全国中考真题解析
一次函数与反比例函数的综合应用
一、选择题
1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数a
y x
=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ）
2. （2011?青海）一次函数
y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
3. （2011山东青岛，8，3分）已知一次函数y 1=kx+b 与反比例函数y 2=k
x
在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜﹣1或0＜x ＜3
B ．﹣1＜x ＜0或x ＞3
C ．﹣1＜x ＜0
D ．x ＞3
（2011杭州，6，3分）如图，函数y 1=x -1和函数 y 2=2x 的图象相交于点M （2，m ），N （-1，
n ），若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（ ）
A
B
D
C
A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2 C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2
4.（2011浙江台州，9，4分）如图，双曲线y=m
x
与直线y=kx+b交于点M．
N，并且点M 的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程
m
x
=kx+b的解为（）
A．﹣3，1 B．﹣3，3 C．﹣1，1 D．﹣1，3
5.（2011?丹东，6，3分）反比例函数y=
x
k
的图象如图所示，则一次函数y=kx+k的图象大致是（）
A、B、 C、D、
6.（2011?宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=
3
m
x
在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（）
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。
A、
B 、
C 、
D 、
7. （2011贵州毕节，9，3分）一次函数)0(≠+=k k kx y 和反比例函数)0(≠=k x
k
y 在同一直角坐标系中的图象大致是( )
8. （2011?贵阳10，分）如图，反比例函数y 1=
x
k 1
和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （﹣1，﹣3）、B （1，3）两点，若
x
k 1
＞k 2x ，则x 的取值范围是（ ）
A 、﹣1＜x ＜0
B 、﹣1＜x ＜1
C 、x ＜﹣1或0＜x ＜1
D 、﹣1＜x ＜0或x ＞1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：数形结合。
分析：根据题意知反比例函数和正比例函数相交于A 、B 两点，若要
x
k 1
＞k 2x ，只须y 1＞y 2，在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方x 的取值范围． 解答：解：根据题意知： 若
x
k 1
＞k 2x ，
则只须y 1＞y 2，
又知反比例函数和正比例函数相交于A 、B 两点， 从图象上可以看出当x ＜﹣1或0＜x ＜1时y 1＞y 2， 故选C ．
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=
x
k 中k 的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．
10.（2011广西百色，10，4分）二次函数的图象如图，则反比例函数y =﹣x
与一次函数y =bx +c 的图象在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：根据二次函数的图象，推出a ＜0，c ＜0，顶点坐标都为正值，即可推出，b ＞0，﹣a ＞0，根据反比例函数和一次函数的图形的性质推出反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三，四象限，所以图象大致为B 项中的图象． 解答：解：∵二次函数图象的开口向下， ∴a ＜0，
∵顶点坐标都为正值， ∴a
b
2
＞0， ∴b ＞0， ∴﹣a ＞0，
∴反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限． 故选B ．
点评：本题主要考查反比例函数的图象的性质．二次函数图象的性质．反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a 、b 的取值范围． 11. （2011?恩施州5,3分）一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=
x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（ ）
A 、﹣2＜x ＜0或x ＞1
B 、﹣2＜x ＜1
C 、x ＜﹣2或x ＞1
D 、x ＜﹣2或0＜x ＜1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：数形结合。
分析：根据图象可以知道一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象的交点的横坐标，若y 1＞y 2，则根据图象可以确定x 的取值范围．
解答：解：如图，依题意得一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1， 若y 1＞y 2，则y 1的图象在y 2的上面， x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞1． 故选A ．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．
13. （2011陕西，8，3分）如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与
反比例函数x
y x y 2
4=-=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、
BC ，则△ABC 的面积为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 考点：反比例函数综合题。 专题：计算题。
分析：先设P （0，b ），由直线APB ∥x 轴，则A ，B 两点的纵坐标都为b ，而A ，B 分别在
反比例函数x
y x y 2
4=-=和的图象上，可得到A 点坐标为（﹣，b ），B 点坐标为（，
b ），从而求出AB 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
解答：解：设P （0，b ），∵直线APB ∥x 轴，∴A ，B 两点的纵坐标都为b ，而点A 在反比
例函数y=﹣的图象上，∴当y=b ，x=﹣，即A 点坐标为（﹣，b ），又∵点B 在反
比例函数y=的图象上，∴当y=b ，x=，即B 点坐标为（，b ），∴AB=﹣（﹣）
=，∴S △ABC =?AB?OP=?b=3．
故选A ．
点评：本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式． 二、填空题
1. （2011江苏南京，15，2分）设函数y =2x 与y =x ﹣1的图象的交点坐标为（a ，B ），则11
a b
-的值为 ﹣
1
2
． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。
分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a ，B 的解，整理求得﹣的值即可．
解答：解：∵函数y =
2
x
与y =x ﹣1的图象的交点坐标为（a ，B ），
∴B=2
a
，B=a﹣1，
∴2
a
=a﹣1，
a2﹣a﹣2=0，
（a﹣2）（a+1）=0，解得a=2或a=﹣1，∴B=1或B=﹣2，
∴则11
a b
-的值为
1
2
．
故答案为：1
2
．
点评：考查函数的交点问题；得到2个方程判断出a，B的值是解决本题的关键．
2.（2011江苏苏州，18，3分）如图，已知点A3），AB丄x轴，垂足为
B，连接OA，反比例函数
k
y
x
=
（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，
以点C为圆心，CA的5
4倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是__________（填‖
相离‖，―相切‖或―相交―）．
考点：直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：根据D1），得出反比例函数
k
y
x
=
解析式，再根据A点坐标得出
AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案．
解答：解：∵已知点A3），AB=3BD，
∴AB=3，BD=1，
∴D1），
∴反比例函数
k
y
x
=
解析式为：
y= ，
∴AO 直线解析式为：y=kx ，
3= ，
∴k=
∴y=
，
∴直线y=
与反比例函数y=的交点坐标为：
x=±1，
∴C 点的横坐标为1，
CO=2，
∴，
∴CA 的 5
4倍= 51)2，
CE= ，
∵ 5
1)2-
5
2＞0，
∴该圆与x 轴的位置关系是相交． 故答案为：相交．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交
点坐标的求法，综合性较强得出AC 的长是解决问题的关键．
3. （2011湖北荆州，16，3分）如图，双曲线 y=2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得AB′C ，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 2．
考点：反比例函数综合题；翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD= 12xy，则S△OCB′= 12xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于12ay，即可得出答案．
解答：解：延长BC，交x轴于点D，
设点C（x，y），AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′，
再由翻折的性质得，BC=B′C，
∵双曲线y=2x （x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S△OCD= 12xy=1，
∴S△OCB′= 12xy=1，
∵AB∥x轴，
∴点A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴ay=1，
∴S△ABC= 12ay= 12，
∴S OABC=S△OCB′+S△ABC+S△ABC=1+ 12+ 12=2．
故答案为：2．
点评：本题是一道反比例函数的综合题，考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质，是中考压轴题，难度偏大．
4.（2011广西崇左，8，2分）若一次函数的图象经过反比例函数x
y 4
-
=图象上的两点（1，m ）和（n ，2），则这个一次函数的解析式是 ．
考点：待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征． 分析：一次函数的图象经过反比例函数x
y 4
-
=图象上的两点（1，m ）和（n ，2），先代入求出m ，n 的值，再用待定系数法可求出函数关系式． 解答：解：（1，m ）和（n ，2）在函数x
y 4
-
=图象上，因而满足函数解析式， 代入就得到m =﹣4，n =﹣2，
因而点的坐标是（1，4）和（﹣2，2）， 设直线的解析式是y =kx +b ， 根据题意得到?
?
?=+-=+224
b k b k ，
解得???
????
=-=31432b k ．
因而一次函数的解析式是3
14
32+-
=x y ． 点评：本题主要考查了函数解析式与图象的关系，函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．
5.（2011湖北黄石，15,3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数x
y 1
=的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是04
1
<<-
k ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题；数形结合。 分析：因为反比例函数x
y 1
=
的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+b 中，k ＜0，解方程组?????=+=x y b kx y 1
求出当直线与双曲线只有一个交点时，k 的值，再确定无公共点时k 的取值范围．
解答：解：由反比例函数的性质可知，x
y 1
=
的图象在第一、三象限， ∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k ＜0，
解方程组??
???=+=x y b
kx y 1
，得kx 2
+x ﹣1=0，
当两函数图象只有一个交点时，△=0，即1+4k=0，解得4
1
-=k ， ∴两函数图象无公共点时，04
1
<<-k ． 故答案为：04
1
<<-
k ． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据形数结合，判断无交点时，图象的位置与系数的关系，找出只有一个交点时k 的值，再确定k 的取值范围． 6.（2011成都，25，4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数x
k
y 2=
(0≠k )满足：当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线k x y 3+-=都经过点P ，且7=
OP ，则实数3
7=
k ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。 分析：由反比例函数y ＝
x
k
2当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，可判断k ＞0，设P （x ，y ），则P 点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy ＝2k ，x ＋y ＝3k ，又OP 2＝x 2＋y 2，将已知条件代入，列方程求解． 解答：解：∵反比例函数y ＝
x
k
2当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴k ＞0， 设P （x ，y ），则xy ＝2k ，x ＋y ＝3k ， 又∵OP 2＝x 2＋y 2，
∴x 2＋y 2＝7，即（x ＋y ）2－2xy ＝7， （3k ）2－4k ＝7， 解得k ＝3
7
或－1，而k ＞0， ∴k ＝
3
7． 故答案为：
3
7． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据交点坐标满足反比例函数．一次函数解析式，列方程组求解．
7.（2011?包头，18，3分）如图，已知A （﹣1，m ）与B （2，m+33）是反比例函数y=的图象上的两个点，点C 是直线AB 与x 轴的交点，则点C 的坐标是 （1，0） ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。
分析：根据反比例函数的性质，横纵坐标的乘积为定值，可得出关于k 、m 的两个方程，即可得出反比例函数的解析式，从而得出点C 的坐标．
解答：解：∵A （﹣1，m ）与B （2，m+33）是反比例函数
y=的图象上的两个点，
∴??
?=+=-k
m k m )33(2，解得k=23，m=﹣23，
∴A （﹣1，﹣23）与B （2，3） 设直线AB 的解析式为y=ax+b ，
∴?????=+-=+-3232b a b a ，∴?????-==3
3b a ， ∴直线AB 的解析式为y=3x ﹣3， 令y=0，解得x=1， ∴点C 的坐标是（1，0）． 故答案为（1，0）．
点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；求一次函数和x 轴的交点坐标．
8. （2011浙江宁波，18，3）正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝
x
2
（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝
x
2
（x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标
考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。
分析：作P 1⊥y 轴于C ，P 2⊥x 轴于D ，P 3⊥x 轴于E ，P 3⊥P 2D 于F ，设P 1（a ，a
2
），则CP 1
＝a ，OC ＝
a
2
，易得Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ，则OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ，所以OA 1＝B 1C ＝P 2D ＝
a 2－a ，则P 2的坐标为（a 2，a 2－a ），然后把P 2的坐标代入反比例函数y ＝x
2，得到a 的方程，解方程求出a ，得到P 2的坐标；设P 3的坐标为（b ，b
2
），易得Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E ，则P 3E ＝P 3F ＝DE ＝
b 2，通过OE ＝OD+DE ＝2+b
2
＝b ，这样得到关于b 的方程，解方程求出b ，得到P 3的坐标．
解答：解：作P 1⊥y 轴于C ，P 2⊥x 轴于D ，P 3⊥x 轴于E ，P 3⊥P 2D 于F ，如图，
设P 1（a ，
a 2），则CP 1＝a ，OC ＝a
2
， ∵四边形A 1B 1P 1P 2为正方形， ∴Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ， ∴OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ， ∴OA 1＝B 1C ＝P 2D ＝a 2－a ，∴OD ＝a+a 2－a ＝a
2
， ∴P 2的坐标为（
a 2，a
2
－a ）， 把P 2的坐标代入y ＝x 2（x ＞0），得到（a 2－a ）?a
2
＝2，解得a ＝－1（舍）或a ＝1， ∴P 2（2，1）， 设P 3的坐标为（b ，
b
2）， 又∵四边形P 2P 3A 2B 2为正方形， ∴Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E ，
∴P 3E ＝P 3F ＝DE ＝b 2，∴OE ＝OD+DE ＝2+b
2
， ∴2+
b 2＝b ，解得b ＝1－3（舍），b ＝1+3，∴b 2
＝3
12+＝3－1， ∴点P 3的坐标为 （3+1，3－1）． 故答案为：（3+1，3－1）．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
9. （2011浙江衢州，15，4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，
斜边AO =10，si n ∠AOB =
35，反比例函数(0)k
y k x
=>的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为 （8，3
2
） ．
考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。
分析：由斜边AO =10，si n ∠AOB =
3
5
，根据三角函数的定义可得到AB =6，再由勾股定理得到OB =8，即得到A 点坐标为（8，6），从而得到AO 的中点C 的坐标，代入反比例函数解析式确定k ，然后令x =8，即可得到D 点的纵坐标． 解答：解：∵斜边AO =10，si n ∠AOB =3
5
， ∴sin ∠AOB =3
105
AB AB OA ==， ∴AB =6，
∴OB ， ∴A 点坐标为（8，6）， 而C 点为OA 的中点， ∴C 点坐标为（4，3），
又∵反比例函数(0)k
y k x
=
>的图象经过点C ， ∴k=4×3=12，即反比例函数的解析式为y =12
x
，
∵D 点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8， ∴当x =8，y =
128=3
2
，
所以D 点坐标为（8，32
）． 故答案为（8，
32
）． 点评：本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式；也考查了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标．
10. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB =60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k
y x
=
．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′． （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 （4，0） ；
（2）设P （t ，0），当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 4≤t ≤
考点：反比例函数综合题；解二元一次方程组；根的判别式；解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。 专题：计算题。
分析：（1）当点O ′与点A 重合时，即点O 与点A 重合，进一步解直角三角形AOB ，利用轴对称的现在解答即可；
（2）求出∠MP ′O =30°，得到OM =
1
2
t ，OO ′=t ，过O ′作O ′N ⊥X 轴于N ，∠OO ′N =30°，求出O ′的坐标，同法可求B ′的坐标，设直线O ′B ′的解析式是y =k
x +b
，代入得得到方程组
1
222
tk b t k b
=++-=+，求出方程组的解即可得到解
析式y =
（
-）x
﹣4t 2+
2，求出反比例函数的解析式y
=x
，代入上式整理得出方程（
﹣
x 2
+
2
）x ﹣，求出方程的判别式b 2
﹣4ac ≥0，求出不等式的解集即可． 解答：解：（1）当点O ′与点A 重合时
∵∠AOB =60°，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的
像是O ′B ′． AP ′=OP ′，
∴△AOP ′是等边三角形， ∵B （2，0）， ∴BO =BP ′=2，
∴点P 的坐标是（4，0）， 故答案为：（4，0）．
（2）解：∵∠AOB =60°，∠P ′MO =90°， ∴∠MP ′O =30°， ∴OM =
1
2
t ，OO ′=t ， 过O ′作O ′N ⊥X 轴于N ， ∠OO ′N =30°， ∴ON =
12t ，NO
′=， ∴O ′（
12t
，2
t ）， 同法可求B ′的坐标是（
﹣
，
设直线O ′B ′的解析式是y =k x +b
，代入得；1
222
tk b t k b
=++-=+，
解得：2k b ?=-????=??， ∴y =（
）x ﹣
t 2
+
t ，
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB
∴A（2，，代入反比例函数的解析式得：
∴y（﹣x2+2）x﹣，
(+﹣4（﹣?（﹣≥0，
b2﹣4ac=22
解得：t≥﹣
∵当点O′与点A重合时，点P的坐标是（4，0）
∴4≤t≤2错误！未找到引用源。或﹣2错误！未找到引用源。≤t≤4，
故答案为：4≤t≤2错误！未找到引用源。或﹣2错误！未找到引用源。≤t≤4．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
三、解答题
三角形的面积公式．
2. （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l 1的方程为y ＝－x ＋l ，直线l 2的方程为
y ＝x ＋5，且两直线相交于点P ，过点P 的双曲线k
y x
=与直线l 1的另一交点为Q （3，M ）．
（1）求双曲线的解析式． （2）根据图象直接写出不等式
k
x
＞－x ＋l 的解集．
考点：反比例函数的解析式，函数图象的交点，一次函数与反比例函数的综合，利用图象解不等式
专题：一次函数与反比例函数的综合 分析：（1）要确定双曲线k
y x
=
的解析式，关键是确定图象上点P 的坐标，而点P 是直线1y x =-+与5y x =+的交点，建立方程组即可求得交点坐标；
（2）要求不等式k
x
＞－x ＋l 的解集，表现在图象上就是确定当x 在何范围内取值时，双曲线k
y x
=
的图象在直线1y x =-+的上方． 解答：（1）依题意：1,
5.y x y x =-+??=+?
解得：2,3.x y =-??
=?
，∴P （－2，3）．
把P （－2，3）代入k y x =
，得3,62
k
k =
=--．
∴双曲线的解析式为：y ＝6x
-
（2）－2＜x ＜0或x >3．
点评：（1）确定反比例函数k
y x
=
的解析式，只需确定其图象上一点()00,x y ，则
00k x y =．
（2）利用图象比较反比例函数的值与一次函数的值的大小时， 要充分利用数形结合思想进行分析判断，要注意把反比例函数图象与一次函数图象的交点作为界点进行分析，还应注意反比例函数中自变量0x ≠的性质．
3. （2011?南通）如图，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线y ＝m
x
（x ＞0）交于点B (2，1)，过点P (p ，p －1)（p ＞1）作x 轴的平行线分别交曲线y ＝m x （x ＞0）和y ＝－m x
（x ＜0）于M ，N 两点.
（1）求m 的值及直线l 的解析式；
（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △APM ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由.
考点：反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。
分析：（1）将点B 的坐标代入即可得出m 的值，设直线l 的解析式为y=kx+b ，再把点A 、B 的坐标代入，解方程组求得k 和b 即可得出直线l 的解析式；
（2）根据点P 在直线y=2上，求出点P 的坐标，再证明△PMB ∽△PNA 即可； （3）先假设存在，利用S △AMN=4S △AMP ．求得p 的值，看是否符合要求．
【解】（1）∵点B (2，1)在双曲线y ＝
m x 上，∴12
m
=，得m ＝2. 设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b
∵直线l 过A (1，0)和B (2，1)∴021k b k b +=??+=?，解得1
1
k b =??=-?
∴直线l 的解析式为y ＝x －1.
(2) 证明：当x ＝p 时，y ＝p －1，点P (p ，p －1)（p ＞1）
在直线l 上，如右图.
∵P (p ，p －1)（p ＞1）在直线y ＝2上，∴p －1＝2，解得p ＝3∴P (3，2) ∵PN ∥x 轴，∴P 、M 、N 的纵坐标都等于2 把y ＝2分别代入双曲线y ＝
2x 和y ＝2x -，
解答：得M (1，2)，N (-1，2)
2013中考一次函数应用题 1、（2013?十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（） 2、（2013哈尔滨）梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法： ①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克； ②一次购买30千克种子时，付款金额为100元； ③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格 打五折： ④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花 25元钱． 其中正确的个数是( )． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D) 4个 3、（2013?孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻 开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水 管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水 量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完． 4、（2013?黄冈）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡 逻．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一 段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速 前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时） 的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是． 5、（2013?十堰）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的 （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
3 反比例函数的应用 教材跟踪训练 （一）填空题：（每空2分，共12分） 1．长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的 函数关系，y写成x的关系式是。 2．A、B 途中是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h， 那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式 是。 3．如图，根据图中提供的信息，可以写出正比例函数的关系式 是；反比例函数关系式是。 （二）选择题（5′×3＝15′） 1．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm） 之间的函数关系用图象来表示是。 2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A：小明完成100m赛跑时，时间t（s）与跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。 B：菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系。 C：一个玻璃容器的体积为30L 间的关系。 D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。 3．如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、 B、C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、 S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 A：S1＝S2＞S3B：S1＜S2＜S3 C：S1＞S2＞S3D：S1＝S2＝S3 x y -1 O 2 x y B A O C
（三）解答题（共21分） 1．（12分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。 ①请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 ②写出此函数的解析式 ③若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ ④如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 2．（9分）如图正比例函数y=k 1x 与反比例函数x y 2 交于点A ，从A 向x 轴、y 轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。 ①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。 ③求△ODC 的面积。 D x y B A O C
中考数学专题训练（函数综合） 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． （ 图四）
5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 为)1m ，（，且3 二次函数综合题型精讲精练 主讲：姜老师 题型一：二次函数中的最值问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点． （1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式； （2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值． 解析：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中，得 解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x 2+x ． （2）由y=﹣x 2+x=﹣（x ﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ， 在Rt △ABN 中，AB== =4 ， 因此OM+AM 最小值为 ． 方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A 、B ，求AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点A 关于这条直线的对称点A ’，将点B 与A ’连接起来交直线与点M ，那么A ’B 就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B ’，将点A 与B ’连接起来交直线与点M ，那么AB ’就是AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A A B B M 或者 M A ’ B ’ 例2：已知抛物线1C 的函数解析式为2 3(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，方程 230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。 （1）求抛物线1C 的顶点坐标. （2）已知实数0x >，请证明：1x x + ≥2,并说明x 为何值时才会有1 2x x +=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C ，设1(,)A m y ，2(,)B n y 是2 C 上的两个不同点，且满足：0 90AOB ∠=，0m >，0n <.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ， 三、解答题 1．（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形. （1）求函数y ＝43 -x ＋3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数y ＝4 3 -x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积. 【答案】 解：(1) ∵ 直线y ＝43 - x ＋3与x 轴的交点坐标为（4,0），与y 轴交点坐标为（0,3）， ∴函数y ＝4 3 -x ＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5. (2) 直线y ＝4 3 -x ＋b 与x 轴的交点坐标为（b 34,0），与y 轴交点坐标为（0,b ）， 当b >0时,163 534=++b b b ，得b =4，此时,坐标三角形面积为332 ； 当b <0时，163 534=---b b b ，得b =－4，此时,坐标三角形面积为332 . 综上,当函数y ＝43 -x ＋b 的坐标三角形周长为16时,面积为3 32． 2．（2010江西）已知直线经过点（1，2）和点（3，0），求这条直线的解读式. 【答案】解：设这直线的解读式是(0)y kx b k =+≠，将这两点的坐标（１，２）和（３， ０）代入，得2,30,k b k b +=?? +=?，解得1, 3, k b =-??=? 所以，这条直线的解读式为3y x =-+． 3．（2010北京）如图，直线y =2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B . ⑴ 求A ，B 两点的坐标； ⑵ 过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP =2OA ， 求ΔABP 的面积. A y O B x 第21题图 课时21．函数的综合应用（1） 【课前热身】 1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________ 3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则 菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围） 4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 5．函数2y kx =-与k y x = （k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） 【考点链接】 1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 【典例精析】 例1如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动， 直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． ⑴ 写出y 与x 的关系式； ⑵ 当x=2，3.5时，y 分别是多少？ ⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求 抛物线顶点坐标、对称轴. 例2 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. A B C D （第3题） 菜园 墙 中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A ° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A x (1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22 10 y(元) x(千克) 40 30 30 20 (4)y=5x-3 (3)y=x-3 (2)y=4x (1)y=-3x+1 一次函数复习 考点1：一次函数的概念 1、下列函数中，不是一次函数的是 ( ) A、 6 x y= B、x y- =1 C、 x y 10 = D、()1 2- =x y 2、若函数是一次函数，则 m= 。 3、若函数是正比例函数，则n= 。 4、若一次函数的图象经过一、二、三象限，则 m的取值范围 是。 5、思考：一次函数图象是什么？图象有什么性质？ 考点 1 2 其中过原点的直线是________； 函数y随x的增大而增大的是__________； 函数y随x的增大而减小的是___________ 图象在第一、二、三象限的是________ 3、根据下列一次函数y=kx+b(k≠0)的草图回答出各图中k、b的符号： 考点3：用待定系数法求函数解析式 1、已知一次函数y = k x+b，当x=2时, y=－１，当x=０时, y=３，求这个一次函数的解 析式. 2、如图,求直线的解析式?。 考点4：一次函数的应用 1、（2007年成都）火车站托运行李费用与托运行李的重量关系如图所示。 （1）当x=30时，y=_______; 当x=_______,y=30。 （2）你能确定该关系所在直线的函数解析式吗？ （3）当货物不超过千克，可免费托运。 1 23- =+m x y ()1 3- + - =n x y ()3 1+ + =x m y 会员卡租书卡y(元)x(天)50201000 )2、（2007南京）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡。使用这两种卡租书，租书金额y （元）与租书时间x （天）之间的关系如图所示。 （1）分别求租书卡和会员卡租书的金额y （元）与租书时间x （天）之间的函数关系式； （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ 拓展延伸： 1、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，雉城镇制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），用户每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其函数图象如图所示。 （1）观察图象，求出函数在不同范围内的解析式； 说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准； （2）若一用户5月份交水费12.8元，求他用了多少吨水？ 2、（2006南平）近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。大陆相关部门于2005年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施,扩大了台湾水果在大陆的销售。 : ①写出y 与x 间的函数关系式； ②如果凤梨的进价是20元/千克，某天的销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？ ③目前两岸还未直接通航,运输要绕行,需耗时一周(七天),凤梨最长的保存期为一个月(30天),若每天售价不低于30元/千克,问一次进货最多只能是多少千克? 反比例函数与一次函数的综合应用 开心哈哈 一次函数k与b, k不为0来才成立; b为0来正比例, b不为0来一般地; 反比例函数k值, k不为0来才存在; 不与坐轴打交道, 与一次函数常相守; 两者结合请注意, 性质图像不相忘. 制胜装备 1、巩固一次函数和反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象． 2、巩固反比例函数图象的变化其及性质并能运用解决某些实际问题． 战前总动员 远山 苏格拉底和拉克苏相约，到很远很远的地方去游览一座大山。据说，那里风景如画，人们到了那里，会产生一种飘飘欲仙的感觉。 许多年以后，两人相遇了。他们都发现。那座山太遥远太遥远。他们就是走一辈子，也不可能到达那个令人神往的地方。 拉克苏颓丧地说：“我用尽精力奔跑过来，结果什么都不能看到，真太叫人伤心了。” 苏格拉底掸了掸长袍上的灰尘说：“这一路有许许多多美妙的风景，难道你都没有注意到？” 拉克苏一脸的尴尬神色：“我只顾朝着遥远的目标奔跑，哪有心思欣赏沿途的风景啊！” “那就太遗憾了。”苏格拉底说，“当我们追求一个遥远的目标时，切莫忘记，旅途处处有美景！” 战况分析 重点: 一次函数和反比例函数的性质在实际中的应用 难点: 数学建模思想在函数中的应用 易错点: 反比例函数的定义及性质理解不透,忽略条件 扫清障碍 1、一次函数、正比例函数的概念及联系。 一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成＿＿＿＿＿＿＿ (k 、b 为常数，k ≠0)形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）。特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数。即正比例函数是一次函数的特殊情况。 2、一次函数图象的特征（y = kx + b ，k ≠0，b ≠0） （1）一次函数的图象不过原点，和两坐标轴相交，它是经过点（0，b ），（－b k ，0）的一条直线。正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点（0,0）的一条直线。 （2）一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）图象是平行于直线y ＝kx （k ≠0）且过（0，b ）的一条直线。 3、如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 （ ）的形式，自变量x ，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的其它表示形式： 。 4、反比例函数 （k ≠0）的图象是 。 当k ＞0时，两支曲线分别位于 象限内，并且在每一个象限内y 值随着x 值的增大而 ； 当k ＜0时，两支曲线分别位于 象限内，并且在每一个象限内y 值随着x 值的增大而 。 5、双曲线 与坐标轴是否存在交点？答： 。 小试牛刀 1、(03辽宁) 已知一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数错误!未找到引用源。的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限 2、（09年广东）如图能表示错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。(k ≠0)在同一坐标系中的大致图象是（ ） . 3. x k y =x k y =O x y A C O x y D x y o O x y B 初三中考函数综合题汇总 抛物线bx ax y +=2 （0≠a ）经过点)4 91(，A ，对称轴是直线2=x ，顶点是D ，与x 轴正半轴的交点为点B ． 【2013徐汇】 （1）求抛物线bx ax y +=2 （0≠a ）的解析式和顶点D 的坐标； （6分） （2）过点D 作y 轴的垂线交y 轴于点C ，点M 在射线BO 上，当以DC 为直径的⊙N 和 以MB 为半径的⊙M 相切时，求点M 的坐标． （6分） 【2013奉贤】如图，已知二次函数mx x y 22 +-=的图像经过点B （1,2），与x 轴的另一个交点为A ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ，过点B 作直线BM ⊥x 轴垂足为点M ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线BM 上有点P （1， 2 3），联结CP 和CA ，判断直线CP 与直线CA 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E ，使得以A 、C 、P 、E 为 顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E 的坐标； 若不存在，请说明理由。 第24题 【2013长宁】如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y sin ∠ABO= 5 3 ，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C （1）求直线AB 和抛物线的解析式； （2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P △ADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 再以D 为圆心，DO 长为半径画⊙D ，判断⊙A 置关系，并说明理由. 【2013嘉定】已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++= 2 2 1经过点)0,3(-A 、)2 3,0(-C . （1）求该抛物线顶点P 的坐标； （2）求CAP ∠tan 的值； （3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点， 点Q 的横坐标为t ， 当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示 △QAC 的面积. 【2013金山】以点P 为圆心PO 长为半径作圆交 x 轴交于点A 、O 两点，过点A 作直线AC 交 y 轴于点C ,与圆P 交于点B ， 5 3 sin = ∠CAO (1) 求点C 的坐标； (2) 若点D 是弧AB 的中点，求经过A 、D 、 O 三点的抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的解析 式； (3) 若直线)0(≠+=k b kx y 经过点 )0,2(M ，当直线)0(≠+=k b kx y 与圆P 相交时，求b 的取值范围． 图7 §3.2一次函数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·四川泸州，10，3分)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是() 解析∵x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4－4(kb＋1)＞0，解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k<0，b＝0，即kb＝0，故D不正确． 答案B 2．(2015·山东潍坊，5，3分)若式子k－1＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k －1)x＋1－k的图象可能是() k －1＋(k －1)0 有意义，∴? 的汽油大约消耗了1，可得：1 ×60÷100＝0.12(L/km)，60÷0.12＝500(km)，所 解析 ∵式子 ??k －1≥0， ??k －1≠0， 解得 k >1，∴k －1>0，1－k <0，∴一次函数 y ＝(k －1)x ＋1－k 的图象可能是 A. 答案 A 3．(2015· 山东济南，6，3 分)如图，一次函数 y 1＝x ＋b 与一次函数 y 2＝kx ＋4 的图象交于点 P(1，3)， 则关于 x 的不等式 x ＋b >kx ＋4 的解集是 ( ) A ．x >－2 C ．x >1 B ．x >0 D ．x <1 解析 当 x >1 时，x ＋b >kx ＋4，即不等式 x ＋b >kx ＋4 的解集为 x>1. 答案 C 4．(2015· 四川广安，9，3 分)某油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 1 km 时，油箱中的汽油大约消耗了5，如果加满汽油后汽车行驶的路程为 x km ， 油箱中剩油量为 y L ，则 y 与 x 之间的函数解析式和自变量 x 的取值范围分别 是 ( ) A ．y ＝0.12x ，x ＞0 B ．y ＝60－0.12x ，x ＞0 C ．y ＝0.12x ，0≤x ≤500 D ．y ＝60－0.12x ，0≤x ≤500 解析 因为油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 km 时，油箱中 5 5 以 y 与 x 之 间 的 函 数 解 析 式 和 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ： y ＝ 60 － 反比例函数的图像和性质的综合应用 【基础知识精讲】 1、反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y= k x （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 反比例函数y= k x （k≠0）还可以写成：①1 -=kx y （k≠0） ②k xy =（k≠0）. 2、反比例函数的概念需注意以下几点：（1） k 为常数，k≠0； （2） k x 中分母x 的指数为1；(3) 自变量x 的取值范围是x≠0的一切实数； （4） 因变量y 的取值范围是y≠0的一切实数． 3、反比例函数的图象． 4、反比例函数y=k x 具有如下的性质: 性质1、反比例函数k y x = （0k ≠）（1）当0k >时，图象在一、三象限；在每个象限内，y 随x 增大而减小；（2）、当0k <时，图象在二、四象限；在每个象限内，y 随x 增大而增大； 性质2、反比例函数k y x = （0k ≠）的图象是中心对称图形，也是轴对称图形； 因此， 当点P （a ，b ）在图象上时，Q （－a ，－b ）和R （b ，a ）也在图象上。 5、反比例函数y= k x （k≠0）中k 的几何意义： 过函数 y= k x （k≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积 S 矩形=∣xy ∣=∣k ∣, S △POM =2 1 ∣k ∣。 一、【基础训练】 1. 反比例函y= 5 m x -的图象的两个分支分别在第二、四象限内,那么m 的取值范围是( ) <0 >0 C.m<5 >5 2. 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是反比例函数y=- 2 x 图象上的两点,若x 1 初三中考数学函数综合 题汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 初三中考函数综合题汇总 1、抛物线bx ax y +=2（0≠a ）经过点)4 9 1(，A ，对称轴是直线2=x ，顶点是D ，与x 轴正半轴的 交点为点B ． （1）求抛物线bx ax y +=2（0≠a ）的解析式和顶点D 的坐标； （2）过点D 作y 轴的垂线交y 轴于点C ，点M 在射线BO 上，当以DC 为直径的⊙N 和以MB 为半径的⊙M 相切时，求点M 的坐标． 2、如图，已知二次函数mx x y 22+-=的图像经过点B （1,2），与x 轴的另一个交点为A ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ，过点B 作直线BM ⊥x 轴垂足为点M ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线BM 上有点P （1， 2 3 ），联结CP 和CA ，判断直线CP 与直线CA 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E ，使得以A 、C 、P 、E 角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E 3、如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，O 是坐标原点，A （-3，0）且sin ∠ABO=5 3 ，抛物 线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C 三点，C （-1，0）. （1）求直线AB 和抛物线的解析式； （2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P ，使得△ABO 和△ADP 相似，求出点P 的坐标； 第24题 3 （3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 长为半径画⊙A ，再以D 判断⊙A 和⊙D 的位置关系，并说明理由. 4、已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221（1）求该抛物线顶点P 的坐标； （2）求CAP ∠tan 的值； （3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ， 当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积. 5、以点P 为圆心PO 长为半径作圆交x 轴交于点A 、O 两点，过点A 作直线AC 交y 轴于点C ,与圆 P 交于点B ，5 3 sin = ∠CAO (1) 求点C 的坐标；(2) 若点D 是弧AB 的中点，求经过A 、D 、O 三点的抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式；(3) 若直线)0(≠+=k b kx y 经过点)0,2(M ，当直线 )0(≠+=k b kx y 与圆P 相交时，求 b 的取值范围． 图 1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点 B 在点 C 左侧）. （1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标； （2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点E (1,2)--，求直线DE 的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围． 2.已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2 224y x ax =-+（其中a ＞2）． （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若2 5 = a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围． 3.在平面直角坐标系中，抛物线2+3 y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛 物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由. 4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 经过 ， 两点. （1）求抛物线及直线AB 的解析式； （2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围． 5.已知关于x 的方程()2 31220mx m x m --+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于x 的二次函数()2 3122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线 1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线 2C 的解析式； （3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值． 中考数学一次函数有关的试题精选 1．（2010山东德州）某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是 （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 【答案】A 2( 2010重庆市)小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（） 答案：B 3（2010年浙江省东阳县）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（） 【答案】A 4（2010年四川省眉山）某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系对应的图象大致为 【答案】D (A) (B) (C) (D) t h O t h O t h O h t O 深 水 区 浅水区O y x O x y O y x O x y 5．(2010年安徽省芜湖市)要使式子 a＋2 a 有意义，a的取值范围是（） A．a≠0 B．a＞－2且a≠0 C．a＞－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0 【答案】D 6 (2010重庆市潼南县)已知函数y= 1 1 - x 的自变量x取值范围是（）A．x﹥1 B．x﹤-1 C. x≠-1 D. x≠1 答案：C 7．(2010重庆市)小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（） 答案：B 8．（2010年浙江台州市）函数 x y 1 - =的自变量x的取值范围是▲ ． 【答案】0 ≠ x 9．（2010年益阳市）如图2，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是 Ａ． B． C． D．【答案】A 10．（2010江苏泰州，13，3分）一次函数b kx y+ =（k为常数且0 ≠ k）的图象如图所示，则使0 > y成立的x的取值范围为． 火车隧道 o y x o y x o y x o y x 2 图 专训1 反比例函数与几何的综合应用 名师点金:解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组),解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值. 反比例函数与三角形的综合 1.如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6(x>0)的图象交于 A(m,6),B(3,n)两点. (1)求一次函数的解析式; (2)根据图象直接写出使kx ＋b (第3题) 反比例函数与矩形的综合 4.如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别就是(4,0)与(0,2),反比例函数y ＝x k (x>0)的图象过对角线的交点P 并且与AB, (第4题) BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________. 5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB 、 (1)求证:四边形AEBD 就是菱形; (2)如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式. (第5题) 反比例函数与菱形的综合 6.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象 (第6题) 经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为( ) A .2 B .4 C .2 D .4 7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长． 注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣ ． 【答案】（1）y=-2x-3；（2）． 【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长． 试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点 E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE= = ．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×= ．∴ 线段FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理． 2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线 y x m =+过顶点C 和点B ． 2014中考数学一次函数图像与应用题汇总 （鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD 对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）． （?黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离 甲地的距离为 1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、 2y 关于x 的函数图像如右图所示： （1）根据图像，直接写出 1y 、2y 关于x 的函数关系式； （2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式； （3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入 B 加油站，求A 加油站离甲地的距离. （长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停 工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为线段OA ，乙队铺设完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为折线BC -CD -DE ，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长． ) 专训2 反比例函数与一次函数的综合应用 名师点金：反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数表达式及求与函数图象有关的几何图形的面积等． 反比例函数图象与一次函数图象的位置判断 1．【2015·兰州】在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的 图象大致是( ) 2．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如 图所示，则k ，b 的取值范围是( ) A ．k >0，b >0 B ．k <0，b >0 C ．k <0，b <0 D ．k >0，b <0 (第2题) (第3题) (第4题) 反比例函数与一次函数的图象与性质 3．(中考·仙桃】如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2 x 的图象交于A (1，2)，B 两点，给出下列结论： ①k 1 4．已知函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4 x (x >0)的图象如图所示，则以下结论： ①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)； ②当x >2时，y 1>y 2； ③当x ＝1时，BC ＝2； ④两函数图象构成的图形是轴对称图形； ⑤当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________． 反比例函数与一次函数的有关计算 类型1 利用点的坐标求面积 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝4 x 在第一象限内交于点C (1，m )． (1)求m 和n 的值； (2)过x 轴上的点D (3，0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝4 x 交于点 P ，Q ，求△APQ 的面积． (第5题)(完整版)中考数学函数综合题型及解题方法讲解
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