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三角函数
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：
{}Z
k k ∈+?=,360
|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|
ββ
④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x
y
-=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180|
ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
180
π≈0.01745（rad ）
3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2
11||2
2
s lr r α=
=
?扇形
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r
y =
α
sin ；
r
x =
αcos ； x
y =
α
tan ； y
x =
α
cot ； x
r =
α
sec ；. y
r =
α
csc .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
正切、余切
余弦、正割
-----+++++-+
正弦、余割
o o o x y
x y
x
y
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
y
x
▲
SIN \C O S 三角函数值大小关系图sinx
cosx
1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
12341
2
3
4
sinx
sinx sinx cosx
cosx
cosx r
o
x
y
a 的终边
P （x,y )
T
M
A O
P
x
y
7. 三角函数的定义域：
三角函数 定义域
=)(x f sin x
{}R x x ∈| =)(x f cos x {}R x x ∈|
=)(x f tan x ?
?
?
???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且
=)(x f cot x {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且
=)(x f sec x ?
?
?
???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且
=)(x f csc x
{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且
8、同角三角函数的基本关系式：α
α
α
tan cos sin =
α
α
αc o t s i n c o s =
1cot tan =?αα 1sin csc =α?α
1c o s s e c =α?α
1cos sin 2
2
=+αα 1tan sec 2
2
=-αα 1cot csc 2
2
=-αα
9、诱导公式：
2
k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
x
x k x x k x x k x x k c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (=+=+=+=+ππππ
x
x x x x x x
x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=--=-
公式组四 公式组五 公式组六
x
x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x
x x x x x x
x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x
x x x x x x
x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ
公式组一sin x 2csc x =1tan x =
x
x cos sin sin 2x +cos 2
x =1cos x 2sec x x =
x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2
x
tan x 2cot x =1
1+cot 2
x =csc 2
x
=1(3) 若 o 2 ,则sinx (2) (1) |sinx|>|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论: O O x y x y （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2 222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= β αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2 t a n 1t a n 22t a n -= β αβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2 c o s 12 s i n α α -± = βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + 2 c o s 12 c o s α α +± = β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 公式组三 公式组四 公式组五 2 tan 12 tan 2sin 2 α α α+= 2 tan 12 tan 1cos 2 2 α α α+-= 2 tan 12 tan 2tan 2 α α α-= 4 2 675 cos 15 sin -= = , ,3 275cot 15tan - == ,. 3 215cot 75tan + == 4 2 615cos 75 sin += = ()()[]()()[]()()[] ()()[] βαβαβαβ αβα βαβ αβαβαβαβαβα--+- =-++= --+=-++= cos cos 2 1sin sin cos cos 2 1cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2 cos 2 sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2 cos 2sin sin β αβ αβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2 sin 2 sin 2cos cos β αβ αβα-+-=-α αα αα ααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 tan -= +=+-± =α απsin )21cos(-=+α απcos )2 1sin( =+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-α απcot )2 1tan( =- 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： () ?ω+=x A y sin （A 、ω＞0） 定义域 R R R 值域 ]1,1[+- ]1,1[+- R R []A A ,- 周期性 π2 π 2 π π ω π 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当,0≠? 非奇非偶 当, 0=? 奇函数 单调性 ] 22 , 22 [ππ ππ k k ++-上为增函数 ； ] 22 3,22[ ππ ππ k k ++上为减函数（Z k ∈） ()] 2, 12[ππk k -； 上为增函数()] 12, 2[ππ+k k 上为减函数 （Z k ∈） ?? ? ??++- ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈） ()()ππ1,+k k 上为减函 数（Z k ∈） ?? ?? ? ? ? ? ????????--+--)(21 2),(2 2A k A k ω?ππω?ππ上为增函数； ?? ?? ?? ? ?? ???? ???--+-+)(232),(22A k A k ω?ππω?ππ上为减函数（Z k ∈） 注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin = 与x y cos =的周期是π. ③)sin(?ω+=x y 或) cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω π 2= T . 2 tan x y =的周期为2π（π ω π2=?=T T ，如图，翻折无效）. ④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2 π π+ =k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；) c o s (?ω+=x y 的 对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2 1ππ+k ） ；)t a n (?ω+=x y 的对称中心 （0,2 πk ） . x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称 ⑤当αtan · ,1tan =β) (2 Z k k ∈+ =+π πβα；αtan · ,1tan -=β) (2 Z k k ∈+ =-π πβα. ⑥x y cos =与?? ? ? ?++ =ππk x y 22 sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数，则 )cos()2 1sin()(x k x x y ωππω?ω±=+ +=+=. ? ? ? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{} Z k k x R x x ∈≠∈,|π且x y cot =x y tan =x y cos =x y sin =▲ O y x ⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：) ()(x f x f =-，奇函数： )()(x f x f -=-） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3 1tan(π+=x y 是非奇非偶.（定 义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性 质） ⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）； x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）； 2 12cos + =x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(. ⑩a b b a b a y = +++=+=??αβαcos )sin(sin cos 2 2 有y b a ≥+22. ▲ y x y=cos |x|图象 ▲ 1/2 y x y=|cos2x +1/2|图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2|| T πω=，频率1||2f T ωπ = = ，相位;x ω?+初相? （即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ） 由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω 倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x) 由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x) 由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ） 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 高中数学三角函数常见习题类型及解法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx 2cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 例1．已知2tan =θ，求（1）θ θθ θsin cos sin cos -+；（2）θ θθθ22cos 2cos .sin sin +-的值. 解：（1） 2232 121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+= -+=- += ++θθθ θθθ θ θθθ； (2) θ +θθ +θθ-θ= θ+θθ-θ2 2 2 2 2 2 cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3 2 41 22221cos sin 2 cos sin cos sin 2 222 -= ++-= +θ θ +θ θ - θθ =. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 例2．求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。 解：设sin cos 2sin()[22]4 πt x x x =+= + ∈-，，则原函数可化为 2 2131()24 y t t t =++=++ ，因为[22]t ∈-，，所以 当2t =时，max 32y =+，当12 t =- 时，m in 34 y = ， 所以，函数的值域为3[32]4 y ∈+，。 例3．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。 （1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8 πx =- 对称。 解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=-- 2s i n 22c o s 2 2 2s i n (2 ) 4 π x x x =- =- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈， 所以，当224 2 ππx k π- =+ ，即38 πx k π=+ 时，()f x 最大值为22； (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8 πx =-对称，只要证明对任意x R ∈， 有()()8 8 ππf x f x - -=-+成立， 因为()22sin[2()]22sin(2)22cos 28842ππππf x x x x - -=---=--=-， ()22sin[2()]22sin(2)22cos 2884 2 ππππf x x x x - +=-+- =- +=-， 所以()()8 8 ππf x f x --=- +成立，从而函数()f x 的图像关于直线8 πx =-对称。 例4． 已知函数y=2 1cos 2x+ 2 3sinx 2cosx+1 （x ∈R ）, （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=2 1cos 2x+ 2 3sinx 2cosx+1= 41 (2cos 2x －1)+ 4 1+ 4 3（2sinx 2cosx ） +1 =41cos2x+4 3sin2x+4 5=2 1(cos2x 2sin 6 π +sin2x 2cos 6 π )+ 4 5 = 21sin(2x+ 6 π)+ 4 5 所以y 取最大值时，只需2x+ 6 π = 2 π +2k π,（k ∈Z ），即 x= 6 π +k π,（k ∈Z ）。 所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6 π +k π,k ∈Z} （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换： （i ）把函数y=sinx 的图像向左平移 6 π ，得到函数y=sin(x+ 6 π )的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2 1倍（纵坐标不变），得到 函数y=sin(2x+ 6 π )的图像； （iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2 1倍（横坐标不变），得到函数y= 2 1sin(2x+ 6 π )的图像； （iv ）把得到的图像向上平移4 5个单位长度，得到函数y= 2 1sin(2x+ 6 π )+ 4 5的图像。 综上得到y= 2 1cos 2x+ 2 3sinxcosx+1的图像。 说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+?)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx ≠0时， y= x x x x x 2 2 2 cos sin cos sin 23 cos 2 1 ++ +1= x x 2 tan 1tan 23 2 1 ++ +1 化简得：2(y －1)tan 2x －3tanx+2y －3=0 ∵tanx ∈R ，∴△=3－8(y －1)(2y －3) ≥0,解之得：4 3≤y ≤ 4 7 ∴y max = 4 7，此时对应自变量x 的值集为{x|x=k π+ 6 π ,k ∈Z} 例5．已知函数.3 cos 33cos 3sin )(2 x x x x f + = （Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域. 解： 2 3)3 32sin( 2332cos 2332sin 21)32cos 1(2 332sin 21)(+ + =+ + = ++ = π x x x x x x f （Ⅰ）由)3 3 2sin( π + x =0 即 z k k x z k k x ∈-=∈=+ πππ 2 13)(3 32得 即对称中心的横坐标为z k k ∈-， π2 13 （Ⅱ）由已知b 2=a c ， ， ， ， ，，2 31)3 32sin( 31)3 32sin( 3 sin |2 9 5| |2 3 |9 53 323 3 01cos 2 1212222cos 2 22 22+ ≤+ <∴ ≤+ <∴- >- ≤ +<≤ <<≤∴= -≥ -+= -+=πππππππππππx x x x x ac ac ac ac ac c a ac b c a x 即)(x f 的值域为]2 31,3(+ . 综上所述，]3 ,0(π ∈x ， )(x f 值域为]2 31,3(+ . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。 例6．在A B C 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos 3cos C a c B b -=， (1)求sin B 的值； (2)若42b =，且a=c ，求A B C 的面积。 解：(1)由正弦定理及 cos 3cos C a c B b -=，有 cos 3sin sin cos sin C A C B B -= ， 即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，所以sin()3sin cos B C A B +=， 又因为A B C π++=，sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以1cos 3 B = ，又0B π<<，所以222sin 1cos 3 B B =-= 。 (2)在A B C 中，由余弦定理可得22232 3a c ac +- =，又a c =， 所以有22432243 a a ==，即，所以A B C 的面积为 2 11sin sin 82 2 2 S ac B a B = = =。 三角函数 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．集合M ＝{x |x ＝kπ2 ±π4 ，k ∈Z }与N ＝{x |x ＝kπ4 ，k ∈Z }之间的关系是 （ ） A.M N B.N M C.M ＝N D.M ∩N ＝ 3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ） A.60° B.－60° C.30° D.－30° 4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的 角 是 ( ) A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4） 5．设a ＜0，角α的终边经过点P （－3a ，4a ），那么sin α＋2cos α的值等于 （ ） A. 25 B.－25 C. 15 D.－1 5 6．若cos(π＋α)＝－12 ，3 2 π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ） A.－32 B. 32 C. 12 D.±32 7．若α是第四象限角，则π－α是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A.2 B. 2 sin1 C.2sin1 D.sin2 9．如果sin x ＋cos x ＝1 5 ，且0＜x ＜π，那么cot x 的值是 （ ） A.－43 B.－43 或－34 C.－34 D. 43 或－3 4 10．若实数x 满足log 2x ＝2＋sin θ，则|x ＋1|＋|x －10|的值等于 （ ） A.2x －9 B.9－2x C.11 D.9 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11．tan300°＋cot765°的值是_____________. 12．若 sin α＋cos α sin α－cos α ＝2，则sin αcos α的值是_____________. 13．不等式（lg20)2cos x ＞1，(x ∈(0，π))的解集为_____________. 14．若θ满足cos θ＞－1 2 ，则角θ的取值集合是_____________. 15．若cos130°＝a ，则tan50°＝_____________. － 16．已知f (x )＝1－x 1＋x ，若α∈(π 2 ，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为___________. 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C (C ＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？ 18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为 P （x ， 5 )，且cos α＝ 2 4x ，求sin α与tan α的值. 19．(本小题满分14分)已知π 2 ≤θ≤π，sin θ＝m －3m ＋5 ，cos θ＝4－2m m ＋5 ，求m 的值. 20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tan α)－lg(sin α)＝lg(cos α)－lg(cot α)＋2lg3 －3 2 lg2，求cos 3α－sin 3α的值. 21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝ 2 cos(7 2 π＋β)和 3 cos(－α)＝－ 2 cos(π＋β)， 且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值. 三角函数 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ） A.y ＝sin2x B.y ＝cos x 2 C.y ＝sin2x ＋cos2x D.y ＝1－tan 2 x 1＋tan 2x 2．设函数y ＝cos(sin x )，则 （ ） A.它的定义域是［－1，1］ B.它是偶函数 C.它的值域是［－cos1，cos1］ D.它不是周期函数 3．把函数y ＝cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两 倍，然后把图象向左平移π 4 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 （ ） A.y ＝2sin2x B.y ＝－2sin2x C.y ＝2cos(2x ＋π 4 ) D.y ＝2cos(x 2 ＋π 4 ) 4．函数y ＝2sin(3x －π 4 )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ） A. π3 B. 2π 3 C.π D. 4π 3 5．若sin α＋cos α＝m ，且－ 2 ≤m ＜－1，则α角所在象限是 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6．函数y ＝|cot x |·sin x （0＜x ≤ 3π 2 且x ≠π）的图象是 （ ） 7．设y ＝cos 2x 1＋sin x ，则下列结论中正确的是 （ ） A.y 有最大值也有最小值 B.y 有最大值但无最小值 C.y 有最小值但无最大值 D.y 既无最大值又无最小值 8．函数y ＝sin （π 4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－ 3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π 8 ］(k ∈Z ) 9．已知0≤x ≤π，且－1 2 ＜a ＜0，那么函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是 （ ） A.2a ＋1 B.2a －1 C.－2a －1 D.2a 10．求使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)为奇函数，且在［0，π 4 ］上是增函数的θ的一 个 值 为 （ ） A. 5π 3 B. 4π3 C. 2π 3 D. π 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．函数y ＝ cos x 1＋2cos x 的值域是_____________. 12．函数y ＝ cos x lg （1＋tan x ） 的定义域是_____________. 13．如果x ，y ∈［0，π］，且满足|sin x |＝2cos y －2，则x ＝___________，y ＝___________. 14．已知函数y ＝2cos x ，x ∈［0，2π］和y ＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________ 15．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的值域是_____________. 16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π 3 )(x ∈R )有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改为y ＝4cos(2x －π6 )； ③y ＝f (x )的图象关于点（－π 6 ，0)对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π 6 对称. 其中正确的命题的序号是_____________. 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该 函数的一个解析式. 18．（本小题满分14分）已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2 ＋2cos 2 x .(x ∈R ) (1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合. (2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 19．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2 1log (sin x －cos x ) （1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间； （3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m ，渠深3米，则水渠侧 壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？ 21． (本小题满分15分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4 ，0)对称，且在区间［0，π 2 ］上是单调函数，求φ和ω的值. 三角函数知识点 考点1、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 考点2、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+ 则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号：(一全二正弦，三切四余弦) 考点3、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα 2. 商数关系： α α αcos sin tan = 考点4、诱导公式“奇变偶不变，符号看象限” sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- sin()cos , 2 cos()sin .2π ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos , 2 3cos()sin . 2 πααπαα+=-+= 考点5、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,}2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 单调增区间: [2,2]22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 单调减区间: 3[2,2]2 2 k k π π ππ+ + k Z ∈) 单调增区间: [2,2]k k πππ-(k Z ∈) 单调减区间: [2,2]k k πππ+(k Z ∈) 单调增区间： (,)22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 周期性 2T π= 2T π= T π= 对 称 性 对称中心: (,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2 x k π π=+ ，k Z ∈ 对称中心:(,0)2 k π π+ ,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈ 对称中心:( ,0)2 k π ,k Z ∈ 对称轴：无 最 值 2,2x k k z π π=+ ∈时，max 1y =； 32,2 x k k z π π=+∈时，min 1y =- 2,x k k z π=∈时，max 1y =； 2,x k k z ππ=+∈，min 1y =- 无 考点6、“五点法”作图 三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o 2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴 的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下： ★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限） 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B = 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=o ；18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — §04. 三角函数 知识要点 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系： ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360± +=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝ π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745 （rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在 α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \COS 1、 2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域16. 几个重要结论: 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 高中数学必修3知识点 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念： （一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 （二）构成程序框的图形符号及其作用 学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 （三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执 行B 框所指定的操作。 2、条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： （1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。 （2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。 §04. 三角函数知识要点 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k∈ + ? =, 360 |α β β ②终边在x轴上的角的集合：{}Z k k∈ ? =, 180 | β β ③终边在y轴上的角的集合：{}Z k k∈ + ? =, 90 180 | β β ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k∈ ? =, 90 | β β ⑤终边在y=x轴上的角的集合：{}Z k k∈ + ? =, 45 180 | β β ⑥终边在x y- =轴上的角的集合：{}Z k k∈ - ? =, 45 180 | β β ⑦若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系： ⑧若角α与角β的终边关于y轴对称，则角α与角β的关系： ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：β α+ =k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90 360± + =β αk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π180°=π1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式：1rad＝ π 180°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝ 180 π≈0.01745（rad） 3、弧长公式：r l? =| |α. 扇形面积公式：2 11 || 22 s lr r α ==? 扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于 原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则= α sin r x = α cos ； x y = α tan； y x = α cot ； x r = α sec；. α csc 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余 弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN\COS 1、2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 16. 几个重要结论:三角函数知识点汇总
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