2013年孝感市高中阶段学校招生考试
数 学
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题
给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1、计算2
3-的值是 A 、9 B 、9- C 、6 D 、6- 2．太阳的半径约为696 000km ，把696 000这个数用科学记数法表示为 A 、3
6.9610? B ．5
69.610? C ．5
6.9610? D 、6
6.9610?
3、如图，1=2∠∠，3=40∠?．则4∠等于
A 、120?
B 、130?
C 、140?
D 、40?
4、下列计算正确的是 A 、3
2
3
2
a a a a -÷=? B a
C 、2
2
4
23a a a +=
D 、（a －b ）2=a 2
－b 2
5、为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm ）为：
16 9 14 11 12 10 16 8 17 19
则这组数据的中位数和极差分别是 A ．13，16
B ．14，11
C ．12，11
D ．13，11
6、下列说法正确的是
A 、平分弦的直径垂直于弦
B 、半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C 、相等的圆心角所对的弧相等
D 、若两个圆有公共点，则这两个圆相交 7、使不等式x －1≥2与3x －7＜8同时成立的x 的整数值是
A 、3，4
B 、4，5
C 、3，4，5
D 、不存在
8、式子2cos30tan 45?-?的值是
A 、2
B 、0
C 、
D 、2
(第10题)
主视图俯视图9、在平面直角坐标系中，已知点E (－4,2)，F (－2,－2)，以原点O 为位似中心，相似
比为
1
2
，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是 A 、(－2,1)
B 、(－8,4)
C 、(－8,4)或(8,－4)
D 、(－2,1)或(2,－1)
10、由8个大小相同的正方体组成的几何体的主视图
和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图是
A 、
B 、
C 、
D 、 11、如图，函数y x =-与函数4
y =-
的图像相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴8
A 、2a
B 、2b
C 、3a
D 、4
3a b
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果 直接填写在答题卡相应位置上）
13、分解因式：2
23ax ax a +-= 。
14、在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮
料的概率为 （结果用分数表示）。
(第18题)
(第15题)
βA
B
C
D
15、如图，两建筑物的水平距离BC 为18m ，从A 点测得D 点的
俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°．则建筑物CD 的高度为 m （结果不作近似计算）。
16、用半径为10cm ，圆心角为216°的扇形作一个圆锥的侧面，
则这个圆锥的高是 cm 。
17、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：
称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是 。
18、一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的
4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水 又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完． 假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内 的水量y (单位：升)与时间x （单位：分）之间的 部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完。
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7小题，满分66分．解答写在答题卡上） 19、（本题满分6分）先化简，再求值：
11
1
()x y y
x
÷--，
其中x =y =
(第17题)
(第21题)
20、（本题满分8分）如图，已知△ABC 和点O 。
（1）把△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△111A B C ，在网格中画出△111A B C ；（4分） （2）用直尺和圆规作△ABC 的边AB ，AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的
交点P （要求保留作图痕迹．．，不写作法）；指出点P 是△ABC 的内心，外心，还是重心？（4分）
21、（本题满分10分）暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到A ，B ，C ，D 四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图所示。
（1）去B 地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B 地的人数？（4分） （2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定。父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？（6分）
P
C
22、（本题满分10分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（4分）
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？（6分）
23、（本题满分10分）如图，△ABC内接于⊙O，B
∠=60°，CD是⊙O的直径，点P 是CD延长线上的一点，且AP AC
=。
（1）求证：PA是⊙O的切线；（5分）
（2）若PD=，求⊙O的直径。（5分）
(第23题)
24、（本题满分10分）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x 。
（1）求实数k 的取值范围；（4分）
（2）是否存在实数k 使得221212x x x x ?--≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请
说明理由。（6分）
25、（本题满分12分）如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上， 若AEF ∠=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F 。
（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE EF =，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3分）
（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）。 ①AE EF =是否总成立？请给出证明；（5分）
②在如图所示的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线21y x x =-++上，求此时点F 的坐标．
（4分）
图1
A
(第20题)
2013年孝感市高中阶段学校招生考试
数学参考答案及评分说明
一、选择题
二、填空题
13．(3)(1)a x x +-； 14．
2
5
； 15
．
16．8；
17
．51； 18．8．
三、解答题
19．解：原式=
1x y x y xy
-÷- ……………………………………… 2分 =
1xy
x y x y
-
-? = 2
()
xy
x y - ……………………………………… 4分 当x =y =
原式1
8=． ……………………………………… 6分 20．解：（1）△111A B C 如图所示； …………………………………………………4分
（2）如图所示； ……………………………… 6 点P 是△ABC 的外心．……………… 8分
21．解：（1）设去B 地的人数为x ，
则由题意有：
40%302010
x
x =+++ …………… 2分
解得：40x =．
∴去B 地的人数为40人． …………… 4分 （2）列表：
(7)
分
说明： 能正确画出树形图给3分. 姐姐能参加的概率()41164
P =
=姐，弟弟能参加的概率为()516
P =
弟 …………… 9分
∵()416
P =姐<()516
P =弟，∴不公平． …………… 10分
22．解：（1）设y 与x 满足的函数关系式为：y kx b =+． …………… 1分 由题意可得：36242129.
k b k b =+??
=+?，
…………… 2分
解得3108.k b =-??=?
，
…………… 3分
∴y 与x 的函数关系式为：3108y x =-+． …………… 4分 （2）每天获得的利润为：
(3108)(20)P x x =-+- …………… 6分 2
31682160x x =-+-
2
3(28)192x =--+． ……………8分 ∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大． ……………10分
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) 3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
1
2
3
4
23．（1）证明：连接OA (1)
∵60B ∠=
，∴2120AOC B ∠=∠=
． ……2又∵OA OC =，∴30OAC OCA ∠=∠=
. 又∵AP AC =，∴30P ACP ∠=∠=
，
∴90OAP AOC P ∠=∠-∠=
， ………………4 ∴OA PA ⊥，
∴PA 是⊙O 的切线. ……………… 5分 （2）在Rt △OAP 中， ∵30P ∠=?，
∴2=PO OA OD PD =+． ………………7分 又∵OA OD =， ∴PD OA =， ∵PD =，
∴22OA PD ==
∴⊙O 的直径为 ……………10分 24．解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴ 22[(21)]4(2)k k k -+-+≥0 ……………1分 ∴2
2
44148k k k k ++--≥0
∴14k -≥0， ……………3分
∴k ≤
1
4 ． ∴当k ≤1
4
时，原方程有两个实数根． ……………4分
（2）假设存在实数k 使得22
1212x x x x ?--≥0成立．
∵1x ，2x 是原方程的两根，
∴21212212x x k x x k k +=+?=+，． ……………5分 由221212x x x x ?--≥0，
得212123()x x x x ?-+≥0． ……………7分 ∴2
2
3(2)(21)k k k +-+≥0，整理得：2
(1)k --≥0， ∴只有当1k =时，上式才能成立． ……………9分
又由（1）知k ≤
1
4
， ∴不存在实数k 使得221212x x x x ?--≥0成立． ……………10分
P
(第23题)
25．解：（1）如图1，取AB 的中点G ，连接EG ． ……………2分
△AGE 与△ECF 全等． ……………3分 （2）①若点E 在线段BC 上滑动时AE EF =总成立． 证明：如图2，在AB 上截取AM EC =．…… 4分 ∵AB BC =，∴BM BE =，
∴△MBE 是等腰直角三角形， ∴18045135AME ∠=?-?=?，
又CF 平分正方形的外角，∴135ECF ∠=?， ∴AME ECF ∠=∠． ………… 6分 而
BAE AEB CEF AEB ∠+∠=∠+∠∴BAE CEF ∠=∠， ∴△AME ≌△ECF ．
∴AE EF =． ………… 8②过点F 作FH x ⊥轴于H ， 由①知，FH BE CH ==， 设BH a =，则1FH a =-，
∴点F 的坐标为( 1)F a a -，
． ∵点F 恰好落在抛物线2
y x x =-++∴2
11a a a -=-++， ∴2
2a =，a =
∴1
1a -． ∴点F 的坐标为1)F ．注意：1．2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．
G
A