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2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------概率与统计

概率与统计（二）

●知识梳理

1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.

2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发

生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k （1－p ）

n －

. 3.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.

4.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.

5.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率. 一、基础练习

1.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是

A.p 1p 2

B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）

C.1－p 1p 2

D.1－（1－p 1）

（1－p 2）解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）.

2.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61

，其他几项标准

合格的概率为

，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） A.

1 C.

4 D.

5 解析：P=31×61×451=90

3.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为

21，乙生解出它的概率为3

1，丙生解出它的概率为41

，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 解析：P=21×32×43+ 21×3

1×43+ 21×32×41=2411. 答案：

4.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，

并且概率都是3

.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.

解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=（1－31

）

（1－31）×31=27

答案：

5.(全国卷Ⅰ)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；

（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。（精确到01.0）

（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为8

)5.01(3

-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.08

811==-

（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)8

1(872

3=??

C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3

7(，

所以有坑需要补种的概率为 .330.0)8

7(13

解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)8

7(812

3=??

C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.08

)81(2

23=?

?C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)8

7()81(0

333=??C

二、典例例题

例1、某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.

（1）两人都抽到足球票的概率是多少?

（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?

解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，

于是P （A ）=106= 53，P （A ）=5

； P （B ）=

104= 52，P （B ）=5

3. 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.

（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=

53·52=25

. 答：两人都抽到足球票的概率是

. （2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为

P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=52·53=25

6. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P=1－P （A ·B ）=1－

256=25

. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是

19. 例2、把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，求1号盒恰有r 个球的概率.

解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m 个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1

号盒的概率为P=

.这样n 个球放入m 个不同的盒子内相当于做n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式知，1号盒恰有r 个球的概率 P n （r ）=C r n

p r

（1－p ）

n －r

=C r n

·（m 1）r ·（1－m 1）n －r =n

n r n m m --?)1(C .

解法二：用古典概型.把n 个不同的球任意放入m 个不同的盒子内共有m n 个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为

C r n

（m －1）

n －r

，故所求概率P （A ）=

n r n m m --)

1(C .

答：1号盒恰有r 个球的概率为

n r n m m --)

1(C .

例3、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的

概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分则A 、B 、C 相互独立，由题意得：

P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05 P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1

P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125…………………………………………………………4分解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5

所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分

（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴A

B C 、、相互独立，……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为

()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ??==??=……………………………10分

∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-??=-= (12)

例4．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.

解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,5

1p 需要更换2只灯泡的概率为 ;)1(213125p p C -

（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为

);1()1(2121p p p p -+-=

（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，

下同）换4只的概率为4

15p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为 .

34.042.

34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).

1(4

322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=??+=∴=?+===-+=p p p p p p C p p

三、课后作业

1.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是

A.0.12

B.0.88

C.0.28

D.0.42 解析：P=（1－0.3）（1－0.4）=0.42.

2.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为5

，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.

解析：该生被选中，他解对5题或4题.

∴P=（

53）5+C 45×（53）4×（1－53）=3125

1053. 3甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

32和4

.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;

(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? （1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A ，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则

()()

26511381

P A P A ??=-=-= ???

（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则

()2

23442131133448

P B C C ??????=?????= ? ? ???

????

（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两

次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。

故()22

23313145444441024P C C ??????=+????=?? ? ?????????

4.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为

41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12

，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为

（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，

由题设条件有??

???

=?=?=?,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P

???

=?=-?=-?.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P

解得 P （A ）=3

1，P （B ）=41，P （C ）=32

即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，4

1，32

（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则 P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－

32·43·31=65

. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为6

. 5加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为

109、98、8

，且各道工序互不影响。

(1) 求该种零件的合格率；

(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。（Ⅰ）解：9877109810

P =

??=；（Ⅱ）解法一：该种零件的合格品率为

，由独立重复试验的概率公式得：恰好取到一件合格品的概率为 12373()0.1891010C ??=，至少取到一件合格品的概率为 .973.0)10

3(13

解法二：

恰好取到一件合格品的概率为1

373()0.1891010

C ?

?=，至少取到一件合格品的概率为 12223333373737()()()0.973.1010101010

C C C ??+?+=

高三数学概率统计知识点归纳

高三数学概率统计知识点归纳内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．

极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.

高三数学《统计》知识总结

高三数学《统计》知识总结一、相关性检验（检验两个变量之间是否具有相关关系） 1．相关关系的分类相关关系包括正相关和负相关。 2．线性相关关系从散点图上看，如果两个变量对应的点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为?y ＝?b x ＋?a ，则，，其中，?b 是回归方程的回归系数，?a 是在y 轴上的截距，(x ，y )是样本点的中心． 4．样本相关系数，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．（1）由于相关系数r 的分子与线性回归方程中的斜率?b 的分子一样，因此，当时，两个变量正相关；当时两个变量负相关． (3) 1r ≤，当r 越接近１，表明两个变量的线性相关性越强；当r 越接近0，表明两个变量的线性相关性越弱．二、独立性检验 1．2×2列联表 2.K 2统计量 K 2＝n (ad －bc )2 (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ) (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量) 。规定：,,,a b c d 都要大于5 3.两个临界值：在独立性检验中，统计量K 2有两个临界值：3.841和6.635．当K 2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当K 2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当K 2≤3.841时，认为两个事件无关．注：有95%（或99%）的把握说事件A 与B 有关，也可说推断犯错误的可能性为5%（或1%）. 12 1()()()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑$1221n i i i n i i x y nx y x nx ==-=-∑∑$a y bx =-$()()n i i x x y y r --=∑0r >0r <

高三数学总深刻复习讲义

工程學院基礎數學題庫第五章空間中的直線與平面第六章球面方程式第七章矩陣與行列式

第五章空間中的直線與平面 5-1.空間中直線與平面的概念 1.設ABCD 為正四面體，各面均為正三角形，其稜長為1，為M 的CD 中點，求 AB 與CD 兩歪斜線間的距離？若∠AMB ＝θ，求cos θ＝？【 a 22； 3 1 】【解】 a a a 2 2 )2()23( 22=- 餘弦定理a 2＝θcos 23232434322??? -+a a a a ,cos θ＝3 1 2.四面體A-BCD 中,2,4======BD CD BC AD AC AB ，求四面體A-BCD 之體積？

【 3 11 2 】【解】G 是△ABC 重心3 3232== DE DG 3 44 )332( 42 2=-=AG ，體積＝311234433131=??=???AG BCD 3.如圖，OA 垂直平面E ，AB 垂直直線L ，已知OA ＝9，AB ＝12， BC ＝20，求OC ＝？【三垂線定理】【 25 】【解】2222129AB OA OB +=+=＝15,222 22015BC OB OC +=+=＝25 4.空間中O 點在平面E 的垂足為A 點，OA ＝3，L 為平面E 之直線，由A 作直線L 的垂線交於B 點，AB ＝2，C 為直線L 之點，已知OC ＝7，求BC ＝？【三垂線定理】

【 6 】【解】1323AB OA OB 2222=+=+=,)13(-7OB -OC BC 22 2==＝6 5.有一四面體OABC ，它的一個底面ABC 是邊長4的正三角形，且知OA ＝OB ＝OC ＝a ，如果直線OA 與直線BC 間的公垂線段長 (亦即此兩直線間的距離)是3，則a ＝？(以最簡分數表示) 【 3 8 】【解】4a OM 2-=,作AO MN ⊥於點N 設ON ＝a －3，222OM MN ON =+2222)4a ()3()3a (-=+-，a ＝3 8 6.設ABCD 為四面體，底面為BCD ，側稜AB ＝4，AC ＝AD ＝5，底邊BC ＝BD ＝5，CD ＝6，令平面ACD 與平面BCD 所定的兩面角度量為銳角θ，求cos θ＝？【 21 】【解】△ABM 為正三角形，θ＝60°，則cos60°＝2 1 7.長方體如圖,若3,3,2===AE AD AB ，若△ABD 與△BDE 所在平面

概率统计讲义(教师版)

概率统计讲义一．近5年全国卷高考题回顾 1.（2012?新课标第11题）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种 2.（2012?新课标第18题）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．（1）当时，，当时，，得：() *∈?? ?≥≤-=N n n n n y 16 ,8015 ,8010 （2）（ⅰ）X 可取60，70，80。， X 的分布列为，。（ⅱ）购进17枝时，当天的利润为76.4 > 76，从利润角度看，故应购进17枝。而此时，说明购17支在利润相差不大的情况下，其波动较大，故购16支也可。 3.（2013 新课标第3题）为了解某地区中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理抽样方法是( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 4.（2013 新课标第19题）.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作

高三数学解析几何专题复习讲义(含答案解析)

二轮复习——解析几何一．专题内容分析解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划二．解答策略与核心方法、核心思想圆锥曲线综合问题的解答策略：核心量的选择：常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征代数运算：设参、消参重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．

三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-，由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±，将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =，显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ，得2222(121)484840k x k x k +-+-=.

高考数学统计及统计案例

§10.2统计及统计案例考纲解读分析解读

从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.

(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考考点一抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )

曹显兵.概率论讲义(打印版)

第一讲随机事件与概率考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则基本事件总数中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1）一次取3个；（2）一次取1 个, 取后不放回；（3）一次取1个, 取后放回. 【例2 】从（0，1）中随机地取两个数，试求下列概率：（1）两数之和小于1.2；（2）两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：（1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ）（P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0

0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0

艺术生高考数学专题讲义：考点37 直线及其方程

考点三十七直线及其方程知识梳理 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.

5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则??? x ＝x 1＋x 2 2y ＝y 1 ＋y 2 2 ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．典例剖析题型一直线的倾斜角和斜率例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________．答案 56π 解析斜率k ＝－1－33－(－3) ＝－3 3，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5 6 π. 变式训练经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π 4，则y ＝__________．答案－3 解析由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4 2＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π 4＝－1.∴y ＝－3. 解题要点求斜率的常见方法： 1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． 2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率． 3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－a b 求斜率．题型二直线方程的求解例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2 －2－2，即x ＋2y －4＝0.

高三数学总复习资料

2019高三数学总复习资料高三数学总复习资料：立体几何 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形. (2)棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (3)棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形. (5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形. (6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一

周所成几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形. (7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径. 2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 高三数学总复习资料：直线与方程 (1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当时,;当时,;当时,不存在.

考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤

考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。（二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。（三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。（2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。（四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A；（2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B；（3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。二、概率的定义与性质（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率：

高中数学专题讲义-线性规划

【例1】设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ?+--+????≥≤≤≤≤，则OA OB ?u u u v u u u v 的最小值为（） A ．2 B ．2 C ．3 D ．22+ 【例2】已知变量,x y 满足120x y x y ????-? ≥≤≤，则x y +的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【例3】不等式组0,10, 3260x x y x y ??--??--?≥≥≤所表示的平面区域的面积等于．典例分析线性规划

【例4】设变量,x y满足约束条件 3 1 x y x y + ? ? -- ? ≥ ≥ ，则目标函数2 z y x =+的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 【例5】设变量,x y满足 0, 10 3260 y x y x y ? ? -- ? ?-- ? ≥ ≥ ≤ ，则该不等式组所表示的平面区域的面积等于，z x y =+的最大值为．【例6】目标函数2 z x y =+在约束条件 30 20 x y x y y +- ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≥ 下取得的最大值是________．【例7】下面四个点中，在平面区域 4 y x y x <+ ? ? >- ? 内的点是（） A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2) -D．(2,0) -

【例8】已知平面区域 1 ||1 (,)0,(,) 1 y x y x x y y M x y y x ?? + ? ?? -+ ? ?? ??? Ω== ?????? ? ?? ????? ? ?? ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（） A．1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【例9】若x，y满足约束条件 30 03 x y x y x + ? ? -+ ? ? ? ≥ ≥ ≤≤ ，则2 z x y =-的最大值为．【例10】已知不等式组 y x y x x a ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≤ ，表示的平面区域的面积为4，点() , P x y在所给平面区域内，则2 z x y =+的最大值为______．

高考数学复习专题：统计与概率(经典)

11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，．二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1，这12位同学购书的平均费用是（） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率组距时速8070605040开始 10n S ==， S p

2021年新高考数学总复习讲义：积分

第 1 页共 6 页 2021年新高考数学总复习讲义：积分知识讲解一、函数定积分 1.定义：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +?=-=-，，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 0()n n i i i I f x ξ-==?∑．当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b a f x dx ?，即1 00()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑?．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积． 2.曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()b a S f x dx =?．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间[]a b ，中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -?=-，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和． y=f (x )O y x b a

高中数学专题讲义-数学归纳法

题型一：数学归纳法基础【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111 111112()234 1242n n n n -+-++ =+++-++L L 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立【例4】利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--=++++N n a a a a a a n n Λ，在验证n=1时，典例分析板块三.数学归纳法

左边计算所得的式子是（） A. 1 B.a +1 C.21a a ++ D. 421a a a +++ 【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++Λ))(12(31*∈+????N n n Λ，从“k 到k+1”左端需乘的代数式是（） A.2k+1 B.)12(2+k C. 112++k k D.1 3 2++k k 【例7】用数学归纳法证明：1+ 21+3 1+)1,(,121 >∈<-+*n N n n n Λ时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k 【例8】设 )1()2()1()(-++++=n f f f n n f Λ，用数学归纳法证明 “)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++Λ”时，第一步要证的等式是【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-????=+++n n n n n n ΛΛ”（+∈N n ）时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。【例10】用数学归纳法证明不等式 24 13 12111> ++++++n n n n Λ的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是【例11】是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ?-+?-+???+?-=++对一切)*N n ∈成立？证明你的结论。题型二：证明整除问题【例12】若存在正整数m ，使得)(93)72()(*∈+-=N n n n f n 能被m 整除，则m = 【例13】证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除【例14】已知数列{}n a 满足1201a a ==，，当*n ∈N 时，21n n n a a a ++=+．

高三数学总复习讲义——函数概念

高三数学总复习讲义——函数概念一、知识清单 1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。 2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f (x )|x ∈A}为值域。 3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。 5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法. 注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 ① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; ② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++= 当0>a 时值域是24[,)4ac b a -+∞,当0=且的值域为； ⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]； ⑦ 函数 2 k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ；二、课前练习 1.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =,则到的映射有个，到的映射有个；若}3,2,1{=A ，},,{c b a B =, 则到的一一映射有个。 2. 设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射下，象20的原象是 ( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则==)(r f S ；定义域为。