 D.585 4.(5分)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆相切. 其中真命题的序号是() A.①②③B.①②C.①③D.②③

5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px (p>0)的准线分别交于O、A、B三点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=() A.1 B.C.2 D.3 6.(5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=() A.B.C.D. 7.(5分)函数f(x)=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.(5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A,若,则实数a的取值范围是() A.B. C.D. 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=.10.(5分)的二项展开式中的常数项为. 11.(5分)已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=. 12.(5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为.

高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷(含答案) 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的

高考数学(理科)模拟试卷(四)

2018年高考数学(理科)模拟试卷(四) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分150分,考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题 满分60分) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意) 1.[2016·成都诊断考试]已知集合A ={x |y=4x -x2},B ={x ||x |≤2},则A ∪B =( ) A .[-2,2] B.[-2,4] C.[0,2] D .[0,4] 2.[2016·茂名市二模]“a =1”是“复数z =(a2-1)+2(a +1)i(a ∈R)为纯虚数”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.[2017·呼和浩特调研]设直线y =k x与椭圆\f(x 2,4)+错误!=1相交于A ,B 两点,分别过A ,B 向x 轴作垂线,若垂足恰好为椭圆的两个焦点,则k 等于( ) A .32 B.±\f(3,2) C.±错误! D.错误! 4.[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2+y 2=n 2至少覆盖曲线f (x)=错误!si n错误!(x ∈R)的一个最高点和一个最低点,则正整数n 的最小值为( ) A .1 B.2 C .3 D .4 5.[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图,则输出的S值为( ) A.错误! B.错误! C .\f(210-1,210)

D.错误! 6.[2016·贵阳一中质检]函数g(x)=2ex+x-3错误!t2d t的零点所在的区间是( ) A.(-3,-1) B.(-1,1) C.(1,2)D.(2,3) 7.[2016·浙江高考]在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域 错误!中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=() A.2错误! B.4 C.3错误!D.6 8.[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.24+6π B.12π C.24+12π D.16π 9.[2016·南京模拟]已知四面体P-ABC中,PA=4,AC=27,PB=BC=23,P A⊥平面PBC,则四面体P-ABC的外接球半径为( ) A.22B.2错误!C.4错误!D.4错误! 10.[2016·四川高考]在平面内,定点A,B,C,D满足|错误!|=|错误!|=|错误!|,错误!·错误!=错误!·错误!=错误!·错误!=-2,动点P,M满足|错误!|=1,错误!=错误!,则|

全国百套高考数学模拟试题分类汇编

全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案:(1,0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C :(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线L :x=1相切,那么动圆的圆心P 的轨迹方程是:。答案:y2=-8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点,P 到左焦点距离为12,则P 到右准线距离为______;答案: 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一)已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1,F2,若在 双曲线的右支上存在一点P ,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案:1<e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1,F2,点P 为椭圆上一点,且 ∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,则椭圆的离心率e=. 答案:3-1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M :2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案:10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ,则a=__________. 答案:2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率,则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________. 答案:[π4,π 3 ]. 解析:依题意有2c a ≤≤,∴2224c a ≤≤,即22224a b a -≤≤,∴22 13b a ≤≤,得1b a ≤≤,∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ,,(0)B b ,,若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形,则b =_________ .

2020-2021学年新课标Ⅲ高考数学理科模拟试题及答案解析

绝密★启用前 试题类型: 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. (1)设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ,则S I T=( ) (A) [2,3] (B)(-∞ ,2]U [3,+∞) (C) [3,+∞) (D)(0,2]U [3,+∞) (2)若z=1+2i ,则 41 i zz =-( ) (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i (3)已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=( ) (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 (4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ,B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( )

(A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 (5)若3 tan 4 α= ,则2cos 2sin 2αα+= ( ) (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 (6)已知4 3 2a =,25 4b =,13 25c =,则( ) (A )b a c << (B )a b c <<(C )b c a <<(D )c a b << (7)执行下图的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( ) (A )3

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