直角三角形

第二讲 直角三角形

知识要点：

1.直角三角形两锐角.

2.直角三角形两直角边的等于斜边的.

3.直角三角形中，如果有一个锐角等于030，那么这个锐角所对的直角边等于. 直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对锐角等于.

4.有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形.（可以简记为“”） 典型例题：

例题1：如图，ABC ?中，045=∠ABC ,BC AD ⊥于点D ，E 为AD 上一点，且DE=DC. 试说明BE 和AC 的关系，并证明。

例题2：如图，已知ABC ?中，AB=AC ，090=∠BAC ,直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论： ○1.PEB PFA ???，

○

2.AP EF =○

3.PEF ?是等腰直角三角形， ○

4.ABC AEPF S S ?=2

1

四边形. 当EPF ∠在ABC ?内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

例题2图 例题3图

例题3：如图，直线13

3

+-

=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以线段AB 为边长在第一象限内作等边ABC ?,那么点C 的坐标为（ ） A.)1,1( B.)3,3( C.)2,2( D.)2,3(

例题4：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延

长BG 交CD 于点F ，若AB=6，BC=，则FD 的长为( )

A ．2

B ．4

C ．

课堂小测：

1.ABC ?中，045=∠=∠B A ,AB=23，那么BC=（ ） A. 3 B.6 C. 23 D.6

2.已知在⊿ABC 中，AB=AC=5，BC=6，则⊿ABC 的面积为（ ） A.8 B.12 C.15 D.24

3.直角三角形的两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高为（ ）

A.5

B.6

C. 5

12

D.12

4.如图，已知ABC ?中，045=∠ABC ,AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 长为（ ）

A.6

B.4

C.32

D.5

4题图 5题图 6题图

5.如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转015后得到ADE ?,若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ） A.

33 B.63 C.3 D.12

3

6.如图，ABC ?是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABE ?绕点A 逆时针旋转后，能与ACF

?重合，如果AE=3，那么EF 的长等于（ ） A.23 B.32 C.24 D.33

7.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则ABC ∠的度数为（ ） A.090 B.060 C.045 D.030

7题图 8题图

8.如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转090得到正方形111D C AB ,则图中阴影部分面积为（ ） A.1 B.

33 C.2

3 D.3 9.如图，直线23

3

+-

=x y 与x 轴，y 轴分别交于B A ,两点，把AOB ?沿着直线AB 翻折后得到B O A '?，则点O '的坐标是（）

A ．)3,3( B

．)3,3(

C

．)32,2( D ．)4,32(

9题图 10题图

10.如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OA 对折，使点A 落在1A 处，已知OA=3,AB=1，则点1A 的坐标为（ ） A.)23,23(

B.)3,23(

C.)23,23(

D.)2

3

,21( 智能提升：

1.如图，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOB ≌△COD ；

（2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．

2.在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AD=CE ，CD 与BE 交于点E ，BE DG ⊥。 求证：（1）BE=CD ； （2）DF=2GF.

3.已知ABC Rt ?中，ACB ∠是直角，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，求证：BE CD ⊥.

思维拓展：

如图，平面直角坐标系xoy 内有一矩形OABC,点A 、,C 分别在y x ,的正半轴上，点B 坐标是（4,8），将ABC ?沿AC 折叠，点B 落在点D 处，AD 交OC 与点E. （1）.求证：AOE CDE ???； （2）.求点D 的坐标；

（3）.在直线AC 上是否存在点P ，使CD E PO E S S ??=2,若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，

3），点C 的坐标为（

，

0），点

P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为（） A B C D ．

如图，AB 、CD 相交于点O,且BD=BO,CA=CO,E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。 求证：ME=MF.

如图，ABC ?中，AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,B ∠与C ∠的角平分线交于点P ，EF 经过点P ，且EF ∥BC ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，则EF=cm.

如图，在ABC ?中，ABC ∠的平分线BF 与ACB ∠的外角平分线CF 相较于F ，过点F 作DE ∥BC,交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ，那么BD 、CE 、DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想（不需要证明）.

1

2

如图，AF 是ABC ?的角平分线，AF BD ⊥交AF 的延长线于D ，DE ∥AC 交AB 于E 。 求证：AE=BE.

如图，直线83

4

+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，将ABO ?沿AE 折叠，使点B 落

在x 轴上的点C 处，求直线AE 的解析式。

如图，OP =1，过P 作PP 1⊥OP ，得OP 1=；再过P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1，得OP 2=；又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2；…依此法继续作下去，得OP 2016= ．

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点0M 的坐标为()10，，

将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45 ，再将其延长至点1M ，

使得100M M OM ⊥，得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45 ，再将其延长至点2M ，使得211M M OM ⊥， 得到线段2OM ；如此下去，得到线段3OM 、OM 、OM 、…。

根据以上规律，请直接写出线段2014OM

已知如图，BD 、CE 是ABC ?的高，F 是BC 的中点，G 是ED 的中点。求证：DE FG ⊥

直角三角形存在性

直角三角形的存在性问题代数法 1.写出三边的平方 2.分类列方程 3.解方程 几何法 1.分类 2.画图——“两线一圆” 3.计算

例1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例 2.如图，在直角坐标系中，R t△O A B的直角顶点A在x轴上，O A=4，A B=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O 移动；同时点N从点O出发，以每秒 1.25个单位长度的速度，沿O B 向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0

例 3.(2015·益阳中考)已知抛物线E1：y=x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′. (1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式. (2)如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接O P并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比.

《解直角三角形及其应用》 word版 公开课一等奖教案1

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 解直角三角形及其应用 课题 28.2解直角三角形及其应用1 授课时间 课型 新授 二次修改意见 课时 1 授课人 科目 数学 主备 教学目标 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感态度价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 教材分析 重难点 重点：直角三角形的解法 难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学设想 教法 三主互位导学法 学法 小组合作 教具 三角板，多媒体

本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思

动点直角三角形问题的解法

“动点直角三角形问题”的三种解法 李永红 中考数学压轴题中常会出现“动点直角三角形问题”，如2013年山西、成都、攀枝花、长春、济宁、绵阳、襄阳等省市中考数学试卷中均出现了“动点直角三角形问题”，对于这类问题的解决，即使是数学尖子生也感到很棘手.其实，解决“动点直角三角形问题”有“法”可循，并不算“难”. 一、例题分析 例1 在直角坐标系中，已知点)0,1(A ，)2,0(-B ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转090至AC ，如图1. （1）求点C 的坐标； （2）若抛物线22 12++-=ax x y 经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使ABP ?是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析（1）构造三垂图可求得点C 的坐标为)1,3(-C . （2）①将点C 的坐标代入22 12++-=ax x y 可求得抛物线的解析式为22 1212++-=x x y . ②法1（利用数形结合）： 如图2，易求得直线AC 的解析式为2 121+-=x y . 由??? ????++-=+-=2212121212x x y x y 解得???=-=11y x 或???-==13y x （舍去）.此时点P 的坐标为 )1,1(-. 设过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为b x y +-=2 1，将点

)2,0(-B 代入，得2-=b ，所以过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为 221--=x y .由??? ????++-=--=221212212x x y x y 解得???-=-=12y x 或???-==44y x .此时点P 的坐标为)1,2(--或)4,4(-. 综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法2（构造三垂图）： 如图3，延长CA 交抛物线于点),(1n m P ，过点1P 作x D P ⊥1轴于点D ， 易证DA P 1?∽AOB ?，∴OB AD OA D P =1.∵1=OA ，2=OB ，m AD -=1，n D P =1，∴211m n -=，即m n 2121-=.∵点),(1n m P 在抛物线上，∴22 1212++-=m m n .由??? ????++-=-=2212121212m m n m n 解得???=-=11n m 或???-==13n m （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-. 过点B 作直线AC 的平行线，交抛物线于点2P ，3P .过点2P 作y E P ⊥2轴于点E ，易证2BEP ?∽AOB ?，可求得点2P 的坐标为)1,2(--；过点3P 作y F P ⊥3轴于点F ，易证3BFP ?∽AOB ?，可求得点3P 的坐标为)4,4(-； 综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法3（利用勾股定理）： 设抛物线上存在点)22 121,(2++- m m m P ，使ABP ?是以AB 为直角边的直角三角形.分别利用勾股定理可得52=AB ， ,)22121()1(2222++-+-=m m m AP 2222)42 121(++-+=m m m BP . 当点A 、B 分别为直角顶点时，分别由+2AB =2AP 2BP 、 +2AB 2BP 2AP =得到关于m 的一元四次方程，用已学知识难以求解. 例2 已知抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点)0,3(-A ，)0,1(B ，与y 轴交于点C ，如图4. （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）在抛物线的对称轴l 上存在点Q ，使ACQ ?为直角三角形，请求出点Q 的坐标.

机械制图学习方法

我们怎样学习机械制图 发掘你的潜在能力，开发你的大脑，增强你的空间思维能力及形象思维能力和抽象思维能力。 一、了解机械制图的地位和任务 机械制图是机械类设计人员必须掌握的专业知识中一门实践性较强的技术基础知识，图示方法的掌握、制图标准的应用、绘图技能的提高、制图和读图能力的培养以及空间想象能力的增强，都是通过制图习题和作业要求来实现的。多做练习是学好机械制图的关键，因此要积极独立多做各种练习。不断提高机械制图的投影能力、表达能力、绘图能力、读图能力和计算机绘制能力。 二、学好机械制图的要求和目的 1．加深巩固基本内容； 2．通过练习和实践完成绘图基本技能的训练。 3．用正确的方法完成练习，巩固和提高所学的知识，在日常学习中抽查自己掌握知识的情况； 4．通过大量正确的练习实践来提高绘图技能，养成良好的习惯，有意识地进行基础素质训练。 三、重点内容及其基本要求 第一、制图的基本知识和技能 1．基本要求：通过实训掌握国家标准关于机械制图的基本规定（图幅、比例、字体、图线、尺寸标注）、能正确使用绘图工具和仪器、掌握常用的几何作图方法与平面图形画法，会分析和标注平面图形的尺寸。做到作图准确、图线分明、字体工整、符合国标。 2．内容： 1）图线练习：在a3图纸上抄画线型图。 2）尺寸标注、字体练习、几何作图练习。 3）几何作图大作业：a3图纸上画平面图形 第二、投影的基本知识： 1．基本要求：通过实训了解投影的基本知识和分类，掌握几何元素投影的基本特征和三视图的投影规律以及三视图的画法。培养绘图读图能力，具备初步的空间概念。 2．内容： 1）由轴测图绘三视图线练习。 2）根据已知条件完成物体的三视图练习。 3）根据三视图做模型。（课外完成） 4）根据物体的二视图补画第三视图。 第三、点、直线、平面的投影 1．基本要求：通过实训掌握点的投影规律、直线的投影的概念及各种位置直线的投影特性 会用直角三角形法求线段实长，理解二直线平行、相交、交叉、垂直的一般作图问题、掌握一般位置平面的投影特性、掌握特殊位置平面的投影特性、平面上点和线的一般作图问题。进一步培养空间概念。 2．内容： 1）点的投影练习。 2）直线的投影练习。

直角三角形还求实长

一、组织教学 按时带领学生进入教室，检查学生的考勤情况、学生佩戴标志牌情况，衣着安全情况 二、课题引入： 由上图可见，一般位置直线的三面投影都不反映实长,在这种情况下，就要运用投影的改造的方法，来求出一般位置直线段的实长,才可以进一步对构件的展开。 三、授课内容 课题八；展开放样（一） §2线段实长 求线段实长作展开图 该图有（8）个顶点：分别为1；2；3；4；5；6；7；8； 有（16）条线：分别为1-2；1-4；1-5；1-8；2-3；2-5；2-6；3-4； 3-6；3-7；4-7；4-8；5-6；5-8；6-7；7-8垂直线有：1-2；1-4；2-3；3-4；5-8；6-7平行线 ：没有一般位置直线有：1-5和4-8相等；2-6和3-7相等； 5-6和7-8相等；1-8；2-5；3-6；4-7（需求实长）1 2 3 4 5 6 7 8 1（4） 2（3） 5（8） 6（7） 1（2） 4（3） 5 6 7 8

§2-2求线段实长 （直角三角形） 在构件的展开图上，所有图线（如轮廓线、棱线、辅助线等）都是构件表面上对应线段的实长线。然而，并非构件所有线段在图样中都反映实长，因此，必须能够正确判断线段的投影是否为实长，并掌握求线段实长的一些方法。 求线段实长的方法：1、直角三角形法2、旋转法3、换面法 一、直角三角形法 下图所示为一般位置直线段AB 的直观图。现在分析线段和它的投影之间的关系，以寻找求线段实长的图解方法。过点A 作AC ∥ab ，构成直角三角形ABC ，其斜边AB 是空间线段的实长。两直角边的长度可在投影图上量得：一直角边AC 的长度等于线段的水平投影 ab ；另一直角边BC 是线段两端点A 、B 距水平投影面的距离之差，其长度等于正面投影b ′c ′。 注意：根据实际需要，此法也可以在投影图外作图。 V H X O B A a’ b ’ a b X O a b a ’ b ’ 实长 a ’ X O b ’ a b 实长 X O a ’ b ’ a b 实长

直角三角形存在性问题解决方法汇总

【问题描述】 如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例： 【构造三垂直】 01问题与方法

C3、C4求法相同，以C3为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股 还剩下C1待求，不妨来求下C1： 【解析法】 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1， 可得：kAC=-2， 又直线AC1过点A（1,1）， 可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为（1.5,0）， 即C1坐标为（1.5,0）． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上

方法小结 几何法： （1）两线一圆作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法： （1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2； （4）代入列方程，求解． 02从等腰直角说起 再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 2019兰州中考删减 【等腰直角存在性——三垂直构造全等】 通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下： 【模型迁移】 二次函数y=ax2+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式； （2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．

机械制图习题答案

《机械制图》 （第六版） 习题集答案 第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度 ●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。 第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接 1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。 ●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。 ●正五边形的画法： ①求作水平半径ON的中点M； ②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。 ③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E ④连接五个顶点即为所求正五边形。 2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。 ●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。注意椭圆的对称轴线要规范画。 3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。 5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。 第6页点的投影 1、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律做题。 2、已知点A在V面之前36，点B在H面之上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。 3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的倍。

●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为： A（25，15，20） B（20，10，15） C（35，30，32） D（42，12，12） 5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。） 6、已知点A距离W面20；点B距离点A为25；点C与点A是对正面投影的重影点，y 坐标为30；点D在A的正下方20。补全诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律、空间点的 直角坐标与其三个投影的关系、两点的相对 位置及重影点判断做题。 各点坐标为： A（20,15,15） B（45,15，30） C（20,30,30） D（20,15,10） 第7页直线的投影（一） 1、判断下列直线对投影面的相对位置，并 填写名称。 ●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行判断。（具体参见教P73～77） AB是一般位置直线； EF是侧垂线； CD是侧平线； KL是铅垂线。 2、作下列直线的三面投影： （1）水平线AB，从点A向左、向前，β＝30°，长18。 （2）正垂线CD，从点C向后，长15。 ●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行做题。（具体参见教P73～77） 3、判断并填写两直线的相对位置。 ●该题主要利用两直线的相对位置的投影特性进行判断。（具体参见教P77） AB、CD是相交线； PQ、MN是相交线； AB、EF是平行线； PQ、ST是平行线； CD、EF是交叉线； MN、ST是交叉线；

直角三角形总结

学大教育学科导学案课题直角三角形 学习目标与考点分析直角三角形的定义性质 判定 勾股定理 全等判定 学习重点直角三角形的性质和判定勾股定理的应用 直角三角形的全等判定 学习方法 分单元学习，对应练习巩固，综合练习运用所学 学习内容与过程 一、复习引入 1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题。 互逆定理：如果一个命题的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原命题的逆定理。者两个定理叫做互逆定理。 线段垂直平分性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 2、直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 性质：直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 如果三角形中一边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形，等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45度。 4、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。222c b a =+。 常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 5、直角三角形的判定 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL ） 6、角平分线的性质定理的逆定理 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 二、例题讲解 题型一：直接考查勾股定理 例题1例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑵ 知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 题型二：利用勾股定理测量长度 例题2 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型 后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理 例题3 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 解析： x 2 +1.52 =（ x +0.5）2 解之得x =2. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题4 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 =那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ C B D A

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《机械制图》（第六版） 习题集答案

第 3 页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。

第 4 页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接 1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。 ●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。 ●正五边形的画法： ①求作水平半径ON的中点 M； ②以 M为圆心， MA为半径作弧，交水平中心线于H。 ③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E ④连接五个顶点即为所求正五边形。 2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、 45mm）。 ●参教 P23 四心圆法画椭圆的方法做题。注意椭圆的对称轴线要规范画。

3~4、在平面图形上按1：1 度量后，标注尺寸（取整数）。 5、参照左下方所示图形的尺寸，按1： 1 在指定位置处画全图形。 第6页点的投影 1、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律做题。 2、已知点 A 在 V 面之前 36，点 B 在 H 面之上，点 D 在 H 面上，点 E 在投影轴上，补全诸的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对 位置做题。 3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点 A（ 25，15，20）；点 B 距离投影面 W、V、H分别为 20、10、15；点 C 在 A 之左， A 之前 15，A 之上 12；点 D在 A 之下 8，与投影面 V、H 等距离，与投影面 W的距离是与 H 面距离的倍。

解直角三角形的基本类型及其解法公式

解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结） 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝a b ，求∠A ；∠B ＝90°－A ， c ＝ 2 2b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝a c ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝b cosA cosA 锐角，对边 （如∠A ，a ） ∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝a sinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1 x ι ，tan β＝2x ι ι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α＝ x a +ι tan β＝ x ι ι＝a ·tan α·tan β tan β－tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h ＝2 1a a ，h ＝231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h

第2讲 直角三角形(基础)

直角三角形 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为，那么. 要点诠释： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建 立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . （4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达 哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41…… ②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. ③（是自然数）是直角三角形的三条边长； ④（是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中 ，所以 . 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. a b ，c 222a b c +=2 2 2 a c b =-2 2 2 b c a =-()2 2 2c a b ab =+-222 x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22 1 21n n n -+，，1,n n >2 2 22,21,221n n n n n ++++n 2 2 2 2 ,,2m n m n mn -+,m n m n > 、

直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4

公开课教案解直角三角形

解直角三角形复习课教案 教学目标: 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角 形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解 直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 思想方法： 1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研究 的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的 关系去进行数的运算. 2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使问 题变得清楚明了. 3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的意 义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦” 与“余弦”的互化. 教学重点： 1、锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3、直角三角形的解法． 教学难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 四、考题透视 锐角三角函数在中考中考查的难度不大，分数约4-6分，主要以填空题、选择题出现；解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一，分数达到8～12分不等，分值占的比例较大，应引起足够的重视。 考点一：锐角三角函数的概念 例1（郴州市2007年）如图1在直角三角形ABC 中0 90 = ∠C，则= A sin______． A B C 3 4

考点二：特殊角的三角函数值的计算 例2：计算 考点三：解非直角三角形 例3 ：如图所示，已知:在△ABC中，∠A=600,∠B=450,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。 考点四：解直角三角形的实际问题 例4、一高速铁路即将动工，工程需要测量某一段河的宽度。如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°. （参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）； 1）求所测之河的宽度 2）除图1的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形。 C B A

中考数学直角三角形的存在性问题解题策略

直角三角形的存在性问题解题策略 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例1、 如图1-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝45 ．D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值． 图1-1 【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了． 如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点． 在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝ 45 ，所以BH ＝8．所以BC ＝16． 由EF //AC ，得BF BE BA BC =，即31016BF x +=．所以BF ＝5(3)8x +． 图1-2 图1-3 图1-4 ①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由4cos 5BD B BF ∠= =，得45BD BF =． 解方程45(3)58x x = ?+，得x ＝3．

机械制图习题答案解析

第3页●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。 第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。

第6页点的投影 3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。 ●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为： A（25，15，20） B（20，10，15） C（35，30，32） D（42，12，12） 6、已知点A距离W面20；点B距离点A为25；点C与点A是对正面投影的重影点，y 坐标为30；点D在A的正下方20。补全诸点的三面投影，并表明可见性。

●根据点的三面投影的投影规律、空间点的 直角坐标与其三个投影的关系、两点的相对 位置及重影点判断做题。 各点坐标为： A（20,15,15） B（45,15，30） C（20,30,30） D（20,15,10） 第7页直线的投影（一） 2、作下列直线的三面投影： （1）水平线AB，从点A向左、向前，β＝30°，长18。 （2）正垂线CD，从点C向后，长15。 ●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行做题。（具体参见教P73～77） 3、判断并填写两直线的相对位置。 ●该题主要利用两直线的相对位置的投影特性进行判断。（具体参见教P77） AB、CD是相交线； PQ、MN是相交线； AB、EF是平行线； PQ、ST是平行线； CD、EF是交叉线； MN、ST是交叉线； 5、分别在图（a）、（b）、（c）中，由点A作直线AB与CD相交，交点B距离H面20。 ●图(c)利用平行投影的定比性作图。

直角三角形的定理及规律(新)

直角三角形的定理及知识要点 一、补充定理 直角三角形的定理 1、直角三角形两锐角互余。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 30角所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形中0 直角三角形的逆定理 1、两锐角互余的三角形是直角三角形。 2、一条边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。 30。 4、直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角为0 等腰三角形的定理 1、三角形中等边对等角。 2、三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合为一线。 60。 3、等边三角形三内角都是0 逆定理 1、三角形中等角对等边。 等边三角形的判定 60的三角形是等边三角形。 1、有两个角等于0 2、三个角相等的三角形是等边三角形。 60的等腰三角形是等边三角形。 3、有一个角是0 二、常见的图形及规律 1、Rt△ABC中，若∠A=30°, ∠C=90°, 则 BC:AC:AB=1:3:2。 2、Rt△ABC中，若∠A=45°, ∠C=90°, 则

BC:AC:AB=1:1:2。 三、常见的勾股数 （一）3、4、5序列 ×2：6、8、10 ×10：30、40、50×0.1：0.3、0.4、0.5 1 2 ?：1.5、 2、 2.5 ×3：9、12、15 ×20：60、80、100 ×0.2：0.6、0.8、1.0 ×1 3 ：1、 4 3 、 5 3 ×4：12、16、20 ×100：300、400、500 ×0.3：0.9、1.2、1.5 ×1 4 ： 35 44 、 1、 ×5：15、20、25 ×200：600、800、1000 ×0.4：1.2、1.6、2.0 ×1341 555 ：、、 ×6：18、24、30 ×0.8：2.4、3.2、4.0 （二）由公式22 a m n =-，2 b mn =，22 c m n =+（m n >）推导出的序列 123456… 2 3,4,5 36,8,10 5,12,13 48,15,17 12,16,20 7,24,25 510,24,26 20,21,29 16,30,34 9,40,41 612,35,37 24,32,40 27,36,45 20,48,52 11,60,61 7 14,48,50 25,45,53 40,42,58 33,56,65 24,70,74 13,84,85 …………………… 三、最短路线问题 1、在圆柱体（底面半径为r，高为h）中，从A到B的最短路线为AB=22 )r h π+ （； 2、在长方体（长为a，宽为b，高为h）中， 勾 股 数 n m

一定是直角三角形吗优质课教学设计一等奖及点评

义务教育教科书数学八年级上（北京师范大学出版社） 1.2《一定是直角三角形吗》教学设计 一、教学内容解析 本节课的教学内容是探索勾股定理的逆定理，并能运用它们解决一些简单问题. 《一定是直角三角形吗》是北师大版数学八年级上册第一章第2节的内容. 勾股定理的逆定理属于事实性知识，本节课继探索勾股定理之后，勾股定理应用之前，在本章起着承上启下的作用.同时，勾股定理的逆定理又是初中阶段学生判定直角三角形非常重要的依据. 本节课将勾股定理的条件和结论互相交换得到一个新的命题，探索并证明这个命题是真命题，这也是我们数学中研究问题的常用视角.同时，勾股定理的逆定理是从边的角度判定一个三角形是直角三角形，和前面学过的一些判定方法不同，它是通过数的计算来作形的判断，体现了数形结合的数学思想.探索定理的过程又体现了科学探索的一般方法“特殊验证—大胆猜想—小心求证”，从特殊到一般再回到特殊问题.故学习本节内容有利于培养学生主动提出问题、发现问题、和探索解决问题方法的能力，同时拓展学生思维，体会数形结合的数学思想，同时树立正确、科学的价值观． 所以，本节课的教学重点是：探索并证明勾股定理的逆定理. 二、教学目标设置 根据《课标》要求和教学内容解析，确定本节课教学目标如下： （1）理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念； （2）能根据三角形三边的条件判断三角形是否为直角三角形； （3）经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力；经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力； （4）体验生活中数学的应用价值，感受数学来源于生活并应用于生活，激发学生学数学和用数学的兴趣；在探索过程中体验成功的喜悦，在合作交流的过程中提高团队意识. 三、学生学情分析 从知识上看，学生已经探索并学习勾股定理，知道勾股定理是直角三角形重要的性质，勾股定理是根据“形”的特征得到“数”的关系.同时，七年级学习了全等三角形，知道通过全等三角形可以将数量和位置关系进行转化. 从八年级学生的理解能力和思维特征上看，七年级学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满

直角三角形的存在性问题(教案)

直角三角形的存在性问题（教案） 学习目标： 1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。 2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。 一、课前准备 1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 . 2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 . 【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题. 二、我们一起来探究 如图，A （0，1），B （4，3）是直线12 1 += x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标. （备用图1） （备用图2） 提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？ 三种. （3）分类之后需要做什么？ 画图. （4）解题有哪些方法？ （5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点. 变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值. 【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫. 三、反馈练习 1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有 个.