人教B 版必修4同步练习
1．若M ＝cos17°sin13°＋sin17°cos13°，则M 的值为( ) A.12 B.22 C.32
D. 以上都不对 解析：选A.原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝1
2
.
2．sin65°cos35°－cos65°sin35°等于( ) A.12 B.32
C ．－32
D ．－1
2
解析：选A.原式＝sin(65°－35°)＝sin30°＝1
2
.
3．若M ＝sin12°cos57°－cos12°sin57°，N ＝cos10°cos55°＋sin10°sin55°，则以下判断正确的是( )
A ．M ＞N
B ．M ＝N
C ．M ＋N ＝0
D ．MN ＝1
2
解析：选C.M ＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－sin45°＝－2
2
，
N ＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝cos45°＝2
2
，
∴M ＋N ＝0.
4．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sin αsin ????
3π2－β＝________. 解析：原式＝2sin αcos β－2sin αcos β＝0. 答案：0
一、选择题
1．(2010年高考福建卷)计算sin43°·cos13°－cos43°·sin13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32
解析：选A.原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1
2
.
2．(2011年金华高一检测)已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →
＝－1，则sin ????α＋π4等于( )
A.13
B.
23 C.33
D.23 解析：选B.AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →
＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α ＝1－3(sin α＋cos α)＝－1，
∴3(sin α＋cos α)＝2，
∴32sin(α＋π
4)＝2，
∴sin(α＋π4)＝2
3
.
3．在△ABC 中，若sin A cos B ＝1－cos A sin B ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：选B.∵sin A cos B ＝1－cos A sin B ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1， 即sin(A ＋B )＝1. ∵A ，B 为三角形的内角， ∴A ＋B ＝90°， ∴∠C ＝90°，
∴△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010
，则sin C ＝( )
A ．－55 B.5
5
C ．－255 D.255
解析：选D.∵cos B ＝1010∴sin B ＝310
10，
∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B
＝
22×1010＋22×31010＝25
5
. 5．若0＜α＜β＜π
4
，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．ab ＜1
D ．ab ＞2
解析：选B.a ＝2sin(α＋π
4
)，b ＝2sin ????β＋π4. f (x )＝2sin ????x ＋π4在????0，π
4上是增函数． 又0＜α＜β＜π
4，
∴f (α)＜f (β)，即a ＜b .
6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
解析：选C.∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B ) ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ，
∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )．
又A ＋B ＝π－C ，∴整理得sin(C ＋π6)＝1
2
，
∵0＜C ＜π，∴π6＜C ＋π6＜7π
6
，
∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.
二、填空题
7．函数f (x )＝3sin x ＋sin ????
π2＋x 的最大值是________．
解析：f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π6， ∴f (x )的最大值为2.
答案：2
8．sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－3cos(120°－x )＝________.
解析：原式＝sin x cos60°＋cos x sin60°＋2sin x cos60°－2cos x sin60°－3(cos120°cos x ＋sin120°sin x )
＝32sin x －32cos x ＋32cos x －3
2sin x ＝0. 答案：0 9.cos10°tan20°
＋3sin10°tan70°－2cos40°＝________. 解析：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°
＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°
－2cos40°
＝
cos20°cos10°＋3sin10°cos20°
sin20°
－2cos40°
＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°
－2cos40°
＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40°
＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°
＝2. 答案：2 三、解答题
10．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ????π4＋α＝－35
， sin ????3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．
解：∵π4＜α＜34π，π2＜π
4＋α＜π，
∴sin ????π4＋α＝1－cos 2????π4＋α＝45. ∵0＜β＜π4，34π＜3
4π＋β＜π，
∴cos ???
?3
4π＋β
＝－
1－sin 2????34π＋β＝－1213
， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin ???
?????π4＋α＋????34π＋β ＝－???
?sin ????π4＋αcos ????34π＋β＋cos ????π4＋αsin ????3π4＋β ＝－????45×????－1213＋????－35×513＝6365
. 11．设A ，B 为锐角三角形ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A,2sin A )，b ＝(3cos B,3sin B )，若a ，b 的夹角为60°，求A －B 的值．
解：∵|a |＝2，|b |＝3，
a ·
b ＝2cos A ·3cos B ＋2sin A ·3sin B ＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )＝6cos(A －B ) 而a 与b 的夹角为60°，
则cos60°＝12＝a ·b
|a |·|b |
＝6cos (A －B )
2×3
＝cos(A －B )
即cos(A －B )＝1
2.
又∵0＜A ＜π2，0＜B ＜π
2
，
∴－π2＜A －B ＜π2
，
∴A －B ＝±π
3
.
12．设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，且y ＝f (x )的
图象经过点(π
4
，2)．
(1)求实数m 的值；
(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合．
解：(1)f (x )＝a·b ＝m (1＋sin2x )＋cos2x
因为f (x )图象经过点(π
4
，2)．
∴f (π4)＝2，即m (1＋sin π2)＋cos π
2＝2， ∴m ＝1.
(2)由(1)得f (x )＝1＋sin2x ＋cos2x
＝1＋2sin(2x ＋π
4)．
故当sin(2x ＋π
4)＝－1时，f (x )取得最小值，
f (x )min ＝1－ 2.
相应的2x ＋π4＝3
2π＋2k π，k ∈Z ，
∴x ＝k π＋5
8
π，k ∈Z ，
∴使函数f (x )取得最小值的x 的集合为{x |x ＝k π＋5
8
π，k ∈Z }．