类型4：二次函数
（1）二次函数图像与性质基础
1、（东城一模12
上；②与y 轴的交点坐标为（0，1）. 是
．
2、（石景山一模12抛物线的表达式，y = ．
3、（怀柔一模8）如图，函数y =-2x 2 的图象是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
4、（顺义一模9）在平面直角坐标系不动，而把x 轴、y 轴分别向下、向左平移2个单位，则在新坐标系下抛物线的表达式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5、（通州一模7）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 满
足二次函数bx ax y +=2的表达式，则对该二次函数的系数a 和b 判断正确的是（ ） A ．00a b >>， B ．00a b <<，
C ．00a b ><，
D ．00
a b <>，
6、（海淀二模8）抛物线的顶点坐标为（ ）
A ．（3，–6）
B ．（3，12）
C ．（–3，-9）
D ．（–3，–6）
7、（昌平二模16）已知二次函数x m x y )12(2-+=，当0 的取值范围是__________. 8、（通州二模8）若把代数式542--x x 化成k m x +-2)(的形式，其中m ，k 为常数，则k m +=______． 9、（东城二模4）下列关于二次函数y =x 2+2x +3的最值的描述正确的是（ ） A ．有最小值是2 B ．有最小值是3 C ．有最大值是2 D ．有最大值是3 10、（天津中考）已知抛物线y =x 2﹣4x +3与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为 M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ） A ．y =x 2+2x +1 B ．y =x 2+2x ﹣1 C ．y =x 2﹣2x +1 D ．y =x 2﹣2x ﹣1 11、（遵义中考11）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下 列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0， 其中所有正确的结论是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．②③④ '''x O y 2'2'y x =22(2)2y x =+-22(2)2y x =++22(2)2y x =--22(2)2y x =-+263y x x =-+ （2）二次函数综合 12、（西城一模27）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2 -(2m + 1)x + m -5的图象与x 轴有两个公 共点. （1）求m 的取值范围； （2）若m 取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式； ②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n ，求n 的值； ③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O .设平移后的图象对应的函数表达式为y =a (x -h )2 + k ，当x < 2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围. 13、（朝阳一模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2211 222 y x mx m m = -++-的顶点在x 轴上. （1）求抛物线的表达式； （2）点Q 是x 轴上一点， ①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标； ②抛物线与直线y =2交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E 、F （包含点E 和点F ）之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ，若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ =45°，求n 的取值范围. 14、（东城一模27）二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴. ① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系； ② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当=7时，直线与新的图象恰好有三个公共点，求此时的值； （3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求的取值范围． 15、（海淀一模27）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线 x =4于B 点． （1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）； （2）若AB ∥x 轴，求抛物线的表达式； （3）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意一点P （P x ，P y ），2P y ≤，求m 的取值范围． x x n l m m 16、（怀柔一模27）已知二次函数122-++=a ax ax y （a >0）. （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点； （2）求该抛物线的顶点坐标； （3）结合函数图象回答：当x ≥1时，其对应的函数值y 的最小值范围是2≤y ≤6，求a 的取值范围. 17、（门头沟一模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ,B 两 点，点A 在点B 的左侧，抛物线的顶点为P ,规定：抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界）. （1）如果该抛物线经过（1, 3），求a 的值，并指出此时“G 区域”有______个整数点； （整数点就是横纵坐标均为整数的点） （2）求抛物线()()13y a x x =+-的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，如果G 区域中仅有4个整数点时，直接写出a 的取值范围. 18、（石景山一模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ． （1）求顶点A 的坐标； （2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l 与抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ， C 两点． ①当2a =时，求线段BC 的长； ②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 19、（通州一模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222+-+-=m m mx x y 的顶点为D. 线段AB 的两个端点分别为A （-3，m ），B （1，m ）. （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）若该抛物线经过点B （1，m ），求m 的值； （3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围. 两点(点A在点B的左侧). （1）求抛物线的对称轴及线段AB的长； （2）若抛物线的顶点为P，若∠APB=120 °，求顶点P的坐标及a的值； （3）若在抛物线上存在点N，使得∠ANB=90 °，结合图形，求a的取值范围． 21、（海淀二模27）抛物线22 24 y x mx m =-+-与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1． （1）求抛物线的表达式； （2）若CD∥x轴，点D在点C的左侧， 1 2 CD AB =，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线在直线x=t右侧的部分沿直线x=t翻折后的图形记为G，若图形G与线段CD有公共点，请直接写出t的取值范围． 其对称轴与x 轴交于点B ． （1）求点A ，B 的坐标； （2）点C ，D 在x 轴上（点C 在点D 的左侧），且与点B 的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 23、（丰台二模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线122 1 2+-+=a x ax y 与y 轴交于点C ， 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为﹣1． （1）求a 的值； （2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标； （3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ，B 两点），先向下平移 3个单位，再向左 平移m （0>m ）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线PP′ 无交点，求m 的取值范围． x y -x y=-2x 2+1 –11 1 -1O 24、（通州二模27）已知：二次函数1422 -++=m x x y ，与x 轴的公共点为A ，B . （1）如果A 与B 重合，求m 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当1=m 时，求线段AB 上整点的个数； ②若设抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n ， 当1<<8n 时，结合函数的图象，求m 的取值范围. 25、（房山二模27）对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当-1≤x ≤1时，-1≤y ≤1， 则称这个函数为“闭函数”. 例如：y =x ，y =-x 均是“闭函数”(如右图所示). 已知()02≠++=a c bx ax y 是“闭函数”，且抛物线经过点A (1，-1)和点B (-1，1) . （1）请说明a 、c 的数量关系并确定b 的取值； （ 2）请确定a 的取值范围. 26、（怀柔二模26） 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300 件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x （x 为整数）元，每星期售出商品的利润为y 元，请写出x 与y 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象. （3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小丽解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： y =(60-x )(300+20x )-40(300+20x ), 即y =-20x 2+100x +6000. ∵降价要确保盈利， ∴40＜60-x ≤60.解得0≤x ＜20. （2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1： （3）∵a =-20＜0， ∴当x =2b a -=2.5时，y 有最大值，y =244ac b a -=6125. 所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125. 老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x 的取值范围不准确.（2）（3）问的答案，也都存在问题.请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因. 27、（德州中考22）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园 越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米. （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； （2）求出水柱的最大高度是多少？ 28、（昌平二模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(42≠-=m mx mx y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）. （1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）过点B 的直线l 与y 轴交于点C ，且2tan =∠ACB ，直接写出直线l 的表达式； （3）如果点)(1n x P ，和点)(2n x Q ，在函数)0(42≠-=m mx mx y 的图象上，PQ=2a 且21x x >， 求26221+-+a ax x 的值. l 29、（房山一模27）在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴 交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ， 直线l 与直线32-=x y 交于点C. （1）求点C 的坐标； （2）如果抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0)与线段BC 有唯一公共点， 求n 的取值范围． 30、（丰台一模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()01242≠-+-=m m mx mx y 与平行于x 轴的一 条直线交于A ，B 两点． （1）求抛物线的对称轴； （2）如果点A 的坐标是（-1，-2），求点B 的坐标； （3）抛物线的对称轴交直线AB 于点C ， 如果直线AB 与y 轴交点的纵坐标为-1，且抛 物线顶点D 到点C 的距离大于2，求m 的取值范围． 31、（平谷一模27）直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的 对称点为点C ． （1）求点C 的坐标； （2）若抛物线()230y mx nx m m =+-≠经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式； （3）若抛物线()230y ax bx a =++≠ 经过A ，B 两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围． 32、（顺义一模27）如图，已知抛物线与x 轴交于A （-2，0），B 两点， 与y 轴交于C 点，tan ∠ABC =2． （1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标； （2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围． 28(0)y ax bx a =++≠ 33、（燕山一模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2过点A (0，-3)，B (4，5). （1）求此抛物线表达式及顶点M 的坐标； （2）设点M 关于y 轴的对称点是N ，此抛物线在A ，B 两点之间的部分记为图象W (包含A ,B 两点)，经过点N 的直线l ：n mx y +=与图象W 恰一个有公共点，结合图象，求m 的取值范围. 34、（东城二模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+. （1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式； （2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式； （3）若有两点()1,0A -，()1,0B ，且该抛物线与线段AB 始终有交点，请直接写出m 的取 值范围. 35、（石景山二模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），对称轴与x 轴交于点3,0（），且4AB =. （1）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标； （2）将抛物线1C 平移，得到的新抛物线2C 的顶点为(0,1)-，抛物线1C 的对称轴与两条抛 物线1C ，2C 围成的封闭图形为M .直线:(0)l y kx m k =+≠经过点B .若直线l 与图形M 有公共点，求k 的取值范围. 36、（怀柔二模27）在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，并且经过点 B (3，n ). （1）求点B 的坐标； （2）如果抛物线2 441y ax ax a =-+- (a ＞0)与线段AB 有唯一公共点，求a 的取值范围． 备用图 37、（顺义二模27）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过A （﹣1，0），B （3， 0）两点． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线2y x bx c =-++在第一象限内的部分记为图象G ，如果过点P （-3，4）的直线y =mx +n （m ≠0）与图象G 有唯一公共点，请结合图象，求n 的取值范围． 38、（平谷二模27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2 4440y mx mx m m =-++≠的顶点为 P ．P ，M 两点关于原点O 成中心对称． （1）求点P ，M 的坐标； （2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿x 轴翻折，翻折后的图象在05x ≤≤的部分记为图象H ，点N 为抛物线对称轴上的一个动点，经过M ，N 的直线与图象H 有两个公共点，结合图象求出点N 的纵坐标n 的取值范围． 39、（北京中考27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A B 、（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . （1）求直线BC 的表达式； （2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122,,,P x y Q x y ，与直线BC 交于点()33,N x y ，若123x x x <<，结合函数的图象，求123x x x ++的取值范围. 中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y 专题10二次函数的应用一．解读考点 知识点 二次函（1）利润问题 数应用（2）几何问题 类型（3）抛物线型问题 名师点晴 利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题. 一般方法是： （1）建模（最重要的 就是可以读懂题意），然 二次后求二次函数的解析式，解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出；认真审题，理解题意，建 应用（2）求x= ﹣b 2a 的值；立二次函数的数学模型， 的解（3）判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识 2a 题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围 ①在，即相当于求顶点处 函数的最大值或最小值 ②不在，可画草图根据二 范围． 次函数的增减性来解答． 二．考点归纳 归纳1：利润问题 基础知识归纳： ①每件商品的利润=售价—进价 ②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=（售价—进价）×销售量 ③商品的总利润=总收入－总支出 ④商品的利润率== 例1.（2017湖北十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=60+10x（1≤x≤12，且x为整数）； （2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元. 【解析】 试题分析：(1)根据题意，得：y=60+10x，由36?x≥24得x ≤12， ∴1≤x≤12，且x为整数； (2)设所获利润为W， 则W=(36?x?24)(10x+60)=?10x2+60x+720=?10(x?3)2+810， ∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810， 答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元. 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 《二次函数》中考题型归类 二次函数是初中数学的核心知识之一，也是中考的必考考点.考查的主要知识点有:二次函数的概念，二次函数解析式的三种表达形式，二次函数的图象及其性质，二次函数与一元二次方程和不等式的关系，用二次函数解决实际问题.为方便同学们学习，及时理解二次函数在中考中的地位，现以中考试题为例，对二次函数的典型题型进行展示与解析. 一、二次函数的概念 例1 若函数2(1)42y a x x a =--+的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为. 分析:题目中没有说明函数的类型，由于a 是变化的，因此这个函数可能是二次函数，也可能是一次函数，前者的条件是1a ≠，后者的条件是1a =，所以需要进行分类讨论. 解:①当1a ≠时，函数2(1)42y a x x a =--+是二次函数，由它的图象与x 轴有且只有一个交点，得2(4)4(1)20a a =--?-?=V . 整理，得220a a --=. 解得122,1a a ==-. ②当1a =时，函数2(1)4242y a x x a x =--+=-+是一次函数，其图象与x 轴的交点为1(,0)，满足“图象与x 轴有且只有一个交点”的要求，因此1a =满足要求. 综上所述，a 的值为1或2或-1. 评注:形如2y ax bx c =++(,,a b c 为常数，0a ≠)的函数叫做二次函数.这里有两个要素:一是0a ≠，二是x 的最高次数为2，两者缺一不可.不能误认为2y ax bx c =++就一定是二次函数，当0,0a b =≠时，它是一次函数;当0,0a b ==时，它是平行(或重合)于x 轴的一条直线.因此，对于这类含字母系数的函数问题，要弄清它是否一定为二次函数，注意进行分类讨论.中考时，命题者常设计这方面的试题来考查考生的分类意识. 二、二次函数的图象与性质 例2 (1)(2017?金华)对于二次函数2(1)2y x =--+的图象与性质，下列说法正确的是() A.对称轴是直线1x =，最小值是2 B.对称轴是直线1x =，最大值是2 C.对称轴是直线1x =-，最小值是2 D.对称轴是直线1x =-，最大值是2 (2)(2017?宁波)抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 二次函数题型分析练习 题型一：二次函数对称轴及顶点坐标的应用 1.（2015?兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x =﹣2的是（ ） A ． y =（x +2）2 B ．y =2x 2﹣2 C ．y =﹣2x 2﹣2 D ．y =2（x ﹣2）2 2.（2014?浙江）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称 点坐标为（ ） A.（﹣3，7） B.（﹣1，7） C.（﹣4，10） D.（0，10） 3.在同一坐标系中，图像与y=2x 2 的图像关于x 轴对称的函数是（ ） A.212y x = B.212y x =- C.22y x =- D.2y x =- 4.二次函数 无论k 取何值，其图象的顶点都在( ) A.直线 上 B.直线 上 C.x 轴上 D.y 轴上 5.（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2 +1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直 线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.（2014?扬州）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点 P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 ． 7.已知二次函数 ，当 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 （ ） A. B . C. D.c 8.如图所示，已知二次函数 的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式 = . 题型二：平移 中考数学二次函数分类汇编试题含答案 一、选择题 1、（2007天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、（2007广州市）二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为（ ）A 5、（2007四川资阳）已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下 列结论正确的是( )D A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； 1 二次函数练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如 下表： 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 2 1y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c 3、当m 时，函数2 235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数22 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数256 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的 长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图2 中考复习二次函数题型 分类总结 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则 t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ； 如果解析式为一般式y=ax 2 +bx+c ，则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2 ＋(m －1)x －1 4 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 二次函数中考试题分类汇编 一、选择题 1、已知二次函数y ax 2bx c(a 0) 的图象如图所示，有下列 5 个结论： ① abc 0 ；② b a c ；③4a 2b c 0 ；④2c 3b ；⑤ a b m( am b) ，（m 1的实数）其中正确的结论有（） B A. 2 个 B.3 个 C.4个 D. 5 个 2 、如图是二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 图象的一部分，图象过点A（－ 3， 0），对称轴为x ＝－ 1．给出四个结论：①b2＞ 4ac；② 2a＋ b=0；③ a－ b＋ c=0 ；④ 5a＜ b．其中正确结论是（）． B （A）②④（ B）①④（ C）②③（D）①③ 3 、二次函数 y x2 2x 1与 x 轴的交点个数是（） B A ． 0 B ． 1 C． 2 D ．3 4 、在同一坐标系中一次函数y ax b 和二次函数 y ax2 bx 的图象可能为（） A 5 y y ax 2 y y ( - 1，2)，(1，0) y 、已知二次函数bx c (a≠0)的图象开口向上，并经过点. 下列结论正确的是( )D A. 当 x>0 时，函数值y 随 x 的增大而增大 O x O x O x O x B.当 x>0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小 C. 存在一个负数x0，使得当x 2021中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝ 8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°， 得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标； 若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有， 求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点 C ，顶点为 D ． E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于 F 、 G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F x C O y A B D 1 1 图2 二次函 数中考试题分类汇编 一、选择题 1、已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、二次函数2 21y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2ax bx =+的图象可能为（ ）A 5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x 数学辅导二次函数题型分类总结 二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值围为 。 4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数y=(m －1)2 m x +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则对称轴最值a b ac 442 ） 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝______ 。 12．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。 2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是，顶点坐标是。 3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式。 4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=1 2x2－2x+1 ；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－ 1 4 x2+x－4 1、二次函数的定义 定义: ｙ＝ax 2 ＋ b ｘ + c （ a 、 b 、 ｃ 是常数, a ≠ 0 ) 定义要点:①ａ ≠ 0 ②最高次数为２ ③代数式一定是整式 练习：1、ｙ=-ｘ2,y=2x 2-2／x,y=１00－5 x 2，y=３ x 2-2ｘ3+5，其中是二次函数的有____个。 2.当m ＿＿＿____时，函数y=(m ＋1)χ - 2χ＋1 是二次函数？ 2、二次函数的图像及性质 例2:已知二次函数 (1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 (2)设抛物线与y 轴交于Ｃ点，与x 轴交于A 、B 两点,求Ｃ，A,B 的坐标。 (3）ｘ为何值时,y 随的增大而减少，ｘ为何值时，y 有最大(小)值,这个最大（小）值是多少？ （4)x 为何值时,y<0？ｘ为何值时,y>0? 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax 2+bx+c (a<0) 由a,b 和c 的符号确定 由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上 a<0,开口向下 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. . 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在 . ???? ??--a b ac a b 44,22??? ? ??--a b ac a b 44,22a b x 2- =直线a b x 2- =直线m m -223212-+=x x y 3、求抛物线解析式的三种方法 1、一般式：已知抛物线上的三点,通常设解析式为_＿________＿_____ y＝ax2+bx+ｃ(a≠0) ２，顶点式:已知抛物线顶点坐标（h，ｋ），通常设抛物线解析式为_＿_______＿_____求出表达式后化为一般形式. y=ａ(x-h）2+k（a≠0) ３,交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点（ｘ1,０)、（x２,0),通常设解析式为_____＿____＿__求出表达式后化为一般形式.y=ａ(ｘ-x1)(ｘ-x２) (ａ≠０) 练习:根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1）、图象经过(0,0）， (1,-2) ，（2,３) 三点； (２)、图象的顶点（2,3), 且经过点（３,1) ; (3)、图象经过（0,0), (12,0) ,且最高点的纵坐标是3 。 例1已知二次函数y=ａｘ2+ｂx+c的最大值是２，图象顶点在直线ｙ＝x+1上,并且图象经过点(3，－６）。求a、ｂ、c。 解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为( 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为ｙ＝a(ｘ-1）2+２ 又∵图象经过点（3，-6) ∴-6=ａ (3-1)2+2 ∴ａ=－2 ∴二次函数的解析式为y＝-2(x-1)2+2 即：ｙ=－2x2+4x 4、a，b,c符号的确定 抛物线y=ax２＋bx+c的符号问题： (1）a的符号:由抛物线的开口方向确定 （2）C的符号：由抛物线与ｙ轴的交点位置确定． (３)ｂ的符号:由对称轴的位置确定 《二次函数》考点复习精讲 【专题综述】 二次函数2 (,,y ax bx c a b c =++为常数，0a ≠)的定义和性质是中考中重点考查的内容.一般来说，对不同函数图象和性质的综合考查，多以中低难度客观题的形式呈现;用待定系数法求函数的解析式仍是解答题的“主角”;一次函数、反比例函数与二次函数的综合题，多是稍有难度的实际问题，需要特别注意自变量的取值范围;以函数为载体，或给出新概念，将三角形、四边形以及图形变换等知识融入的题目，具有较强的综合性和开放性，多位居压轴题的位置.2018年的中考将会延续这种基本走向.【方法解读】考点1二次函数的图象和性质 例1 (2017?连云港)已知抛物线2 (0)y ax a =>过12(2,),(1,)A y B y -两点，则下列关系式一 定正确的是() A.12 0y y >> B.21 0y y >> C.120 y y >> D.210 y y >>解:依题意，易知抛物线开口向上，对称轴为y 轴，且顶点为坐标原点，又结合图象的对称性可知12y y >.故选C. 评注:比较函数值的大小，可依据图象的开口方向以及相关点与对称轴的距离远近作出判断.例2 以x 为自变量的二次函数2 2 2(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是( ) A.54 b ≥ B.1b ≥或1b ≤- C.2 b ≥ D.12 b ≤≤解:Q 二次函数2 22(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限， ∴抛物线在x 轴的上方(顶点在x 轴的上方或者在x 轴上)或在x 轴的下方经过第一、第二、 第四象限这两种情况. ①抛物线在x 轴的上方(顶点在x 轴的上方或者在x 轴上)时， Q 二次项系数1a =， ∴抛物线开口方向向上. 22[2(2)]4(1)0b b ∴=----≤V . 中考第24题 ——二次函数综合 题型一：二次函数与全等三角形 1.（2019交大一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式； （2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣2≤m＜3时，直接写n的取值范围； （3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：二次函数与等腰三角形1.（工大七模）如图 ,抛物线 1 C的图象与x轴交A(?3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3)，点D为抛物线的顶点。 (1)求抛物线 1 C的解析式； (2)将抛物线 1 C关于直线1 x=对称后的抛物线记为 2 C,将抛物线 1 C关于点B对称后的抛物线记为 3 C，点E为抛 物线 3 C的顶点，，在抛物线 2 C的对称轴上是否存在点F，使得BEF ?为等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。 题型三：二次函数与三角形面积 1.（2019工大四模）已知抛物线，L ：3-bx ax y 2 += 与x 轴交于 A （-1,0），B 两点，与 y 轴交于点 C ，且 抛物线 L 的对称轴为直线 x = 1。 （1）求抛物线的表达式； （2）若抛物线L ′抛物线 L 关于直线 x = m 对称，抛物线L ′与 x 轴交于点A ′,B ′两点（点A ′在点B ′左侧）， 要使'2△△=ABC A BC S S ,求所有满足条件的抛物线L ′的表达式 2.（2019交大三模）如图，抛物线1C 的图象与x 轴交于A 、O 两点，顶点为点B （-1，-1）. （1）求抛物线1C 的函数表达式. （2）将抛物线1C 绕点A 旋转180°得到抛物线2C ，设抛物线2C 的顶点为点'B ，试通过计算判断抛物线2C 是否过点B. （3）在抛物线1C 或2C 的图象上是否存在点D ，使BO B BD B S S ''△△=?若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由 . 类型1线段问 题 1.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A(,)和B(4,c),点P是直线AB上的动点, 设点P的横坐标为n,过点P作PC⊥x轴,交抛物线于点C,交x轴于点M. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P在线段AB上运动时(点P不与点A,B重合),是否存在这样的点P,使线段PC的长有 ;若不存在,请说明理由; 最大值?若存在,求出这个最大值 (3)点P在直线AB上自由移动,当点C,P,M中恰有一点是其他两点所连线段的中点时,请直接写 . 出n的值 2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,直线 y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点 C.点P是x轴下方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x 轴于点F,交直线CD于点 E.设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式; (2)若PE=3EF,求m的值; (3)连接PC,是否存在点P,使△PCE是以PC为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出m的值; 由. 若不存在,请说明理 3.[2019原创]如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,C(1,0),与y轴 交于点B(0,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D. ①当△PDE的周长最大时,求出点P的坐标; ②连接AP,以AP为边在其右侧作正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之 点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时, 改变.则当顶 请直接写出点P的坐标. 备用图 一、二次函数的定义 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 练习： 1、下列函数中，不是二次函数的是（） A ．y=2x 2＋2x B ．y=－x 2 +x 3 +1 C ．y=－x 2 +x 3 +1 D ．y=3－x(2－x) 2、二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、把二次函数y=x 2 －4x+5化成y=(x —h)2 +k 的形式：y=___________ 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 练习： 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 类型一：求二次函数系数取值范围 （一）：求系数a 取值范围 10. （高新2模）已知二次函数y=ax 2 +2ax+3a 2 +3（其中a 是常数且a 不等于0），当x≥2时，y 随x 的增加而增大，且-2≤x≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为（）. A.1或-2 B. C. D.1 10．（高新6模）平面直角坐标系中，二次函数2 444y ax ax a =++-的图象经过四个象限，则a 的取值范围为( ) A ．1a < B ．01a << C ．1≥a D ．10a -<< 10.（高新7模）已知二次函数y=ax 2 +2ax+a 2 +a+4（其中x 是自变量），当x≥2时，y 随x 的增大而增大，且-2≤x≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A.-5或1 B.55-或 C.1 D.5 10．（西工大9模）平面直角坐标系中，抛物线4442-++=a ax ax y 经过四个象限，则a 的取值范围（ ） A ．1-5 C.5b ≥ D.b>5 10．(铁一中5模)已知抛物线)0(12≠++=a bx ax y 的图象的顶点在第一象限，且图如图所示，则象过点（-1， 0），若a+b 为整数，则ab 的值为（ ） A. -2 B ．1 C ．43- D ．4 1- 类型二：图像解析判断相关结论 10.（西工大8模）二次函数c ax ax y ++=22的图象如图，当t x =时，0>y ，则2+=t x 时，函数值（ ） A. 0<中考数学中二次函数压轴题分类总结
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