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2010考研数学基础班讲义-微积分第04讲_微分学基本定理及应用

基础班微积分第4章微分学基本定理及应用

4.1 引言

微分学基本定理的首要背景是研究可导函数)(x f y =在某点处取得极值的问题。函

数在处取得极值(应该说是局部极值——微观性态)的基本事实是在处的函数增量0x )(x f y =0x x =0x x =)()()(000x f x x f x f ?Δ+=Δ在附近(或者说两侧)为定号，即恒为正或恒为负。以在处取得极大值情况来分析0x 0x )(x f y =在附近(某0x ),(0δx N 邻域)的微观性态如下：

设在处可导，在处取得极大值，即在)(x f 0x 0x ),(0δx N 内的任意x 处应有

，由此可知)()(0x f x f ≤0)()(0≤?=Δx f x f f ，即在),(0δx N 内偏离时，函数取值会变小，于是可知： 0x )

(x f 若，

0x x >0)()(0

00≤??Δ+=ΔΔx x x f x x f x f

。由极限的保序性便得到 0lim 0

≤ΔΔ+→Δx

x ，。 0)(0≤′+x f

当，则

0x x <0)()(00≥??=ΔΔx x x f x f x f 。0lim 0≥ΔΔ?→Δx

f x ，，

0)(0≥′?x f 于是我们有并且。由此断定，这便是费马定理的结论。 0)(0≥′x f 0)(0≤′x f 0)(0=′x f 由费马定理可以直接导出导数零点定理，并且可以导出其余几个微分学基本定理。 4.2 微分中值定理

定理4.1 费马定理(Fermat 定理，可导函数取得极值的必要条件)

设满足：1°在某邻域)(x f ),(0δx N 内有定义，

并且),(0δx N x ∈?有(或；2°在处可导，则。

)()(0x f x f ≤))(0x f ≥0x 0)(0=′x f 例4.1 证明导数零点定理

导数零点定理设函数在上可导，并且)(x f y =],[b a 0)()(<′′?+b f a f 。则必

，使得(在处有水平切线)。

),(0b a x ∈?0)(0=′x f 0x

思路：在两点异号，若)(x f ′b a ,0)(<′+a f ，由局部比较性质，则在)(x f a x =右侧

有使得，因此不是的最小值点；而1x )()(1a f x f <)(a f )(x f 0)(>′?b f ，同样在左侧有使得b x =2x )()(2b f x f <，即也不是的最小值点。因此可导函数必有最小值点，再由费马定理，即有)(b f )(x f )(x f ),(0b a x ∈0)(0=′x f 。

【证】设且(另一情况请读者完成证明)，即有

0)(<′+a f 0)(>′?b f 0)

()(lim )(

→+a

x a f x f a f a

x ，

按极限定义，01>?ε，01>?δ，使当10δ

11)()

()()(εε+′

?′++a f a

x a f x f a f 。

取0)(2

1>′?

=+a f ε，则有 0))((2

)()(

?+a x a f a f x f ，即，因此不是在上的最小值。

)()(a f x f <)(a f )(x f ],[b a 另外又有，则0)(>′?b f 02>?ε。02>?δ，使当20δ

22)()

()()(εε+′

?′??b f b

x b f x f b f 。

特别取0)(2

2>′=

?b f ε，则有 0))((2

)()(

??b x b f b f x f 即。因此亦不是在上的最小值。

)()(b f x f <)(b f )(x f ],[b a 因为在上可导，必连续，由最大最小值定理，特别必有)(x f ],[b a ),(0b a x ∈，使得为在上的最小值，亦为局部极小值，由费马定理，必有)(0x f )(x f ],[b a 0)(0=′x f 。定理4.2 罗尔定理(Rolle) 设函数)(x f y =满足： 1° 在上连续； ],[b a 2° 内可导； 3° 。 ),(b a )()(b f a f =

则),(b a ∈?ξ，使得0)(=′ξf (即在ξ=x 处有水平切线)。

【证】在上连续，则必在上取得最大最小值，因为)(x f ],[b a )()(b f a f =，若的最大最小值在端点取得，则)(x f ],[b a C x f ≡)(，],[b a x ∈?均有0)(=′x f 。否则，的最

)(x f

大最小值中至少有二者之一在内部取得，于是],[b a ),(b a ∈?ξ使得)(max )(]

,[x f f b a x ∈=ξ，又

因为在可导，)(x f )(ξf 必为内的极大值点，由费马定理，得到),(b a 0)(=′ξf 。注：罗尔定理及前面的导数零点定理的命题形式均为有水平切线的充分条件。不满足这两个定理的条件时，结论也可能成立。

定理4.3 拉格朗日微分中值定理(Lagrange) 设满足 )(x f

1° 在上连续；2° 在内可导。

],[b a ),(b a 则),(b a ∈?ξ使得 a

b a f b f f ??=

′)

()()(ξ

【证】设点与点之间的弦为))(,(a f a A ))(,(b f b B AB ，则AB K a

b a f b f =??)

()(，AB 的

直线方程为)()

()()()(a x a

b a f b f a f x y ???=

?，

取辅助函数)()()(x y x f x F ?=)()

()()()(a x a

b a f b f a f x f ?????=

则在上满足罗尔定理的条件，且)(x F ],[b a 0)(,

0)(==b F a F ，于是),(b a ∈?ξ，

0)(=′ξF ，即a

b a f b f f ??=

′)

()()(ξ。

注1：拉格朗日微分中值定理是罗尔定理(Rolle)的进一步拓展，证明方法是通过引入辅助函数，构造罗尔定理的条件，从而得到结果。并且(4.1)式可有如下等价表达式

))(()()(a b f a f b f ?′=?ξ)))(((a b a b a f ??+′=θ，)10(<<θ；

))(()()(00x x f x f x f ?′+=ξ h f x f h x f )()()(00ξ′+=+

注2：微分中值定理的证明是先引入辅助函数，以创造应用罗尔定理的条件，导出结论。注3：由微分中值定理可直接得出4个推论如下：

推论1：若恒有，则),(b a x ∈?0)(=′x f c x f =)(，其中为常数。

c 推论2：若有),(b a x ∈?)()(x g x f ′=′，则在内必有),(b a c x g x f +=)()(。当且仅当两曲线与)(x f y =)(x g y =有一个公共点),(),,(000b a x y x ∈时，有。 )()(x g x f =推论3：若在上有界，则对上的任意两点存在常数，使得

)(x f ′],[b a ],[b a 21,x x 0>L 1212)()(x x L x f x f ?≤?

其中L 称为利普希茨常数。（若进一步有10<

推论4：若，，则),(b a x ∈?0)(≥′x f )(x f y =在上单调(非严格)增加，且时严格单调增加。而当),(b a 0)(>′x f )(x f y =0)(≤′x f 时(或0)(<′x f )，)(x f y =非严格(或严格)单调减少。

注4：拉格朗日中值定理的两个常用重要功能是：

(1) 由在某处的取值或性态，可推知近旁处的取值或性态，像是一

条“链锁”，对满足定理条件的在区间上有某种全局控制作用。 )(x f y =1x 1x )(x f )(x f ],[b a

(2) 拉格朗日中值定理在的函数取值（或增量）与其导数取值之间搭起了一

座桥梁。

)(x f y =定理4.4 柯西中值定理(Cauchy) 如果和满足：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，且)(x f )(x g ],[b a ),(b a 0)( ),()(≠′≠x g a g b g ，则在开区间内至少存在一点),(b a ξ，使得

)

()

()()()()(ξξg f a g b g a f b f ′′=

?? 4.3 微分学基本定理的几何意义

微分学几个基本定理有着明显的几何意义，了解这些几何意义，将有助于我们建立必要

的直观感性认识。读者可以进一步思考，满足什么条件时，罗尔定理与拉格朗日定理中的)(x f ξ点具有唯一性？又满足什么条件时有两个不同的1ξ与2ξ？

例4.2 设为自然数，，则n m ,n

x x x f )1()(?=)(x f ′在(0,1)内零点个数为 ( B )。

(A) 0。 (B) 1。 (C) 2。 (D) 3。

【解】正确选项为(B)。

由罗尔定理，，因此至少存在一点0)1()0(==f f )1,0(∈ξ使0)(=′ξf ，又

11)1()1()(?????=′n m n m x nx x mx x f )()1(11nx mx m x x n m ???=??。

令，当0)(=′x f )1,0(∈x 时，，得0)1(11

≠???n m x x

)1,0(0∈+=

m m

x 为唯一驻点，即0x =ξ为的唯一零点。

)(x f ′

例4.3 设是周期为1 的周期函数，在内可导，且)(x f ]1,0[,0)1(=f

令)(max ]

1,0[x f M x ∈=，试证明存在()2,1∈ξ，使得M f 2)(≥′ξ。

【证】首先，因是周期为1 的周期函数，则只须证明

)(x f (1,00∈)ξ使得M f 2)(0≥′ξ。（用Lagrange 中值定理）由在内可导，则必在内连续，又因)(x f ]1,0[]1,0[,0)0()1(==f f 则只能存在使得),(10∈M x )(max )(]

1,0[x f M x f x M ∈==。

（最大最小值不在端点取得）

对区间：),0(M x M x f M )(01ξ′=?±

对区间： )1,(M x )1)((02M x f M ?′=±ξ，()M x ,01∈ξ，()1,2M x ∈ξ 上两式分别取绝对值后相加得到

)1)(()(221M M x f x f M ?′+′=ξξ，令{})(,)(max )(210ξξξf f f ′′=′，

则有(1,00∈)ξ，此时有不等式)(20ξf M ′≤，因此存在(2,110)∈+=ξξ，使得M f 2)(≥′ξ.

作为练习，请读者将拉格朗日中值定理的4个推论依次进行证明，这将有助于这一重要

定理的理解与应用。

例 4.4设在上有二阶导数，且)(x f ]2,1[0)2()1(==f f ，，证明

，使得。

思路：对)()1()(2

x f x x F ?=)2,1(0∈?x 0)(0=′′x F )(x F ′应用罗尔定理。

【证】(方法1)

，令)()1()()1(2)(2x f x x f x x F ′?+?=′1=x 则有0)1(=′F ，另由

，由罗尔定理0)2()2(,0)1(===f F F )2,1(1∈?ξ，使得0)(1=′ξF ，对在)(x F ′]

,[11ξ上应用罗尔定理，则)2,1(),1(10?∈=?ξξx ，使得0)(0=′′x F 。 (方法2)

反证，设，则由导数零点定理之推论可知0)(≠′′x F )(x F ′′在(1,2)上取定号，不妨设

，因此0)(>′′x F )(x F ′在上为严格单调增函数。

]2,1[

考虑到及，所以0)1(=′F )2,1(∈x 0)(>′x F ，即)()2,1(x F x ′∈?有定号的结论。但

由，由罗尔定理应0)2()1(==F F )2,1(1∈?ξ，使得0)(1=′ξF ，这与上述定号结论矛盾，于是原假设不成立，即必)(x F ′)2,1(0∈?x ，使得0)(0=′′x F 。

例4.5 设)13)(12)(1()(?++=x x x x x g ，试确定方程0)(=′x g 在)0,1(?内有几个实根。思路：已知函数表达式已是因子乘积形式，应采用连续函数零点定理及罗尔定理综合讨论的零点问题，而不应把)(x g )(x g ′)(x g ′求出来再讨论其零点。

【解】函数在上连续且可导，显然有4个实根：，，

)(x g ),(+∞?∞)(x g 01=x 12?=x 213?=x ，3

4?=x ，由罗尔定理，)(x g ′至少有3个零点：)31,0(1∈ξ，)21,1(2??∈ξ，

)0,2

(3?∈ξ。

又为3次多项式，最多有3个实根，因此)(x g ′)(x g ′在)0,1(?内恰有2个实根。例4.6 设，证明不等式

0>x 2

1arctan(222x

x x x x

0>x 2

14)1arctan(2

++x

x x x π

，

注意到4

1arctan π

，对任意),0(∞∈x 令 x x f arctan )(=，则有

)1()1()(4)1arctan(?+?=?

+x f x f x

x π

在上用Lagrange 中值定理则有

]1,1[x +)1,1(,11

)1(4)1arctan(2

+∈+=

?+?+x x x ξξ

因

+为单调减函数，于是 2

14)1arctan(2

+<++x

x x x π

。

（方法2）令x x x x x x x f ?++?

+++=)22(4

)1arctan()22()(22π

0)0(=f ,

)22(4

)1arctan()22()(+?

++=′x x x x f π

， 0]4

)1)[arctan(22(>?

++=π

x x

于是当时，即原左侧不等式成立。 0>x 0>)(x f 令 0)0(,2

4)1arctan()(=??

+=?π

x x ， 0)(,021

)

1(11)(2

′x x x ??，即原右侧不等式成立。例4．7设，在内可导，且]1,0[)(C x f ∈)1,0(0)1()0(==f f ，证明存在)1,0(∈ξ使

0)(')(2=+ξξξf f 。

【证】构造，容易验证

)()(2

x f x x F =]1,0[)(C x F ∈且在内可导，且)1,0(0)1()0(==F F ，对应用罗尔定理得：

)(x F 存在0)(')1,0(=∈ξξF 使，即，两边同除0)(')(22

=+ξξξξf f 0≠ξ，于是原题得证。 4．4 用导数研究函数性态（极值凸性与拐点最值不等式等） 4．4．1 引言

用导数研究函数性态是一类重要问题，属于导数应用范围。这类问题的理论基础是若干微分学基本定理，并且还会涉及到导数定义与几何意义，以及连续函数的性质等内容。而这类问题涉及的范围是：函数及其导数(甚至二阶导数)的零点问题，增减性问题，极值与最大最小值问题，曲线的凹凸性问题与渐近线问题，以及某些不等式的证明问题。 4．4．2函数的局部极值问题

定义4.1 若在的某邻域内，恒有0x )()(0x f x f ≤

或，

))()(0x f x f ≥则称为函数的一个极大(小)值。 )(0x f )(x f 极大值、极小值统称为极值，使函数取极值的点称为极值点。

一个可导函数在处取得极值的必要条件是0x x =0)(0=′x f ，这正是费尔马定理。满足

0)(0=′x f 的点称的为的驻点。

0x )(x f

从几何上看，曲线在极值点处如果有切线，必是水平切线。

0x 三类判断极值点的充分条件：定理4.5 (第一类充分条件)

设在某邻域内有定义，若在处的增量)(x f 0x 0x )()()(0x f x f x f ?=Δ在两侧附近不变号，则必为的极值点。并且0x 0x x =)(x f 0)(≥Δx f 时，为极小值点，而时，

为极大值点。

0x 0)(≤Δx f 0x 例4.8 求x x f ?=1)(在内的极值点。

]1,1[?【解】，由??