高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
高一初等函数定义域值域
函数 例1、 已知函数f （x ）=3+x + 21+x ， （1） 求函数的定义域； （2） 求f （-3），f （32）的值； （3） 当a>0时，求f （a ），f （a-1）的值。 例2、中哪个与函数y=x 相等（ ）x 3 A 、y=(x )2 B 、y=33 x C 、y=2x D 、y=x x 2 例3、求下列函数的定义域 （1）f （x ）= 741+x (2)f(x)=x -1+ 3+x -1 例4、已知函数f （x ）=x 2+2x （1） 求f （2），f （-2），f （2）+f （-2）的值 （2） 求f （a ），f （-a ），f （a ）+f （-a ）的值 例5、某种笔记本的单价是5元，买x （x ∈{1，2，3，4，5}）个笔记
本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）。 例6、画出函数y=|x|的函数图象。 例7、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木材，如果矩形木材的一边长为xcm，面积为ycm2，把y表示为x的函数。
1、求下列函数的定义域 （1）f （x ）= 43-x x （2）f （x ）=2x （3）f （x ）= 2 362+-x x （4）f （x ）=14--x x 2、下列那组中的函数f （x ）与g （x ）相等 （1）f （x ）=x-1，g （x ）=x x 2 -1； （2）f （x ）=x 2,，g （x ）=(x )4 （3）f （x ）=x 2，g （x ）=36x 3、已知函数f （x ）=3x 2-5x+2，求f （-2），f （-a ），f （a+3），f （a ）+f （3）的值. 4、已知函数f （x ）=6 2-+x x （1）点（3，14）在f （x ）的图象上吗 （2）当x=4时，求f （x ）的值； （3）当f （x ）=2，求x 的值。
高一人教版必修一 数学函数定义域、值域、解析式题型
高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 （1 ）1 y = （2 ）y = （2）（3） 若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 （一）已知函数()f x 的定义域，求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，求函数2(2)f x 的定义域。 （二）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域。 （三）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5)，求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
（一） 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+，求()f x 的解析式。 （二） 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 （三） 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =，求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。 （四） 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0f x f x ++=，当11x -≤≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。 （五） 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=，求()f x （六） 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-
高一必修一数学函数的定义域值域专题训练打印版
高一必修一数学函数的定义域值域专题训练打 印版
函数定义域、值域专题教案与练 习 一、函数的定义域 1．函数定义域的求解方法 求函数的定义域主要是通过解不等式（组）或方程来获得．一般地，我们约定：如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合． （1）若)(x f 是整式，则定义域为全体实数． （2）若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数．?? （3）若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数． （4）若)(x f 为对数式，则定义域为真数大于零的全体实数。 （5）若)(x f 为复合函数，则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定．如：)(x f 的定义域为],[b a ，则复合函数)]([x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出． （5）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定． 2．求函数定义域的常见问题： （1）若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解； （2）由)(x f y =的定义域，求复合函数)]([x g f 的问题，实际上是已知中间变量)(x g u =的值域，求自变量x 的取值范围问题； （3）对含有字母参数的函数，求其定义域时注意对字母参数的一切允许值分类讨论； （4）若是实际问题除应考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． 二、求函数的值域常用方法 （1）观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数值域求解； （2）单调性法：利用函数的单调性求解 （3）换元法：通过对函数解析式进行适当换元，可以将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。 三、初等函数：指数函数、对数函数、幂函数的定义域、值域 1.指数函数：)1,0()(≠>=a a a x f x ，定义域：R x ∈；值域：),0()(+∞∈x f ； 2.对数函数：)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，定义域：),0(+∞∈x ；值域：R x f ∈)( 3.幂函数：α x x f =)(（)R ∈α，其定义域、值域随α的取值而不同，但在),0(+∞∈x 都有意义。
高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
定义域和值域的求法
定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
高一数学《函数的定义域值域》练习题
函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；
必修一 函数的定义域及值域
个性化学科优化学案 辅导科目 数学 就读年级 学生 教师 徐亚 课 题 函数的概念 授课时间 2015年11月28 备课时间 2015年11月25日 教 学 目 标 1、理解函数的概念，明确确定函数的三个要素，会用区间表示函数的定义域和值域；掌握求函数定义域的基本原则。 2、了解函数的三种表示方法，并能选择合适的方法表示函数。 重、难 考 点 求函数的值域问题时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。 教学容 鹰击长空—基础不丢 1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集 合B 中 确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ，记作： 2．函数的三要素 、 、 3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法； 4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 . 1．区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a必修一函数定义域值域和单调性奇偶性练习题
高一数学函数练习题 一、 求函数的定义域 1、 求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)1 11y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，， 则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311 x y x -= + ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 225941x x y x +=-＋
⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y =⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式系 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是
求函数的定义域与值域的常用方法完整版
求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。
数学必修一定义域值域知识点总结
数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域.
例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;
必修一值域定义域练习题
1、设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示： 其中能表示为M 到N 的函数关系的有。 2、求下列函数的定义域： )(x f =1+x ＋ x -21 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f( ); (3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a). 3、已知函数)(x f =3x 2－5x ＋2，求)3(f ，)2(-f ，)1(+a f 。 4、下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？ （1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y = x 1)31()31 -++x f x
5.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出f(x)的解析式. 变式训练1：（1）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）； （2）已知f （x ）满足2f （x ）+f （ ）=3x ，求f （x ）. 6 求下列函数的值域： （1）y= (2)y=x-; (3)y=. 变式训练2：求下列函数的值域： （1）y= ; (2)y=|x|. 7．若函数f （x ）=x 2 -x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. .8.判断函数f(x)=在定义域上的单调性. 需要答案回复 x x x 1;122+--x x x x x 21-1e 1e +-x x 521+-x x 21x -2112-x
5、函数的定义域和值域答案
函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析
高一函数值域定义域方法总结
函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆 求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-3 2 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式 x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ?? ?≠-≥+0 201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域：
求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)
求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 （1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。 注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。 （2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。 （3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。 （4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 （5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 （8）复合函数的定义域问题： ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出； ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 （1）1+= x y （2）x y -= 21 （3）0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 （1）x y ++ = 11 11； （2）1 42 --= x x y ；
数学定义域和值域
函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 经典例题透析 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数？ (1) (2) (3) (4) 小结1:相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备) 2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)；(2)；(3). 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3．值域: （先考虑其定义域） 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出； 2.分离常数法：可将其分离出一个常数； 3.观察法：利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；
4.判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 5.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 例题详见备课本 5. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 ∵0e x > ∴01y 1y >-+ 解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 例3. 求函数1x x y -+=的值域。 解：令t 1x =-，)0t (≥ 则1t x 2+= ∵ 43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y m i n = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞
