当前位置：文档之家› 2014届高考数学一轮复习精品学案：第24讲三角恒等变形及应用

2014届高考数学一轮复习精品学案：第24讲三角恒等变形及应用

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第24讲三角恒等变形及应用

一．课标要求：

1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

二．命题走向

从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。

本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。

三．要点精讲

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

。

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

2tan tan 21tan α

αα

-。 3．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式

ααα2sin 21cos sin =

；22cos 1sin 2αα-=

；2

2cos 1cos 2

αα+=。（2）辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ?+=+，

sin cos ??=

其中。

4．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。四．典例解析

题型1：两角和与差的三角函数

例1．已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。分析：因为）（βα+既可看成是的和，也可以与βα看作是2

α+的倍角，因而可得

到下面的两种解法。

解法一：由已知sin α+sin β=1…………①， cos α+cos β=0…………②， ①2＋②2得 2+2cos 1=-）（βα； ∴ cos 2

=-）（βα。 ①2－②2得 cos2α+cos2β+2cos （βα+）=－1，即2cos （βα+）〔1cos +-）（βα〕=－1。 ∴()1cos -=+βα。解法二：由①得12

cos

sin 2=-+β

αβ

α…………③

由②得02

cos

2cos

2=-+β

αβ

α…………④

④÷③得，

cot =+β

α ()11

cot 1

2cot 2tan 12tan 1cos 2222-=++-+=+++-=+∴β

αβαβα 点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解

sin α、cos α 、 sin β 、 cos β，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。

例

．

已

知

a n t a n 560

x x αβ-+=，是方程的两个实根根，求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值。

分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+?及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值。

解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =?=+βαβα，，所以tan ().16

tan tan 1tan tan -=-=?-+=

+βαβαβα

()()()()

()()

22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=

+++原式

()()()()22

2tan 3tan 1

21311

3tan 1

αβαβαβ+-++?-?-+==

=+++

解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =?=+βαβα，，所以tan ().16

tan tan 1tan tan -=-=?-+=

+βαβαβα

()3

k k Z αβππ+=+∈于是有，

223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ?????

?=+-+++=++= ? ? ??????

?原式。

点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，

从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如

()()()()()()()()。

，，，βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos

题型2：二倍角公式

例3．化简下列各式：

（1）

????

???? ??∈+-ππαα2232cos 21212121，，（2）?

??-??? ??+-απαπα

α4cos 4cot 2sin cos 222。

分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，

是的二倍，是2

ααα以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角2

απ

+，

若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。

解析：（1）因为

αααπαπcos cos 2cos 2

21223==+<<，所以，又因

sin 2sin cos 2121243α

ααπαπ==-<<，所以，所以，原式=2

sin α

。

（2）原式=

??-??? ??-=

??? ??-??? ??-απαπα

απαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2 =

12cos 2cos 22sin 2cos ==??

? ??-αααπα。

点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απ

απα-+4

42，，三个角的内在联系的作用，

??±??? ??±=??? ??±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换。（2）化简题一定

要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，αααsin 22sin cos =

22cos 1cos 2αα+=

，2

2cos 1sin 2α

α-=。例4．若的值求

，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217

534cos 2-+<<=??

? ??+πππ。分析：注意224442

x x x x ππππ

????=+-=+-

? ?????，及的两变换，就有以下的两种解法。

解法一：由

ππ

πππ24

35471217<+<<

+=+=- ? ?????

又因，

cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ

????????=+-=+++= ? ? ???????????

sin tan 7.10

x x =-

=从而

222sin cos 2sin 28.1tan 1775

x x x x ????+ +?

?????===---原式

解法二：()

2sin cos 1tan sin 2tan 1tan 4x x x x x x

π+??

=-+ ?-??

原式，

sin 2sin 2cos 22cos 1424425x x x x ππππ??????????=+-=-+=-+-= ? ? ??????????????

?而

sin 44tan 43cos '4x x x πππ??+ ?

????+==- ?????+ ???，

7428.25375

??=

?-=- ???所以，原式点评：此题若将3

cos 45

x π??+=

???的左边展开成3cos cos sin sin 445x x ππ?-=再求cosx ，sinx

的值，就很繁琐，把

作为整体x +4π

，并注意角的变换2·，

x x 224+=??

? ??+π

π运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的

三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，

如()++=βαα2()βα-，

()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，

()()()()αβαβαβαβββααββαα+--=-+=+-=-+=，，，等。

题型3：辅助角公式

例5．已知正实数a,b 满足

的值，求a b b a b a 158tan 5

sin

5cos 5cos

sin

ππ

=-+。

分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于

的方a b 程，从而可求出由a

，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解。

解法一：由题设得

?=-+π

πππππ158cos 158sin 5sin 5cos 5cos 5sin a b a b .33t a n 515

8cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin

158cos 5cos 158sin ==??? ??-???

??-=?+??-?=

πππππππππππππa b

解法二：sin

cos

55a b π

π???

+=+ ???

因为，

cos

sin

tan 5558tan tan .

51585153tan tan tan 33b a b a k k b k a ππ

π??ππ?ππ?ππ?πππ?π??

-=+= ???

+= ???+=+=+?

?==+== ???，其中，

由题设得所以，即，

故

解法三：tan 8

5tan 151tan 5

a b a πππ+

=-原式可变形为：，

()(

)tan

tan 85tan tan tan 5151tan tan 5

8,5153

tan tan tan 33b a k k Z k k Z b k a π

πααππαππ

αππαπππαπ+??==+= ???-?+=+∈=+∈?

?=+=== ??

?令，则有，

由此可所以，故，即

点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式()?ααα++=

+sin cos sin 22b a b a ，

tan b a ??

?= ??

?其中，或sin cos a b αα+

()tan a b α???

?=-= ???

，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关

注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。

例6．已知函数y ＝

1cos 2

x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R .

（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? （理）（1）解析：y ＝

1cos 2

x ＋23sin x cos x ＋1

＝

41（2cos 2x －1）＋41

＋43（2sin x cos x ）＋1

＝

cos2x ＋43sin2x ＋4

＝

1（cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π）＋45

＝

1sin （2x ＋6π）＋45

y 取得最大值必须且只需2x ＋

＝

π＋2kπ，k ∈Z ，

即x ＝

π＋kπ，k ∈Z 。

所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6

π＋kπ，k ∈Z ｝。

（2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移

π，得到函数y ＝sin （x ＋

π）的图象；

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数

y ＝sin （2x ＋

π）的图象；

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变），得到函数 y ＝

sin （2x ＋6π）的图象；

④把得到的图象向上平移

45个单位长度，得到函数y ＝21sin （2x ＋6π）＋4

的图象；

综上得到函数y ＝

1cos 2

x ＋23sin x cos x ＋1的图象。

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以

及运算能力。

题型4：三角函数式化简

例7．求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值。

解析：原式＝

21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋2

（sin70°－sin30°）＝1＋

21（cos100°－cos40°）＋21sin70°－4

1 ＝

3－sin70°sin30°＋21sin70°

＝43－21sin70°＋21

sin70°＝4

3。

点评：本题考查三角恒等式和运算能力。

例8

．已知函数1)

4()cos x f x x

--=

. （Ⅰ）求()f x 的定义域；

（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α4

=-，求()f α的值。解析：（Ⅰ）由 cos 0x ≠得()2

x k k Z π

π≠+∈，

故()f x 在定义域为},,2

x x k k Z π

π?≠+

∈??

（Ⅱ）因为4

tan 3α=-

，且α是第四象限的角, 所以43

sin ,cos ,55

αα=-=

故1)

4()cos f x π

αα

--=

122)22cos ααα

1sin 2cos 2cos αα

-+=

22cos 2sin cos cos ααα

2(cos sin )αα=-

145

。题型5：三角函数求值

例9．设函数f (x )=3cos 2cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为

x 。（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f (x )在区间??

???-

65,3ππ上的最小值为3，求a 的值。解析：（I

）1()2sin 2sin(2)23f x x x x a πωωαω=+=+++ 依题意得 1

ωω?

．（II ）由（I

）知，()sin()3

f x x π

α=++

。又当5[,

]36x ππ

∈-

时，7[0,

6x π

π+

∈，故1sin()123

x π

-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36??

-????

，

122a =-++

，故1.2a = 例10．求函数y ＝2)4

cos()4cos(π

x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期。

解析：y=cos(x+4π) cos(x －4π)+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π)， ∴函数y=cos(x+4π) cos(x －4

)+3sin2x 的值域是[－2,2],最小正周期是π。

题型6：三角函数综合问题

例11．已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22

a b ππ

θθθ==-<<

（I ）若,a b ⊥

求;θ （II ）求a b + 的最大值。

解析：（1）,a b ⊥ ?0a b = ?sin cos 0θθ+=4π

θ?=-

；

(2).(sin 1,cos 1)a b θθ+=++=

=当sin()4π

θ+=1时a b + 有最大值,此时4π

θ=，

1=。

点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为0；2，特殊角的三角函

数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。

例12．设0<θ<

π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。

（1）求θ的取值范围；

（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

解析：（1）解方程组???=-=+1sin cos 1cos sin 2222θθθθy x y x ，得???-=+=θθθ

θsin cos cos sin 22y x ；

故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为???>->+0

sin cos 0cos sin θθθθ，（0<θ<2π

）

?0<θ<

。

（2）设四个交点的坐标为（x i ，y i ）（i =1，2，3，4），则：x i 2+y i 2=2cos θ∈（2，2）

（i =1，2，3，4）。

故四个交点共圆，并且这个圆的半径r =

2cos θ∈（2,24）.

点评：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查。

题型7：三角函数的应用

例13．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．

分析：本题入手要解决好两个问题，

（1）内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理；

（2）求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。

解析：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ，

，

。

又设矩形EFGH的面积为S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，

如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF ＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG 中，∠OGF＝150°

设矩形的面积为S ．

那么S ＝EFFG ＝4R 2

sin θsin(30°-θ) ＝2R 2

［cos(2θ－30°)－cos30°]

又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ－30°)＝1

。

五．思维总结

从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否。

1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：

（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角

如()ββαα-+=，()()

()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等；（3）注意倍角的相对性

（4）要时时注意角的范围

（5）化简要求

熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。

2．证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

3．解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

4．加强三角函数应用意识的训练

由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法。

5．变为主线、抓好训练

变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。

针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目。

三角函数恒等变换(整理)

高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<

4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0

简单的三角恒等变换(基础)

第20讲：简单的三角恒等变换【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定，或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( ) A．－B．－ C．0 D. 解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A. 答案A 6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( ) A．－B．－ C. D. 解析∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)， ∴sinα＋cosα＝. 答案C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若tan＝，则tanα＝________. 解析∵tan＝＝， ∴5tanα＋5＝2－2tanα. ∴7tanα＝－3，∴tanα＝－. 答案－ 8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．解析y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋＝2sin(2x－)＋，所以T＝π. 答案π 9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________. 解析f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x －φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.

三角函数及恒等变换高考题大全

三角函数题型分类总结一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。（3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江）已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+=

三角函数恒等变形公式

三角函数恒等变形公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数恒等变形公式以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asi nα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

三角函数恒等变换

§6.3 两角和与差的三角函数【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明．【双基诊断】（以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于（） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是（） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）.

5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于（） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是（） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是（）＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则.

13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为（） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。

三角恒等变换讲义

三角恒等变换讲义一、【知识梳理】： 1．两角和与差的三角函数公式 2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 3．公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)/(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)/ (1＋tan αtan β)． (2)升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2. (3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2 . (4)其他常用变形 sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α ； 1±sin α＝? ????sin α2 ±cos α22；tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．辅助角公式 a sin α＋ b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2. 5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝????π4＋α－π4＝? ???α－π3＋π3. (2)互余与互补关系：例如，????π4＋α＋????3π4－α＝π，????π3＋α＋????π6－α＝π2 . (3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°. 三、方法归纳总结： 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等． 2．三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角

三角恒等变形与三角函数的图像与性质典型题,复习课用教案

三角恒等变形与三角函数的图像与性质一、诊断练习 1、若 sin α＋cos α sin α－cos α ＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. 2、化简 1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1 tan 5? －tan 5°)＝________. 3、函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝________. 4、求sin cos y x x =+在 (0,]2 x π∈的值域是--------------- 二、典型例题例1已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3 5 (1) 用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin 2α，cos 2α的值．变式：已知sin ? ? ???x ＋π6＝14，则sin ? ????56π－x ＋sin 2? ????11π6－x 的值为________

例2已知函数f (x )＝sin 2? ? ???x －π6＋cos 2? ?? ??x －π3＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最大值及取得最大值时的x 的值； (2)求f (x )在[0，π]上的单调增区间．变式：（1）求f (x )的对称轴和对称中心（2）求f (x )的最小正周期（3）函数f (x )的图像是由sin y x =经过怎样的变换得到的。（4）若f (x )向左平移m （m>0）个单位，再向下平移1个单位后得到()g x ，若()g x 关于原点对称，求m 的最小值练习：已知函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π6－cos ? ? ? ??2x ＋π3＋2cos 2x . (1)求f ???? π12的值；(2)求f (x )的最大值及相应x 的值．

三角函数恒等变换

三角函数恒等变换一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示与α角终边的关系相同关于原点对称关于x 轴对称角 π-α 2π -α 2 π +α 图示与α角终边的关系关于y 轴对称关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式组数一二三四五六角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，

符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换

三角恒等变换知识点总结

、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ）； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形把两个三角函数的和或差化为形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2

三角函数恒等变形公式

三角函数恒等变形公式以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数: cos( a + 3)=cos a ? cos 3 -sin a ?sin 3 cos( a - 3)=cos a ? cos 3 +sin a ?sin 3 sin( a ±3 )=sin a ? cos 3 ±cos a ? sin 3 tan( a + 3)=(tan a +tan 3 )/(1-tan a ? tan 3 ) tan( a - 3)=(tan a -tan 3 )/(1+tan a ? tan 3 ) 三角和的三角函数： sin( a + 3 +Y )=sin a ? cos 3 ? cos 丫+cos a ? sin 3 ? cos 丫+cos a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? sin 丫cos( a + 3 + Y )=cos a ? cos 3 ? cos 丫-cos a ? sin 3 ? sin Y -sin a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? cos 丫 tan( a + 3 + Y )=(tan a +tan 3 +tan 丫-tan a ?tan 3 ? tan 丫)/(1-tan a ? tan 3 -tan 3 ? tan 丫-tan 丫? tan a ) 辅助角公式： Asin a +Bcos a =(A2+B2)A( 1/2)sin( a +t)，其中 si nt=B/(A2+B2)A(1/2) cost=A/(A2+B2)A(1/2) tan t=B/A As in a -Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( a -t) , tan t=A/B 倍角公式： sin (2 a )=2sin a? cos a :=2/(tan a +cot a ) cos(2 a )=cos2( a )- sin2( a )=2cos2( a )-仁1- 2sin2( a ) tan (2 a )=2tan a/[1- tan2( a )] 三倍角公式： sin (3 a )=3sin a-4sin3( a )=4sin a-sin(60+ a )sin(60- a ) cos(3 a )=4cos3( a )-3cos a =4cos a-cos(60+ a)cos(60- a ) tan(3 a )=tan a ? tan( n /3+a) ? tan( n /3-a) 半角公式： Sin( a /2)= ±V((1 -cos a )/2) cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2) tan( a /2)= ±V ((1 -cos a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a 降幕公式 sin2( a )=(1-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2 cos2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2 tan2( a )=(1-cos(2 a ))/(1+cos(2 a )) 万能公式： sin a =2tan( a /2)/[1+tan2( a /2)] cos a =[1- tan2( a /2)]/[1+tan2( a /2)] tan a =2tan( a /2)/[1- tan2( a /2)] 积化和差公式：

高考总复习简单的三角恒等变换习题

高考总复习简单的三角恒等变换习题 (附参考答案) 一、选择题 1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π 4)，x ∈R ，则函数f (x ) 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2的偶函数 [答案] A [解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π 2＝π. (理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π3 [答案] B [解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝ 1－cos2x 2＋1 2 sin2x ＝12＋2 2sin ????2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3 2 ，则cos2α＝( ) A ．－1 4 B ．－1 2 C.12 D.3 2 [答案] B [解析] ∵|a |2＝cos 2α＋?? ? ?222 ＝cos 2α＋12＝34， ∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1 2. 3．已知tan α 2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.4 15 D ．－35 [答案] B

[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α 2＝cos 2α2－sin 2 α2cos 2α2＋sin 2α2 ＝1－tan 2 α 21＋tan 2 α2 ＝1－91＋9＝－4 5 ，故选B. 4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B [解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C 2 ， ∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝1 2(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1， ∵－πcos x ，