解三角形
相关公式
（1）内角和：A B C π++=；
（2）正弦定理： R C
c B b A a 2sin sin sin === （边角相对用正弦） 常用推论：??
???===C R C B R b A R a sin 2sin 2sin 2
（3）余弦定理：??
???-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 （两边夹角用余弦）
（4）三边求角： ????
?????-+-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2
222
222
2 （已知三边求角） （5）面积公式：B ac A bc C ab sin 2
1sin 21sin 21S ABC ===? 练习题：
1.在ABC ?中，已知下列条件，解三角形
（1）45,30,10A C c ??===，求a 及ABC S
； （2）6,4,60b c A ?===，求ABC S 及a
2.在△ABC 中，角A 、B 、C
的对边分别为,,,,1,3a b c A a b π=
==则c =（ ）． A ． 1 B. 2 C.
3—1 D. 3 3. ABC ?中，3A π∠=
，3BC =
，AB =，则C ∠= A ．
6π B ．4π C ．34π D ．4π或34π
4．在锐角中ABC ?,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 ( ) A.
12π B.6π C.4π D.3
π 5．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=且a b >,则B ∠=( ) A.6π B.3
π C.23π D.56π 6.已知：在⊿ABC 中，B C b c cos cos =，则此三角形为 ( ) A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
7.在ABC ?中，已知3AC =，sin cos A A +=
（Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）若ABC ?的面积3S =，求BC 的值．
8．设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.
9．△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
北京高考题
2013年
15. 在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．
2014年
15.如图, 在△ABC 中, ∠B =
3π , AB =8, 点D 在BC 边上, 且CD =2, cos ∠ADC =17
(1)求sin ∠BAD
(2)求BD , AC 的长
2016年
15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
解三角形 1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3 ，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 2.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 3.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ,则角C 为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π3 4.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π 3，则△ABC 的面积为( ) A.3 B. 932 C.33 2 D.3 3 5.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角， lg b ＋lg ） （c 1＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2 c ＝3，则c ＝( ) A.4 B.3 C.7 D.6 8．(2018·陕西宝鸡一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋B)＝1 3 ，a ＝3，c ＝4，则sinA ＝( ) A.23 B.14 C.34 D.16 9．(2018·铜川一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝22，且C ＝π 4 ，则△ABC 的面积为( ) A.3＋1 B.3－1 C ．4 D ．2 10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b)2－c 2，则tan C 等于( ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－3 4 11.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4 5 ，cos
正余弦定理常见解题类型 1． 解三角形 正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角． 余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 例1 已知在ABC △中，4526A a c ∠===，，，解此三角形． 解：由余弦定理得22(6)26cos 454b b +-=， 从而有31b =±． 又222(6)222cos b b C =+-?， 得1cos 2 C =±，60C ∠=或120C ∠=． 75B ∴∠=或15B ∠=． 因此，31b =+，60C ∠=，75B ∠= 或31b =-，120C ∠=，15B ∠=． 注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做． 2． 判断三角形的形状 利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或
边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理： A B C ++=π；利用余弦定理公式222222 cos cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==，， 222 cos 2a b c C ab ++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题． 例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状． 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，为ABC △外接圆的半径， 可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =， sin sin 0B C ≠∵， sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=． 90B C ∴+=，即90A =，故ABC △为直角三角形． 3． 求三角形中边或角的范围 例3 在ABC △中，若3C B ∠=∠，求c b 的取值范围． 解： A B C ∠+∠+∠=π，4A B ∴∠=π-∠． 04B π∴<∠<．可得210sin 2 B <<． 又2sin sin 334sin sin sin c C B B b B B ===-∵， 2134sin 3B ∴<-<．故13c b <<． 点评：此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件． 4． 三角形中的恒等式证明 根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式． 例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b +-++====∵， 222222 22222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=?-===．
高考一题通知识积累 第 1 页 共 5 页 1 高考数学（解三角形）第一轮复习资料 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，222 2cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222 a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 第一节 正弦定理与余弦定理 1.（2008·陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6， B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 2.（2008·福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为( ) A.6π B.3π C.6π或65π D.3 π或32π 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ） A .△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解 B .△AB C 中，a =30,b =25,A =150°，有一解
2017高考真题解三角形汇编 1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37 a . （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积. 2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =B A ．π 12 B ．π6 C ．π4 D ．π3 4.（2016全国卷2理科）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知 2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a b =2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积． 7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知 C =60°，b c =3，则A =_________。 8.（2017山东高考题理科）在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 C ?AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，
解三角形 必修5 第1章解三角形 §1.1正弦定理、余弦定理 重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题． 考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 经典例题：半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sin B． (1)求角C； (2)求△ABC面积的最大值． 当堂练习： 1．在△ABC中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( ) (A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2在△ABC中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A的度数是 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b－c)=3ab, 则∠C=( ) (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) (A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) (A) 有一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形ABCD中，AC= 3 BD, 那么锐角A的最大值为 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC中，若==，则△ABC的形状是 ( ) (A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= . 10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm和4 3 cm，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 . 11.在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是。 12．在△ABC中，若∠B=30°, AB=2 3 , AC=2, 则△ABC的面积是 . 13．在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2 3 x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－ 3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
高三一轮复习解三角形 近几年高考题 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
解 三角形 相关公式 （1）内角和：A B C π++=； （2）正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===（边角相对用正弦） 常用推论：?? ???===C R C B R b A R a sin 2sin 2sin 2 （3）余弦定理：?? ???-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222（两边夹角用余弦） （4）三边求角：???? ?????-+-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 222 222 2（已知三边求角） （5）面积公式：B ac A bc C ab sin 2 1sin 21sin 21S ABC ===? 练习题： 1.在ABC ?中，已知下列条件，解三角形 （1）45,30,10A C c ??===，求a 及ABC S ；（2）6,4,60b c A ?===，求ABC S 及a 2.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,,1,3a b c A a b π= ==则c =（）． A ．.3—1D.3 3.ABC ?中，3A π∠= ，3BC = ，AB =C ∠= A ．6π B ．4π C ．34π D ．4 π或34π 4．在锐角中ABC ?,角,A B 所对的边长分别为,a b . 若2sin ,a B A = 则角等于() 12π6π4π3π在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=且a b >,则B ∠=() 6π3π23π56π已知：在⊿ABC 中，B C b c cos cos =，则此三角形为() A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形
1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= .
2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π
2018高三第一轮复习解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则 =++++C B A c b a sin sin sin
7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 8.（2017全国卷2文16）ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 A c C a B b cos cos cos 2+=，则=B ________. 9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 题型二：三角形解的个数的判断 1. 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 2. 在ABC ?中，若30,4A a b ∠===，则满足条件的ABC ? A ．不存在 B ．有一个 C ．有两个 D 不能确定 3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30°
历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试） 1．（ ） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.（2007重庆理）在ABC ?中，,75,45,300=== C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 D.33+ ` 3.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A = 3 π ,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 4．(2008福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2 2 2 a c b +-=，则角B 的值为（ ） Ａ．6 π Ｂ． 3π Ｃ．6 π或56π Ｄ． 3 π或23π 5．（2005春招上海）在△ABC 中，若C c B b A a cos cos cos = =，则△ABC 是（ ） ( （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等 比数列，且2c a =，则cos B =（ ） A ． 14 B ．3 4 C ．4 D ．3 7．（2005北京春招文、理）在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 . 8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2 3 ，那么b =（ ） A ．2 31+ B ．31+ C ．2 32+ D ．32+ 二.填空题: （每小题5分，计30分） 9.（2007重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝ 。 … 10. (2008湖北文)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===? 则A ＝ . 11.（2006北京理）在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___ __.
高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
即由指北方向逆时针旋转到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。 ab C= sin 2 ABC中，sin A≤ π (0,] 6
222()2cos f x b x bc A x c =++=2222(cos )cos bx c A c c A ++-，因为2cos A 1,所以 222cos c c A -0，因此()f x 0恒成立，所以其图像与X 轴没有交点。 题型2 三角形解的个数 [例3]在ABC ?中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】 A 、7=a ，14=b ，?=30A ； B 、25=b ，30=c ，?=150 C ； C 、4=b ，5=c ，?=30B ； D 、6=a ，3=b ，?=60B 。 题型3 面积问题 [例4] ABC ?的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC ?的面积为 【解析】设△ABC 的三边分别：x －4、x 、x ＋4， ∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x ＋4﹚2=﹙x －4﹚2＋x2－2×﹙x －4﹚×x×cos120°，解得：x=10 ∴△ABC 三边分别为6、10、14。 题型4 判断三角形形状 [例5] 在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=-+-- 由正弦定理，即知22sin cos sin sin cos sin A A B B B A = 由0 2,22A B π，得22A B =或22A B π=- 即ABC ?为等腰三角形或直角三角形 方法二：同上可得222cos sin 2cos sin a A B b B A = 由正、余弦定理，即得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac +-+-= 即22222()()0a b c a b ---= a b ∴=或222c a b =+ 即ABC ?为等腰三角形或直角三角形 【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边） 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角） 1在△ABC 中，bCosA=acosB ，则三角形为( ) A 直角三角形 B 锐角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 2在△ABC 中，若a2＞b2+c2，则△ABC 为 ；若a2=b2+c2，则△ABC 为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC 为
《解三角形》教学设计 高三数学组 一、教材分析： 解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。 二、学情分析： 本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。 三、教学目标： 知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。 过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。 四、教学方法： 探究式教学、讲练结合 五、教学重难点 教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题； 教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。
五、教学过程 教学环节教学内容师生活动设计意图 高考定位明确方向 课题：解三角形 【最新考纲】 （1）掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度 量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问 题. 【重难点】三角形中的两解问题、边 角互化、恒等变换问题． 教师引导,把 握高考方向， 强调复习重 难点。 通过高考考 纲，让学生熟 悉本节课高 考考点，以便 更好的备考 高考。 教学环节教学内容师生活动设计意图 公式定理 基础运用 边角互化多向思维【典例精讲】 考点1正、余弦定理的简单运用 1.【2015高考北京，文11】在 C ?AB中，3 a=，6 b=，2 3 π ∠A=， 则∠B=． 2.【2016高考全国I卷】△ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、 b、c.已知5 a=，2 c=， 2 cos 3 A=， 则b=（） 考点1是正 余弦定理的 简单运用，学 生课前完成， 教师课堂上 和学生核对 答案，并要求 学生思考每 道题考察的 知识点是什 么变式1教 师引导学生 思考角B的 值到底有几 学生课前完 成例1，目的 是让学生提 前梳理公式， 而课堂上要 求学生回答 每道题考察 的知识点是 什么是为了 更深化学生 对公式的理 解，而变式1 的训练，是引 导学生对三
【考题回放】 1．设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ ） （A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ?中，已知C B A sin 2tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =?B A ② 2sin sin 0≤ +高考一轮复习解三角形高考真题
高考一轮复习解三角形 高考真题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
解三角形 1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3 ，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 2.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 3.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2＋b 2－ c 2)tan C ＝ab ,则角C 为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π3 4.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2 ＝(a －b )2 ＋6，C ＝π 3 ，则△ABC 的面积为( ) A.3 B.932 C.33 2 D.33 5.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ， c ，A 为锐角， lg b ＋lg ）（c 1 ＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B )＝(a 2－ b 2)sin C ，则△ABC 是( )
解三角形 一?选择题。 1. ABC中，.A,. B,. C 的对边分别为a,b,c若且.A =755，则b=（） A.2 B ? 4+ 2、3 C ? 4 —2.3 D ? .6-^2 2 2 2. 在厶ABC 中，tan A sin B 二tanB sin A，那么△ ABC —定是（） A ?锐角三角形B.直角三角形 C ?等腰三角形 D ?等腰三角形或直角三角形 3. 若A ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（） 1 A ? sin A B. cos A C. tan A D. tan A C 2 2 4. 关于x的方程x -x cosA cosB - COS 0有一个根为1,则厶ABC 一定是（） 2 A.等腰三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D ?钝角三角形 5. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A. 900 B. 1200 C. 1350 D. 150° 6 .在厶ABC 中，A:B:C =1:2:3，则a:b:c等于（） A. 1: 2:3 B. 3: 2:1 C. 1:、“3:2 D. 2: .3:1 7. 在△ ABC中，.C =90。, 00::: A ：450，则下列各式中正确的是（） A. si nA cosA B. sin B cosA C. sin A cosB D. sin B cosB . 8. （海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（） A. 5/18 B. 3/4 C. .3/2 D. 7/8 二.填空题。 9. （北京）.若错误！未找到引用源。的内角错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。 满足错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。________________ 10. （江苏）在厶ABC中，已知BC= 12, A= 60°, B= 45°，贝U AC= ________ 1 「 11. （北京）在△ ABC 中，若tan A , C = 150、, BC = 1,则AB = ______ 3 12. 在厶ABC中，若a =9,b =10,C =12,则厶ABC的形状是____________ 13. （湖南文）在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若a=1, c二寸3, c= n，则A= _____________ . 3 14. （重庆文）在厶ABC中, AB=1, B C=2, B=60°，贝U AC= ______ 15. （江苏）若AB=2, AC= 2 BC，则S A BC的最大值 __________ ? 16. （湖北）在厶ABC中，三个角代B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA cacosB abcosC的 值为
解斜三角形 ●知识梳理 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 A a sin = B b sin =C c sin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2= b 2+ c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ③ 在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cos A =bc a c b 22 22-+； cos B =ca b a c 22 22-+； cos C =ab c b a 22 22-+. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 特别提示 两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把
三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”. ●点击双基 1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：由2cos B sin A =sin C 得ac b c a 2 22-+×a =c ，∴a =b . 答案：C 2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 +cos A =5 1 B.AB ·BC ＞0 +tan B +tan C ＞0 =3，c =33，B =30° 解析：由sin A +cos A =5 1 得2sin A cos A =－ 25 24 ＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由 B b sin = C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3 π 2. 答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为2 3，那么b 等于 A. 2 3 1+ +3
高三第一轮复习解三角形 题型总结新 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
2018高三第一轮复习解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1.ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B = =，则cos _____B = 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦 值，则（） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则 =a b A ．． 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（） A ．33sin 34+??? ??+π B B ．36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6.在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则 =++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b ===则 c =______ 8.（2017全国卷2文16）ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 A c C a B b cos cos cos 2+=，则=B ________. 9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 题型二：三角形解的个数的判断 1.在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C ===B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A ===