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高考数学选择题、填空题的解法 (1)
一、直接法 .................................................................................................................................. 1 二、特例法 .................................................................................................................................. 2 三、数形结合 ........................................................................................................................... 5 四、估值判断 .............................................................................................................................. 7 五、排除法（代入检验法） ...................................................................................................... 8 填空题的解法 (10)
一、直接法 ................................................................................................................................ 10 二、特殊化法 ............................................................................................................................ 11 三、数形结合法 ........................................................................................................................ 12 四、等价转化法 (13)
高考数学选择题、填空题的解法
一、直接法
所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和计算来得出题目的结论。
【例1】已知()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数与偶函数，若
22()()log (2),f x g x x x +=++则(1)f 等于（ ）A, 12- B, 12 C , 1 D ,3
2
【解析】此题可以先求出函数()f x 的解析式，然后求解，也可以直接求(1)f ，选B 【例2】函数y ＝sin ????π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是 ( )A.π
2 B ．π C ．2π D ．4π 【解析】y ＝
32cos 2x －1
2
sin 2x ＋sin 2x ＝sin ????2x ＋π3，T ＝π，选B. 【例3】06全国Ⅰ理8）抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是（ ）
A 、
43 B 、75 C 、8
5
D 、3 【解析】设直线430x y m ++=与2
y x =-相切，则联立方程知2
340x x m --=，令0= ，
有4
3
m =
，∴两平行线之间的距离4
3
d ==
，选A
【例4】 圆x 2＋2x ＋y 2
＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ）
Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个 【解析】将圆的方程化为(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝(22)2
,∴ r ＝22.∵ 圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝
2
|
121|+--＝2,恰为半径的一半．故选Ｃ．
【例5】设F 1、F 2为双曲线4
2x －y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上满足∠F 1PF 2＝90o
，则△
F 1PF 2的面积是（ ）Ａ.1 Ｂ.5/2 Ｃ.2 Ｄ.5
【解析】 1
2
S F PF ＝1，选Ａ．或者直接用结论求解：在椭圆中122
12
S tan
2
F PF F PF b ∠= ，在双曲线中12
2
12
S cot 2
F PF F PF b ∠=
【例6】 椭圆mx 2
＋ny 2
＝1与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，过AB 中点M 与原点的直线斜率为
22，则n m 的值为（ ）Ａ.22 Ｂ.3
32 Ｃ.1 Ｄ.23
【解析】 命题：“若斜率为k (k ≠0)的直线与椭圆22a x ＋22b y ＝1（或双曲线22a x －22
b y ＝1）相
交于A 、B 的中点，则k ·k OM ＝－22a b (或k ·k OM ＝22
a b )，”（证明留给读者）在处理有关圆锥曲
线的中点弦问题中有着广泛的应用．运用这一结论，不难得到：解 ∵ k AB ·k OM ＝－22
a b ＝
－m
n 11
＝－n m ∴ n m ＝－k AB ·k OM ＝1·22＝22
，故选Ａ． 二、特例法
包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。 【例1】若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ）
A 、0x =
B 、1x =
C 、1
2
x =
D 、2x = 【解析】因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2
(1)y x =-，则(2)y f x =变为
2(21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1
2
x =
，选C
【例2】△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++
，
则m 的取值是（ ）A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2
【解析】特殊化处理，不妨设△ABC 为直角三角形，则圆心O 在斜边中点处，此时有
OH OA OB OC =++
，1m =，选B
【例3】已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有( )A ．f (x )<－1 B ．－1 【解析】取特殊函数．设f (x )＝2x ，显然满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )(即2x ＋ y ＝2x ·2y )，且满足x >0时，f (x )>1，根据指数函数的性质，当x <0时，0<2x <1，即0 【解析】选一个特殊位置(如图)，令OP 、OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2 ＝16 ，b 2 ＝9得，OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立” 可知，答案C 正确． 【例5】（2010重庆理数）(5) 函数()41 2x x f x +=的图象( ) A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 【解析】)(2 41214)(x f x f x x x x =+=+=--- )(x f ∴是偶函数，图像关于y 轴对称 通过特殊值法即可，即5 (1)(1)2 f f =-= 选D 【例6】过抛物线ｙ＝a ｘ2 （ａ> 0）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段FP 与FQ 的长分别是ｐ、ｑ，则 q p 1 1+＝（ ）. A. 2ａ B.a 21 C. 4ａ D.a 4 【解析】由题意知，对任意的过抛物线焦点F 的直线， q p 1 1+的值都是a 的表示式，因而取抛物线的通径进行求解，则ｐ＝ｑ＝ a 21，所以q p 11+=a 4 ，故应选D. 【例7】已知等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项 和为（ ） A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【解析】解法1：特殊化法。令m=1，则a 1=S 1=30，又a 1+a 2=S 2=100 ∴a 2=70 ∴等差数列的公差d=a 2–a 1=40，于是a 3=a 2+d=110 故应选C 解法2，利用等差数列的求和公式2 (,)n S An Bn A B =+是常数求解 【例8】（08江西卷6）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3( ,)22 ππ 内的图象是（ ） 【解析】利用特殊值x= 4 π 代入即可 答案选 D 【例9】（06北京卷）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（ ） （A ） 2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32 (81)7 n +- （D ） 4 2(81)7 n +- 【解析】依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式可 得D 。 另外特例法解，设n=0,则444 7 10 2(18)2(81) (0)2222187 f --=+++==- 所以选D 【例10】（10全国Ⅱ）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ ） （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【解析】直接利用等差数列的性质可解，由已知得4312a =，所以1274...721a a a a +++== 也可以设3453,4,5,n a a a a n ===∴=，可以求出前7项和 【例11】（10年安徽理）设0abc ＞，二次函数()f x =2 ax bx c ++的图像可能是（ ） 【解析】特例法即可，取11,1a b c a b c ======-和即可选出D 【例12】设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 常数)，则f(-1)= （ ） A B C D - (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【解析】(0)0,1f b ==-由得出然后可求出选D 三、数形结合 “数缺形时少直观，形少数时难入微”---华罗庚。画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。 【例1】(2008陕西文、理) 双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，， 过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于 M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 做出图形即可求出答案B 【例2】（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ）A 、1 32()()()323f f f << B 、231()()()323 f f f << C 、213()()()332f f f << D ．321()()()233 f f f << 【解析】当1x ≥时，()31x f x =-，()f x 的图象关于直 线1x = 上，就算画出()|1|f x x =-符合要求的选项是B ， 【例3】若P （2，-1）为圆2 2(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 、30x y --= B 、230x y +-= C 、10x y +-= D 、250x y --= 【解析】画出圆和过点P 的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A 【例4】（07辽宁）已知变量x 、y 满足约束条件20 170 x y x x y -+≤?? ≥??+-≤? ，则y x 的取值范围是（ ） A 、9 ,65 ?????? B 、[)9,6,5??-∞+∞ ?? ? C 、(][),36,-∞+∞ D 、[]3,6 【解析】把 y x 【例5】曲线[]12,2)y x =+∈-与直线 (2)4y k x =-+有两个公共点时，k 的取值范围是（ ） A 、5(0, )12 B 、11(,)43 C 、5(,)12+∞ D 、53(,)124 【解析】事实上不难看出，曲线方程 []1(2,2)y x =∈-的图象为 22(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。 直线(2)4y k x =-+过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D 【例6】函数)1(||x x y -=在区间A 上是增函数，则区间A 是（ A 、(]0,∞- B 、??????21,0 C 、[)+∞,0 D 、?? ? ??+∞,21 【解析】作出该函数的图象如右，知应该选B 【例7】、（06湖南理10）若圆2244100x y x y +---= :0l ax by +=的距离为l 的倾斜角θ的取值范围是（ ） A 、,124ππ??? ??? B 、5,1212ππ?????? C 、,63ππ?????? D 、0,2π?? ???? 【解析】圆方程化为222(2)(2)x y -+-= 的距离d 应该满足0d ≤≤:0l ax by +=与小圆有公共点，∴选B 。 【例8】方程cos lg 0x x -=的实根的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【解析】在同一坐标系中分别画出函数cosx 与lgx 的图象，如图， 【例9】(07天津理7)在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-。若()f x 在区间[1，2]上是减函数，则()f x （ ） A 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数 【解析】()f x 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B ） 【例10】（05年四川）若5 ,,235 a b c = ==，则（ ） A 、a b c << B 、c b a << C 、c a b << D 、b a c << 【解析】构造斜率即可，构造函数ln y x =上的三点(2,ln 2),(3,ln3),(5,ln5)和原点的斜率B 。 【例11】(10年湖北)设集合A=22 {(,)| 1}416 x y x y +=，B={(,)|3}x x y y =,则A ∩B 的子集的个数是（ ） A. 4 B.3 C.2 D.1 【解析】考查集合的意义与数形结合思想，及一个有限集的子集的个数，在同一直角坐标系 中画出 22 1416 x y +=和3x y =的图像，知道图像有两个公共点，所以A ∩B 元素有2个，所以子集有4个，选A 【例12】(10年湖北)若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是 （ ） A ． 1,1?-+? B. 1?-+? C. 1??-?? D. 1??-?? 【解析】在同一坐标系中画出曲线3y =（该曲线是以点（2,3）为圆心，2为半径的圆不在直线y=3上方的部分）与直线y x =的图像，平移该直线，结合图形可求出，选C 四、估值判断 有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。 【例1】已知1x 是方程lg 3x x +=的根，2x 是方程103x x +=的根，则12x x +=（ ） A 、6 B 、3 C 、2 D 、1 【解析】我们首先可以用图象法来解：如图，在同一 坐标系中作出四个函数，10x y =，lg y x =，3y x =-， y x =的图象，设3y x =-与lg y x =的图象交于点A ，其横 坐标为1x ；10x y =与3y x =-的图象交于点C ，其横坐标 为2x ；3y x =-与y x =的图象交于点B ，其横坐标为 3 2 。因为10x y =与lg y x =为反函数， 点A 与点B 关于直线y x =对称，所以12x x +=2× 3 2 =3，选B 。 此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为1x 是方程lg 3x x +=的根，所以123,x <<2x 是方程103x x +=的根，所以201,x <<所以1224,x x <+<选B 。 【例2】已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）A 、 169 π B 、83π C 、4π D 、649π 【解析】用估计法，设球半径R ，△ABC 外接圆半径为 r =，则S 球 =2 2 16 4453 R r ππππ≥= >，选D 【例3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ， 3 2EF = ，EF 与平面ABCD 的距离为2A 、92 B 、5 C 、6 D 、152 【解析】该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CF ，问题转化为四棱锥E-ABCD 与三棱锥E-BCF 的体积之和，而E ABCD V -=6，所以只能选D 【例4】（07全国Ⅱ理 12）设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 0FA FB FC ++= ，则FA FB FC ++ 等于（ ）A 、9 B 、6 C 、4 D 【解析】很明显（直觉）三点A 、B 、C 在该抛物线上的图形完全可能 如右边所示（数形结合），可以估计（估值法）到，FB FC + 稍大于MN （通径，长为4），∴6FA FB FC ++= ，选B 。当然也可以用定义法：由0 FA FB FC ++= 可知3A B C x x x ++=，由抛物线定义有1,1,1A B C FA x FB x FC x =+=+=+ ，所以FA FB FC ++ =6 五、排除法（代入检验法） 它是充分运用选择题中的单选的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，通过分析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的的一种解法。 【例1】(2010年山东理文)函数y =2x -2 x 的图像大致是（ ） 【解析】因为当22420,x x x x ==-=或时，所以排除B ， C ；2 1 2240,4 x x x =--=-<时，故排除D ，选A 【例2】（2010江西理数）9．给出下列三个命题： ①函数11cos ln 21cos x y x -= +与ln tan 2 x y =是同一函数；②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()1 2 y g x =的图像也关于直线y x =对称；③若 奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数。其中真命题是（ ）A. ①② B. ①③ C.②③ D. ② 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A 、B ，验证③, ()[2()](2)f x f x f x -=--=+,又通过奇函数得()()f x f x -=-，所以f （x ）是周期为2的周期函数，选择C 。 【例3】（2010天津理数）（2）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） 【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 由1 (1)30,(0)102 f f -= -<=>及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。 【例4】数列{a n }满足a 1=1, a 2= 32，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则a n 等于（ ）。 （A ） 12+n （B ）(3 2)n -1 （C ）(32 )n （D ）22+n 【解析】特殊值法检验即可,选A 【例5】（2008安徽文）函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（ A ．6 x π =- B ．12 x π =- C ．6 x π = D ．12 x π = 【解析】当自变量取得对称轴时，函数去最值，代入检验可知选D 【例6】（2009重庆卷文）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．2 2 (2)1x y +-= B ．2 2 (2)1x y ++= C ．2 2 (1)(3)1x y -+-= D ．2 2 (3)1x y +-= 【解析】解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b ，1=，解得2b =， 故圆的方程为22(2)1x y +-=。解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。 【例7】（10年全国）已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为（ ） （A ） 22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22 163x y -= （D ）22 154 x y -= 【解析】命题：“若斜率为k (k ≠0)的直线与椭圆22a x ＋22b y ＝1（或双曲线22a x －22 b y ＝1）相交 于A 、B 的中点为M ，则k ·k OM ＝－22a b (或k ·k OM ＝22 a b )，” ∵2 2155124 ON AB b k k a ===g 故选B ． 填空题的解法 一、直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。 【例1】设(1)3,(1),a m i j b i m j =+-=+- 其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又 ()()a b a b +⊥- ，则实数m = 。 【解析】(2)(4),(2).a b m i m j a b mi m j +=++--=-+ ∵()()a b a b +⊥- ，∴ ()()a b a b +?-= ∴22 2 (2)[(2)(4)](2)(4)0m m j m m m i j m m j ++-++-?-+-= ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。 【例2】已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9 a 2＋a 4＋a 10＝________. 【解析】由已知得a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2 ＝a 1(a 1＋8d )，∴a 1 ＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316. 【例3】(2008江苏)()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 【解析】直接代入公式即可。2105 T π π ωω = = ∴= 【例4】（2010四川理数）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则 AB ∣∣= . 【解析】圆心为(0,0)，半径为2 ，圆心到直线250x y -+=的距离为d ＝ =|AB |2 22( )+=2 得|AB |＝2 3 【例5】（10广东理数）9. 函数()f x =lg(x -2)的定义域是 【解析】∵10x ->，∴1x >． 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。 【例1】 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若a 、b 、c 成等差数列，则 =++C A C A cos cos 1cos cos 。【解析】特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角 三角形，0cos ,53cos ==C A ，从而所求值为5 3 。 【例2】求值=++++)240(cos )120(cos cos 2 2 2 a a a 。 【解析】题目中“求值”二字提供了信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为 2 3 。 【例3】ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++ ， 则实数m= 。 【解析】90B ∠= 当时，ABC ?为直角三角形，O 为AC 中点，,AB BC 边上的高的交点H 和B 重合，()OA OB OC OB OH ++== ，1m ∴=46. 【例4】（06全国卷I ）已知函数1 ()21 x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。 【解析】函数1().21x f x a =- +若()f x 为奇函数，则(0)0f =，即0 1021a -=+，a =2 1. 【例5】若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t)，则f(1),f(2),f(4)的大小关系是 【解析】 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2) 【例6】（2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =________ 【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x +ae -x 为奇函数，由g(0)=0，得a =－1。 三、数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。 【例1】 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{< 那么实数a 的取值范围是 。【解析】根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -= 和函数x a y )1(-=的图象（如图） ，从图上得出实数a 的范围是[) +∞∈,2a 。 【例2】直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－1 4x ＋1的交点在第一象限， 则k 的取值范围是________． 【解析】因为y ＝kx ＋3k －2，即y ＝k (x ＋3)－2，故直线过定点P (－3，－2)，而定直 线y ＝－14x ＋1在两坐标轴上的交点分别为A (4,0)，B (0,1)．如图所示，求得2 7 【例3】若关于x 的方程21x -=k(x-2)有两个不等实根，则k 的取值范围是 【解析】 令y 1=21x -,y 2=k(x-2),由图14-3可知k AB 33,∴-3 3 【例4】（2010辽宁理数）（14）已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是_______（答案用区间表示） 【解析】画出不等式组14 23 x y x y -<+ <- 经过x-y=2与x+y=4的交点A （3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A （1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8. 故（3，8） 【例5】（2010年江西理）13．已知向量,a b 满足1,2,a b a == 与b 的 夹角为60°，则a b -= ______________．【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及 向量三角形法则、余弦定理等知识，如图,,a OA b OB a b OA OB BA ==-=-= ，由余弦定 理得：a b -= 【例6】（10浙江理数）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角 为120°，则α的取值范围是__________________ . 【解析】考查平面向量的基础知识和正弦定理的应用等，如图，设 A ,A ,C B αβ==u u u r u r u u u r u r 则在ABC V 中60ACB ∠=o ，根据正弦定理 sin sin 60ABC α β =∠o u r u r ，即sin sin 60ABC ABC α∠==∠o u r ， 由于0sin 1ABC <∠≤，所以，故0α< ≤ u r 四、等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。 【例1】 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 。 【解析】题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆 42)(22+=+-a y a x ，∴31≤≤-a 。 【例2】（2010江苏）设实数x,y 满足3≤2 xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43y x 的最大值是 。 。【解析】 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =?∈，43 y x 的最大值是27。 【例3】（2010天津理数）（16）设函数2 ()1f x x =-，对任意2 ,3x ??∈+∞???? ， A C B 24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? -≤-+ ??? 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【解析】依据题意得2222 2214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成 立，即 2 2213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立。当32x =时函数2321y x x =--+取 得最小值53- ，所以2 21543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得2m ≤-或2 m ≥ 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解 【例4】（2010重庆理数）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球 中至多命中一次的概率为 16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为____________. 【解析】等价转化为求它的对立事件即可，由251612 =-p 得5 3=p
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