(2) 当12?=k n 时,为曲线())(,00x f x )(x f y =的拐点。
例4.15 判断是否为的极值点?
0=x x e e x f x
x
cos 2)(++=?【解】,x e e x f x
x
sin 2)(??=′?0)0(=′f
,x e
e x
f x
x cos 2)(?+=′′?0)0(=′′f
x e e x f x x sin 2)(+?=′′′?,0)0(=′′′f x e e x f x x cos 2)()4(++=?,
04)0()4(>=f
由定理4.9,为的极小值点。 0=x )(x f 例4.16 设,则(C)。
5
)(x x f =(A) 为的极大值点。(B) 0=x )(x f 0=x 为的极小值点。 )(x f (C) 为曲线的拐点。 (D) (A)(B)(C)均不确定。 ))0(,0(f )(x f y =【解】,但,于是只有(C)正确。
0)0()0()0()0()
4(==′′′=′′=′f
f f f 05)0()5(≠=f 例4.17 设在某邻域内有二阶连续导数,且)(x f 0=x 0)0(=′f ,
1cos 1)
(lim 0=?′′→x
x f x ,则(B)
。 (A) 是的极大值 (B) 是的极小值 )0(f )(x f )0(f )(x f
(C) 是曲线的拐点
))0(,0(f )(x f y =(D) 不是的极值点,
也不是曲线0=x )(x f ))0(,0(f )(x f y =的拐点。
【解】由1cos 1)
(lim
0=?′′→x
x f x ,则可知0)0(=′′f ,但不足以说明为拐点。
))0(,0(f 根据极限的保序性知道,在的某邻域内,必有0x 0)(>′′x f ,即知在该邻域内为单调增加,又因为)(x f ′0)0(=′f ,于是知道)(x f ′在0=x 两侧变号,即改变增减性,且当)(x f x 通过而变大时,由递减变为递增,于是可以断定0x )(x f 0=x 为的极小值点。即只有选项(B)正确。
)(x f 例4.18 证明不等式
).1,1(1)1(?>>+≥+x x
x λλλ
【证】 移项造辅助函数, x x x f λλ
??+=1)1()(问题变为证明
由于
.0)(≥x f ]1)1[()1()(11?+=?+=′??λλλλλx x x f ,
令,得到的唯一驻点0)(=′x f )(x f 0=x 。
当时,0x 0)(>′x f ,所以0)0(=f 是的极小值,也是
)(x f
最小值。故,即有。 0)0()(=≥f x f x x λλ
+≥+1)1(例4.19 设,证明 b a <<0b
a a
b a b +?>
)
(2ln
. 【证】 要证 a
b a b
a b +?>1)1(2ln ,或 )1(2ln )1(?>+a b
a b a b 。移项造辅助函数,令 )1(2ln )1()(,t t t t f a b
t ??+==, 则有0)1(,1=>f t (初值)
, )1(2ln 1)(??++=′t t t t t f ,,0)1(=′f (初值)
01
1(1)(>?=′′t
t t f
0)(,0)(>?>′?t f t f 。
例4.20设在上有二阶导数, 且)(x f ],[b a )()(b f a f =, 证明至少存在一点),(b a ∈ξ使
ξ
ξξ?′=
′′b f f )(2)(. 【证】 由Rolle 定理,,使),(0b a x ∈?0)(0=′x f ,观察要证的等式含有
))(()(2ξξξ?′′=′b f f ,采用移项造辅助函数的方法,取
,)()()(2
x f x b x F ′?=0)()(0==x F b F ,再次由Rolle 定理,
),(0b x ∈?ξ,使0)(=′ξF ,
)()()()(2)(2x f x b x f x b x F ′′?+′??=′,
令ξ=x ,则有 )()(2ξξf b ′? )()(2
ξξf b ′′?=其中),(0b x ∈ξ,b ≠ξ,因此 )(2))((ξξξf b f ′=?′′, 即有 ξ
ξξ?′=
′′b f f )
(2)(,),(b a ∈ξ。 例4.21 设为上二阶可导函数,且)(x f ],[b a 0)(),()(≠′′=x f b f a f ,则下列命题中错误的是( D )。
(A)均有),(b a x ∈?0)()(≠?b f x f (B)在内不改变凹凸性。
)(x f ),(b a
(C)至少存在一点),,(b a ∈ξ使得0)(=′ξf (D)至少在一点),,(b a ∈ξ使得0)(=ξf 。 【解】首先,(A)与(C)是对的,因为若有),(0b a x ∈使得0)()(0=?b f x f ,即在三个点上有相同函数值,则由Rolle 定理可得知)(x f )(x f ′有两个零点,进而在内有一个零点,这与)(x f ′′),(b a 0)(≠′′x f 矛盾。
又因为,由导数零点定理知道0)(),()(≠′′=x f b f a f )(x f ′′在内不变号,因此(B)正确。应选( D )。
),(b a 例4.22 设任意常数,函数0>k k e
x
x x f +?=ln )(在定义域内的零点个数为( C )
。 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【解】e
x x f 1
1)(?=
′,有唯一驻点e x =0, 又,且?∞=+∞>=?∞=+
)(,0)(,)0(f k e f f ),0(e x ∈时,恰有一个零点,
↑?>′)(,0)(x f x f )(x f ),0(1e x ∈),(∞+∈e x 时,恰有一个零点↓?<′)(,0)(x f x f )(x f ),(2∞+∈e x ,因此答案为(C)。 例4.23 设在)(x f ),(∞+?∞内可导,且2)(lim =′∞
→x f x ,已知极限等式
[])()1(lim lim x f x f c x c x x x
x ?+=??
?
????+∞
→∞→,求常数c 。 【解】x
x c x c x ???
?
???+∞→lim c c
x cx
c c x x e c x c 22221lim =??
?????+=???∞→,
由Lagrange 中值定理,[]21)(lim )()1(lim =?′=?+∞
→∞
→ξf x f x f x x ,
其中)1,(+∈x x ξ,由已知等式则有,解出22=c e 2
2
ln =c . 4.4.5 渐近线 应掌握以下三类渐近线:
(1) 若存在,使得或C C x f x =+∞
→)(lim C x f x =?∞
→)(lim ,则C y =为)(x f y =的水平渐近线。
(2) 若存在使或0x ∞=+
→)(lim 0
x f x x ∞=?→)(lim 0
x f x x ,则0x x =为)(x f y =的垂直渐近线。 例如,曲线1
sin ?=
x x
y 的渐近线,因为 01
sin lim
=?∞→x x
x , 所以为曲线的水平
0=y
渐近线。又因为 ∞=?→1
sin lim
1x x
x ,所以1=x 为曲线的铅直渐近线。
(3)斜渐进线 若存在直线b ax y +=,使得0))((lim =??±∞
→b ax x f x 则为
的斜渐进线。实用性的方法:考察是否存在极限b ax y +=)(x f y =a x
x f x =±∞
→)
(lim
与极限 b ax x f x =?±∞
→))((lim 。
注:只有a x
x f x =±∞
→)
(lim
的存在不足以保证斜渐进线的存在,反例:, x x y sin +=a x
x f x ==∞
→1)
(lim
存在,但=?±∞→))((lim ax x f x x x sin lim ∞→不存在。
(不存在),因而没有斜渐进线。
b 例4.24 求函数1
)
1)(13()(2??+=
x e x x f x 的渐近线。 【解】(1)
?∞=??+=??→→1)1)(13(lim )(lim 211x e x x f x x x , +∞=??+=++→→1
)1)(13(lim )(lim 211x e x x f x x x . 故有垂直渐近线: 1=x (2)
+∞=??+=?∞→?∞→1
)1)(13(lim )(lim 2x e x x f x x x , +∞=??+=+∞→+∞→1
)1)(13(lim )(lim 2x e x x f x x x ,所以,无水平渐近线。 (3)
+∞=??+=+∞→+∞→)1()1)(13(lim )(lim 2x x e x x
x f x x x , 所以,当+∞→x 时,没有斜渐近线。
a x x e x x x f x x x =?=??+=?∞→?∞→3)
1()1)(13(lim )(lim 2 ])([lim kx x f b x ?=?∞→ ]31
)
1)(13([
lim 2x x e x x x +??+=?∞→
1)
1(3)1)(13(lim
2??+?+=?∞→x x x e x x x 31
13)13(lim 2?=???+=?∞→x x e x x x 所以,当?∞→x 时,有斜渐近线:)1(3+?=x y 注:对渐近线问题,应从两个单边极限分别进行考察。 4.6 综合例题
例4.25 方程 在x e x =??21),0(∞+内实根的个数为( )。 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 【解】令,x e
x f x
??=?21)(0)0(=f ,由
012)(2=?=′?x e x f ,求得驻点2
2
ln 0=
x , 04)(2=′′?x e x f ,故是唯一驻点,且有最大值为
0x 0)2ln 1(2
1
22ln 1)22ln (
2ln >?=??=?e f 。 又因为?∞=+∞
→)(lim x f x ,由极限的保序性,存在 ),2
1
(1∞+∈x ,使得,因此存在0)(1ln (
12x x ∈, 使得。 0)(2=x f 当22
ln ,0(∈x 时0)(>′x f ,单调增加,)(x f 0)0()(=>f x f ,无零点。
当),2
2ln (∞+∈x 时,单调减少,最多有一个零点。
0)(<′x f )(x f 于是是在2x )(x f ),2
2
ln (∞+内的唯一零点。答案:B。
综合上述分析,于是是在2x )(x f ),0(∞+内的唯一实根。
以上第三个等号用到了的连续性,而本题未给出)(x f ′)(x f ′的连续性条件,极限无法
计算出结果。这是运用洛必达法则时的常见错误。
例4.26 设在二阶可导,对一切)(x f ),0[∞+),0(∞+∈x 有0)(≠′′x f ,证明在内曲线 上一点处的切线与该曲线除切点外无交点。 ),0(∞+)(x f y =))(,(00x f x 【证】(方法1)设切线方程为 ))(()()(000x x x f x f x y ?′+=, 并取辅助函数)()()(x y x f x F ?=))(()()(000x x x f x f x f ?′??= 则只须证明在内除切点外无零点。
)(x F ),0(∞+))(,(00x f x
或证明在)(x F ),0(∞+内不变号。
),()()(0x f x f x F ′?′=′0)(0=′x F ,
0)()(≠′′=′′x f x F ,不妨假设,0)(>′′x F 0)(0>′′x F ,于是0)(0=x F 为的极小
值,又因为:)(x F 00x x <<时,
0)()(0)(>↓??<′x F x F x F ,
0x x >时,,
0)()(0)(>↑??>′x F x F x F 即为在内的最小值, 0)(0=x F )(x F ),0(∞+所以。证毕。 )(0)(0x x x F ≠>(方法2)反证法。
假设 在处的切线与该曲线除切点外, )(x f y =))(,(00x f x 还有一个交点,不妨设 ,在上用Lagrange 01x x ≠01x x >],[10x x 中值定理,),(10x x ∈?ξ,使得
101)
()()(x x x f x f f ??=
′ξ,
注意到 都在切线上,因此应有
))(,()),(,(0011x f x x f x )()
()()(00
101x f k x x x f x f f ′==??=
′切ξ,
由Rolle 定理, 必存在),(01ξξx ∈?,使得
0)(1=′′ξf ,这与矛盾。证毕。
0)(≠′′x f 例4.27 设是)(x f )1,1(?内的连续奇函数,且a x
x f x =+
→)
(lim 0
,则在处的导数 )(x f 0=x 为 ( A )。
(A) (B)a a ? (C) (D)不存在 0【解】
a x x f x
x f x x f x x x ==??=+?
?
→→→)
(lim )(lim )(lim 000
,故在)(x f 0=x 处的导数为。 a 例4.28 证明方程至多有两个不同实根.
01222=?++x x x
【证】假设有三个或三个以上不同的实数根。 01222=?++x x x 设,则三个或三个以上不同的零点。 122)(2
?++=x x x f x )(x f 于是,至少有一个零点。
4)2(ln 2)("2
+=x x f 而恒大于零,故原方程至多有两个不同的实数根。 4)2(ln 2)("2
+=x x f 例4.29 设满足,则( )。 答案: C
)(x f []x x f x f sin 2)()(2
=′+′′(A) 若,则必为0)0(≠′′f 0=x )(x f y =的极值点。 (B) 若,则必为0)0(=′f 0=x )(x f y =的极值点。 (C) 若,则必为曲线0)0(=′f ))0(,0(f )(x f y =的拐点。 (D) 若,则必为曲线0)0(≠′′f ))0(,0(f )(x f y =的拐点。 【解】 若,由,则0)0(=′f []x x f x f sin 2)()(2
=′+′′0)0(=′′f ,
[])()(2cos 2)(x f x f x x f ′′?′?=′′′,02)0(>=′′′f ,
因此,点必为的拐点。(B)不对,应选(C)。
))0(,0(f )(x f y =若,则,于是(A)与(D)均不对。 0)0(≠′′f 0)0(≠′f
考研数学高数定理证明的知识点
考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点 这一部分内容比较丰富,包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求 会证。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推 举一个考频最高的,那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想 必各位都比较熟悉。条件有三:“闭区间连续”、“开区间可导” 和“端值相等”,结论是在开区间存在一点(即所谓的中值),使得 函数在该点的导数为0。 前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”,“可导”不难判断是成立的,那么“取极值”呢?似乎不能由条件直 接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔 定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连 续函数有很好的性质,哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。 那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚,因为直接影响 下面推理的走向。结论是:若最值取在区间内部,则最值为极值;若 最值均取在区间端点,则最值不为极值。那么接下来,分两种情况 讨论即可:若最值取在区间内部,此种情况下费马引理条件完全成立,不难得出结论;若最值均取在区间端点,注意到已知条件第三条 告诉我们端点函数值相等,由此推出函数在整个闭区间上的最大值 和最小值相等,这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数,那在 开区间上任取一点都能使结论成立。 拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果:真题中直接考过拉格朗日定理的证明,
若再考这些原定理,那自然驾轻就熟;此外,这两个的定理的证明过 程中体现出来的基本思路,适用于证其它结论。 以拉格朗日定理的证明为例,既然用罗尔定理证,那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑 在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形,变成罗尔定理结论的形式,移项即可。接下来,要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗 尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子 是哪个函数求导后,把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现 场调查:根据这个犯罪现场,反推嫌疑人是谁。当然,构造辅助函 数远比破案要简单,简单的题目直接观察;复杂一些的,可以把中值 换成x,再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题:证明两个函数乘积的导数公式。 几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉,而对它怎么来的.较为 陌生。实际上,从授课的角度,这种在2015年前从未考过的基本公 式的证明,一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急 功近利的心态只关注结论怎么用,而不关心结论怎么来的,那很可 能从未认真思考过该公式的证明过程,进而在考场上变得很被动。 这里给2017考研学子提个醒:要重视基础阶段的复习,那些真题中 未考过的重要结论的证明,有可能考到,不要放过。 当然,该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察,可以按照导数定义写 出一个极限式子。该极限为“0分之0”型,但不能用洛必达法则, 因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的,不能用!)。 利用数学上常用的拼凑之法,加一项,减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系,便于提公因子。之后分子的四项两两配对,除以分母后考虑极限,不难得出结果。再由x0的任意性,便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)/g(x)的导数公式的证明。 该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续,结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面,并把
高中数学导数及微积分练习题
1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,
底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
微积分基本定理
微积分基本定理 一、教材分析 1、教材的地位及作用 微积分基本定理是普通高中课程标准实验教科书(人教版)高二年级数学(选修2-2)第一章第六节内容,本节内容共设计两个课时,这是第一课时,这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习,它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 2、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1)知识与技能目标:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会求简单的定积分。 (2)过程与方法目标:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 (3)情感、态度与价值观目标:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 3、教学重点、难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。(根据教材内容特点及教学目标的要求) 难点:了解微积分基本定理的含义。(根据学生的年龄结构特征和心理认知特点) ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的,而突破难点的关键在于让学生主动去探索,体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分,这样才能从真正意义上把握该定理的含义,提高学生的能力,体现学生的主体地位。 二、教法和学法 1、教法: 素质教育理论明确要求:教师是主导,学生是主体,只有教师在教学过程中注重引导,才能充分发挥学生的主观能动性,有利于学生创造性思维的培养和能力的提高,根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律,我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法,启发、
考研数学中值定理五大注意事项
考研数学中值定理五大注意事项 来源:文都图书 中值定理是考研数学得分较低的一块,可以说是考生的“灾难区”,看到一个题目怎么思考处理是个问题,下面,就给大家就这一部分讲解一下事项。 1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。 2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。 3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。 4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数,而柯西中值定理处理的对象是两个函数,如果结论中有两个函数,形式与柯西中值定理的形式类似,这时就要想到我们的柯西中值定理。 5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用,必须先证明。 其次对于中值定理证明一般分为两大类题型:第一应用罗尔定理证明,也可又分为两小类:证明结论简单型和复杂型,简单型一般有证明f'(ξ)=0,f'(ξ)=k (k为任意常数),f'(ξ1)=g'(ξ2),f''(ξ)=0,f''(ξ)=g''(ξ),像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了,一般罗尔定理的前两个条件题目均告知,只是要需找两个不同点的函数值相等,需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂,需要建立辅助函数,再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题
目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理,处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。 上述就是值定理需要注意的事项。希望大家在做题的过程中多加注意,可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练,掌握好上述的知识点。
高中数学微积分公式大全
微積分公式
tan -1 x = x-33x +55x -77x +…+) 12()1(1 2+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+ !2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1微积分基本定理(17)
1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
考研数学中值定理总结
中值定理一向是经济类数学考试的重点(当然理工类也常会考到),咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结,希望能对各位研友有所帮助。 1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 ②原函数法 ③一阶线性齐次方程解法的变形法 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 ②柯西定理 ③k值法 ④泰勒公式法 老陈常说的一句话,管它是什么,先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时,泰勒法往往是可行的,而且对于有些题目,泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理 ②柯西定理(与之前所举例类似) 有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑,可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用,在老陈书的习题里就出现过类似的题。 一、高数解题的四种思维定势 1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导,“不管三七二十一”,把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时,则“不管三七二十一”先用积分
中值定理对该积分式处理一下再说。 3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0,则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 4、对定限或变限积分,若被积函数或其主要部分为复合函数,则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 二、线性代数解题的八种思维定势 1、题设条件与代数余子式A ij 或A*有关,则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 2、若涉及到A、B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解出因子aA+bE再说。 4、若要证明一组向量a 1,a 2 ,…,a s 线性无关,先考虑用定义再说。 5、若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6、若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。 7、若已知A的特征向量ζ 0,则先用定义Aζ =λ ζ 处理一下再说。 8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则用定义处理一下再说。
考研数学公式大全(考研同学必备)
考研数学公式(全) ·平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A
(完整版)新课标高中数学微积分精选习题
高二数学微积分练习题 一、选择题: 1.已知自由落体运动的速率gt v =,则落体运动从0=t 到0t t =所走的 路程为 ( ) A .32 0gt B .20gt C .22 0gt D .6 2 0gt [解析]要学生理解微积分在物理学中的应用,可用来求路程、位移、功 2、如图,阴影部分的面积是 A .32 B .329- C . 332 D .3 35 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若 1 1 (2)3ln 2a x dx x +=+? ,且a >1,则a 的值为 ( ) A .6 B 。4 C 。3 D 。2 [解析] 4、用 S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( ) A .??a c f (x ) d x B .|??a c f (x ) d x | C .?? a b f (x )d x +?? b c f (x ) d x D .??b c f (x ) d x -??a b f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且??0 6 f (x )d x =8,则??-6 6f (x )d x 等于( ) A .0 B .4 C .8 D .16 6、函数y =??-x x (cos t +t 2+2)d t (x >0)( ) A .是奇函数 B .是偶函数 C .非奇非偶函数 D .以上都不正确 7、函数f(x)=? ??? ? x +1 (-1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图 形的面积为( ) A.32 B .1 C .2 D.12 8、???0 3|x 2 -4|dx =( ) A.213 B.223 C.233 D.253 二、填空题: 9.曲线1,0,2 ===y x x y ,所围成的图形的面积可用定积分表示为 . 10.由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积,利用定积分应 表达为 . 11、若等比数列{a n }的首项为2 3,且a 4=??1 4 (1+2x )d x ,则公比等于____. 12、.已知函数f (x )=3x 2+2x +1,若??-1 1f (x )d x =2f (a )成立,则a =________
考研数学专题训练:中值定理
1 中值定理 【本章定位】 本部分内容属于考研数学中的难点内容,而且经常被考生所忽略,往往受到课本中的误导,低估了其难度和重要性,事实证明,在历年考研中,虽不是年年必考,但是出现的几率很大,且一般作为区分题加大了试卷的难度,如 201年的真题中“证明拉格朗日中值定理”的题目,让人无从下手,有人将此归结为看书不仔细,实际上是对本该好好研究学习的内容没有认真把握和总结,没有掌握中值定理的方法和技巧。所以,请考生务必重视! 1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 1 ()[0,1](0)(1)(0)0 2() (,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ '''''ζ--='''''''= 例设在上二阶可导,试证至少存在一点使得分析:把要证的式子中的换成,整理得由这个式可知要构造的函数中必含有,从找突破口 因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0 ()(1)()() f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=?--='=--,那么把式变一下: 这时要构造的函数就看出来了②原函数法 ?-?-? ===?=?+=?='ζζζ=ζ'∈ζ?==?dx x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )() ()( ) ()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了 ,于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边,同样有关的放一边,与现在把与方法 造的函数,于是换一种是凑都不容易找出要构分析:这时不论观察还使得求证:上连续在,又内可导,上连续,在在设例两边积分00
2016考研数学中值定理证明思路总结
2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”,一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理,因此也是考研得分比较低的一块内容,如果考生能把中值定理的证明题拿下,那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶,也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么,相当于我们的工具,那需要哪些工具呢? 第一:闭区间连续函数的性质。 最值定理:闭区间连续函数的必有最大值和最小值。 推论:有界性(闭区间连续函数必有界)。 介值定理:闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数,都可以在区间上找到一点,使得这一点的函数值与之相对应。 零点定理:闭区间连续函数,区间端点函数值符号相异,则区间内必有一点函数值为零。 第二:微分中值定理(一个引理,三个定理)
费马引理:函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义,并且在ξ处可导,如果对于任意的x∈U(ξ),都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) ),那么f'(ξ)=0。 罗尔定理:如果函数f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理:如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 第三:积分中值定理: 如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续,则在[a, b]上至少存在一个点ξ,使下式成立
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
高中数学导数及微积分练习题
1.求导:(1)函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3)---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A). 54 (B).52 (C).51 (D).5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值.
2017考研数学七大中值定理精讲
2017考研数学七大中值定理精讲 来源:文都图书 高数占据了考研数学的半壁江山,而在高等数学中七大中值定理(零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理)是学生在学习过程中认为最难的部分。七大定理的难主要在于难 理解、难应用。在历次考试,包括研究生入学考试中,与中值有关的问题一直是考试中得分最少的题,我们应如何更好的理解与掌握定理,灵活有效的使用定理呢?我们来详细的分析一下这几大定理。 第一,七大定理的归属。 零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理,并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴,但其实也是微分中值定理的推广。 第二,对使用每个定理的体会。 学生在看到题目时,往往会知道使用某个中值定理,因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。 1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然,应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内,当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时,需要对这些端点做例外说明。 2、介值定理问题可以化为零点定理问题,也可以直接说明,如“证明在(a,b)内存在ξ,使得f(ξ)=c”,仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续,以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。 3、用微分中值定理说明的问题中,有两个主要特征:含有某个 函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时,需要注意下面几点:
高中数学微积分公式大全
微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C . cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-2 1x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C ) csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C # d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C # a b c α β γ R
考研数学中值定理题型答题技巧分析
2016考研数学中值定理题型答题技巧分析在考研数学中,有关中值定理的证明题型是一个重要考点,也是一个让很多同学感到比较困惑的考点,不少同学在读完题目后不知从何下手,不会分析证明,找不到思路,之所以会出现这样的情况,主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识,对其分析和证明方法没有完全理解和掌握,为了协助这样的同学克服这方面的困难,下面文都网校考研数学老师对这类题的特点和证明方法做些分析总结,供各位2016考研的考生参考。 一、中值定理证明题的特点 中值定理证明题主要有以下一些特点: 1.中值定理证明题常常需要作辅助函数; 2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点,分别是:连续函数在闭区间上的性质(包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理),微分中值定理和积分中值定理; 3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次,比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理; 4.从历年考研数学真题变化规律来看,证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理,而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。 二、中值定理证明题的常用方法
中值定理证明题有不同的类型,对不同的类型需要运用不同的方法,主要的和常用的方法包括以下几种: 1.如果题目条件中出现关于函数值的等式,而函数是连续的,则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明;对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质; 2.如果题目条件中出现关于定积分的等式,则可能需要运用积分中值定理; 3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明:
6、如果是要证明两函数差值比的中值等式,或证明两函数导数比的中值等式,则可能需要利用柯西中值定理进行证明。 对于上面总结介绍的各种证明方法,在实际问题中要根据具体情况灵活运用,另外,对于需要作辅助函数的证明题,常常通过还原法分析找出需要的辅助函数,对于含积分等式的证明题,常常需要作变积分限的函数作为辅助函数,这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一,这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助。最后预祝各位考研成功、金榜题名!
高中数学~定积分和微积分基本原理
高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程:
规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。
2013考研数学高数公开课-中值定理辅导讲义
公开课一:中值定理及应用 一、预备知识 1、极值点与极值—设连续))((D x x f y ∈=,其中D x ∈0。若存在0>δ,当δ<-<||00x x 时,有)()(0x f x f <,称0x x =为)(x f 的极大点;若存在0>δ,当δ<-<||00x x 时,有)()(0x f x f >,称0x x =为)(x f 的极小点,极大点和极小点称为极值点。 2、极限的保号性定理 定理 设)0(0)(lim 0 <>=→A x f x x ,则存在0>δ,当δ<-<||00x x 时,)0(0)(<>x f ,即函数极限大于零则邻域大于零;极限小于零则邻域小于零。 【证明】设0)(lim 0>=→A x f x x ,取02 0>=A ε,因为A x f x x =→)(lim 0,由极限的定义,存在0>δ,当δ<-<||00x x 时,2|)(|A A x f <-,于是02 )(>>A x f 。 3、极限保号性的应用 【例题1】设2| 1|)(lim ,0)1(1=-''='→x x f f x ,讨论1=x 是否是极值点。 【例题2】(1)设0)(>'a f ,讨论a x =是否是)(x f 的极值点; (2)设0)(<'a f ,讨论a x =是否是)(x f 的极值点。 【解答】(1)设0)(>'a f ,即0)()(lim >--→a x a f x f a x ,由极限的保号性,存在0>δ,当δ<-<||0a x 时,有0)()(>--a x a f x f 。 当),(a a x δ-∈时,)()(a f x f <;当),(δ+∈a a x 时,)()(a f x f >。 显然a x =不是)(x f 的极值点。 (2)设0)(<'a f ,即0)()(lim <--→a x a f x f a x ,由极限的保号性,存在0>δ,当δ<-<||0a x 时,有0)()(<--a x a f x f 。 当),(a a x δ-∈时,)()(a f x f >;当),(δ+∈a a x 时,)()(a f x f <。 显然a x =不是)(x f 的极值点。 【结论1】设连续函数)(x f 在a x =处取极值,则0)(='a f 或)(a f '不存在。
考研数学高数有哪些中值定理的复习重点
考研数学高数有哪些中值定理的复习重点考研数学高数有哪些中值定理的复习重点 七大定理的归属。 零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理,并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴,但其实也是微分中值定理的推广。 对使用每个定理的体会 学生在看到题目时,往往会知道使用某个中值定理,因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。 1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然,应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内,当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时,需要对这些端点做例外说明。 2、介值定理问题可以化为零点定理问题,也可以直接说明,如“证明在(a,b)内存在ξ,使得f(ξ)=c”,仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续,以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。 3、用微分中值定理说明的问题中,有两个主要特征:含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时,需要注意下面几点: (1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时,肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;
(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时,使用柯西中值定理,此时找到函数是最主要的; (3)当出现高阶导数时,通常归结为两种方法,对低一阶的导函 数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明; (4)当出现多个中值点时,应当使用多次中值定理,在更多情况下,由于要求中值点不一样,需要注意区间的选择,两次使用中值 定理的区间应当不同; (5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数,如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手,对结论进行分析。我 们总感觉证明题无从下手,我认为证明题其实不难,因为证明题的 结论其实是对你的提示,只要从证明结论入手,逐步分析,必然会 找到证明方法。 4、积分中值定理其实是微分中值定理的推广,对变上限函数使 用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于 泰勒定理的形式。因此看到有积分形式,并且带有中值的证明题时,一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用 积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时,一般使 用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时,一般需要展 开变上限积分为泰勒展开式。 ?在文字叙述题上下功夫 考生一方面多做些题目,尤其是文字叙述的题目,逐渐提高自己分析问题的能力。另一方面花点时间准确理解概率论与数理统计中 的基本概念。考生在复习过程中可以结合一些实际问题理解概念和 公式,也可以通过做一些文字叙述题巩固概念和公式。只要针对每 一个基本概念准确的理解,公式理解的准确到位,并且多做些相关 题目,再遇到考卷中碰到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。 ?会用公式解题 ?对概率论与数理统计的考点整体把握