§4.4 三角函数的图象和性质
1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π
2，－
1)，(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π
2，
0)，(2π，1)．
2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π
2
]上是增函数．
( √ ) (3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × ) (6)若sin x >
22，则x >π4
.
( × ) 2． (2012·福建)函数f (x )＝sin ???
?x －π
4的图象的一条对称轴是
( )
A ．x ＝π4
B ．x ＝π2
C ．x ＝－π4
D ．x ＝－π
2
答案 C
解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π
4，k ∈Z .
取k ＝－1，则x ＝－π
4.
方法二 用验证法．
x ＝π
4时，y ＝sin ????π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ????π2－π4＝2
2，不合题意，排除B ； x ＝－π
4
时，y ＝sin ????－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ????－π2－π4＝－2
2
，不合题意，故D 项也不正确． 3． 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间????0，π3上单调递增，在区间???
?π3，π
2上单调递减，则ω等于
( )
A.23
B.3
2 C ．2 D ．
3 答案 B
解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，
∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π
2ω
时，y ＝sin ωx 是增函数；
当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π
2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在????0，π
3上单调递增， 在????π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝3
2
. 4． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所
得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 ( )
A.π12
B.π6
C.π3
D.5π6 答案 B
解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π
3＋m )，
它关于y 轴对称可得 sin(π
3
＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π
6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6
.
5． 函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．
答案 {x |－3≤x <－π2或0 2 } 解析 由????? sin 2x >0 9－x 2 ≥0， 得? ???? 2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ， －3≤x ≤3. ∴－3≤x <－π2或0 . ∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0 2 }. 题型一 求三角函数的定义域和最值 例1 (1)(2012·山东)函数y ＝2sin ???? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 (2)函数y ＝1 tan x －1 的定义域为__________． 思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识． 答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π 2＋k π，k ∈Z } 解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π 6， ∴sin ????π6x －π3∈??? ?－3 2，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3. (2)要使函数有意义，必须有????? tan x －1≠0x ≠π2 ＋k π，k ∈Z ， 即??? x ≠π 4 ＋k π，k ∈Z x ≠π 2＋k π，k ∈Z . 故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π 2 ＋k π，k ∈Z }． 思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． (1)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1 2的定义域为________． (2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为 ( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4 ，1] D ．[－1，5 4 ] 答案 (1){x |2k π 3 ＋2k π，k ∈Z } (2)C 解析 (1)要使函数有意义必须有???? ? sin x >0，cos x －1 2≥0， 即????? sin x >0，cos x ≥12，解得???? ? 2k π 3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π 3 ＋2k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为{x |2k π 3 ＋2k π，k ∈Z }． (2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]， 画出函数图象如图所示，从图象可以看出， 当t ＝－1 2及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1， 可得y ∈[－5 4 ，1]． 题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ? ???－2x ＋π 3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪 (1)化为y ＝－sin ????2x －π 3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图象→y ＝|tan x |的图象→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ? ???2x －π 3， 它的增区间是y ＝sin ????2x －π 3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ????2x －π 3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12，k ∈Z . 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π 2 ，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π 12 ，k ∈Z . 故所给函数的减区间为????k π－π12，k π＋5π 12，k ∈Z ； 增区间为????k π＋5π12，k π＋11π 12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π 2 ＝π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是????k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是????k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π. 思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”． (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． (2013·阜新模拟)求函数y ＝sin ????π3＋4x ＋cos ? ???4x －π 6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵????π3＋4x ＋????π6－4x ＝π 2， ∴cos ????4x －π6＝cos ????π 6－4x ＝cos ??? ?π2－????π 3＋4x ＝sin ??? ?π3＋4x . ∴y ＝2sin ????4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2 . 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π 2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数的递增区间为????－5π24＋k π2，π24＋k π 2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π 2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为????π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π 2 (k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π 2 (k ∈Z )时，y min ＝－2. 题型三 三角函数的奇偶性和对称性 例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ? ???|φ|≤π 2的图象关于直线x ＝0对 称，则φ的值为________． (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点???? 4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 (1)π 6 (2)A 解析 (1)f (x )＝2sin ??? ?x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ????x ＋π 3＋φ图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π 6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6 . (2)由题意得3cos ????2×4π3＋φ＝3cos ????2π 3＋φ＋2π ＝3cos ????2π 3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π 2 ，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6 . 思维升华 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π 2＋k π (k ∈Z )，求x . 如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可． (1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对 称中心为 ( ) A ．(－π 8，0) B ．(0,0) C ．(－1 8 ，0) D ．(1 8 ，0) (2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝ π 12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π 3 ，0)对称；③在[0， π6]上是增函数；④在[－π 6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)， 又函数的最小正周期为1，故2π a ＝1，∴a ＝2π， 故f (x )＝2sin(2πx ＋π 4)． 将x ＝－1 8代入得函数值为0. (2)∵T ＝π，∴ω＝2. 又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π 3(k ∈Z )． ∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)， 由图象及性质可知②④正确． 三角函数的单调性、对称性 典例：(20分)(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π 2 ，π)上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．[12，5 4] B ．[12，34] C ．(0，1 2 ] D ．(0,2] (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π 8)＝1，则实 数b 的值为 ( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3 D ．－3 (3)(2012·课标全国)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π 4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两 条相邻的对称轴，则φ等于 ( ) A.π 4 B.π3 C.π2 D.3π4 (4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π 3 ]上单调递减，且函数值从1减小到－1， 那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为 ( ) A.12 B.22 C.32 D. 6＋2 4 思维启迪 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π 4 )＝f (－x )可得函数的对称 轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象相邻两条对称轴之间的距离是T 2；(4)可结合图象分析函数的单调性，周期性确定ω，φ. 解析 (1)由π2 4， 由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)?[π2，3π 2 ]， ∴??? π2ω＋π4≥π 2， πω＋π4≤3π 2 ，∴12≤ω≤5 4 ，故选A. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π 8对称，又函数f (x )在对 称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)利用三角函数的对称轴求得周期． 由题意得周期T ＝2???? 5π4－π4＝2π， ∴2π＝2π ω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)， ∴f ????π4＝sin ????π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4 . (4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π 3]上单调递减， 且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2π π＝2，此时原 函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，代入可得φ＝π 6，因 此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝1 2. 答案 (1)A (2)C (3)A (4)A 温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已 知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利 用它们之间的关系可求解． (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点. 方法与技巧 1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为 π|ω| . 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范 1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． 2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． A 组 专项基础训练 (时间：40分钟) 一、选择题 1． 下列函数中，周期为π且在[0，π 2 ]上是减函数的是 ( ) A ．y ＝sin(x ＋π 4) B ．y ＝cos(x ＋π 4) C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x 答案 D 解析 对于函数y ＝cos 2x ，T ＝π， 当x ∈[0，π 2]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数． 2． (2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ??? ?x ＋π 6的值域为 ( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1] D.? ?? ? － 32， 32 答案 B 解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解． ∵f (x )＝sin x －cos ????x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π 6 ＝sin x －32cos x ＋1 2 sin x ＝3?? ? ?32sin x －12cos x ＝3sin ????x －π 6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 3． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π 2 ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 φ＝π 2?f (x )＝A cos ????ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数， ∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π 2 ”的必要条件． 又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数?f (0)＝0?φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /?φ＝π 2. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π 2”的充分条件． 4． 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是 ( ) A ．[0,1] B ．[1 2，1] C ．[－1,2] D ．[0,2] 答案 A 解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]． 5． (2012·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π 4 个单位长度，所得图象经过点 ??? ?3π4，0，则ω的最小值是 ( ) A.13 B ．1 C.53 D ．2 答案 D 解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω????x －π4， 将????3π4，0代入得sin ωπ 2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 二、填空题 6． 函数y ＝cos(π 4 －2x )的单调减区间为________． 答案 [k π＋π8，k π＋5π 8](k ∈Z ) 解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π 4)得 2k π≤2x －π 4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π 8 (k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π 8 ](k ∈Z )． 7． 当－π2≤x ≤π 2 时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的最大值为________，最小值为________． 答案 2 －1 解析 y ＝2sin(x ＋π3)，－π6≤x ＋π3≤5π6， ∴－12≤sin(x ＋π 3)≤1，∴－1≤y ≤2， 故y max ＝2，y min ＝－1. 8． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π 2 )，y ＝f (x )的部分图象如 图，则f (π 24)＝________. 答案 3 解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π 2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π 8，0)， 所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π 4 ＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π 4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4 . 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4 )， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π 3＝ 3. 三、解答题 9． 设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π 8 . (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π 2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π 4，k ∈Z ， 又－π<φ<0，则φ＝－3π 4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ????2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π 2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π 8＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调增区间为 ??? ?π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8 ＋1. (1)求f (x )的最小正周期． (2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，4 3]时，y ＝g (x )的最大值． 解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4 ＝ 32sin πx 4－32cos πx 4 ＝3sin(πx 4－π3 )， 故f (x )的最小正周期为T ＝2π π4 ＝8. (2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))． 由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π 3] ＝3sin[π2－πx 4－π 3] ＝3cos(πx 4＋π 3 )． 当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π 3， 因此y ＝g (x )在区间[0，4 3]上的最大值为 g (x )max ＝3cos π3＝3 2 . 方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[2 3，2]， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，4 3]上的最大值是 y ＝f (x )在[2 3，2]上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π 3)， 当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，4 3]上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝3 2 . B 组 专项能力提升 (时间：30分钟) 1． 函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是 ( ) A ．[k π，k π＋π 2](k ∈Z ) B ．[2k π，2k π＋π 2](k ∈Z ) C ．[－π 2＋k π，k π](k ∈Z ) D ．[－π 2 ＋2k π，2k π](k ∈Z ) 答案 A 解析 |sin x ＋cos x |－1≥0?(sin x ＋cos x )2≥ 1?sin 2x ≥0， ∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ， 故原函数的定义域是[k π，k π＋π 2 ](k ∈Z )． 2． 设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π 4 )，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2) 成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2 解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2 π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T 2 ＝2. 3． 已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π 4]上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π 4对称． 其中真命题是________． 答案 ③④ 解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π 2时， f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题； 当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π 2]，故③是真命题； 因为f (3π4)＝12sin 32π＝－1 2 ， 故f (x )的图象关于直线x ＝3 4π对称，故④是真命题． 4． 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1. (1)当x ∈[π4，π 2]时，求f (x )的最大值和最小值； (2)求f (x )的单调区间． 解 (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π 3 )＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π 3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π 3)＋1≤3， ∴f (x )的最大值是3，最小值是2. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π 6，k ∈Z ， ∴k π－π12≤x ≤k π＋5π 12 ，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π 12]，k ∈Z ， 同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π 2，k ∈Z ， 得f (x )的单调递减区间为[k π＋ 5π12，k π＋11π 12 ]，k ∈Z . 5． 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ????2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈??? ?0，π 2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值； (2)设g (x )＝f ????x ＋π 2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈????0，π2，∴2x ＋π6∈????π6，7π6. ∴sin ????2x ＋π6∈????－1 2，1， ∴－2a sin ????2x ＋π 6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ????2x ＋π 6－1， g (x )＝f ????x ＋π2＝－4sin ????2x ＋7π 6－1 ＝4sin ????2x ＋π 6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ????2x ＋π6－1>1，∴sin ? ???2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π 6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π 2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π 6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为????k π，k π＋π 6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π 6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6 3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为? ???k π＋π6，k π＋π 3，k ∈Z . 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=， 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 高中数学三角函数复习专题 (附参考答案) 一、知识点整理: 1、角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ①终边为一射线的角的集合：?{}Z k k x x ∈+=,2απ={ } |360,k k Z ββα=+?∈ ②终边为一直线的角的集合：?{}Z k k x x ∈+=,απ； ③两射线介定的区域上的角的集合：?{ } Z k k x k x ∈+≤<+,22απβπ ④两直线介定的区域上的角的集合：?{}Z k k x k x ∈+≤<+,απβπ； 3、任意角的三角函数： （1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。 （2） 扇形的面积公式：lR S 2 1 = R 为圆弧的半径，l 为弧长。 （3） 三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则： ,cos ,sin r x r y ==αα x y =αtan r= 22b a + 反过来，角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为： ()cos ,sin P r r αα比如：公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 的证明 （4）特殊角的三角函数值 α 0 6π 4π 3π 2π π 2 3π 2π sin α 2 1 2 2 2 3 1 -1 cos α 1 23 22 2 1 0 -1 0 1 tan α 0 3 3 1 3 不存在 0 不存在 （5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。 （6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等） 如图，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线， 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边OP 于点T ，则 。 （7）同角三角函数关系式： ①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan = ③平方关系：1cos sin 22=+a a （8)诱导公试 三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号; 即：函数名改变，符号看象限: 比如sin cos cos 444x x x πππ????? ?+=-=- ? ? ? ?? ???? cos sin 44x x ππ???? +=- ? ? ???? sin cos tan -α -αsin +αcos -αtan π-α +αsin -αcos -αtan π+α -αsin -αcos +αtan 2π-α -αsin +αcos -αtan 2k π+α +αsin +αcos +αtan sin con tan απ -2 +αcos +αsin +αcot απ +2 +αcos -αsin -αcot απ -23 -αcos -αsin +αcot απ +2 3 -αcos +αsin -αcot x y o M T P A 三角函数专题训练 19．（本小题满分12分） 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且， （Ⅰ）若sin sin A B +=6，求A ； （Ⅱ）若ABC ?的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围． 17．（本小题共12分） 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示． （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==．记()n m x f ?= （I ）若32f ()α=，求23 cos()πα-的值； （Ⅱ）在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足 ()2cos cos a c B b C -=，若13f (A )+= ，试判断?ABC 的形状． 17、海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。（假设游船匀速行驶） （1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）（5分） （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。（7分） 19．解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且， 所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =， 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ， 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 任意角 一、知识概述 1、角的分类：正角、负角、零角. 2、象限角：（1）象限角. （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）. 3、终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角，连同α角自身在内，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同． 4、准确区分几种角 锐角：0°<α<90°； 0°～90°：0°≤α<90°； 第一象限角：． 5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角（1 rad）. 1 rad=，1°=rad. 6、弧长公式：l=αR. 7、扇形面积公式：. 二、例题讲解 例1、写出下列终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来： （1）60°；（2）－21°；（3）363°14′． 解： （1）， S中满足的元素是 （2）， S中满足的元素是 （3）， S中满足的元素是 例2、写出终边在y轴上的角的集合. 解析： ∴. 注： 终边在x轴非负半轴：. 终边在x轴上：. 终边在y=x上：. 终边在坐标轴上：. 变式：角α与β的终边关于x轴对称，则β=_______. 答案：. 角α与β的终边关于y轴对称，则β=_______. 答案： 任意角的三角函数 一、知识概述 1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tan α=. 注：①对于确定的角α，其终边上取点，令， 则. ②α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置. 2、公式一：， ， ，其中. 3、三角函数线 角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，则sinα=MP(正弦线)，cosα=OM（余弦线）.过A作单位圆的切线，则α的终边或其反向延长线交此切线于点T，则tanα=AT（正切线）. 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 高一数学第一次月考试题 一． 选择题（每题５分，共６０分） １．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π ２．0sin300＝（ ） A ．1 2 B ． 32 C ．－12 D ．－32 ３．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) ４．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α ＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 D ．－2316 ５．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．4 5π= x ６．将函数y ＝sin(x －π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π 3个单位，得到的图象 对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin(12x －π 2) C ．y ＝sin(12x －π 6 ) D ．y ＝sin(2x －π 6 ) ７．已知α是第二象限角，且4tan =-3 α，则( ) A ．4sin =-5α B ．4sin =5α C ．3cos =5α D ．4cos =-5 α ８．已知3 cos +=25πθ?? ???，且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ，则tan θ＝( ) A ．43 B ．－43 C ．34 D ．－34 ９．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< π 2 )的部分图象如 人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习 一、选择题 1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．asinα+asinβ B ．acosα+acosβ C ．atanα+atanβ D ．tan tan a a αβ + 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可． 【详解】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝ BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ， ∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ， 故选C ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键． 2．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 【答案】C 【解析】 试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A=1 2 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan∠BOD= 4 3 BD OD . 故选D． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心， 高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理 1角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ① 终边为一射线的角的集合： x|x 2k ② 终边为一直线的角的集合： xx k 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式：1 aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，1为弧长 (2) 扇形的面积公式 :S 1 -IR R 为圆弧的半径，1为弧长。 2 (3) 三角函数定义： 角 中边上任意一点P 为(x,y)，设|OP| r 则： sin — ,cos r x J r tan y r=寸孑圧 x 女口：公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明 (4)特殊角的三角函数值 ③两射线介定的区域上的角的集合: x2k ④两直线介定的区域上的角的集合： x k x k ,k Z ? k 360', k Z ,k Z = | ，k Z ； 反过来，角 的终边上到原点的距离为 r 的点P 的坐标可写为：P r cos ,r sin 4 x 4 4 sin cos tan - -si n + cos -ta n - + si n -cos -ta n + -si n -cos + tan 2 . -si n + cos -ta n 2k + + si n + cos + tan sin con tan 2 + cos + sin + cot 2 + cos -si n -cot 3 2 -cos -si n + cot 3_ 2 -cos + sin -cot 三角函数值等于 的同名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符 号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 的异名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符号； 即:函数名改变，符号看象限： sin x 比如 cos 一 x 4 cos x cos x sin 一 (6)三角函数线：(判断正负、比较大小，解方程或不等式等) 如图，角 的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边0P 于点T ，贝U (7)同角三角函数关系式： ③ 平方关系：sin 2 a cos 2 a 1 ①倒数关系： tan acota 1 ②商数关系: tana ^ina cosa (8)诱导公试 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质 ①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A
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