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2019年河南省郑州市中考数学一模试卷

2019年河南省郑州市中考数学一模试卷

2019年河南省郑州市中考数学一模试卷

一、选择题(每小题3分,共30分,下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的)1.(3分)下列各数中,最小的数是(

A.﹣2019B.2019

t

C.D.

t

2.(3分)共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利,不仅有效缓解了出行“最后一公里”问题,而且经济环保,据相关部门2018年11月统计数据显示,郑州市互联网租赁自行车累计投放超过49万辆,将49万用科学记数法表示正确的是(

A.4.9×104B.4.9×105C.0.49×104D.49×104

3.(3分)如图,是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,你认为从左面看到的这个几何体的形状图是(

A.B.C.D.

4.(3分)已知点P(3a﹣3,1﹣2a)关于x轴的对称点在第三象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()

A.

C.

B.

D.

5.(3分)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC 的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点D,连接AD,则∠BAD

的度数为()

A.50°B.60°C.70°D.80°

6.(3分)为积极响应“传统文化进校园”的号召,郑州市某中学举行书法比赛,为奖励获

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A.

C.

B.

D.

10.(3分)如图,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点,过点O 作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F,已知△ABC的周长为8,BC=x,△AEF的周长为y,则表示y与x的函数图象大致是()

A.B.

C.D.

二、填空题(每小题3分,共15分)

11.(3分)计算:(π﹣3.14)0+3﹣1=.

12.(3分)在同一平面内,将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(∠C=60°,∠F=45°),其中直角顶点D是BC的中点,点A在DE上,则∠CGF=°.

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13.(3分)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.

14.(3分)如图,已知△ABC≌△DCE≌△GEF,三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上,连接BG,分别交AC、DC、DE于点P、Q、K,其中S△PQC=3,则图中三个阴影部

分的面积和为.

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15.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB:BC=3:5,点E是对角线BD上一动点(不与点B,D重合),将矩形沿过点E的直线MN折叠,使得点A,B的对应点G,F分别在直线AD与BC上,当△DEF为直角三角形时,CN:BN的值为.

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三、解答题(本大题共8题,共75分,请认真读题)

?

16.(8分)先化简,再求值:(1),其中a是方程a(a+1)=0的解.17.(9分)在创客教育理念的指引下,国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间,致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力,郑州市某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作”四门创客课程,为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况,数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查(问卷调查表如表所示),将调查结果整理后绘制成图1、图2两幅均不完整的统计图表.

图1

创客课程频数频率

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A

B

360.45

0.25

b

C16

8

D

合计a1

最受欢理的创客课程词查问卷

你好!这是一份关于你喜欢的创客深程问卷调查表,请你在表格中选择一个(只能选择一个)你最喜欢的课程选项在其后空格内打“√“,非常感谢你的合作.

选项

A

创客课程

“3D”打印

数学编程

B

C智能机器人

陶艺制作

D

请根据图表中提供的值息回答下列问题:

(1)统计表中的a=.b=

(2)“D”对应扇形的圆心角为

(3)根据调查结果,请你估计该校2000名学生中最喜欢“数学编程”创客课程的人数.

18.(9分)如图所示,在等边三角形ABC中,BC=8cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).

(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:四边形AFCE是平行四边形;

(2)填空:①当t为s时,四边形ACFE是菱形;

②当t为s时,△ACE的面积是△ACF的面积的2倍.

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19.(9分)被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“大玉米”)坐落在风景如画的如意湖,是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后,刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大玉米”的高度,他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.测量项目及结果如下表:

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请你帮助该小组根据上表中的测量数据,求出郑州会展宾馆的高度(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,结果保留整数)

20.(9分)如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C坐标为(﹣1,0),点A的坐标为(0,2).一次函数y=kx+b的图象经过点B,C,反比例函数y的图象也经过点B.

(1)求反比例函数的关系式;

第6页(共22页)

(2)直接写出当x<0时,kx+b<0的解集.

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21.(10分)某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本.已知:两种笔记本的进价之和为10元,甲种笔记本每本获利2元,乙种笔记本每本获利1元,马阳光同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元.

(1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元?

(2)该文具店购入这两种笔记本共60本,花费不超过296元,则购买甲种笔记本多少本时该文具店获利最大?

(3)店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本350本和乙种笔记本150本.如果甲种笔记本的售价每提高1元,则每天将少售出50本甲种笔记本;如果乙种笔记本的售价每提高1元,则每天少售出40本乙种笔记本,为使每天获取的利润更多,店主决定把两种笔记本的价格都提高x元,在不考虑其他因素的条件下,当x定为多少元时,才能使该文具店每天销售甲、乙两种笔记本获取的利润最大?

22.(10分)如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.

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(1)如图1,若△ABC和△ADE是等腰三角形,求证:∠ABD=∠ACE;

(2)如图2,若∠ADE=∠ABC=30°,问:(1)中的结论是否成立?请说明理由.

(3)在(1)的条件下,AB=6,AD=4,若把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,请直接写出PB的长度.

2

23.(11分)如图1,抛物线y x+bx+c经过点A(﹣2,0),B(﹣8,0),C(﹣4,4).(1)求这个抛物线的表达式;

(2)如图2,一把宽为2的直尺的右边缘靠在直线x=﹣4上,当直尺向左平移过程中刻度线0始终在x轴上,直尺的右边边缘与抛物线和直线BC分别交于G、D点,直尺的左边边缘与抛物线和直线BC分别交于F、E点,当图中四边形DEFG是平行四边形时,此时直尺左边边缘与直线BC的交点E的刻度是多少?

(3)如图3,在直线x=﹣4上找一点K,使得∠ACP+∠AKC=∠ABC(直线x=﹣4与x轴交于P点),请直接写出K点的坐标.

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参考答案与试题解析

一、选择题(每小题3分,共30分,下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的)1.【分析】先在数轴上表示出各数,根据数轴的特点即可得出结论.

【解答】解:如图所示,

故最小的是:﹣2019.

故选:A.

2.【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.

【解答】解:49万=4.9×105.

故选:B.

3.【分析】由俯视图知该几何体共2列,其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形,第2列只有前排2个正方形,据此可得左视图.

【解答】解:由俯视图知该几何体共2列,其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形,第2列只有前排2个正方形,

所以从左面看到的这个几何体的形状图是:

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故选:D.

4.【分析】直接利用关于x轴对称点的性质结合第二象限内点的坐标特点得出a的取值范围进而得出答案.

【解答】解:∵点P(3a﹣3,1﹣2a)关于x轴的对称点在第三象限,

∴P点在第二象限,

<t

∴,

>t

解得:>a,

如图所示:.

故选:C.

10.【分析】由三角形的内心性质和平行线的性质证出BE=OE,CF=OF,得出△AEF的周长y与x的关系式为y=8﹣x,求出0<x<4,即可得出答案.

【解答】解:∵点O是△ABC的内心,

∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO,

∵EF∥BC,

∴∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,

∴∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠FOC,

∴BE=OE,CF=OF,

∴△AEF的周长y=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AB+AC,

∵△ABC的周长为8,BC=x,

∴AB+AC=8﹣x,

∴y=8﹣x,

∵AB+AC>BC,

∴y>x,

∴8﹣x>x,

∴0<x<4,

即y与x的函数关系式为y=8﹣x(x<4),

故选:A.

二、填空题(每小题3分,共15分)

11.【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质进而化简得出答案.【解答】解:原式=1?

故答案为:.

12.【分析】根据直角三角形的性质得到AD=CD,求得∠DAC=∠C=60°根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结论.

【解答】解:∵∠BAC=90°,D为BC的中点,

∴AD=CD,

∴∠DAC=∠C=60°,

∴∠EAG=120°,

∴∠AGE=180°﹣120°﹣45°=15°,

∴∠CGF=∠QGE=15°,

故答案为:15.

13.【分析】根据该方程是关于x得一元二次方程,得到关于k得一个不等式,根据该方程有两个不相等的实数根,结合根的判别式公式,得到一个关于k得不等式,分别解两个不等式,解之取公共部分即可得到答案.

【解答】解:∵原方程是关于x得一元二次方程,

∴k﹣1≠0

解得:k≠1,

又∵原方程有两个不相等的实数根,

∴△=4+4(k﹣1)>0,

解得:k>0,

即k得取值范围是:k>0且k≠1,

故答案为:k>0且k≠1.

14.【分析】根据全等三角形对应角相等,可以证明AC∥DE∥GF,再根据全等三角形对应边相等BC=CE=EF,然后利用平行线分线段成比例定理求出GF=3PC,KE=2PC,所

以PC=DK,设△DQK的边DK为x,DK边上的高为h,表示出△DQK的面积,再根据

边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积.

【解答】解:∵△ABC≌△DCE≌△GEF,

∴∠ACB=∠DEC=∠GFE,BC=CE=EF,

∴AC∥DE∥GF,

∴,,

t t t

∴KE=2PC,HF=3PC,

又∵DK=DE﹣KE=3PC﹣2PC=PC,

∴△DQK≌△CQP(相似比为1)

设△DQK的边DK为x,DK边上的高为h,

则xh=3,整理得xh=6,

S△BPC x?2h=xh=6,

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S

S

CEKQ3x?2h﹣3=3xh﹣3=3×6﹣3=18﹣3=15,

四边形

△EFH

3x?2h=3xh=18,

∴三个阴影部分面积的和为:6+15+18=39.

故答案为:39

15.【分析】分两种情况进行讨论:当∠DFE=90°时,△DEF为直角三角形;当∠EDF=

t t

,进而得出CF,90°时,△DEF为直角三角形,分别判定△DCF∽△BCD,得到t

根据线段的和差关系可得CN和BN的长,于是得到结论.

【解答】解:∵AB:BC=3:5,

设AB=3x,BC=5x,

∵四边形ABCD是矩形,

∴CD=AB=3x,AD=BC=5x,

分两种情况:

①如图所示,当∠DFE=90°时,△DEF为直角三角形,

∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°,

∴∠CDF=∠EFN,

由折叠可得,EF=EB,

∴∠EFN=∠EBN,

∴∠CDF=∠CBD,

又∵∠DCF=∠BCD=90°,

∴△DCF∽△BCD,

t

t

t t

∴,即,

?

∴CF x,

?

?

?

?

∴FN,

??

t

?

∴CN=CF+NF x?x x,

t

? ?

∴BN =5x x x ,

t

∴CN :BN ;

②如图所示,当∠EDF =90°时,△DEF 为直角三角形,

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∵∠CDF+∠CDB =∠CDF+∠CBD =90°, ∴∠CDF =∠CBD , 又∵∠DCF =∠BCD =90°, ∴△DCF ∽△BCD , t t

t t

,即

?

∴CF x , ?

?? t

?

? ∴NF

x , ∴CN =NF ﹣CF x , ?

? t ? ∴BN =5x x x , t

∴CN :BN

t

综上所述,CN :BN 的值为 或 ,

t

t

故答案为: 或 .

t 三、解答题(本大题共 8 题,共 75 分,请认真读题) 16.【分析】根据分式的运算法则即可求出答案. 、 (

【解答】解:原式 ?

、 (

由于 a (a+1)=0, ∴a =0 或 a =﹣1,

由分式有意义的条件可知 a =0 需要舍去,

∴a=﹣1,

∴原式.

17.【分析】(1)根据频数与频率的关系列式计算即可即可;

(2)根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可;

(3)根据最喜欢“数学编程”创客课程的人数所占的百分比,即可得到人数.【解答】解:(1)a=36÷0.45=80,

b=16÷80=0.20,

故答案为:80,0.20;

(2)“D”对应扇形的圆心角的度数为:360°=36°,

t

故答案为:36°;

(3)估计该校2000名学生中最喜欢“数学编程”创客课程的人数为:2000×0.25=500(人);

18.【分析】(1)判断出△ADE≌△CDF得出AE=CF,即可得出结论;

(2)①先求出AC=BC=8,进而判断出AE=CF=AC=8,即可得出结论;

②先判断出△ACE和△ACF的边AE和CF上的高相等,进而判断出AE=2CF,再分两

种情况,建立方程求解即可得出结论.

【解答】解:(1)如图1,

∵AG∥BC,

∴∠EAC=∠FCA,∠AED=∠CFD,

∵EF经过AC边的中点D,

∴AD=CD,

∴△ADE≌△CDF(AAS),

∴AE=CF,

∵AE∥FC,

∴四边形AFCE是平行四边形;

(2)①如图2,

∵△ABC是等边三角形,

∴AC=BC=8,

∵四边形ACFE是菱形,

∴AE=CF=AC=BC=8,且点F在BC延长线上,

由运动知,AE=t,BF=2t,

∴CF=2t﹣8,t=8,

将t=8代入CF=2t﹣8中,得CF=8=AC=AE,符合题意,即:t=8秒时,四边形ACFE是菱形,

故答案为8;

②设平行线AG与BC的距离为h,

∴△ACE边AE上的高为h,△ACF的边CF上的高为h,

∵△ACE的面积是△ACF的面积的2倍,

∴AE=2CF,

当点F在线段BC上时(0<t<4),CF=8﹣2t,AE=t,

∴t=2(8﹣2t),

∴t;

?

当点F在BC的延长线上时(t>4),CF=2t﹣8,AE=t,

∴t=2(2t﹣8),

∴t,

即:t秒或秒时,△ACE的面积是△ACF的面积的2倍,?

故答案为:或.

?

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19.【分析】直接利用锐角三角函数关系得出BN的长,进而得出答案.【解答】解:由题意可得:设BN=FN=x,

t

则tan40°0.84,

t t?tt??

解得:x=278.25,

故AB=278.25+1.5≈280(m),

答:郑州会展宾馆的高度为280m.

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20.【分析】(1)过点B作BF⊥x轴于点F.根据AAS证明△BCF≌△CAO,从而求得点B 的坐标,利用待定系数法可求出反比例函数的关系式;

(2)在第二象限内,找出一次函数值y=kx+b落在反比例函数y图象下方的部分对应的x的取值范围即可.

【解答】解:(1)如图,过点B作BF⊥x轴于点F.

∵∠BCA=90°,

∴∠BCF+∠ACO=90°,

又∵∠CAO+∠ACO=90°,

∴∠BCF=∠CAO.

在△BCF与△CAO中,

t

t,

∴△BCF≌△CAO(AAS),

∴CF=AO=2,BF=CO=1,

∴OF=OC+CF=1+2=3,

∴点B的坐标为(﹣3,1),

将点B的坐标代入y,可得:m=﹣3×1=﹣3,

故可得反比例函数解析式为y;

(2)结合点B的坐标及图象,可得当x<0时,kx+b<0的解集为:﹣3<x<0.

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21.【分析】(1)设甲种笔记本的进价是m元,乙种笔记本的进价是(10﹣m)元.根据王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元,列出方程即可解决问题.

(2)设购入甲种笔记本n本,根据购入这两种笔记本共60本,花费不超过296元,列出不等式即可解决问题.

(3)设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元.构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题.

【解答】解:(1)设甲种笔记本的进价是m元,乙种笔记本的进价是(10﹣m)元.由题意4(m+2)+3(10﹣m+1)=47,

解得m=6,

答:甲种笔记本的进价是6元,乙种笔记本的进价是4元.

(2)设购入甲种笔记本n本,则6n+4(60﹣n)≤296,

解得n≤28,

答:购入甲种笔记本最多28本,此时获利最大.

(3)设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元.

则W=(2+x)(350﹣50x)+(1+x)(150﹣40x),

∵a<0,

∴抛物线开口向下,

∴x=2时,W最大=1210,

∴x=2时,最大利润为1210元.

22.【分析】(1)依据等腰三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE,然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC,最后,依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE;

(2)先判断出△ADB∽△AEC,即可得出结论;

(3)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形,然后再证明△PEB ∽△AEC,最后依据相似三角形的性质进行证明即可.

【解答】解:(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,

∴AB=AC=3,AD=AE=2,∠DAB=∠CAE.

∴△ADB≌△AEC.

∴∠ABD=∠ACE.

(2)(1)中结论成立,理由:

在Rt△ABC中,∠ABC=30°,

∴AB AC,

在Rt△ADE中,∠ADE=30°,

∴AD AE,

t t

∴.

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠BAD=∠CAE,

∴△ADB∽△AEC.

∴∠ABD=∠ACE

(3)解:①当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=AB﹣AD=2.

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∵∠EAC=90°,

∴CE t??2.

同(1)可证△ADB≌△AEC.

∴∠DBA=∠ECA.

∵∠PEB=∠AEC,

∴△PEB∽△AEC.

t

∴.

t

∴.

∴PB.

②当点E在BA延长线上时,BE=10.

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∵∠EAC=90°,

∴CE t??2.

同(1)可证△ADB≌△AEC.

∴∠DBA=∠ECA.

∵∠BEP=∠CEA,

∴△PEB∽△AEC.

t

∴.

t

t

∴.

t

∴PB.

t

综上所述,PB的长为或.

23.【分析】(1)根据点A、C的坐标利用待定系数法可求出二次函数的解析式;

(2)根据点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,设点D的坐标为(﹣

2 m,﹣m+8),则点E的坐标为(﹣m﹣2,﹣m+6),点G的坐标为(m,m+5m﹣8),

2

点F的坐标为(﹣m﹣2,(﹣m﹣2)+5(m﹣2)﹣8),根据平行四边形的性质可得出DG=EF,由此即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出m的值,再将m的值代入点E的坐标中即可得出结论;

(3)设直线x=4与x轴交于点P,取CP的中点M,连接BM,过点M作MN⊥BC于点N,则∠AKC=∠CBM,根据等腰直角三角形的性质可得出MN、CN的值,进而可得出BN、tan∠CBM的值,由tan∠AKC可求出PK的值,进而即可得出点K的坐标.

2

【解答】解:(1)将A(﹣2,0)、C(﹣4,4)代入y x+bx+c中,

??t ????

得:,解得:,

2

∴二次函数的解析式为y x﹣5x﹣8;

(2)设直线BC的解析式为y=kx+a(k≠0),将B(﹣8,0)、C(﹣4,4)代入y=kx+a中,

??t ???

得:,解得:,

∴直线BC的解析式为y=x+8,

设点D的坐标为(﹣m,﹣m+8),

2

则点E的坐标为(﹣m﹣2,﹣m+6),点G的坐标为(﹣m,m+5m﹣8),点F的坐

2

标为(﹣m﹣2,(﹣m﹣2)﹣5(﹣m﹣2)﹣8).

∵四边形DEFG为平行四边形,

∴DG=EF,

22

即m﹣5m﹣8﹣(﹣m+8)(﹣m﹣2)﹣5(﹣m﹣2)﹣8﹣(﹣m+6),

解得:m=5,

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