闵集中学七年级数学课堂教学设计活页 课题：解一元一次不等式（二） 设计人：胡红星 审核：七年级数学备课组 第 课时 2012年5月
学习目标：会解复杂的一元一次不等式，并能正确地将不等式的解集表示在数轴上。
学习重点：一元一次不等式的解法；解一元一次不等式时，去分母及化系数为1，这两步当乘数是负数时改变不等号的方向。 学习难点：去分母及化系数为1，这两步当乘数是负数时改变不等号的方向。
课前导学：
填空：１、解不等式22-x ≥37x -，并把它的解集表示在数轴上。
解： 去分母得: )2(3+x ≥)7(2x - 去括号得: ≥ 过程提示： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以5得： 这个不等式的解集在数轴上表示如下:
归纳：解一元一次方程，要根据 ，将方程逐步化为 的形式；而解一元一次不等式，则要根据 ，将不等式逐步化为
的形式。 ２、解下列不等式： （１）x+42 ≥－2x+13 (２)2x-13 －4＞－x+42
（３）－56 x －1≤2 （４）x x 231)3(21-<-
例３ 求不等式6
)125(53)34(2+<-x x 的所有负整数解． 课堂导学： （一）合作交流 例１ 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
(１) 2(2x －3)＜5(x －1)． (２)10－3(x ＋6)≤1．
(３)．?-->+22531x x (４)．?-≥--+612131y y y 例２ 求不等式
361633->---x x 的非负整数解． 去分母 依据 去括号 依据 移项 依据 合并同类项 依据 系数化为1 依据
（二）当堂检测： １、解下列不等式
(1)3[x －2(x －7)]≤4x ． (2).17)10(2383+-≤--y y y
(3)
.151)13(21+<--y y y (4).15)2(22537313-+≤--+x x x
（５）).1(32)]1(21[21-<---x x x x (6)?->+-+2503.0.02.003.05.09.04.0x x x ２、已知方程组???-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围．
一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念： 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集： 一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表： 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式组的概念 1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①???<->32x x ，②???>+>420 x x ，③???>+<+4 2122x x x ， ④???-<>+703x x ，⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
题型2：考察一元一次不等式组的解法 2.（2018春天心区校级期末）不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集： ! （1）?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）?????≥-+->-154245 3312x x x x （3）?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —
（5）?????-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ！ 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \
考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.
一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x
5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切） 典型例题 例 1 解下列不等式 x － 3 2 （1） x ＋ 7 <0 （2）3＋ x <0 3） x －3 2－x > 3－x －3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式： （1）2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 （1） 2 （2） 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 （-2,3）, 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时，不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立？
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<.
因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =，
常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞U ； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123 x x x -<---（答：()()1,12,3-U ）； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞U ）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围
基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 （1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ； 若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+= ，M 为常数，max ()ab = . （2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ； 若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>= ，M 为常数，min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈，求最值时应注意以下三个条件：
应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1 1 2ab > B ．1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ （2）不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)? B ．(,2)(0,)?∞?+∞ C ．(4,2)? D ．(,4)(2,)?∞?+∞ （3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11 x y +的最大值为 ( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．12
方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1 445y x x =+?的最大值； （2）已知，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 方法三：“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 （2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞?
不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③
高中数学不等式的分 类、解法
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜ ．＜＜1 1 a a C x a ．＞或＜x a 1 1 选A x ≥3或x ． ?? ?????a b = =-121 2 ，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2-+--+-313 2 511 3 12 2x x x x x x ＞＞()()
分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤3 2 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 例不等式＋＞ 的解集为5 1x 1 ] x ＝ 0} ] 解法一原不等式的同解不等式组为≠． x -?? 20 故排除A 、C 、D ，选B ． 解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 3 20x 3(x 3)(2x)02x 3--x 两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”． 例不等式 ＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 [ ]
A a B a C a D a ．＜ ．＞ ．＝ ．＝－ 1212 1 21 2 分析可以先将不等式整理为 ＜，转化为 0()a x x -+-11 1 [(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2} 可知－＜，即＜，且－ ＝，∴＝．a 10a 12a 1112 a - 答 选C ． ≤0} 分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ? 解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*) (1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得??
一对一个性化辅导教案
一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集.
二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==；
一元二次不等式及其解法-教学设计
《一元二次不等式及其解法（第1课时）》教学设计 毕朋飞一内容分析 本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解 法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩 固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲 线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一 元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。二学情分析 学生已经掌握了高中所学的基本初等函数的图象及其性质, 能利用函数的图象及其性 质解决一些问题。学生知道不等关系, 掌握了不等式的性质, 通过这部分内容的学习, 学生 将学会利用二次函数的图象, 通过数形结合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。 三教学目标 1. 知识与技能目标: （1）熟练应用二次函数图象解一元二次不等式的方法 （2）了解一元二次不等式与相应函数, 方程的联系 2. 过程与方法: （1）通过学生已学过的一元一次不等式为例引入一元二次不等式的有关概及解法 （2）让学生观察二次函数,在此基础上, 找到一元二次不等式的解法并掌握此解法 （3）在学生寻找一元二次不等式的过中程中培养学生数形结合的数学思想 3. 情感与价值目标: （1）通过新旧知识的联系获取新知，使学生体会温故而知新的道理
（2）通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。 （3）在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。 四教学重点、难点 1. 重点 一元二次不等式的解法 2. 难点 理解元二次方程与一元二次不等式解集的关系 五教学方法 启发式教学法，讨论法，讲授法 六教学过程 1. 创设情景，提出问题（约10分钟） 师：在初中，我们解过一元一次不等式，如解不等式x – 1 > 0，现在请同学们先画出函数y = x – 1 的图象，并通过观察图象回答以下问题: 1）x 为何值时， y = 0; 2）x 为何值时， y > 0; 3）x 为何值时， y < 0; 4）一元一次方程x – 1 = 0的根能从函数y = x – 1上看出来吗？ 5）一元一次不等式 x – 1 > 0的解集能从函数y = x – 1上看出来吗？ 学生画图，思考。先把问题交给学生自主探究，过一段时间，再小组交流，此间教师巡视并指导。提问学生代表。
- 2 - 一元二次不等式的解法 一、选择题 1．不等式x 2＜3x 的解集是 ( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．R D ．{x |0＜x ＜3} 2．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 ( )． A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．? 3．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则 ( )． A ．a ≥1 B ．a ＜－1 C ．a ＞－1 D ．a ∈R 4．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则?U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2} 5．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为? ??? ?? x ?? 13 ＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6 6.已知集合M ＝? ????? ??? ?x ??? x ＋3 x －1＜0，N ＝{} x | x ≤－3，则集合{x |x ≥1}等于 ( )． A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R (M ∩N ) D ．?R (M ∪N ) 7．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若 每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( )． A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 9．关于x 的不等式a －x x ＋b ＜0, a ＋b ＞0的解集是 ( )． A ．{x |x ＞a } B ．{x |x ＜－b ，或x ＞a } C ．{x |x ＜a ，或x ＞－b } D ．{x |－b ＜x ＜a } 10．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )?(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．－12＜a ＜32 D ．－32＜a ＜1 2 11、函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 12、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表： 13、设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________． 14、关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________． 15、不等式(3x －4)(2x ＋1) (x －1)2 <0的解集为________． 三、解答题 16、解不等式1）－2x 2＋103x －1 3＞0； 2)x －1x －2≥0； 3)2x －13－4x ＞1.
常见不等式的解法归纳总结 知识点精讲 一．一元一次不等式（ax b >） （1）若0a >，解集为|b x x a ??> ????. (2) 若0a <，解集为|b x x a ??< ??? ? （3）若0a =，当0b ≥时，解集为?；当0b <时，解集为R 二、一元一次不等式组（αβ<） （1）x x αβ>??>?，解集为{}|x x β>.（2）x x αβ?? ??≠，其中24b ac ?=-，12,x x 是方程2 0(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x < （1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0?>，解集为{} 21|x x x x x ><或. ②若0?=，解集为|2b x x R x a ??∈≠- ???? 且. ③若0?<，解集为R . (2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0?>，解集为{}12|x x x x << ②若0?≤，解集为? 四、简单的一元高次不等式的解法 简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式()0f x > （1）将()f x 最高次项系数化为正数 （2）将()f x 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0?<） （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）.
高中数学常见题型解法归纳 不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ? ?>????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ??）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>? ②当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??
不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(
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