[学业水平训练]
1．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( )
A ．180
B ．－180
C ．45
D ．－45
解析：选A.由已知得a 8＝C 810·22＝180.
2．(1＋x )n (3－x )的展开式中各项系数的和为1 024，则n 的值为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
解析：选B.由题意知(1＋1)n (3－1)＝1 024.
即2n ＋1＝1 024，
∴n ＝9.
3．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015的值为( ) A ．2 B ．0
C ．－1
D ．－2
解析：选C.(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015，
令x ＝12
， 则(1－2×12)2 015＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝0， 其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1. 4．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
解析：选B.x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23·2＝6.
5．在(x －2)2 014的二项展开式中， 含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )
A ．23 021
B ．－23 020
C ．23 020
D ．－23 021
解析：选B.因为S ＝(x －2)2 014－(x ＋2)2 014
2
， 当x ＝2时，S ＝－23 021
2
＝－23 020，故选B.
6.如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________． 解析：观察规律可知：第n 行的首尾两个数均为2n －1.
答案：2n －1
7．(2014·高考大纲全国卷)???
?x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 解析：由T r ＋1＝C r 8????x y 8－r ????－y x r ＝(－1)r C r 8x 8－3r 2·y 32r －4知，要求x 2y 2的系数，则??? 8－3r 2
＝2，32r －4＝2，解得r ＝4，
∴x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.
答案：70
8．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n
的值为________．
解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x
＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.
答案：5
9．求(1－x )8的展开式中
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最小的项．
解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间
一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．
即第4项和第6项系数相等且最小，
分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，
T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.
10．已知(12
＋2x )n ，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．
解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，
∴n ＝7或n ＝14，
当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，
T 4的系数为C 37(12)423＝352；T 5的系数为C 47(12
)324＝70； 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大项是T 8，T 8的系数为C 714(12
)727＝3 432. [高考水平训练]
1．(2013·高考课标全国卷 Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为
a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为
b .若13a ＝7b ，则m ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：选B.(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m ，同理，b ＝C m ＋12m ＋1.
∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1，
∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！
， ∴m ＝6.
2.把通项公式为a
n ＝2n －1(n ∈N *)的数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是________．
解析：设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)， ∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1
＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，
∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10,6)＝b 10＋2×(6－1)＝101.
答案：101
3．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .
解：令x ＝0，得a 0＝1＋1＋…＋1＝n ；
a n ＝1，令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ，
∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(2n －1)－n －1＝2n ＋1－n －3，
∴2n ＋1－n －3＝29－n ，∴n ＝4.
4．试用二项式定理证明：对一切n ∈N *，都有2≤(1＋1n
)n <3.
证明：∵(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n ·(1n )2＋C 3n (1n )3＋…＋C n n ·(1n )n ＝1＋1＋12！·(n －1n )＋13！
(n －1n )(n －2n )＋…＋1n ！(n －1n
)·(n －2n )…(1n )， ∴2≤(1＋1n )n <2＋12！＋13！＋…＋1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n
＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n
)＝3－1n <3. 当且仅当n ＝1时，(1＋1n
)n ＝2； 当n ≥2时，2<(1＋1n
)n <3. ∴对一切n ∈N *，都有2≤(1＋1n
)n <3.
1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，
杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.
1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C
二项式定理 知识要点 （一）探究 3 4 a b a b ++,（）（）的展开式 问题1：()()112233 a b a b a b +++（）展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题2：将上式中，若令123123, a a a a b b b b ======,则展开式又是什么？ 思考一：合并同类项后，为什么2 a b 的系数是3？ 问题3： 4 a b +（）的展开式又是什么呢？ 结论： 404132223344 44444a b C a C a b C a b C ab C b +=++++（）； （二）猜想、证明“二项式定理” 问题4： n a b +（）的展开式又是什么呢？ 思考二： （1） 将 n a b +（）展开有多少项？ （2）每一项中，字母,a b 的指数有什么特点？ （3）字母,a b 指数的含义是什么？是怎么得到的？ （4）如何确定,a b 的系数？ 二项式定理： 0111222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ()n *∈N ； （三）归纳小结：二项式定理的公式特征 （1）项数：_______； （2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______； （3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____； （4）通项：1k T +=__________；指的是第1k +项，该项的二项式系数为______； （5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做n a b +（）的二项展开式。
概率 2.1离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量 在射击比赛中，选手击中靶上的圆形或环形区域内得分，得分值由靶心往外依次可记为：10环，9环，8环，…，1环，0环。那么射击选手射击一次，可以出现的结果为：10环，9环，8环，…，1环，0环。 例如抛一枚硬币，所有可能的结果是：“正面向上”，“反面向上”。 1、 随机变量：在这些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是 随着试验的结果的不同而变化的，我们把变量X 叫做一个随机变量。 随机变量常用大写字母X,Y …表示。 例如：设某射击选手每次射击所得的环数是X ，那么X 是一个随机变量。X 的取值范围是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。 例：100件产品中，含有5件次品，从中取出4件，那么可能出现的“次品件数”。设X 是一个随机变量，X={ }。 练习1：写出下列各离散型随机变量可能取的值： （1）从10张已编号的卡片（1—10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； （2）抛掷一个骰子得到的点数； （3）一个袋子里装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； 练习2：把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分，列表写出可能出现的结果与对应的分值。 2、离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量。 二、离散型随机变量的分布列 1、 离散型随机变量X 的概率分布（或离散型随机变量X 的分布列） 概率分布表需要列出： （1） X 所有可能的值； （2） X 取每一个值的概率。如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2、 离散型随机变量的分布列有下面两条性质： （1） p i ≥0，i=1,2,3…. ，n ； （2） p 1+p 2+…+p n =1. 3、 两点分布：如果随机变量X 的分布列为 其中0 1．3．2“杨辉三角”与二项式定理 昌邑一中吴福顺 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2） . 2 ．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课： （首先介绍杨辉本人，让学生了解杨辉） 1 二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数 定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵， ∴相对于的增减情况由决定，， 当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 （讲解完成后，学生搜索有关二项式系数性质的网页，更加全面的了解二项式系数） 三、讲解范例： 例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则， 即， ∴， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． （搜索赋值法，了解什么是赋值法） 说明：由性质（3）及例1知 . 例2．已知，求： （1）；（2）；（3） . 解：（1）当时，，展开式右边为 ∴， 当时，，∴， （2）令，① 令，② ①②得：，∴ . （3）由展开式知：均为负，均为正， ∴由（2）中①+②得：， ∴， ∴ 例3.求 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 解： =， §1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城 【三维目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。 【教学重难点】 教学重点：二项式系数的性质及其应用； 教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 认识杨辉三角： 1 1 1 12 1 133 1 1464 1 1510105 1 161520156 1 你能发现这个三角数阵的几个规律： 从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？ 【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。 问题1：二项式展开式是： 试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式. (a+b)0 (1) (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2…………………………………………………12 1 (a+b)3………………………………………………133 1 (a+b)4……………………………………………1464 1 (a+b)5…………………………………………1510105 1 (a+b)6………………………………………161520156 1 …………………………… 【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数： 杨辉三角的规律以及定理 1 二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b) 2＝ a 2+2ab+b 2 此代数式的系数为： 1 2 1 则 (a+b) 3 的展开式是什么呢？答案为： a 3+3a 2b+3a b 2+b 3 由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1 但 似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b) 4 的展开式。 展开式为： a 4 +4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4 由此又可发现，代数式的系数为： 1 4641 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (11 ) 1 1 (11 1 ) 1 2 1 (11 2 ) 1 3 3 1 (11 3 ) 1 4 6 4 1 (11 4 ) 1 5 10 10 5 1 (11 5 ) 1 6 15 20 15 6 1 (11 6) 杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（ 1,3,3,1 ）,（ 1,4,6,4,1 ）（ 1,5,10,10,5,1 ）,（ 1,6,15,20,15,6,1 ）, （ 1,7,21,35,35,21,7,1）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。 由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2?n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2?n 次方。系数是 杨辉三角里的系数。 2 杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1=2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) ?? 相加得到的数是 1， 2， 4， 8， 16， 32， 64，?刚好是 2 的 0， 1，2， 3， 4， 5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除. 河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 杨辉三角与 二项式系数的性质教案 教学目标：掌握二项式系数的四个性质。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 一，复习1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式： 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） 课本32页探 究： ，。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性： ， 。 （2）增减性与最大值: , . . （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++， 令 ，则0122n r n n n n n n C C C C C =+++ +++ 三，课堂小练 （1）20)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （2）19)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是 。 注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。 （4）=++++77372717C C C C 。 三、讲解范例： 例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： 二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示： 表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 11 01C C 02 C 12 C 2 2C 0 3 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释） 【提示】设这一数为 r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： ③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点 n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n . 从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝ 当n=5及n=6时，分别作出其图象 图1 图2 据图可分析出函数r n C r f =)(，图象的对称轴是2 n r = 3、二项式系数的性质 据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． [典型问题] .已知5 15C =a ，9 15C =b ，那么10 16C =__________； “杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标： 1掌握二项式定理和二项式系数的性质。 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2）. 2．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论 对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 41二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式 系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两 项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 二、讲解范例： 例1．设， 当时，求的值 解：令得： ， ∴， 点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例2．求证：． 证（法一）倒序相加：设① 又∵② ∵，∴， 由①+②得：， ∴，即． （法二）：左边各组合数的通项为 ， ∴． 例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令，则展开式中各项系数和为， 又展开式中二项式系数和为， ∴，． （1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴，， （2）设展开式中第项系数最大，则， ∴，∴， 即展开式中第项系数最大，． 例4．已知， 求证：当为偶数时，能被整除 分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式∵， ∴，∵为偶数，∴设（）， ∴ （）， 当=时，显然能被整除， 当时，（）式能被整除， 所以，当为偶数时，能被整除 班级：姓名：填写日期： 杨辉三角和二项式系数的性质一．课题导入 复习二项式定理 二．学习目标（2分钟） 1.能认识杨辉三角,并能利用它解决实际问题。 2.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用解决相关问题. 3.会用赋值法求展开式系数的和. 三.预习指导 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数___________________. (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__________，即 __________________. 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“_____________”的两个二项式系数相等(即___________). (2)增减性与最大值：当k<_____________时，二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部 分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n是偶数时，中间一项______________取得最大值； 当n是奇数时，中间两项_______________相等，同时取得最大值. 四.引导探究 探究一二项式展开 （观察二项式系数，观察其系数的特点） 总结：杨辉三角的第n行中的数对应于二项式(a+b)n展开式的系数 探究２杨辉三角的主要性质 (观察杨辉三角，是总结出如下性质） (1)基本性质：___________________________________ (2)对称性：________________________________ (3)最值：______________________________________________ 探究三:杨辉三角各行数字和有何特点? 总结____________________________ 探究四与左斜边平行的直线所经过的数字之和？ 总结：__________________________________________________________________________ 例1、（04上海，春）在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_________________行中从左至右第14与第15个数的比为2：3. 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质（二） 班级 姓名 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，77771221 1---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是 （ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.! 201 23181920!417181920!21920C 0 4?????????+ ???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(12x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设11 2 1 3 1)1 3(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为2001 62007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除. 二项式定理和杨辉三角练习题 二项式定理练习题班级：__________姓名：___________ 一．选择题： 1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得 ( )． A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x5 ?1n2．若 x－x展开式的第4项为含x3的项，则n等于 ( )．?? A．8 B．9 C．10 D．11 ?13?n3．对于二项式 x＋x?(n∈N*)，有以下四种判断：?? ①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任 意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确 的是 ( )． A．①与③ B．②与③ C．②与④ D．①与④ 4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是 ( )． A．－297 B．－252 C．297 D．207 5．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 ( )． A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 二．填空题： 17?2x＋6. 的展开式中倒数第三项为________． x?? 1n?3的展开式中的常数项为84，则n＝________． 7．若 x＋xx?? 1?5?8．若 x2＋ax?6的二项展开式中x3的系数为2a＝________. ?? 9．已知(1＋ax)5＝1＋10x＋bx2＋…＋a5x5，则b＝________. ?21910．二项式 x＋x的展开式中整式项共有________项(用数字作答)．?? ?111．(1＋2x2) x－x8的展开式中的常数项为________．?? 12．233除以9的余数是________． ?5413．已知(xcos θ＋1)的展开式中x的系数与 x＋4的展开式中x3的系数相等，??52杨辉三角与二项式定理教学设计
杨辉三角与二项式定理导学案
杨辉三角的规律以与推导公式-杨辉三角规律
2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业.doc
高考数学总复习 杨辉三角与二项式系数的性质教案
教学案例.杨辉三角与二项式系数性质
杨辉三角与二项式系数的性质 说课稿 教案 教学设计
杨辉三角和二项式系数的性质
1.3.2杨辉三角与二项式系数(二)作业
二项式定理和杨辉三角练习题
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