6题图
银川一中2016届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合}06|{2
≤--=x x x A ，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于
A ．{}|21x x --<≤
B ．{}
|13x x -<≤ C ．{}
|34x x <≤
D ．{}
|34x x x >或≤
2．命题“若x 2+y 2=0，x 、y ∈R ，则x =y =0”的逆否命题是 A ．若x ≠y ≠0，x 、y ∈R ，则x 2+y 2=0
B ．若x =y ≠0，x 、y ∈R ，则x 2+y 2≠0
C ．若x ≠0且y ≠0，x 、y ∈R,则x 2+y 2≠0
D ．若x ≠0或y ≠0，x 、y ∈R,则x 2+y 2≠0 3．直线l 过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是6，
A B 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是
A．x 2＝12y B．x 2＝8y C． x 2＝6y D．x 2
＝4y
4．已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，
,(12)B --，,(31)C ，,且2BC AD =
,则顶点D 的坐标为 A ．722?
? ???
，
B ．122??-
???
， C ．(32)，
D ．(1
3)， 5．函数?
??>+-≤-+=0,ln 20
,32)(2x x x x x x f 的零点个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 6．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2
π
)的图象如图所 示,则当t=
1
100
秒时,电流强度是 A ．-5安
B ．5安
C ．
D ．-10安
7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为 A. －4 B. 14 C. 4 D. －1
4
8．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是1
2
时，
11题图点P到坐标原点的距离是
A. 2
B.
3
2 C.
3 D．
6
2
9．若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则
b
a
1
2
+的最小值是
A.2
2- B.1
2- C.2
2
3+ D.2
2
3-
10．设F1、F2分别是双曲线)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x
的左、右焦点，若双曲线的右支上存在
一点P，使,0
2
1
=
?PF
PF且
2
1
PF
F
?的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为
A.2
B.3
C.2
D.5
11．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针
方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，
当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点,
M N在大圆内所绘出的
图形大致是
12．已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式()()成立，
2
2<
'
?
+x
f
x
x
f
若()()),41
(log
)
4
1
(log
,2
log
)2
(log
,
3
32
2
2.0
2.0f
c
f
b
f
a=
=
=π
π则c
b
a,
,之间的大小关系为
A. a>c>b
B. c>a>b
C. b>a>c
D. c>b>a
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须
做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数x y
，满足
10
2
x y
x
y
-+
?
?
>
?
?
?
≤，
，
≤
则
y
x
的取值范围是.
14．设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),
1
9
≤x≤9,则f(x)的最小值为.
15．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是. 16．如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连
接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,…,
如此继续,若共得到1023个正方形,设初始正方形的边长为
2
2
,则最小正方形的边长为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos
2A =
，.3=?AC AB (1)求△ABC 的面积；
(2)若1c =，求a 的值． 18．（本小题满分12分）
等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
（1）求a n 与b n ；
（2）求1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
.
19．（本小题满分12分）
已知过抛物线()y px p 2=2>0的焦点，斜率为的直线交抛物线于(,)A x y 11，
(,)()B x y x x 2212<两点，且.18=AB
（1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若,λ+=求λ的值． 20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．
（1）写出C 的方程；
（2）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB
的值是
多少？ 21．（本小题满分12分）
设函数3
21()(4),()ln(1)3
f x mx m x
g x a x =++=-，其中0a ≠． (1)若函数()y g x =图象恒过定点P ，且点P 关于直线3
2
x =的对称点在()y f x =的图
象上，求m 的值；
(2)当8a =时，设()'()(1)F x f x g x =++，讨论()F x 的单调性； (3)在(1)的条件下，设(),2
()(),2
f x x G x
g x x ≤?=?
>?，曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q ，
使△OPQ (O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
已知ABC △中，AB AC =，D 是ABC △外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A ，C 重合），延长BD 至E ． （1）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；
（2）若30BAC ∠=°，ABC △中BC 边上的高为
求ABC △外接圆的面积．
23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为πcos 13ρθ?
?
-
= ??
?
，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． （1）写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；
（2）如果x ?∈R ，()2f x ≥，求a 的取值范围．
A
D E
C
B
银川一中2016届高三年级第四次月考数学（文）答案
一.选择题：
1.A
2.D
3.B
4.A
5.B
6. A
7. C
8. D
9.C 10.D 11.A 12.D. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. [)2+，∞ ; 14. -14
; 15. (2x －3)2＋4y 2＝1; 16.
321
错误！未找到引用源。 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1
）解：因为cos
2A =
，所以23cos 2cos 125A A =-=， 4
sin 5
A =．又由3A
B A
C = ·，得cos 3bc A =，所以5bc =．
因此1
sin 22
ABC S bc A ==△．
（2）解：由（1）知5bc =．又1c =，所以5b =．
由余弦定理，得222
2cos 20a b c bc A =+-=
，所以a =12分
18. 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －
1.
依题意有222
33(6)64,(93)960,S b d q S b d q =+=???=+=?? 解得6,
25()840.3
d d q q ?=-?=??
??=??=??或舍去 故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －
1.
(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，……………………………………………………8分
所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)
＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2
)
＝3
4－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)
.………………………………………………………………………12分 19.解：（1）直线AB
的方程是)2p
y x =-，与22y px =联立， 从而有22
450,x px p -+=所以1254
p x x +=
由抛物线定义得,1821=++=p x x AB .8=∴p
从而抛物线方程为x y 162
=…
（2）由8=p ，可得016102=+-x x ，从而,8,221==x x 代入x y 162
=得
,28,2421=-=y y 从而)28,8(),24,2(B A -分
设)2428,28()28,8()24,2(),(33-+=+-=+==λλλλy x ，
又32
3
16x y =即2
(21)41λλ-=+.… 解得0, 2.λλ==或…………………
20.（1）设P （x ，y ），由椭圆定义，点P 的轨迹C
是以(0(0为焦点，长半轴为
2
的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=…. 4分
∞ （2）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2
214
1.y x y kx ?+
=???=+?
， 消去y 整理得22(4)230k x kx ++-=，故12122223
44
k x x x x k k +=-=-++，….. 6分 OA OB ⊥
，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，
于是2221212222233241
14444
k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以1
2k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥ ． ·························································· 8分
当12k =±时，12417x x += ，1212
17
x x =-．
AB ==
而2
2
212112()()4x x x x x x -=+-2322
443413
4171717
??=+?=，
所以AB = ． ······································································································· 12分
21.（1）令ln(1)0x -=，则2x =，
(2,0)P \关于3
2x =的对称点为（1，0），
由题知1
(1)0,(4)0,33f m m m =\++=\=-. （2）2
()2(4)8ln F x mx m x x =+++，定义域为(0,)+?，
8
()2(82)F x mx m x
￠
=+++ 22(82)8mx m x x
+++=
(28)(1)
mx x x
++=
. ∵0,x >Q 则10x +>，
∴当0≥m 时，280,mx F x ￠+>>)('x F >0,此时)(x F 在()+∞,0上单调递增，
当0m <时，由
)('>x F 4
()00,F x x m
￠><<-得 由0)(' > 此时)(x F 在??? ? ? -m 4,0上为增函数， 在?? ? ? ? +∞- ,4m 为减函数， 综上当0≥m 时，)(x F 在()+∞,0上为增函数， 0m <时，在??? ? ? - m 4,0上为增函数，在?? ? ??+∞-,4m 为减函数. )('x F （3）由条件（1）知? ??>-≤+-=2),1ln(2 ,)(23x x a x x x x G . 假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意，则P 、Q 两点只能在y 轴两侧， 设(,())(0),P t G t t >则32 (,),Q t t t -+ ∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴0=?OQ OP ,即2320,()()0OP OQ t G t t t \?\-++=u u r u u u r .① （1）当20≤ 此时方程①为23232()()0,t t t t t -+-++= 化简得4 2 10t t -+=. 此方程无解，满足条件的P 、Q 两点不存在. （2）当2t >时，()ln(1)G t a t =-，方程①为232ln(1)()0,t a t t t -+-+= 即 1 (1)ln(1),t t a =+- 设()(1)ln(1)(1),h t t t t =+->则=)'t 1 ()ln(1),1 t h t t t +￠ =-+- 显然当2t >时0)('>t h 即)(t h 在(2，+∞)为增函数， ∴()h t \的值域为)),2((+∞h 即(0，+∞) ∴当0a >时方程①总有解. 综上若存在P 、Q 两点满足题意，则a 的取值范围是(0，+∞). 请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. 解：（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点， A B C D ，，，四点共圆，CDF ABC ∴∠=∠． 又AB AC ABC ACB =∴∠=∠， ， 且ADB ACB ADB CDF ∠=∠∴∠=∠，． 对顶角EDF ADB ∠=∠，故EDF CDF ∠=∠．即AD 的 延长线平分CDE ∠． （2）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH BC ⊥．连接OC ．由题意157560OAC OCA ACB OCH ∠=∠=∠=∴∠=°，°，°． 设圆半径为r ，则2r +=2r =，外接圆面积为4π． 23. 解：（1）由πcos 13ρθ? ?-= ???得1cos 12ρθθ??= ? ??? ． 从而C 的直角坐标方程为 1122 x y +=，即2x =． 0θ=时，2ρ=，所以(20)M ，．π 2θ=时，ρ=π2N ?????，． （2）M 点的直角坐标为（2，0），N 点的直角坐标为0? ?? ． 所以P 点的直角坐标为1? ??，则P 点的极坐标为π6????? ，． A D E C B O H F A D E C B O H F 所以直线OP 的极坐标方程为π ()6 θρ= ∈-∞+∞，，． 24. 解：（1）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++．由()3f x ≥，得|1||1|3x x -++≥， （ⅰ）1x -≤时，不等式化为113x x ---≥，即23x -≥． 不等式组1()3 x f x -???≤≥的解集为3 (]2-∞-，． （ⅱ）当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立． 不等式组11 ()3x f x - ≤≥的解集为?． （ⅲ）当1x >时，不等式化为113x x -++≥，即23x ≥． 不等式组1()3x f x >??? ≥的解集为3 [)2+∞，． 综上得，()3f x ≥的解集为33(][)22 -∞-+∞ ，，． （2）若1 ()2|1|a f x x ==-，，不满足题设条件． 若211()112(1)1x a x a a f x a a x x a x -++?? <=-< ，， ，，≥．()f x 的最小值为1a -． 若2111()112(1)x a x a f x a x a x a x a -++?? >=-< ，≤，，， ，，≥．()f x 的最小值为1a -． 所以()2x f x ?∈R ，≥的充要条件是|1|2a -≥，从而a 的取值范围为(1][3)-∞-+∞ ，，．
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