圆锥曲线
一、定义 1 第一定义
2 第二定义（抛物线是重点）
二 几何性质 1 标准方程 2 离心率 3 弦长问题
4 点在曲线上、曲线内、曲线外
5 焦点三角形
6 焦半径
7 准线 三 典型题
1 动点的轨迹问题（直接法、定义法、相关点法、参数法）
2 中点弦问题（点差法、韦达定理）
3 面积问题（焦点三角形、弦长公式）
4 定点、定值及最值问题（直线过定点、点在直线上、直线与曲线相切）
5 取值范围（第一种是不等式求解 ; 第二种是函数的值域求解法)
① 直曲联立判别式大于零； ② 点在曲线内部 或 外部； ③ 曲线本身a x a ≤≤-,b y b ≤≤-；
④ 三角形俩边之和大于第三遍，俩边之差小于第三边； ⑤ 向量 钝角 向量点积小于零，锐角 大于零；
中点弦问题
例1已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点
12,F F 在x 轴上，离心率12
e =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；
(Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.
变式1 过椭圆
14
162
2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
变式2 过椭圆
136
642
2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
变式3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
变式4 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。
动点的轨迹方程
例1 已知椭圆方程为2
2
14
y x +=，过定点(0,1)M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，
O 为坐标原点，()
2
OA OB OP +=
, 求点P 的轨迹方程
变式1 （2011 安徽 ）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ =QA λ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足
QM =MP λ,求点P 轨迹方程
变式2（2011天津理）
在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22
2
21x y a b
+=的左右焦点．已知12F PF ?为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足
2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．
变式3、（1）)2 , 4(P 是⊙0362824:22=---+y x y x C 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足?=∠90APB ，求弦AB 中点Q 的轨迹方程；（2）已知定点)2 , 0(A 及⊙4:22=+y x O ．过A 作直线MA 切⊙O 于A ，M 为切线上一个动点，MQ 切⊙
O 于Q 点（如图），求MAQ ?的垂心H 的轨迹方程．
变式4、（江苏）如图圆1O 与圆2O 的半径都等于1，421=O O ．过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．
变式5 P 是椭圆22
221x y a b
+=上的任意一点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，
12OQ PF PF =+，则动点Q 的轨迹方程是 .
变式4 动点P 到点A （0，8）的距离比到直线:7l y =-的距离大 1，求动点P 的轨迹方程。
变式5 已知点P 在曲线()2
122y x +=-上运动，点Q 与点P 关于直线
10x y --=对称，求点Q 的轨迹方程
最值问题
有关圆的最值问题
例1：平面上两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22:(3)(4)4C x y -+-=上取一点P ，求使
2
2
AP BP +取得最小值时点P 的坐标.
练习1：在圆224x y +=上与直线43120x y +-=的距离最近的点是（ ）
例2：已知AOB 中，3,4,5OB OA AB ===,点P 是AOB 内切圆上一点，求以,,PA PB PO 为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.
练习1：已知(,),P t t t R ∈，点M 是圆2211
:(1)4
O x y +-=
上的动点，点N 是圆2221
:(2)4
O x y -+=
上的动点，则PN PM -的最大值( ) A.51- B.5 C.1 D.2
例1 已知抛物线1C 的焦点与椭圆 2C : 22
165
x y +
= 的右焦点重合，抛物线1C 的顶点在坐标原点，过点M 的直线l 与抛物线1C 分别相交与A ,B 两点 . （1）写出抛物线 1C 的标准方程 （2）求AOB ?的面积的最小值
例2 （2007安徽文）
设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．
（I ）过点(04)P -，
作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．
【变式1】（2011北京理）
已知椭圆2
2:14
x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于,A B 两
点.
（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.
范围问题
例1设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点。 （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值； （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。
例2 已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>)过点（1,32），且离心率e ＝12，
（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线l ：y kx m =+（k ≠0）与椭圆交于不同的俩点M,N ，且线段MN 的
垂直平分线过定点G （1
8
，0），求k 的取值范围
定点定值 的问题
例1（13年理科）设椭圆C :22
22
11x y a a +
=- 的焦点在x 轴上 （1）若椭圆C 的焦距为1，求椭圆C 的方程
（2）设12F F 分别是椭圆的左右焦点，点P 为椭圆C 上第一象限内的点，直线2F P 交 y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥ 证明: 当a 变化时,点P 在某定直线上
变式1 （2011年一模）已知抛物线24y x = 过点(0,2)M 的直线 l 与抛物线交于,A B 俩点，且直线l 与 x 轴 交于点C
（1） 求证：|MA |,|MC |,|MB |成等比数列
（2） 设MA AC α=,MB BC β=,试问αβ+ 是否为定值,若是，求出此定值；若不是，请说明理由
变式2 （2013年合肥一模）已知1F ,2F 分别为椭圆 1C :22
221y x a b
+=（0a b >>）
的上下焦点，其中1F 也是抛物线2C :24x y =的焦点，点M 是1C ,2C 在第二象限
的交点，且|MF |=5
3
（1）试求椭圆1C 的方程
（2）若直线l 与椭圆1C 相交与,A B 俩点(,A B 不是上下顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆1C 的上顶点, 求证：直线l 过定点
变式3 在平面直角坐标系中，动点M 到定点1F (-1,0)2F (1,0)的距离之和是4，动点M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C 的方程
(2)若曲线C 与x 轴的负半轴交于P ,不过点P 的直线 l :0mx y n -+= 与曲线
C 交于不同的两点R 和S ,且 |PR +PS |=|PR －PS |
证明：直线 l 恒过一定点
相切
例1 已知圆C 经过(3,2),(4,3)A B 两点，且圆心在直线2y x =上， （1）求圆C 的方程
（2）若直线经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程
例2 （2012理科）如图，点1F (,0c -) 2(,0)F c 分别是椭圆C :22
221(0)
x y a b a b
+=>>的左右焦点，经过1F 作x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点P ，过点2F 作直
线2PF 的垂线交直线2
a x c
=于点Q
(1) 如果点Q 的坐标是(4,4)求此时椭圆C 的方程 (2) 证明: 直线PQ 与椭圆C 只有一个交点
练习1、（上海）在以O 为原点的直角坐标系中，点)3 , 4(-A 为OAB ?的直角顶点，已知||2||OA AB =，且点B 的纵坐标大于零． （1）求向量AB 的坐标；
（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围．
练习2、已知圆5)1(:22=-+y x C ，直线01:=-+-m y mx l ． （1）求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； （2）设l 与圆C 交于A 、B 两点，若17||=AB ，求l 的倾斜角； （3）求弦AB 中点M 的轨迹方程； （4）若定点)1 , 1(P 分弦AB 为2
1
=PB AP ，求此时直线l 的方程．