第一单元 函数的单调性
一、学习目标
通过本节课的学习，了解函数单调性的概念，同时还要掌握利用一阶导数对函数在某一区间上的单调性的判别方法．
二、内容讲解 1.本章概述
从这一讲开始讲第3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用．
这一章中，主要讲导数在两方面的应用：
1．导数在研究函数时的应用；2．导数在经济中的一些应用 例1股市及股市曲线
在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？
例2生产场景及生产曲线
在下两讲中就是要讨论这个问题．
2.单调性判别
下面首先讨论
（一）定义3.1——函数的单调性． 什么叫函数的单调性？
在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入变化的情况，何时达到最高．
1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．
0200
202<='<>='>='x y x x y x x
y 时，当时，当
（二）函数单调性定理3.1
设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导. (1)如果x ∈(a ，b )时，f '(x )>0，则f (x )在[a ，b ]上单调增加； (2)如果x ∈(a ，b )时，f '(x )<0，则f (x )在[a ，b ]上单调减少． 意义：利用导数的符号判别函数的单调性．
说明：（1）闭区间[a ，b ]换成其它区间，如(a ，b )，(-∞，b ]，(a ，+∞)．
当在x <0这一边的每一点处都有切线时，
切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定大于90?．
当在x >0这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定小于90?．
先考察y =x 2，它的图形是抛物线．
在x >0处，函数单调上升；在x <0处，函数单调下降。
（2）使定理结论成立的区间，称为y =f (x )的单调区间．
问题思考：若在区间],[b a 内，0)(≡'x f ，则f (x )一定是什么函数？同学们考虑的怎么样呢？下面请同学回答这个问题．
学生甲：因为这个函数的导数是0，所以这个函数也是0．
学生乙：我不同意这种说法．根据第2章所讲的导数公式，当函数是常数时，它的导数是0．我认为问题中的f (x )应该是常数C ．
想一想：这两位同学中，哪一位回答是正确的？
在判断哪一位同学的回答是正确的之前，先复习定理3.1．
定理3.1 设函数y = f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导． (1) 如果x ∈(a ，b )时，f '(x )>(≥)0，则f (x )在[a ，b ]上单调增加(不减)； (2) 如果x ∈(a ，b )时，f '(x )<(≤)0，则f (x )在[a ，b ]上单调减少(不增)． “单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？
单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的．
修改后的定理3.1如下：
定理3.1' 设函数y =f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导 (1)如果x ∈(a ，b )时，f '(x )≥0，则f (x )在[a ，b ]上单调不减； (2)如果x ∈(a ，b )时，f '(x )≤0，则f (x )在[a ，b ]上单调不增． 由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明． 结论：若0)(≡'x f ，],[b a x ∈，则c x f =)(．
证： 0)(≡'x f ?)(x f 既单调不增又单调不减?c x f =)( 问题思考：单调函数的导数也是单调的吗？请举例说明．
答案不一定．例如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)内是单调增加函数，但是其导数f '(x)=3x2在区间
(-∞,+∞)内不是单调函数.又如g(x)=ex 及其导数g '
(x)=ex 在区间(-∞,+∞)内都是单调函数．
三、例题讲解
例1判别y=x3+1的单调性．
[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，
就可以用导数来判断．
解： 定义域为(-∞,+∞)，y'(x)=3x2>0，x∈(-∞,+∞)，且x≠0
∴y在(-∞,+∞)上单调增加．
从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．
例2求y=2x3 -9x2+12x-6的单调区间.
[分析]首先求出定义域，再利用定理3.1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．
解： 定义域为(-∞,+∞)，y'= 6x2 - 18 x + 12；
x2 - 3 x + 2 = 0；x– 1)( x– 2) = 0；x1= 1, x2 = 2
∴单调增加区间为(-∞,1]，[2，+∞)；单调减少区间为[1，2]．
在右图形中x 1 = 1, x 2 = 2是分界点，在区间(-∞,1]内，函数是单调增加的；而在区间[1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+∞)内，函数是单调增加的．
例3求
x x
y +=
1的单调区间.
解： 定义域为(-∞,-1)，(-1，+∞),
22)1(1
)1()1(x x x x y +=
+-+=
'
单调增加区间为(-∞,-1)，(-1，+∞)
从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．
归纳：求函数单调区间的步骤：
①确定)(x f 的定义域；②求f '(x ) = 0和f '(x )不存在的点，并组成若干子区间； ③确定f '(x )在每个子区间内的符号，求出 f (x ) 的单调区间．
例4 当x > 0时，试证ln(1+x )>2
2
1x x -
. [分析]先建立一个函数F (x )，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断F (x )的单调增加性，得到要证明的结论．
证：F (x )=ln(1+x )–(2
2
1x x -) 01)1(11)(2
>+=--+='x x x x x F
∴F (x )单调增加．又F (0)=0，故当x >0时，F (x )>0；即ln(1+x )>22
1x x -．
四、课堂练习：求函数f (x )=x -e x 的单调区间．
分析：求函数f (x )的单调区间的步骤为：1.确定函数f (x )的定义域．
2.求出函数f (x )在其定义域内f '(x ) = 0的点和导数不存在的点，将这些点由小到大排列，把定义域分
成若干子区间．
3.确定f '(x )在每个子区间内的符号．通常的做法是：在该子区间内任取一点x 0，判定f '(x 0)的符号，由于f (x )在该子区间内单调，故f '(x 0)的符号就是f '(x )在该子区间内的符号．
4.根据每个子区间内f '(x )的符号，确定f (x )的单调增减性，得到f (x )的单调区间．利用幂函数和指数
函数求导公式求之．
[（1）幂函数求导公式：若y =α
x ，则'=-y x
αα1
；（2）指数函数求导公式：若y =e x ，则y '
=e x ．解：
因为f (x )=x -e x 的定义域为(-∞,+∞)，且f '(x )=(x -e x )'=x '–(e x )'=1-e x 。]
五、课后作业
1. 已知函数 y = f (x )的导数如下，问函数在什么区间内单调增加？
（1）f '(x )=x (x -2)；（2）f '(x )=(x +1)2(x +2)；（3）f '(x )=x 3(2x -1)；（4）f '(x )=3
)
1(2
+x 2.求下列函数的单调区间：
（1）f (x )=x 2-5x +6；（2）f (x )=
1
；（3）f (x )=x 4-2x 2+1；（4）f (x )=x 2-ln x
第二单元 函数极值
第一节 函数极值及存在条件
一、学习目标
通过本节课学习，理解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值的判别方法和极值的求法．
二、内容讲解
（1）极值概念 定义3.2——极值概念
设函数f (x )在点x 0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点x (x ≠x 0)，恒有f (x ))(≥≤f (x 0)，则称f (x 0)为函数)(x f 的极大(小)值，称x 0为函数)(x f 的极大(小)值点．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 大家看下面这个图形：
在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和两个端点．
哪些点是极大值点呢？ 可以看到x 1是极大值点，x 4也是极大值点．
端点b 是不是极大值点呢？ 极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，而端点b 的右边是没有函数值，所以它不是极大值点．
再找一找哪些是极小值点？ x 2是一个极小值点，x 5也是一个极小值点．
x 3是极大值点还是极小值点呢？不是，它不是极值点，因为找不到一个小范围，使它的函数值成为最大或最小．
（2）极值求法
下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法．
分析函数在极值点处具有什么特征．
x1是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一条水平线；x5是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线．由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数为0．
定理3.2——极值点必要条件
如果点x0是函数f (x)的极值点，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0使f'(x0)=0的点，称为函数f(x)的驻点．
定理3.2表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻
点．
这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到．
说明：1.若f'(x0)不存在，则x0不是f(x)的驻点．
2.定理
3.2是极值存在的必要条件．
根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并不一定是极
值点．例如：函数y=x3在x0=0
处，f'(x0)=0，由图可知，x0=0不是极值点．
因此，请大家想一想：
极值存在的充分条件是什么？
回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析．
从这个图形中很容易的看出，函数f(x)在点x0处达到极大，
x0是极大值点．当然，函数在这一点处切线是存在的，函数在
这一点是可导的，而且满足极值的必要条件f'(x0)=0．
特征：点x0的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边
曲线是下降的，即斜率小于0．
由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的．
从图形上显然看出x0也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点是不可导点．特征：在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点x0是极大值点，则它左边的导数大于0，右边的导数小于0．
由这两个图可知，若x0是函数f(x)的驻点或不可导点，且在点x0的左、右两边的导数由正变负，则x0是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充分条件的一部分．再看极小值点．从图中很容易发现x0是极小值点．由于x0是f(x)的可导点，所以满足
极值的必要条件f'(x0)=0．
若x0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0，即导数值大
于0；而在左边，它的斜率小于0，即导数值小于0．所以，
一个驻点是极小值点时，它的左、右两边的导数符号也是不一
样的．
x0是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下，x0右边的导数大于0，x0左边的导数小于0．
归纳：只要x0满足极小值点的必要条件，那么在x0左右两边函数可导的条件下，左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的．
在这种情况下，x0不是极值点．在x0左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致的．也就是说，尽管x0满足了极值点的必要条件f'(x0) = 0，但在x0的左右两边，导数不变号，
因此可以肯定x0不是极值点．x0也不是函数的极值点，且在x0左右两边，导数的符号是一样的．
由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件．
定理3.3——极值点的充分条件
设函数f(x)在点x0的邻域内连续并且可导(f(x0)可以不存在)．如果在点x0的左邻域内
f'(x)>(<)0，在点x
的右邻域内f'(x)<(>)0，那么x0是f(x)的极大(小)值点，且f(x0)是f(x)的
极大(小)值．
如果在点x0的邻域内，f'(x)不变号，那么x0不是f(x)的极值点．
问题思考：若x0是f(x)的极值点，则一定有f'(x0)=0吗？举例说明．不一定．例如，
三、例题讲解
例1设函数y=e x-x+1，求驻点．
[分析]驻点就是使导数等于0的点．
解：y '=e x -1，由y '=e x –1=0，得x =0
注意：这里求出的x =0不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点．可导函数f '(x 0)=0是点x 0为极值点的必要条件，但不是充分条件．
例2 设y =x –ln(1+x )，求极值点．
[分析]首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．
解：定义域),1(∞+-，
011
1=+-
='x y ，解得x =0(驻点)
在x =0的左右两边，y '的符号由负变正，故x =0是极小值点．
例3设73
2
23
+-=x x y 求极值点． [分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不
可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．
解：定义域),(∞+-∞；13
1-='-x
y ，x =0处导数不存在，x =1是驻点.
在x = 0的左右两边，y '的符号由负变正，故x = 0是极小值点； 在x = 1的左右两边，y '的符号由正变负，故x = 1是极大值点．
例4 设
4343x x y -
=，求极值． [分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点，最后写出极值．
解：定义域),(∞+-∞，在x =0的左右两边y '同号，故x =0不是极值点；
在x =1的左右两边，y '的符号由正变负，故x =1是极大值点．
求函数极值的步骤：
（1）确定函数f (x )的定义域，并求其导数f '(x )；
（2）解方程f '(x ) = 0，求出f (x ) 在定义域内的所有的驻点； （3）找出)(x f 所有在定义域内连续但导数不存在的点；
（4）讨论f '(x )在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数f (x )的极值点； （5）写出函数f (x )的极值点和极值．
四、课后作业
1．求下列函数的极值：
（1）f (x )=x x -34
43；（2）f (x )=x
x 162
+；（3）f (x )=x 2–ln(1+x )；（4）f (x )=x 2e -x
一、学习目标
通过本节课学习，了解最大值、最小值的概念，知道极值与最值之间的关系，掌握最大值、最小值问题的处理方法，熟练掌握解决一些应用问题的方法，尤其是求解经济应用问题最值的方法．
二、内容讲解
1.最大值、最小值及其求法 （1）极值与最值的区别：
极值是在其左右小范围内比较；最值是在指定的范围内比较
所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．
这个函数在区间[a ，b ]内的极大值点是x
1，x 4；极小值点是x 2，x 5．现在要问这个函数在闭区间[a ，b ]上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点b 处的函数值最大，所以点b 就是该函数在区间[a ，b ]
上的最大值点．
同样，从图中可以看出x 2是区间[a ，b ]上最小值
点．
若将b 点往左移至5x ，从图中可以看出，最大值点是x 4，而最小值点仍然是x 2.
若将区间改为],[42x x ，则最大值点仍然是x 4，最小值点仍然是x 2．
明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．
函数f (x )在[a ，b ]上的最值点一定在端点、驻点和
不可导点中．
（1）端点：a ，b ；（2）驻点：使f '(x )=0的点；（3）不可导点：f '(x )不存在的点.
2.函数的最值概念（定义
3.3）
最值的求法：①极值是在局部范围内比较；②最值是在指定的范围内比较.
求函数最值的步骤： ①求导数f '(x )；
②解f '(x ) = 0，求出f (x )的驻点； ③找出f (x )连续但f '(x )不存在的点；
④比较f (x )在驻点、导数不存在点和端点处的值，确定最大值和最小值． 问题思考：函数最值一定是函数极值吗？何时极值一定是最值？
极大（小）值只是在极值点附近的局部最大（小）值，而最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，它可能在区间的端点处达到．因此，最大（小）值不一定是极大（小）值．
若f x ()在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且f x ()在[,]a b 上有唯一极大（小）值点，则f x ()在[,]a b 上的极大（小）值就是最大（小）值．
三、例题讲解
例1求y =x 3-3x 2–9x +5在[-4，4]上的最大值和最小值．
[分析]可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点．因此，先求驻点和不可导点，再比较这些点和端点处的函数值的大小，确定最大值和最小值．
解：y '= 3x 2 – 6x - 9 = 3(x 2 – 2x – 3)= 3(x + 1)(x – 3) = 0 x 1 = -1，x 2 = 3
所以，最大值为y (-1)=10，最小值为y (-4)=-71．
说明：不用判别-1，3是否为极值点，只要计算-4，-1，3，4处的函数值，确定最大值和最小值．
例2 求y =x (x -1)3
1在]2,2[-上的最值点．
解：
3
231)1(3
1
)1(-?
+-='x x
x y =3
2)1(3
4--x x = 0，
43
=
x (驻点)，且x =1处导数不存在，所以，最
小值点为x =43
，最大值点为x =-2．
例3将边长为30cm 的一块正方形铁皮的四角截去一个大小相同的小正方形，然后将四边
解：设小正方形边长为x cm ，则盒底边长为30-2x ，
容积为V = (30-2x )2x ，x ∈(0，15)
因为V '=-4(30-2x )x +(30-2x )2=(30-2x )(30-6x )
令V '=0，得x 1=5，x 2=15(舍弃)，且x 1=5是V 在定义域内唯一驻点．
所以x 1=5是V 的极大值点，也是V 的最大值点．即截掉的小正方形边长5cm 时，所得方盒的容积最大，最大容积为V =5(30-10)2=2000cm 3
说明：
1．解应用问题，首先要建立数学模型，建立模型的第一步是设变量，再用这个变量把问题用数学语言描述出来．
2．如果f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，而且0x 是f (x )在(a ，b )内的唯一驻点，那么当x 0是f (x )的极值点时，x 0一定是f (x )在[a ，b ]上的最值点．
四、课堂练习
1.求下列函数的最大值和最小值：
（1）f (x )=x +x -1，[-5，1]；（2）f (x )=]
1,21[,12-+x
x 2．求200m 长的篱笆所围成的面积最大的矩形尺寸．
3．在半径为R 的半圆内，内接一矩形，问①矩形的边长为何值时，矩形的面积最大？②矩形的周长最大？
第三单元 导数在经济分析中的应用
第一节 边际与边际分析
一、学习目标
通过本节课学习，了解边际成本、边际收入、边际利润的概念，会求成本、收入、利润等经济函数的边际值和边际函数．
二、内容讲解 边际与边际分析
定义3.4——边际成本
在引进导数概念时，我们已经接触过边际成本概念，譬如说在连续化生产的工厂中，可以知道总成本与总产量之间的函数关系，由此可以求出平均成本，即总成本除总产量就是平均成本．同时又引进了边际成本的概念，就是总产量达到一定时刻，再增加生产一个单位产量时，单位成本增加量．下面具体看一个例子．
q ——产量；)(q C ——成本函数；q q C )
(——平均成本函数 )(q C '——产量为q 时的边际成本函数
经济意义：产量为q 时，再生产一个单位产品所增加的成本. 定义3.5——边际收入
收入是销售量或产量的函数，因此也就有总收入、平均收入、边际收入等函数．设q ——销售
量；)(q R ——收入函数；q q R )
(——平均收入函数 )(q R '——销售量为q 时的边际收入函数
经济意义：销售量为q 时，再生产一个单位商品所增加的收入. 定义3.6——边际利润 想一想利润是怎样产生的？
已知成本)(q C ，收入)(q R ，那么利润)()()(q C q R q L -= 且边际利润)()()(q C q R q L '-'=' 想一想边际利润的经济意义是什么？ 这堂课我们讲了三个问题，即： 成本函数的导数称为边际成本； 收入函数的导数称为边际收入； 利润函数的导数称为边际利润．
思考题：当边际利润大于0，即0)(0>'
q L 的意义是什么？
答案：关于利润)(q L ，若0)(0>'
q L ，即在销售量为0q 时的边际利润大于0，它意味着增
加销售量，利润还能增加.
问题思考：平均成本与边际成本有何区别？
为q 单位时，成本C q ()的增量C ?与产量的增量q ?的比值当q ?→0时的取值，也就是产量为q 单位时总成本C q ()的瞬时变化率．
三、例题讲解
例1一企业的每日成本C （千元）是日产量q （台）的函数
q
q q C 52400)(++=，求：
（1）当产量为400台时的成本；（2）当产量为400台时的平均成本；（3）当产量由400台增加到484台时的平均成本；（4）当产量为400台时的边际成本.
解（1）当产量为400台时的成本为：40054002400)400(+?+=C =1300(千元)
（2）当产量为400台时的平均成本为：25.34001300
400)400(==C (千元/台)
（3）当产量由400台增加到484台时的平均成本：
119
.24004841300
1478400484)400()484(=--=--C C (千元/台)
（4）当产量为400台时的边际成本为：
q q q q C 252)52400()(+
='++='
所以，
125
.240025
2)400(=+
='C (千元/台)
例2某产品的销售量q 与单位价格p 之间的关系为p q 31200-= （1）写出收入函数R 与q 之间的关系； （2）计算销售量达到300时的收入；
（3）销售量由300增加至360时，收入增加了多少？ （4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入增加多少？ （5）求销售量为300时的边际收入．
解：（1）收入函数R 与q 之间的关系为：
2
31
400)1200(31)(q q q q pq q R -=-== （2）销售量达到300时，收入为：2
30031
300400)300(?-?=R =90000
（3）销售量由300增加至360时，收入增加了：)300()360(R R -=100800-90000 （4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入将增加：
180
60800
10300360)300()360(==--R R （5）因为
q
q q q R 32
400)31400()(2-='-=' 所以，销售量为300时，边际收入为：200)300(='R
例3某企业每天的产量均能售出，售价为490元/吨，其每日成本C 与每日产量q 之间的
函数为2
02.04502000)(q q q C ++=
（1）写出收入函数；（2）写出利润函数； （3）求利润函数的导数，并说明其经济意义.
解（1）收入函数为：q q R 490)(=
（2）利润函数为：
)02.04502000(490)()()(2
q q q q C q R q L ++-=-= 202.0402000q q -+-=
（3）利润函数的导数为：q q q q L 04.040)02.0402000()(2
-='-+-='
利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q 时，再增加单位产量后利润的改变量.
例4某厂每月生产q (百件)产品的总成本为
+=2
)(q q C 1002+q (千元).若每百件的销售价格为4万元，试写出利润函数)(q L ，并求当边际利润为0时的月产量.
解：已知q (百件)，
1002)(2
++=q q q C (千元)，40=p (千元/百件) （1）利润函数为：)(q L =
)1002(402
++-q q q （2）边际利润为=')(q L 40 - (2q +2)q 238-= 令0)(='q L ，即=')(q L 0238=-q ，得19=q 请大家从上述例题中归纳边际函数与导数的关系.
四、课堂练习
某种产品的收入R （元）是产量q （吨）的函数)
0(4800)(2
≥-=q q q q R 求:（1）生产200
吨该产品时的收入；（2）生产200吨到300吨时收入的平均变化率；（3）生产200吨时的边际收入．
五、课后作业
1.某工厂每日产品总成本C （百元）与日产量q （kg ）的关系为C (q )=4q +q 2+500 求日产量为900kg 时的边际成本．
2.某厂每月生产q （百件）产品的总成本为C (q )=q 2+2q +100（千元）．若每百件的销售价格为4万元，试写出利润函数L (q )，并求当边际利润为0时的月产量．
一、学习目标
通过本节课学习，了解需求弹性的概念，会求需求价格弹性．
二、内容讲解
定义3.7——需求价格弹性
设某产品的单位售价p ，该产品市场需求量q ，则它的需求函数为q =q (p ) 需求函数的导数为：q '(p )
价格由p 增加到p +?p ，则需求由q (p )增加到q (p +?p )．
价格提高的百分比p p
?，需求改变的百分比)()()(p q p q p p q -?+
两个百分数之比（平均比率）
瞬时比率，即当?p →0时，对需求影响的百分比为
p p q p p q p q p p ?-?+?→?)
()()(lim
0=)
()(p q p q p '=E p
称为需求价格弹性，简称需求弹性，记为E p ．
边际问题和经济分析中的最值
边际成本、边际收入、边际利润；经济应用中的平均成本最小，收入、利润最大的问题． 需求价格弹性——需求的变化是依赖于价格变化的，即当价格提高1%时，需求的变化是百分比．
第三章《导数及其应用》单元测试题 一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A)x x f π4)(=' (B)x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D)x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B)[]8,2 (C)[]2,1 (D)[]2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ）2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294 e Ｂ．22e Ｃ．2 e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞， 内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的
高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版 选修1_1 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用． 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x) 知识点二 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值． 知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． 2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值． 类型一数形结合思想的应用 例1 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________． 反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪
个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的． (2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点． 跟踪训练1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是________．类型二构造函数求解 命题角度1 比较函数值的大小 例2 已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系是________． 反思与感悟本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数． 跟踪训练2 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．命题角度2 求解不等式 例 3 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)
第三章导数及其应用单元测试 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后 的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D． 2．函数的单调递减区间是（） A．B．C．D． 3．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （） 4．点P在曲线 上移动，设 点P处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 （） | A．[0,] B．0,∪[,π C．[,πD．(, 5．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为（） A．B．C．D． 6．函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D． 7．已知函数时，则（）
A．B． ， C．D． 8．设函数的导函数，则数列的前n项和是 （） A．B．C．D． 9．设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为（）A．[-,+∞] B．(-∞,-3) C．(-∞,-3)∪[－,+∞] D．[－,] 10．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时，(x-1)＜0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则（） A ．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）！ A．B．C．D． 12．如图所示的是函数的大致图象，则等于（） A．B．
C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 , 13．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________． 14．已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则△ABP的面积为； 15．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为， 则不等式的解集为_____________ 16．若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞）上的最大值为,则a的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。 17．（12分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R)． （1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a． 。
旗开得胜 选修1-1第三章导数及其应用A 卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（共12小题；共60分） 1 若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A 0()f x ' B 02()f x ' C 02()f x '- D 0 2 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 3 函数3 y x x 的递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 4 32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于（ ） A 319 B 316 C 313 D 3 10 5 函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）
A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 6 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A 72 B 36 C 12 D 0 7. 已知 a 函数 ()312f x x x =-的极小值点，则 ()a = A. B. C. D. 8. 函数 3223125y x x x =--+在 []0,3上的最大值，最小值分别是 ( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 函数 ()()3e x f x x =-的单调递增区间是 A. B. C. D . 10. 与直线 240x y -+=平行的抛物线 2y x =的切线方程是 ． A. 230x y -+= B. 230x y --= C. 210x y -+= D. 210x y --=
第三章导数及其应用单元测试 一、选择题 1. 函数()323922yxxxx=---<<有（） A. 极大值5，极小值27? B. 极大值5，极小值11? C. 极大值5，无极小值 D. 极小值27?，无极大值 2. 若'0()3fx??，则000()(3)lim h fxhfxhh?????（） A. 3? B. 6? C. 9? D. 12? 3. 曲线3()2fxxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（） A. (1,0) B. (2,8) C. (1,0)和(1,4)?? D. (2,8)和(1,4)?? 4. ()fx与()gx是定义在R上的两个可导函数，若()fx,()gx满足''()()fxgx?, 则 ()fx与()gx满足（） A. ()fx?()gx B. ()fx?()gx为常数函数 C. ()fx?()0gx? D. ()fx?()gx为常数函数 5. 函数xxy142??单调递增区间是（） A. ),0(?? B. )1,(?? C. ),21(?? D. ),1(?? 6. 函数xxyln?的最大值为（） A. 1?e B. e C. 2e D. 310 二、填空题 1. 函数2cosyxx??在区间[0,]2?上的最大值是. 2. 函数3()45fxxx???的图像在1x?处的切线在x轴上的截距为________________.
3. 函数32xxy??的单调增区间为，单调减区间为 ___________________. 4. 若32()(0)fxaxbxcxda?????在R增函数，则,,abc的关系式为是 . 5. 函数322(),fxxaxbxa????在1?x时有极值10，那么ba,的值分别为________. 三、解答题 1．已知曲线12??xy与31xy??在0xx?处的切线互相垂直，求0x的值. 2. 如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？ 3. 已知cbxaxxf???24)(的图象经过点(0,1)，且在1x?处的切线方程是2yx??（1）求)(xfy?的解析式；（2）求)(xfy?的单调递增区间. 4. 平面向量13(3,1),(,)22ab???，若存在不同时为0的实数k和t，使 2(3),,xat bykatb??????且xy?，试确定函数()kft?的单调区间.
第三章 导数及其应用 考点1 导数的概念及计算 1．(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) A ．y ＝12x 3－1 2x 2－x B ．y ＝12x 3＋1 2x 2－3x C ．y ＝1 4 x 3－x D ．y ＝14x 3＋1 2 x 2－2x 1.解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项， y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝3 2x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A. 法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题设有?????f （0）＝0?d ＝0， f （2）＝0?8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′（0）＝－1?c ＝－1， f ′（2）＝3?12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－1 2，c ＝－1，d ＝0. 故该函数的解析式为y ＝12x 3－1 2x 2－x ，选A. 答案 A 2.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝-x-1 e －x ，则曲线y ＝f (x ) 在
点(1，2)处的切线方程是________. 2.解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1＋x， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝2， y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 答案y＝2x 3．(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 3.解析f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. 点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)． 将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)， 解得a＝1. 答案1 4.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 4.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1 x，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切 线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案8 5.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝a ax ln，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________． 5.解析f′(x)＝x a ln＋ax·1x＝a(ln x＋1)，由f′(1)＝3得，a(ln 1＋1)＝3，解得a＝3.
第三章 导数及其应用 第一节导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ?曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． (4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式
导数及其应用复习 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式：x m (m 为有理数)、sinx 、cosx 、e x 、a x 、lnx 、log a x 的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 [教学方法] 1.采用“学案导学”方式进行教学。 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。 [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评. [教学重点和难点] 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用 【综合脉络】 1.知识网络 2.考点综述 有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、 导数定义 导数的几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 导数的实际背景 判断函数 的单调性 求函数的 极大(小)值 求函数的 最大(小)值 基本求 导公式
选修1-1第三章-导数及其应用导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
沈丘三高高二数学导学案 编写人：楚志勇 审稿人：高二数学组 §3.1.1 变化率问题 【使用课时】：1课时 【学习目标】：1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 【学习重点】：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 72~ P 74，找出疑惑之处） 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4 )(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数() x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ?表示12x x -，即x ?=___________,可把x ?看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ?代替2x ，类似有=?)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________ 提出疑惑 h t o
第三章导数及其应用 考点1 导数与积分 1．（2018全国Ⅰ，5）设函数f(x)=x3+(a?1)x2+ax．若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0?， 0)处的切线方程为( ) A．y=?2x B．y=?x C．y=2x D．y=x 1.D 因为函数f(x)是奇函数，所以a?1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f′(x)=3x2+ 1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y?f(0)=f′(0)x，化简可得y=x，故选D. 2.（2017?浙江,7）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A. B. C. D. 2. D 由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D. 3.（2017?新课标Ⅱ,11）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（） A.﹣1 B.﹣2e﹣3 C.5e﹣3 D.1 3. A 函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选A．4．（2018全国Ⅱ，13）曲线y=2ln(x+1)在点(0,?0)处的切线方程为__________． 4.y=2x∵y′=2 x+1∴k=2 0+1 =2∴y=2x
第三章导数及其应用 刷速度 一、选择题 1. 已知曲线上一点，则（）A．B．C．D． 答案 . 2. 已知′(1),则f′(0)等于( ) A. B C D 2e 解:由′(1),得:f′(x)′(1), 取得:f′(1)′(1),所以,f′(1) 故f′(0)′(1), 因此，本题正确答案是:B. 3. 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（）。
A: B: C: D: 答案详解B 解析:本题主要考查函数的单调性。 当函数为减函数时，函数的导数小于零，根据图象，在区间内导函 数小于零，即为减区间。故本题正确答案为B 。 4. 函数,的最大值为( ) A. B. 1 C. D. 答案详解C 解:令得或 当时,或;当 时, 当 时 ;当 时, ;当 时, 所以函数的最大值为所以C 选项是正确的 解析:求出函数的导函数,令导数为0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出函数的极值及端点值,在其中选出最大值. 5. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) A. 3 B 2 C 1 D 答案详解A 解析:函数的定义域为 ，函数的导数为 ，由 ， 得 ，解得 或 （舍去），选A. 6. 函数 有极值的充要条件是
A、a≥1或a≤0 B、a>1或a<0 C、a≥1或a<0 D、0
高中数学人教版选修1-1（文科）第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数A 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2016高二下·会宁期中) 已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点坐标为（b，c）则ad等于（） A . 2 B . 1 C . ﹣1 D . ﹣2 2. （2分）(2019·长春模拟) 已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（） A . B . C . D . 3. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知函数 f（x）=ax3-3x2+1 ，若 f（x）存在唯一的零点 x0 ，且x0 ＞0 ，则 a 的取值范围是（） A . （2，+∞） B . （1，+∞） C . （-∞，-2）
D . （-∞，-1） 4. （2分）(2017·江西模拟) 若函数f（x）=[x3+3x2+（a+6）x+6﹣a]e﹣x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（） A . （﹣∞，﹣32） B . （﹣∞，﹣27） C . （﹣32，﹣27） D . （﹣32，﹣27] 5. （2分） (2017高三上·唐山期末) 已知函数，则使得成立的的取值范围是（） A . B . C . D . 6. （2分）若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为（） A . B . C . ∪ D . ∪
7. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 若函数在处取得极值，则（） A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 8. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 设a，b∈R且a＜b，若a3eb=b3ea ，则下列结论中一定正确的个数是（） ①a+b＞6；②ab＜9；③a+2b＞9；④a＜3＜b． A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分）(2016·江苏模拟) 已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是________． 10. （1分） (2019高三上·长春月考) 已知函数有两个不同的极值点 ,且不等式 恒成立,则的取值范围是________． 11. （1分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围________ 三、解答题 (共3题；共25分) 12. （5分）已知函数f（x）=+ax，x＞1． （Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
如何培养学生良好的行为习惯 我国著名教育家陶行知先生说：“播种行为，就收获习惯；播种习惯，就收获性格；播种性格，就收获命运。”这一育人哲理道出了培养行为习惯的重要性。叶圣陶先生十分重视少年儿童良好行为习惯的培养。他认为，“我们在学校里受教育，目的在养成习惯，增强能力。我们离开了学校，仍然要从多方面受教育，并且要自我教育，其目的还是在养成习惯，增强能力。”习惯越自然越好，能力越增强越好。良好的行为习惯是促进一个人健康成长的重要条件，是健全人格形成的基础。习惯有好坏之分，好习惯终身受其益，坏习惯终身受其累”。生活中有两种习惯养成不得，一种是不养成习惯的习惯，另一种是妨害他人的习惯（所谓不养成习惯的习惯就是指一个人做事没有强制与警觉，今天东，明天西，今儿这样，明儿又那样，这就可能什么习惯也养不成。久而久之，就成为一种不养成习惯的习惯）”。陶行知先生在改造中国教育的实践中提出了“生活教育理论”。他非常重视在做中学，主张在做中养成习惯，即实践中养成习惯。“生活即教育”。到处是生活，即到处是教育。整个社会是生活的场所，亦即教育之场所。教育无处不在。作为教育工作者，我们应该充分挖掘各自现有教育资源，结合各种教学活动，把“做人、做事、学习”的正确习惯的培养融入平常的教学活动中。持之以恒，自然成习惯。班主任是学生接触最多的老师，也是给学生影响最大的人，培养学生形成好的行为习惯对于班主任来说至关重要。那么作为班主任应该怎样培
养学生地习惯呢？下面我谈谈自己的观点： 一、教师要正确面对学生存在的不良习惯 先贤哲人孔子曾说：“少成若天性，习惯如自然。”充分说明人在自然状态下，不假思索，不必费什么心思，更不用意志去控制而形成的某种行为，就是一种习惯。所谓习惯也可以理解成人的一种自动化的行为，坏习惯也是一种自动化行为。作为教育者要认识到每个学生都追求上进，都希望获得别人（尤其是老师）的肯定和赞扬，他们不想犯错更不想故意与老师作对，他们之所以犯错是因为他们已有的习惯。这样，作为教师在教育学生的过程中就会减少一些情绪化的语言和手段，多一些理智的思考。既有利于对学生的教育，又有利于教师的心理健康。因为当教师在面对学生坏习惯的时候首先表现出的不能是生气和发脾气，当你用理解，用爱心去面对时问题就会变的简单化，处理起来也会更顺畅一些。所以用平和的心态，正确的面对学生的不良习惯是关健。作为班主任经常会遇到学生各种各样的突发事件，他们出现的一些坏习惯坏行为的确让人头痛，那么一定要先让自己心平气和，通过思考冷静的去处理。这样的效果肯定比发怒更管用。我们班有一位男生，进校时行为习惯特别差，经常给我带来麻烦事，起初我也很生气，认为他是朽木一个，总是以责备为主，但后来冷静思考后觉的自己处理的不好，因为责骂的效果并不好。于是我改变了方法，当他犯错时自己先保持平和心态然后让他讲原因，和他讲道理并且从学生角度想问题，处理问题。慢慢的他有了一些变化，虽然还是会有一些小毛病但己经有了很大进步，这学期当了校卫生督察后经
第三章 导数及其应用 备课人 周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平 均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉
表格1 格 2 0?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时，-=v 13.099 951； 当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=?t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=?t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ?趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ?+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ?+2,2上的平均速度；
2013年高考复习讲义第三章导数及导数的应用 3.1导数的概念和运算 一、考点梳理 1、导数的有关概念： 1）导数： 2）导函数： 3）导数的几何意义： 4）导数的物理意义： 2、导数的运算： 1）基本初等函数的导数公式： ； 2）导数的运算法则：多项式的导数： ； 乘积的导数： ； 除商的导数： ； 复合函数的导数： ； 二、边做、边想、边总结 题型一：导数的运算： 例1、设函数()f x 在2x =处可导，且()/ 21f =，则()() 222lim h f h f h h →+--= ； 方法小结： 变式练习：1、已知()/ 02f x =，则()() 000 2lim h f x h f x h →--= ； 2、已知()/ f a b =，则()() 32lim h f a h f a h h →+--= ；()( ) () 2 lim x f a x f a x →+-= 3、已知函数()ln 1.f x x =+则 ()() 121lim x f x f x →--= 4、已知f （3）＝3，（3）＝－2，则：的值为 . 例2、求下列函数的导数 1、 利用定义求y = 2x =处的导数
方法小结： 变式练习：利用定义求4 y x =的导数 2、 求下列函数的导数 1、2311y x x x x ??=+ + ?? ?，2、sin cos 22x x y x =-，3、ln y x x =，4、sin 23y x π? ?=+ ?? ?， 5、()3 sin y ax b x =-，6、21x y e =+，7、()1ln 1x y x x a -=+++，8、()ln ln 2y x x ax =+-+ 9、) 11y ?= ?? ，10，y =11、2 x e y x ax a =++，12、()1ln 11x y ax x -=+++ 13、y ＝x (1＋|x |)．14、y ＝x 2e x ；15、y ＝e x ＋1 e x －1 ； 方法小结： 题型二：函数基本性质与导数的运算相关题型： 1、 等比数列{}n a 中184,2,a a ==函数()()()()128,f x x x a x a x a =--- 则()/ 0f = 2、 已知二次函数()2 f x ax bx c =++导数为()/ f x ，()/00f >对于任意数x 都有()0f x ≥，则 () () / 10f f 的最小值为 3、 ()f x 定义在R 上的可导函数，且满足()()/ 0xf x f x +<，对于任意,a b ，若a b <则必有（ ） A 、()()af b bf a > B 、()()bf a af b > C 、()()af a bf b > D 、()()bf b af a > 4、已知函数()/ cos sin 4f x f x x π?? =+ ??? ，则4f π?? ??? = 5、已知函数()()2/ 21,f x x xf =+则()/0f = 6、()f x 定义在()2,2-上的可导函数，且()/ 22cos f x x x =+，且()00f =，则满足 ()()210f x f x x ++->的实数x 的取值范围 7、函数()32 1122132 f x ax ax ax a = +-++的图像经过四个象限，则实数a 的取值范围 8、已知函数定义在R 上的奇函数，()20f =，当0x >时，有()() /2 0xf x f x x -<成立，则不等式
第三章导数及其应用 备课人周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）及起跳后的时间t（单位：s）存在关系()10 =t t t h， - + 5.6 9.42+ 那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多
少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉 表格1 格2 0?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时， -=v 13.099 951； 当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049；
第三章 中值定理与导数的应用 一、基本要求 （1）深刻理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，会利用微分中值定理做一些证明题。 （2）熟练掌握洛必达法则。 （3）掌握函数单调性的判别法。 （4）理解函数极值的概念，并掌握其求法。 （5）理解函数最值得概念，并掌握其求法，能解决较简单的最值应用问题。 （6）理解曲线凹凸性和拐点的概念，会判断曲线的凹凸性，会求拐点。 （7）能描绘函数的图形（包括渐近线）。 （8）知道弧微分概念，并会求弧微分。 （9）了解曲率、曲率半径的概念。 二、重点与难点 重点：微分中值定理的应用；洛必达法则；函数最值及其求法。 难点：微分中值定理的应用；泰勒公式。 三、释疑解难 问题3.1 罗尔定理中“函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 可导”这两个条件，是否可以合并成“函数()f x 在闭区间[,]a b 可导”这一条件，这样不是更简便吗？ 答 ()f x “在[,]a b 可导”不仅包含了()f x “在[,]a b 连续，在(,)a b 可导”，而且包含了 ()f a +'与()f b -' 都存在。这样，条件增强了，必然引起罗尔定理适用范围的缩小。例如， ()f x =满足“在[1,1]-连续，在(1,1)-可导”，(1)(1)0f f -==，于是，存在 (1,1)ξ∈- ，使得()0f ξ ξ='===，可以看出，0(1,1)ξ=∈-，但 是，()f x =1x =±不可导，不满足“在[1,1]-可导”。 在进行数学研究时，应力求将命题的条件减弱，以扩大其适用范围。 问题3.2 罗尔定理的结论为存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=，那么，ξ是否一定是()f x 的极值点？ 答 罗尔定理中的ξ在(,)a b 可以有多个，其中有的ξ可以是()f x 的极值点，有的ξ可 以不是()f x 的极值点。例如，3 ()(53)4 x f x x =-，在[1,2]-满足罗尔定理的条件。令23()(54)04f x x x '= -=，得()0F ξ'''=。10ξ=不是()f x 的极值点，25 4 ξ=是()f x 的极大值点。
单元综合测试三(第三章) 时间：90分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(1 2)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2 解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(1 2)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B 2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos x D ．y ′＝cos 2x ＋cos x 解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x . 答案：C 3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(1，＋∞) 解析：f ′(x )＝3－3x 2>0?x ∈(－1,1)．
答案：C 4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( ) A ．14 B ．4 C ．10 D ．6 解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ， 所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14. 答案：A 5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π 2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π 2)＝1， ∴k ＝－a 2＝－1，a ＝2. 答案：D 6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( ) A ．1 B ．3 C ．－4 D ．－8 解析：