第四章常微分方程
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§4．1 基本概念和一阶微分方程
甲内容要点
一．基本概念
1．常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；
通解有时也称为一般解但不一定是全部解；
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二．变量可分离方程及其推广
1．变量可分离的方程
（1）方程形式：
()()()()0≠=y Q y Q x P dx
dy
通解
()()??+=C dx x P y Q dy
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解
()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M
2．变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程
??
? ??=x y f dx
dy 令u x y
=， 则()u f dx
du x u dx dy =+=
()c x c x
dx
u u f du +=+=-??
||ln
（2）
()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx
dy
令u c by ax =++， 则
()u bf a dx
du
+=
()c x dx u bf a du
+==+??
（3）
???? ??++++=222
111c y b x a c y b x a f dx dy
①当022
1
1≠=
?b a b a 情形，先求出??
?=++=++00
222
111c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ，β-=y v
则?
????? ?
?
++=???? ??++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 22112211属于齐次方程情形 ②当02
2
11==
?b a b a 情形，
令
λ==1
2
12b b a a 则
()???? ?
?++++=211111c y b x a c y b x a f dx
dy λ
令y b x a u 11+=， 则
???
? ??+++=+=211111c u c u f b a dx dy
b a dx du λ 属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
()0=+y x P dx
dy
它也是变量可分离方程，通解公式()?-=dx
x P Ce y ，（c 为任意常数）
2．一阶线性非齐次方程
()()x Q y x P dx
dy
=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx
x P e
x C y
代入方程求出()x C 则得()()()[]
?+=??-C dx e
x Q e
y dx
x P dx
x P
3．贝努利方程
()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx
dy
令α-=1y z 把原方程化为
()()()()x Q z x P dx
dz
αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：
()()x
y P y Q dx dy -=1 可化为
()()y Q x y P dy
dx
=+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．全微分方程及其推广（数学一）
1．全微分方程
()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，满足y
P
x Q ??=?? 通解：()C y x u =,，
其中()y x u ,满足()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+=
求()y x u ,的常用方法。 第一种：凑全微分法
()()()y x du dy y x Q dx y x P ,,,==+
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
（1）????
??+=+222y x d ydy xdx ；
（2）???
?
??-=-222y x d ydy xdx ；
（3）()xy d xdy ydx =+； （4）
()xy d xy
xdy
ydx ln =+；
（5）
(
)??
????+=++2
222ln 2
1y x d y x ydy xdx ；
（6）
(
)??
????-=--2222ln 2
1y x d y x ydy xdx ；
（7）
??
? ??=-x y d x ydx xdy 2
； （8）
???? ??=-y x d y xdy
ydx 2； （9）
???? ??=+-y x d y x xdy ydx arctan 22； （10）
??? ?
?=+-x y d y x ydx xdy arctan 2
2； （11）
???? ??+-=--y x y x d y x xdy
ydx ln 2122； （12）
???
? ??-+=+-y x y x d y x ydx
xdy ln 2122； （13）
()
???
? ??+-=++222
2
2
121y x d y x
ydy
xdx ；
（14）
()
???
? ??--=--222
2
2
121y x d y x
ydy
xdx ；
（15）
()
()
??
? ??+=+++222
22
arctan 211y x d y
x ydy xdx ；
（16）
(
)
()
??
? ??-=-+-222
22
arctan 211y x d y
x ydy xdx ；
第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）
()()()()()
()
?++=y x y x dy y x Q dx y x P y x u y x u ,,0000,,,,
()()()??
++
=y y x
x dy y x Q dx y x P y x u 0
,,,000
第三种：不定积分法 由
()y x P x
u
,=??得 ()()()?
+=y C dx y x P y x u ,,
对y 求导， 得()()[]()y C dx y x P y
y u y x Q '+??=??=
?,,，
求出()y C '积分后求出()y C
2．全微分方程的推广（约当因子法）
设()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程。 不满足
y
P
x Q ??=?? 但是存在()y x R ,
使得()()()()0,,,,=+dy y x Q y x R dx y x P y x R 为全微分方程， 也即满足
[][]y
RP x RQ ??=?? 则()y x R ,称为约当因子，
按全微分方程解法仍可求出()()()()()y x du dy y x Q y x R dx y x P y x R ,,,,,=+ 通解()C y x u =,。
这种情形，求约当因子是关键。
乙 典型例题
一．变量可分离方程及其推广
例1．求下列微分方程的通解。 （1）()()
022=-++dy y x y dx x xy （2）()()
0=++-++dy e e dx e e y y x x y x
例2．求下列微分方程的通解。
（1）x y
e dx dy x y
+= （2）dx dy xy dx dy x y =+2
2 （3）()x y y dx dy x ln ln -= （4）()2
14++=y x dx
dy 解：（1）令u x
y =，则dx du
x u dx dy +=，原方程化为 u e dx du x u u +=+，??+=1C x dx
e
du u Cx C x e u
ln ln 1=+=--
Cx e
x
y ln -=-
（注：10,0<<∴>-Cx e x
y ）
（2）()02
2=-+dx dy xy x y ；2
22
1-??
?
????? ??=-=x y x y x xy y dx dy 令u x y =，则1
2
-=+u u dx du x u
()01=-+du u x udx
??=+-11C x dx
du u u
1ln C u xu =- u
u
C Ce e xu ==+1，x
y
Ce y =∴
（3）
x y
x y dx dy ln =，令u x
y =，则u u dx du x u ln =+
()??+=-11ln C x dx
u u du Cx u ln 1ln ln =-
Cx u +=1ln ，Cx
e u +=1，Cx xe y +=1
（4）令u y x =++14，则dx u du =+142，??+=+121
4C dx u du
()C y x C u x +++=+=
142a r c t a n
2
1
2a r c t a n 21 例3．求微分方程22y x y dx
dy
x +=-的通解。
例4．求微分方程22y
x x y
dx dy +-=
例5．求微分方程()()
2
3
22
11y dx
dy
x x y +=+-的通解。
例6．求微分方程2
222y xy x xy
y dx dy +--=
的通解。
例7．求微分方程2
122???
? ??-++=y x y dx dy
例8．求微分方程
5
1
+-+-=
x y x y dx dy 的通解
二．一阶线性方程及其推广
例．求下列微分方程的通解
（1）
()25112+=+-x x y dx dy （2）x y dx
dy
x sin 2=+ （3）
4
y x y
dx dy +=
（4）()0tan sin =+-ydx dy y x 解：（1）直接用常数变易法
对应的齐次线性方程为
1
2+=x y dx dy ，通解()2
1+=x C y 令非齐次线性方程
()2511
2
+=+-x y x dx dy 的通解为()()21+?=x x C y 代入方程得 ()()()2
52
11+=+?'x x x C
()()21
1+='x x C ， ()()C x x C ++=
2313
2
故所求方程的通解为 ()()()()2
2722311321132+++=+??
????++=x C x x C x y
（2）直接用通解公式（先化标准形式x
x
y x dx dy sin 2=+） ()x x P 2=
，()x
x
x Q sin = 通解 ??
????+??=?-
C dx e x x e y dx
x dx x 2
2sin
[]()C x x x x C xdx x x +-=+=
?-cos sin 1sin 1
2
2
（3）此题不是一阶线性方程，但把x 看作未知函数，y 看作自变量，
所得微分方程 y
y x dy dx 4++
即31
y x y dy dx =-
是一阶线性方程 ()y
y P 1
-
=，()3y y Q = Cy y C dy e
y e x dy
y dy y +=????????+??=?-41
313
1 （4）此题把x 看作未知函数，y 看作自变量所得微分方程为
()y x y dy
dx
cos cot =+，()y y P cot =，()y y Q cos = ??
?
???+=
??
????+??=?
-C y y C dy ye e x ydy
ydy 2cot cot sin 21sin 1cos
§4．2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）
甲 内容要点
一．可降阶的高阶微分方程
二．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）
仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+= 2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3．若()x y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()x y 为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则()()x y x y +为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4．若y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()()x y C x y C 2211+为对应的二阶齐次线性方程的通解（1C ，2C 为独立的任意常数）则()()()x y C x y C x y y 2211++=是此二阶非齐次线性方程的通解。
5．设()x y 1与()x y 2分别是()()()x f y x q y x p y 1=+'+''与 ()()()x f y x q y x p y 2=+'+''的特解，则()()x y x y 21+是 ()()()()x f x f y x q y x p y 21+=+'+''的特解。
三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1．二阶常系数齐次线性方程 0=+'+''qy y p y 其中p ，q 为常数， 特征方程02
=++q p λλ
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）当042>-=?q p ，特征方程有两个不同的实根1λ，2λ 则方程的通解为x x
e C e
C y 2121λλ+=
（2）当042=-=?q p ，特征方程有二重根21λλ= 则方程的通解为()x
e
x C C y 121λ+=
（3）当042<-=?q p ，特征方程有共轭复根βαi ±， 则方程的通解为()x C x C e y x sin cos 21ββα+= 2．n 阶常系数齐次线性方程
()()()012211=+'++++---y p y p y p y p y n n n n n 其中()n i p i ,,2,1 =为常数。 相应的特征方程
0 12211=+++++---n n n n n p p p p λλλλ
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。 （1）若特征方程有n 个不同的实根n λλλ,,, 21 则方程通解 x n x x
n e C e C e
C y λλλ+++= 2121
（2）若0λ为特征方程的k 重实根()n k ≤ 则方程通解中含有 ()
x
k k e
x C x C C 0121λ-+++
（3）若βαi ±为特征方程的k 重共轭复根()n k ≤2 则方程通解中含有
()()[]
x x D x D D x x C x C C e k k k k x s i n c o s 121121ββα--+++++++
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
四．二阶常系数非齐次线性方程
方程：()x f qy y p y =+'+'' 其中q p ,为常数 通解：()()x y C x y C y y 2211++=
其中()()x y C x y C 2211+为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y 如何求？
我们根据()x f 的形式，先确定特解y 的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y ，常见的()x f 的形式和相对应地y 的形式如下： 1．()()x P x f n =，其中()x P n 为n 次多项式
（1）若0不是特征根，则令()n n n n n a x a x a x a x R y ++++==--1110 其中()n i a i ,,2,1,0 =为待定系数。
（2）若0是特征方程的单根，则令()x xR y n = （3）若0是特征方程的重根，则令()x R x y n 2=
2．()()x n e x P x f α=其中()x P n 为n 次多项式，α为实常数 （1）若α不是特征根，则令()x n e x R y α= （2）若α是特征方程单根，则令()x n e x xR y α= （3）若α是特征方程的重根，则令()x n e x R x y α2= 3．()()x e x P x f x n sin βα= 或 ()()x e x P x f x n cos βα= 其中()x P n 为n 次多项式，βα,皆为实常数
（1）若βαi ±不是特征根，则令()()[]x x T x x R e y n n x sin cos ββα+= 其中()n n n n n a x a x a x a x R ++++=--1110 ()n i a i ,,1,0 =为待定系数 ()n n n n
n b x b x
b x b x T ++++=--11
10
()n i b i ,,1,0 =为待定系数
（2）若βαi ±是特征根，则令()()[]x x T x x R xe y n n x
sin cos ββα+=
五．欧拉方程（数学一）
()()01111=+'+++---y p y x p y x p y x n n n n n n ，其中()n i p i ,,2,1 =为常数称为n 阶欧拉方程。令t
e x =代入方程，变为t 是自变量，y 是未知函数的微分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。 注意下面变换公式：
dt dy x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==?=-， dt
dy dx dy x =， dt dy e dt
y d e dt dy e dt d e dx dy dt d dx dt dx y d t t t t 22
2222-----=??? ??=??? ??= ???
? ??-=dt dy dt y d x
222
1
， dt dy dt y d dx y d x -=2222
2， ……。
乙 典型例题
一．可降阶的高阶微分方程
例1．求下列微分方程的通解 （1）()022
2='-'-''y y x y x
（2）()()1ln 1+='+''+x y y x
解：（1）令p y ='，则p y '=''，原方程化为 0222=--'p xp p x
221
2p x
p x p =-
' 属于贝努里方程 再令1
-=p z 则有
212x
z x dx dz -=+ 通解：()122
2211C x x
C dx e
x e z dx x dx x +-=??????
+?-?=?-
x
C x z p -==12
1
()21212
1212ln 2
1C C x C C x C dx x C x y +--+-=+-=?
（2）令p y ='，则p y '=''，原方程化为 ()()1ln 1+=+'+x p p x ()1
1ln 11++=++
'x x p x p 属于一阶线性方程 ()??
????+?++?=?++-
111
1111ln C dx e x x e p dx
x dx x ()[]
()1
11ln 1ln 11
11
++-+=+++=
?x C x C dx x x ()?
+???
??
?++-+=21111ln C dx x C x y
()()2121ln C x x C x +-++=
例2．求下列微分方程的通解 （1）()012
=+'-''y y y
（2）()122
+'=''y y y
二．常系数齐次线性微分方程
例1．求下列微分方程的通解。
（1）067=+'-''y y y （2）096=+'-''y y y （3）0136=+'-''y y y （4）0244=-'+''-'''y y y y 解：（1）特征方程 0672
=+-λλ，即()()061=--λλ
特征根
11=λ，62=λ
微分方程通解 x
x
e C e C y 621+=
（2）特征方程 0962
=+-λλ，即()032
=-λ
特征根 3=λ 二重根 微分方程通解 ()x e x C C y 321+= （3）特征方程 01362
=+-λλ 特征根 λλ23±=
微分方程通解 ()x C x C e y x 2sin 2cos 213+= （4） 特征方程 024 4 2
3
=-+-λλλ 即()
()0212
=--λλ
特征根
11=λ 二重根，22=λ
微分方程通解 ()x x e C e x C C y 2321++=
例2．设方程043=-'+''y y y ，求满足00
==x y ，50
=='
x y 的特解。
三．二阶常系数非齐次线性微分方程
例1．求微分方程()x
e x y y y 132+=-'-''的一个特解。
解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈()x m e x P μ的形状，其中
()1+=x x P m ()1=m ，1=μ。而该微分方程的特征方程是：
0322=--λλ
特征根是11-=λ，32=λ。由于1=μ不是特征根，故设特解为
()x e b x b y 01+=
为了确定1b 和0b ，把y 代入原方程，经化简，可得
14401+=--x b x b
令此式两端同次幂系数相等，有
??
?=-=-1
41
401b b
由此解得411-
=b ，4
1
0-=b ，因此特解为 ()x e x y 14
1
+-=
例2．求微分方程
x xe y y y 265=+'-''
的通解。
答案：最后得原方程通解为y Y y += ()
x x x
e x x e c e c 22
322122
1+-
+=
例3．求x e y y y 244=+'-''的通解。 答案：因此原方程的通解为
x
x
x
e x xe c e
c y 2222212
++=
例4．求方程12232++=+'+''x x y y y 的通解。
答案：原方程的通解为
4
13252221+-
++=--x x e C e C y x x
例5．求x
e y y y 232=-'+''的通解。
答案：原方程的通解为
x x x xe e C e C y 2
1231+
+=-
例6．求方程x y y y 2cos 22=-'+''的通解。
答案：原方程的通解为
x x e C e C y x x 2sin 10
1
2cos 103221+-
+=-
例7．求微分方程x y y sin ='-''的通解。
答案：原方程的通解为：
()x x e C C y x sin cos 2
1
21-+
+=。
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）
§5．1 向量代数
甲 内容要点
一．空间直角坐标系
从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离
设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()2
1221221221z z y y x x M M d -+-+-==
2．中点公式
设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2
,2,22
12121z z z y y y x x x +=+=+=
二．向量的概念
1．向量
既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。A 点叫起点，
B 点叫终点，向量AB 。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示
若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为
()z y x ,,。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量可以表示为
zk yj xi OM ++=
称之为向量的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x ,,=
称zk yj xi ,,分别为向量在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。称z y x ,,分别为向量在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则 2
2
2
c o s z
y x x ++=
α
2
2
2
c o s z
y x y ++=
β
2
2
2
c o s z
y x z ++=
γ
方向余弦间满足关系1cos cos
222
=++γβαcox
γβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。OM 的模可以表示为 222z y x OM ++=
与向量()z y x ,,=OM
。与向量平行的单
OM
。
向量a 同方向上的单位向量常记为?a 。
三．向量的运算
{}321321,,a a a k a j a i a a =++= {}321321,,b b b k b j b i b b =++= {}321321,,c c c k c j c i c c =++=
1．加法。{}332211,,b a b a b a b a +++=+ 减法。{}332211,,b a b a b a b a ---=- 2．数乘。{}321,,a a a λλλλα=（λ是常数） 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。
3．数量积。???
?
????=?b a b a b a ,cos
332211b a b a b a ++=
其中???
?
???b a ,为向量b a ,间夹角
b a ?为数量也称点乘。
b a ?表示向量a 在向量b 上的投影，即 a j b a b Pr 0=?