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2016-2017-2第4章随机变量的数字特征

第三章随机变量的数字特征

第一节数学期望

一、教学要求：

1．理解随机变量的数学期望的概念，并会运用它的基本性质计算具体分布的期望 2．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望． 3．会根据随机变量X 的概率分布计算其函数()g X 的数学期望[]()E g X ；会根据随机变量(,)X Y 的联合概率分布计算其函数(,)g X Y 的数学期望[](,)E g X Y ．二、难点、重点：随机变量数学期望的计算

三、教学内容：

1、离散型随机变量的数学期望

设X 是离散型的随机变量，其概率函数为

如果级数

i i

a p ∑绝对收敛（i

a p <∞∑）

，则定义的数学期望（又称均值）为 ()i i

E X a p =∑；

（即：级数i i

a p ∑的和）（1）(1,)X B p

(1)()(1),0,1i i P X i p p i -==-=

()0(1)1E X p p p =?-+?= （2）(,)X B n p

()(1),0,1,2,i i

n i i n p P X i C p p i n -===-=

()(1)

(1)(1)!()!

n i

i n i i n

i i i n E X ip iC p p p p i n i --=====-=---∑∑∑

[]1(1)1

(1)!

(1)(1)!(1)(1)!

i n i i n np p p i n i ---=-=-----∑

（令'1i i =-）

'''

(1)

n i i n i n i np C

p p ----==-∑

1=(1)n np p p np -+-= （3）()X P λ

(),0,1,2,!

i p P X i e i i λλ-===

()!

(1)!

i i i i i E X ip i

e e e i i λ

λλλλλλλ-∞

∞∞

---========-∑∑∑

（4）（分赌本问题）甲乙两人各有赌本a 元，约定谁先胜三局就赢得2a 元，假定甲乙二人在每一局中的概率相等。现在已赌三局，结果甲是二胜一负，由于某种原因赌博终止，问如何分2a 元的赌本才合理？

如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的。著名物理学家和数学家Pascal 提出了一个合理的分法：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的。

易知，最多需要再赌两局，就能决出胜负。其结果为：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。

(),1,2,,i i P X a p i === X

设X 为甲最终所得，Y 为乙最终所得，则X,Y 的分布律分别为：

依据期望的定义，甲乙的期望所得分别为：

133311

()02,()02442442

E X a a E Y a a =?+?==?+?=

这就是甲乙应该分到的赌本。

2、连续型随机变量的数学期望

设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()xf x dx +∞

-∞

绝对收敛

（

()x f x dx +∞

-∞

<∞?

），则定义X 的数学期望为

．

数学期望()E X 完全由随机变量X 的概率分布所确定，若X 服从某一分布，也称()E X 是这一分布的数学期望。

（1）(,),()X U a b a b <

1()0X f x b a

=-??? a b <其他 2

111

()2

b b a

a a b

E X x dx x b a b a +==?=

--? （2）()X E λ

()0x e X f x λλ-?=?

0x x >≤ 0

()()()x x x E X x e dx xe d x xd e λλλλλ+∞

+∞

---=?=--=-???

=()x

x x x

xe e dx e d x e λλλλλλλ

+∞

-+∞

---+∞-+=-

-=-

（3）2

(,)X N μσ

2()2()x E X dx μσ--

+∞

-∞

=?（令x t μ

）

222

(t)t t e dt te dt μσμσμ+∞

+∞

-∞

+==?

3、随机变量函数的数学期望

设X 为离散型随机变量，其概率函数

如果级数

()i

g a p ∑绝对收敛（()i i i

g x p <∞∑

）

，则X 的函数()g X 的数学期望为

设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数

()()E X xf x dx

+∞

-∞=?(),1,2,,

i i P X a p i === [()]()i i

E g X g a p =∑

如果级数

(,)i

g a b p

∑∑绝对收敛，则(,)X Y 的函数g(,)X Y 的数学期望为

；

设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()()g x f x dx +∞

-∞

绝对收敛，

则X 的函数()g X 的数学期望为

．

设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分

(,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞

-∞

绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为

；

特别地

例题：

（1）(,),()X U a b a b <

1()0

X f x b a

=-??? a b <其他 (,),,1,2,,

i j ij P X a Y b p i j ==== [(,)](,)i j ij

E g X Y g a b p =∑∑();()i ij j ij

E X a p E Y b p ==∑∑

∑∑[()]()()E g X g x f x dx

+∞

-∞

=?[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy

+∞+∞

-∞

()(,)E x xf x y dxdy

+∞

-∞

()(,)E Y yf x y dxdy

+∞

-∞

2111()22b

b a a a b E X x

dx x b a b a +==?=--? 2222

3111()33

b b a a a ab b E X x dx x b a b a ++==?=--?

（2）()X E λ ()0

x e X f x λλ-?=?

? 0

0x x >≤ 0

()()()x x x E X x e dx xe d x xd e λλλλλ+∞

+∞

---=?=--=-???

=()x

x x x

xe e dx e d x e λλλλλλλ

+∞

-+∞

---+∞-+=-

-=-

2220

()()()x

x E X x e

dx x e

d x x d

e λλλλλ+∞

+∞+∞

---=?=--=-???

220

=2x

x x x e e dx xe dx λλλλ+∞

+∞-+∞---+==

（3）2(,)X N μσ

2()2()x E X dx μσ--

+∞

-∞

=?（令x t μ

）

222

(t)t t e dt te dt μσμσμ+∞

+∞

-∞

+==?

()22

2()x E X x dx μσ--

+∞

-∞

1.2

22221

1.22111=(1200)

120016001000dx dx dx x x x

+∞-++=???

4、数学期望的性质

(1) (其中c 为常数)；

(2) (为常数)；

(3) ；

(4) 如果与相互独立，则

例题：假设（X,Y ）服从A 上的均匀分布，其中A 为由x 轴、y 周及直线x+

()E c c =()()E kX b kE X b +=+,k b ()()()E X Y E X E Y +=+X ()()()E XY E X E Y =

5、常用分布的数学期望

四、小结

五、作业

第二节方差

一、教学要求：

1．理解随机变量的方差的概念，并会运用它的基本性质计算具体分布的方差 2．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的方差．二、难点、重点：

1、随机变量的方差的计算三、教学内容：

欲描述一组数据的分布单单有中心位置的指标是不够的，尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标。 1、方差的定义：

设随机变量，若[]2

()E X E X -存在，则称它为X 的方差。记为：

．

从方差的定义可知：

（1）若X 的取值比较集中，则方差较小；（2）若X 的取值比较分散，则方差较大；

（3）若方差()0D X =，则随机变量X 以概率1取常数值，此时，X 也就不是随机变量。 2、方差的计算：

由方差的定义可知：222()(())(2()(())D X E X E X E X XE X E X ????=-=-+????

22222()2(())(())()(())E X E X E X E X E X =-+=+

22()()(())D X E X E X =+

当X 为离散型随机变量，其概率函数为

如果级数

(())

i i i

a E X p -∑收敛，则X 方差为

；

当X 为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分收敛，

则的方差为

随机变量的标准差定义为方差

3、方差的性质 (1)

(c 是常数)；

(2)

(为常数)； (3) 如果与独立，则

对于任意n 个相互独立的随机变量12,,n X X X ，及常数12,,n k k k 有：

()()n n

i i i i i i D k X k D X ===∑∑

4、举例：

X 2()[()]D X E X E X =-(),1,2,,i i P X a p i === 2()(())i i

D X a

E X p =-∑()f x 2(())()x E X f x dx

+∞

-∞

-?X 2()(())()D X x E x f x dx

+∞

-∞

=-?X ()D X ()0D c =2

()()D kX k D X =k X Y ()()()D X Y D X D Y ±=+

（1）设随机变量X 具有数学期望(),E X μ=方差2()0D X σ=≠

记*

X X μ

则：[]*

()(

)()0X E X E E X μ

μσ

-==

**2*2222

222()()(())(())11()(())1

X X D X D E X E X E E X E X E X μ

μσσσμσ

σσ

--??

==-=?

???=-=-==

即*

X X μ

的数学期望为0，方差为1；*

X X μ

称为X 的标准化随机变量、

例2 设()X P λ ，求()D X 随机变量X 的分布律为：(),0,1,2,0!

P X k e k k λλλ-==

[]2()(1)((1))()E X E X X X E X X E X =-+=-+

((1))(1)

(2)!k

k k k E X X k k e

k k λ

λλλλ

-∞

∞

--==-=-==-∑∑

所以22

()E X λλ=+

故2222()()(())D X E X E X λλλλ=-=+-= 例3 假设(,)X U a b 求()D X

由上节可知：均匀分布的随机变量X 的密度函数1()0

f x b a ??

=-???a x b <<其他

数学期望()2

a b

E X +=

所以()2

222

1()()(())212b

b a a b D X E X E X x dx b a -+??=-=-=

?-??

例4 (,)X B n p 求()D X

当1n =时，此时为0-1分布(),()(1)E X p D X p p ==- 此时按照n 重伯努利试验1

i X X

∑12,,n X X X 独立同分布为0-1分布，应用方差的性

质：1

()D()()(1)n

i i D X X D X np p =====-∑∑

例5 设12,,n X X X 独立同分布，2

(),()i i E X D X μσ==，记1

i i X X n ==∑

证明：2

(),()E X D X n

σμ==

5、标准差：方差D(X)作为分散程度的一个指标，有一个缺陷，即方差的单位是X 单位的平方，为了单位的统一，常常使用衡量分散程度的另一个指标---标准差。定义随机变量X 的标准差()X σ为方差的算术平方根。

即()X σ=

5、例题 P84例1 例2 P86例3

四、小结

五、作业： P88 3 、 4

第四节随机变量矩、协方差与相关系数

一、教学要求：

1．理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算； 2．了解矩的概念。

二、难点、重点：

1、随机变量的协方差、相关系数的计算

2、矩、协方差矩阵

三、教学内容：

随机变量X 和Y 独立是X 和Y 之间的一种关系，并且有

[](()(()0E X E X Y E Y --=

由此可见，如果上式不成立，那么X 和Y 肯定不独立。而有一些随机变量尽管两者之间不独立，但任然可使上式成立。

如：设(,),sin ,cos U X Y θππθθ-== 由2

1X Y +=，显然X 和Y 不独立。

11()sin 0,()cosy 0,22E X xdx E Y dy π

ππ

=??

[]1(()(()=()sin cos 02E X E X Y E Y E XY x xdx π

ππ

--=

此例可见，[](()(()E X E X Y E Y --可以从某一侧面刻画X 和Y 之间的相关关系，我们称之为协方差。 1．协方差的定义设

为二维随机变量，随机变量的协方差定义为

．

意义：若cov(,)0X Y >，则平均来说，当变量X 相对于E(X)变大时，变量Y 也有相对于E(Y)随之变大的趋势；同样地，如X 相对于E(X)变小，则随之，Y 也有相对于E(Y)变小的趋势：而cov(,)0X Y <，则平均来说X 和Y 的变化趋势正好相反。 2、计算协方差常用下列公式：

．

当时，

．

(,)X Y (,)X Y cov(,)[(())(())]X Y E X E X Y E Y =--cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-X Y =cov(,)cov(,)()X Y X X D X =

3、协方差具有下列性质： (1) (c 是常数)； (2) ；

(3) (是常数)；

(4)

（5）cov(,)cov()X X X =

（6）当X 与Y 相互独立时，则cov(,)0X Y = 4、方差与协方差的关系

()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+± 特别地：若X 与Y 相互独立，则 ()()()D X Y D X D Y ±=+ 注：（1）上述结果可推广至n 维情形：

1()2cov(,)n n

i i i j i i i j n D X D X X Y ==≤<≤??=+ ???∑∑∑

（2）若12,,n X X X 两两独立，则 11

()n n

i i i i D X D X ==??= ???∑∑ *（3）如果X ，Y 的方差存在，则：

cov(,)0X c =cov(,)cov(,)X Y Y X =cov(,)cov(,)kX lY kl X Y =,k l 1212cov(,)cov(,)cov(,)

X X Y X Y X Y +=+

[

]cov(,)(()(()X Y E X E X Y E Y ≤--≤

5、相关系数

协方差cov(,)X Y 的单位是X 和Y 的单位的乘积，当X 、Y 使用不同的量纲时，其意义不明确。为此，令

'',()()

X Y

X Y X Y σσ=

此时，'',X Y 已是无量纲的纯量，由协方差的性质可知

''1

cov(,)cov(,)()()X Y X Y X Y σσ=

上式右边可理解为单位标准差的协方差，也是纯量。

由此，随机变量

的相关系数定义为

随机变量的数字特征试题答案

随机变量的数字特征试题答案 It was last revised on January 2, 2021

第四章随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26

7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）

第四章随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）

A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20，则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-

大数据的4V特征

大数据的4V特征近几年很多领域都在讨论如何发展和运用大数据，那么什么是大数据？大数据的特征是什么？好多人不怎么了解，下文对这些方面进行简单的阐述。（一）大数据（Big Data）大数据是指那些超过传统数据库系统处理能力的数据。它的数据规模和转输速度要求很高，或者其结构不适合原本的数据库系统。为了获取大数据中的价值，我们必须选择另一种方式来处理它。数据中隐藏着有价值的模式和信息，在以往需要相当的时间和成本才能提取这些信息。如沃尔玛或谷歌这类领先企业都要付高昂的代价才能从大数据中挖掘信息。而当今的各种资源，如硬件、云架构和开源软件使得大数据的处理更为方便和廉价。即使是在车库中创业的公司也可以用较低的价格租用云服务时间了。对于企业组织来讲，大数据的价值体现在两个方面：分析使用和二次开发。对大数据进行分析能揭示隐藏其中的信息。例如零售业中对门店销售、地理和社会信息的分析能提升对客户的理解。对大数据的二次开发则是那些成功的网络公司的长项。例如Facebook通过结合大量用户信息，定制出高度个性化的用户体验，并创造出一种新的广告模式。这种通过大数据创造出新产品和服务的商业行为并非巧合，谷歌、雅虎、亚马逊和Facebook它们都是大数据时代的创新者。（二）大数据的4V特征大量化(V olume)：企业面临着数据量的大规模增长。例如，IDC最近的报告预测称，到2020年，全球数据量将扩大50倍。目前，大数据的规模尚是一个不断变化的指标，单一数据集的规模范围从几十TB到数PB不等。简而言之，存储1PB数据将需要两万台配备50GB硬盘的个人电脑。此外，各种意想不到的来源都能产生数据。多样化(Variety)：一个普遍观点认为，人们使用互联网搜索是形成数据多样性的主要原因，这一看法部分正确。然而，数据多样性的增加主要是由于新型多结构数据，以及包括网络日志、社交媒体、互联网搜索、手机通话记录及传感器网络等数据类型造成。其中，部分传感器安装在火车、汽车和飞机上，每个传感器都增加了数据的多样性。快速化(Velocity)：高速描述的是数据被创建和移动的速度。在高速网络时代，通过基于实现软件性能优化的高速电脑处理器和服务器，创建实时数据流已成为流行趋势。企业不仅需要了解如何快速创建数据，还必须知道如何快速处理、分析并返回给用户，以满足他们的实时需求。根据IMS Research关于数据创建速度的调查，据预测，到2020年全球将拥有220亿部互联网连接设备。价值化（Value）：大量的不相关信息，浪里淘沙却又弥足珍贵。对未来趋势与模式的可预测分析，深度复杂分析（机器学习、人工智能Vs传统商务智能(咨询、报告等）蚁坊软件在舆情大数据处理中注重大量化、多样化、快速化、价值化，凭借自身的大数据平台为客户提供舆情应用服务，其中鹰击提供微博舆情监测分析服务，正是基于这四个维度，其舆情“早发现”的能力显著领先竞争对手，为舆情早报告、早响应提供先机；而蚁坊软件旗下的另外一款典型产品，则是从多样性（全网）、快速性方面独有优势——鹰眼提供全网舆情监测分析服务，方便客户“速读网”，掌控舆情发展态势。

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10

2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy

随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<=--其他,05,)()5(y e y y ?，则 _______________)(=XY E 。二、选择题

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题系专业班学号第四章随机变量的数字特征（一）一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数（B ）确定常数（C ）随机变量（D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

第四章随机变量的数字特征习题

第四章随机变量的数字特征一、填空题： 1. 设随机变量ζ~B(n,p) ,且5.0=ζE ，45.0=ζD ，则n= , p= 。 2. 设随机变量ξ表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则)(2 ξE = 。 3. 已知随机变量ξ的概率密度为1 22 1 )(-+-= x x e x π ?（+∞<<∞-x ），则 =)(ξE ，=)(ξD 。 4. 设随机变量ξ),(~b a U ，且2)(=ξE ，3 1)(= ξD ，则=a ，=b 。 5. 设随机变量ζ,有10=ζE ，25=ζD ，已知 0)(=+b a E ζ ，1)(=+b a D ζ 则 a= , b= , 或 a= , b= 。 6. 已知离散型随机变量ζ服从参数为2的普哇松分布，则随机变量23-=ζη的数学期望=ηE 。 7. 设随机变量1ξ]6,0[~U ，2ξ)2,0(~2 N ，且1ξ与2ξ相互独立，则 =-)2(21ξξD 。 8. 设随机变量n ζζζ,,,21 独立，并且服从同一分布。数学期望为a , 方差为2 σ，令 i n i n ζζ∑==1 1 ，则 =ζE ，=ζD 。

9. 已知随机变量ζ与η的方差分别为49=ζD ， 64=ηD ，相关系数 8.0=ζηρ，则=+)(ηζD ，=-)(ηζD 。 10. 若随机变量ζ的方差为004.0)(=ξD ，利用切比雪夫不等式知 {}≥<-2.0ξξE P 。二、选择题： 1. 设随机变量ζ的函数为b a +=ζη，（a , b 为常数），且ζE ，ζD 均存在，则必有（ C ）。 A. ζηaE E = B. ζηaD D = C. b aE E +=ζη D. b aD D +=ζη 2. 设随机变量ζ的方差ζD 存在，则=+)(b a D ζ（ B ）（a , b 为常数）。 A. b aD +ζ B. ζD a 2 C. b D a +ζ2 D. ζD a 3. 如果随机变量ζ~),(2σμN ，且3=ζE ，1=ζD ，则=≤<-)11(ζP （ D ）. A. 1)1(2-Φ B.)4()2(Φ-Φ C.)2()4(-Φ--Φ D.)2()4(Φ-Φ 4. 若随机变量ζ服从指数分布，且2 5.0=ζD ，则ζ的数学期望=ζE （ A ）. A. 21 B. 2 C. 4 1 D. 4 5. 设随机变量ζ的分布函数为?? ???>≤≤<=1 ,110, , 0)(3 x x x x x F ，则=)(ξE （ B ）. A. dx x ? +∞ 4 B. dx x ?1 2 3 C. ??+∞ +1 1 4 xdx dx x D. dx x ? +∞ 23 6. 设随机变量ζ的期望ζE 为一非负值，且2)12 ( 2 =-ζE ，2 1 )12 ( = -ζ D ，则

随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D

北师大版高中数学必修三§4 数据的数字特征

§4 数据的数字特征 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2标准差双基达标(限时20分钟) 1．已知一组数据20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )．A．平均数>中位数>众数

B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数解析中位数、平均数、众数都是50，从中看出一组数据的中位数、众数、平均数可以相同．答案 D 2．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )．A．81.2，4.4 B．78.8，4.4 C．81.2，84.4 D．78.8，75.6 解析由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差为4.4. 答案 A 3．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的平均值为( ) A．150.2克B．149.8克 C．149.4克D．147.8克解析这车苹果单个重量的平均值为 x－＝150＋152＋…＋147 10 ＝149.8(克)．故选B. 答案 B 4．已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且a

第三章随机变量的数字特征答案

第三章随机变量的数字特征答案一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征讨论随机变量数字特征的原因（1）在实际问题中，有的随机变量的概率分布难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。（2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。（3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下：解：平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?

设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为：若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。说明：（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均；（2）要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对收敛；（3）当X 服从某一分布时，也称某分布的数学期望为EX 。 ∑=k k k p x EX

例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ，则称X的数学期望不存在。例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX

随机变量的数字特征教案

§2.3.1随机变量的数字特征（二）学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．学习过程【任务一】双基自测 1．分布列为的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法题型一二项分布的均值例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分

100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望．题型二超几何分布的均值例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：

凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率；（2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；

第四章随机变量的数字特征课后习题参考答案

第四章随机变量的数字特征 1．解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。得， 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =?=。 2．解：1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3．解：1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑； 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4．解：（1）0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. （2）223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5．解：（1）3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. （２） 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑

随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法【学时分配】7-9学时分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如：评价粮食产量，只关注平均产量；研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数；评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度；评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。描述变量的平均值的量——数学期望，描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望；使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学过程： (一) 数学期望的概念先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值。显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）

随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第四章随机变量的数字特征（一）一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数（B ）确定常数（C ）随机变量（D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

随机变量的数字特征归纳

第四章随机变量的数字特征㈠数学期望表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望设服从以为参数的二项分布，，则。 4、泊松分布的数学期望设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布

设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a0，- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为，则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数) , (Y X g Z=，有类似的公式： (){} ? ? ? ? ?= = = ? ∑ ∞ ∞ ．；（连续型）离散型－ d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E

1.4《数据的数字特征》教学案

§1.4《数据的数字特征》教学案一、教学背景分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。)在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。二、教学目标 1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。 2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。三、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。四、设计思路 (1)、教法构想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。 (2)学法指导学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。五、教学实施导入新课提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周3 00元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。”工资表如下：

随机变量分布及数字特征

第十章随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法：结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求：（1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质（2）几种常见概率分布教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质教学难点：离散型随机变量的分布函数教学形式：多媒体讲授教学过程：一、新课教学内容 10.1 随机变量概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化．在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等．但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格合格事件10A A X ?=??发生与否用不发生发生这些事件数值化后，数量是会

变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量．定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值．举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类：（1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°．（2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°．例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率．解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面出现正面求出现正面与反面概率：解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天

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