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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：
·如果事件A ，B 互斥，那么·如果事件A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh . ·圆锥的体积公式1
3
V Sh =
. 其中S 表示棱柱的底面面积，
其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．
h 表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C = （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} 【答案】B
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】20x -≥，则2x ≤，
11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，
据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的必要二不充分条件. 本题选择B 选项.
（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）
45（B ）35（C ）25（D ）1
5
【答案】C
（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为
（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C
【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下： 首先初始化数值为19N =，
第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；
第二次循环：63N
N =
=，不满足3N ≤； 第三次循环：23
N
N ==，满足3N ≤； 此时跳出循环体，输出3N =. 本题选择C 选项.
（5）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等
边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为
（A ）
221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）22
13y x -=
【答案】D
（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8
221(log ),(log 4.1),(2)5
a f
b f
c f =-==，则,,a b c 的大小关系
为
（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C
【解析】由题意：()221log log 55a f f ??
=-= ???
， 且：0.8
22log 5log 4.12,122>><<，
据此：0.8
22log 5log 4.12
>>，
结合函数的单调性有：()()()
0.8
22log 5log 4.12f f f >>，
即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.
（7）设函数()2sin(),f x x x ω?=+∈R ，其中0,||πω?><.若5π11π
()2,()0,88
f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则
（A ）2π,312ω?=
=（B ）211π,312ω?==-（C
）111π,324ω?==-（D ）17π
,324ω?==
【答案】A
（8）已知函数||2,1,
()2
, 1.x x f x x x x +
=?+≥??
设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是
（A ）[2,2]-（B ）[23,2]-（C ）[2,23]-（D ）[23,23]-zx xk 【答案】A
【解析】满足题意时()f x 的图象恒不在函数2
x
y a =
+下方，
a=时，函数图象如图所示，排除C,D选项；
当23
a=-时，函数图象如图所示，排除B选项，
当23
本题选择A选项.
第Ⅱ卷注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i
2i
a -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】
()(2)(21)(2)212
2(2)(2)555
a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则
2
0,25
a a +==-. （10）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1
【解析】(1)f a =，切点为(1,)
a ，1
()f x a x
'=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)
y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1. （11）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】
92
π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =?= ， 外接球直径为344279233,πππ3382
R a V R ===
=?=. （12）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若
120FAC ∠=?，则圆的方程为 .
【答案】22(1)(3)1x y ++-=
（13）若a ，b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为 .
【答案】4
【解析】
44224141
4a b a b ab ab
+++≥≥ ，当且仅当21a b ==时取等号.
（14）在△ABC 中，60A ∠=?，AB =3，AC =2.若2BD DC = ，AE AC AB λ=-
（λ∈R ），且4AD AE ?=- ，则λ的
值为 .
【答案】
3
11 【解析】0
1232cos 603,33
AB AC AD AB AC ?=??==+ ,则
122123()()3493433333311
AD AE AB AC AC AB λλλλ?=+-=?+?-?-?=-?= .
三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--. （I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.
【答案】(1)55-
(2)25
5
-
4532525
sin(2)sin 2cos cos 2sin ()55555
B A B A B A -=-=?--?=-
. （16）（本小题满分13分）
某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲 70 5 60 乙
60
5
25
已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
【答案】(1)见解析（2）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
【解析】（Ⅰ）解：由已知，,x y 满足的数学关系式为7060
600,5
530,2,0,0,x y x y x y x y +≤??+≥??≤??≥?≥??即7660,6,20,0,0,
x y x y x y x y +≤??+≥??
-≤??≥?≥??
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. （17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，
PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =. （I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （II ）求证：PD ⊥平面PBC ；
（II ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
【答案】(1)
55 (2)5
5
（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角. 因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角.
由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1，由已知，得CF =BC –BF =2.又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得5
sin 5
PD DFP DF ∠=
=. 所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为5
5
. （18）（本小题满分13分）
已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .
【答案】（1）32n a n =-.2n n b =.（2）2(34)216n n T n +=-+.
由
此可得32n a n =-.
所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =. （Ⅱ）设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有
2342102162(62)2n n T n =?+?+?++-? ，
2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=?+?+?++-?+-? ，
上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=?+?+?++?--?
1212(12)4(62)2(34)21612
n n n n n ++?-=---?=----.
得2(34)216n n T n +=-+.
所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+.
（19）（本小题满分14分）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；
（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.
【答案】（1）递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，递减区间为(),4a a -.（2）（ⅰ）()f x 在0x x =处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[7],1-.
【解析】（I ）由324()63()f x x a x x a b =--+-，可得
（ii ）因为()e x g x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x
>，可得()1f x ≤.
又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，
由（I ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，
故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e x g x ≤在00,[11]x x -+上恒成立. 由32()63()14a a f a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤。 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以2()612t'x x x =-， 令()0t'x =，解得2x =（舍去），或0x =.
因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7],1-. 所以，b 的取值范围是[7],1-.
（20）（本小题满分14分）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为
(0,)c ，EFA △的面积为2
2
b .
（I ）求椭圆的离心率；
（II ）设点Q 在线段AE 上，3
||2
FQ c =
，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.
【答案】（1）12 （2）（ⅰ）34 （ⅱ）
22
11612
x y +=
得(22)3,22m c c x y m m -=
=++，即点Q 的坐标为(22)3(
,)22
m c c
m m -++. 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[
]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以4
3
m =，即直线FP 的斜率为34
.
QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .
因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c
QN FQ QFN =?∠=?=，所以FQN △的面积为2127||||232
c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得
22
752733232
c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =.
所以，椭圆的方程为
2211612
x y +=