兰州成功私立中学高中奥数辅导资料
（内部资料） §14不等式的证明
不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：
不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较
法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性）
（2）c b c a b a +>+?>（加法保序性）
（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n
n n n ∈>
>?>>
对两个以上不等式进行运算的性质.
（1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d
b c
a c d
b a >>
?>>>>
含绝对值不等式的性质：
（1）.)0(||2
2
a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2
2
a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）||||||||||||
b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++
证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造
函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.
例题讲解
1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++
2．0,,>c b a ，求证：.)
(3
c
b a c
b
a
abc c b a ++≥
3．：.222,,,3
3
3
2
22
22
2
ab
c
ca
b
bc
a
b
a c a
c b c
b a
c b a R c b a +
+
≤
++
++
+≤
++∈+
求证
4．设*
21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，
求证：.3
2
13
12
112
2
32
21n
a a a a n
n +
++
+
≤+
++
+
.
5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++
6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥
+b a
7．利用排序不等式证明n n A G ≤
8．证明：对于任意正整数R ，有.)
1
11()
11(1
+++
<+n n
n n
9．n 为正整数，证明：.)1(13
12
11]1)1[(11
1
----<+
++
+<-+n n n n n n
n n
课后练习
1.选择题
(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).
（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组
(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.
（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个
2．填空题
（1）的个位数分别为_________及_________.
(2)满足不等式104?A?105的整数A的个数是x×104+1，则x的值
________.
(3)已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.
(4)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.
3.求三个正整数x、y、z满足
.
4．在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？
5．求的整数解.
6．求证可被37整除.
7
．求满足条件的整数x ，y 的所有可能的值.
8．已知直角三角形的两直角边长分别为l 厘米、m 厘米，斜边长为n 厘米，且l ，m ，n 均为正整数，l 为质数.证明：2（l+m+n ）是完全平方数.
9.如果p 、q 、、都是整数，并且p ＞1，q ＞1，试求p+q 的值.
课后练习答案
1.D.C.
2.(1)9及1. (2)9. (3)4.
(4)原方程可变形为x 2
=(7y+1)2
+2y(y-7),令y=7可得x=50.
3.不妨设x?y?z,则,故x?3.又有故x?2.若x=2,则,
故y?6.又有,故y?4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z 无整数
解.若x=3,类似可以确定3?y?4,y=3或4,z 都不能是整数. 4.可仿例2解.
5. 分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．
的方法. 略解：ca a c bc c b ab b a 2,2,22
23222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证. 评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
如
n
n
x x x x x x x x x +++≥+
++
211
2
3
2
2
2
2
1
，可在不等式两边同时加上
.132x x x x n ++++
再如证)0,,(256)())(1)(1(3
2233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不
等式.
（2）基本不等式有各种变式 如2
)2
(
2
22
b a b a +≤
+等.但其本质特征不等式两边的次
数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.
6.8888≡8(mod37),∴8888
2222
≡82
(mod37).
7777≡7(mod37),77773333
≡73
(mod37),88882222
+7777
3333
≡(82+73
)(mod37),而
82+73
=407,37|407,∴37|N.
7.简解:原方程变形为3x 2
-(3y+7)x+3y 2
-7y=0由关于x 的二次方程有解的条件△?0及y 为整数可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).
8.∵l 2
+m 2
=n 2
,∴l 2
=(n+m)(n-m).∵l 为质数,且n+m ＞n-m ＞0,∴n+m=l 2
,n-m=1.于是l 2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l 2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l 2+2l+1=(l+1)2
.即2(l+m+1)是完全平方数.
9.易知p≠q,不妨设p ＞q.令
=n,则m ＞n 由此可得不定方程
(4-mn)p=m+2,解此方程可得p 、q 之值.
例题答案：
1. 证明：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++
)()()()
2()2()2(2
222
2
2
2
2
2
≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a
.6)()()(a b c a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴
评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +
)(ca bc ab ++-配方为
])()()[(2
12
2
2
a c c
b b a -+-+-，亦可利用,22
2ab b
a ≥+
ca
a
c bc c
b 2,22
22
2≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式
获证.
2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.
不等式关于c b a ,,对称，不妨+
∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且c
b
b a ,， c
a 都大于等于1.
.
1)()()()
(3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
23
23
23
≥??=?????==---------------++c a c b b a b
c a
c c
b a
b c
a b
a b
a c c
a b c
b a c
b a c
b
a
c
a c
b b
a c
c
b
b
a
a
c
b
a
abc c
b a
评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若≥=>n
a n
a a
i a a a n i a 2
12
1),,,2,1(0则
.)
(2121n
a a a n n
a a a +++
（3）本题还可用其他方法得证。因a b b a b a b a ≥，同理c a a c b c c b a c a c c b c b ≥≥,，
另c b a c b a c b a c b a ≥，4式相乘即得证.
（4）设.lg lg lg ,0c b a c b a ≥≥≥≥≥则例3等价于,lg lg lg lg a b b a b b a a +≥+类似例4可证.lg lg lg lg lg lg lg lg lg a c b b c a a c c b b a c c b b a a ++≥++≥++事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：
设有两个有序数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则n n b a b a b a +++ 2211（顺
序和）
n j n j j b a b a b a +++≥ 2121（乱序和）
1111b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）
其中n j j j n ,,2,1,,,21 是的任一排列.当且仅当n a a a === 21或
n b b b === 21时等号成立.
排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数
组
的
积
的
形
式
.如
c c b b a a a c c b b a c b a R c b a ?+?+??++≥++∈+
2
2
2
2
2
2
3
3
3
,,,时
c
c b
b a
a a
c c
b b
a c
b a a
c
c
b
b
a
a c c
b b a 111111;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?
+?
+?
≥?
+?
+?
?++≥+
+
?+?+?≥.
3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
不妨设a
b
c
c b a c b a 111,
,2
2
2
≥
≥
≥≥≥≥则，则b
c a
b c
a 1112
2
2
?
+?
+?
（乱序和）
c c b b a a 1112
2
2
?+?+?≥（逆序和），同理b
c a
b c
a 1112
2
2
?
+?
+?
（乱序和）
c
c b
b a
a 1112
2
2
?+?
+?
≥（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数
组ab
ac
bc
c b a 1113
3
3≥≥
≥≥及
，仿上可证第二个不等式. 4.分析：不等式右边各项
2
2
1i
a i
a i i ?
=；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.
设n n a a a b b b ,,,,,,2121 是的重新排列，满足n b b b <<< 21，
又.13
12
112
2
2
n
>>>>
所以2
2
32
212
32
213
2
3
2
n
b b b b n
a a a a n n +++
+
≥+
+++
.由于n b b b ,,21是互不相同的正整
数，故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n
n
b b b b n 12
113
2
2
2
32
21+
++
≥++++
，原式得证.
评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22a b b a b a ?+?≥+
.
32
22333abc ab c ac b bc a ca c bc b ab a a c c b b a c b a =?+?+?≥?+?+?=?+?+?≥++
5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法.
ca a
c bc c b ab b a 2,2,22
2
3
2
2
2
≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证.
评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
如
n
n
x x x x x x x x x +++≥+
++
211
2
3
2
2
2
2
1
，可在不等式两边同时加上
.132x x x x n ++++
再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不
等式.
（2）基本不等式有各种变式 如2
)2
(
2
22
b a b a +≤
+等.但其本质特征不等式两边的次数及
系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1. 6. 思路分析：不等式左边是a 、b 的4次式，右边为常数8
1，如何也转化为a 、b 的4次
式呢. 要证,8
14
4≥
+b a 即证.)(8
14
4
4
b a b
a
+≥
+
评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知,0,1321≥=++i x x x x 求证：3
231x x +
.3
13
3
≥
+x 右侧的
3
1可理解为.)(3
1
3321x x x ++再如已知0321=++x x x ，求证：
3221x x x x + +013≤x x ，此处可以把0理解为2
321)(8
3
x x x ++，当然本题另有简使证法.
（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于n 个正数),,21n a a a
调和平均n
n a a a n
H 1112
1
+
++=
几何平均n
n n a a a G 21?=
算术平均n
a a a A n
n +++=
21
平方平均2
2
2
22
1n
n a a a Q +++=
这四个平均值有以下关系：n n n n Q A G H ≤≤≤，其中等号当且仅当
n a a a === 21时成立.
7. 证明: 令),,2,1(,n i G a b n
i i ==
则121=n b b b ，故可取0,,21>n x x x ，使得
1
113
222
11,,,,x x b x x b x x b x x b n n n
n n =
=
==-- 由排序不等式有：
n b b b +++ 21
=
1
3
22
1x x x x x x n +
++
（乱序和）
n
n x x x x x x 1112
21
1?
++?
+?≥ （逆序和）
=n ，
.,2121n n
n
n n
n
G n
a a a n G a G a G a ≥+++≥+
++∴ 即
评述:对
n
a a a 1,
,1
,
12
1 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，n n A G ≤.
8. 分析:原不等式等价于1
11)
11(1++
<++n n
n n
，故可设法使其左边转化为n 个数的几何
平均，而右边为其算术平均.
.111121)11()11(1)11()11()
11(1
1
1
++=++=+++
+
+++n n n n n n n n
n n n n n
个
评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等
式形式相近.类似可证.)
1
11()
11(2
1
++++
<+n n n n
（2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁. 9.证明:先证左边不等式
n
n n n
n n n n 1312
111)1(13
1211]1)1[(1
1
+
++
+
<
-+?+
+++
<-+
? n
n
n
n n ++++
+
<
+13
12
11)1(1
n
n n n )
11(
)131
(
)12
1(
)11()1(1
++++++++<
+?
(*)13
42321n
n
n n n
+++++
<
+?
.113
42
3213
42
32n
n
n n
n n
n
n +=
++
++
+
>
++++
+
∴ （*）式成立，故原左边不等式成立. 其次证右边不等式
1
1)1(131211--?--<+
+++
n n
n n n
1
)
11()31
1()2
11(11
)131
2
11(1
1
1--
++-
+-<
?
-+
++
+-<
?---
n n
n
n n
n n
n n
? 1
13
22
1
11
--+++
<
-n n
n n
n （**）
（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.
§15不等式的应用
1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）
jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）
1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）
其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或
n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.
2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：
设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是
n
n n n
n a a a G n
a a a A 2121=
+++=和
此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到
n
n a a a n
H 1112
1
+
++=
，
和平方平均（在统计学及误差分析中用到）
n
a a a Q n
n 2
2
22
1+++=
这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○
* 3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则
).)(()(2
2
22
12
2
22
12
2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++
等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.
切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ， 则.21212211n
b b b n
a a a n
b a b a b a n
n
n
n +++?+++≥+++
例题讲解
1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++
2．0,,>c b a ，求证：.)
(3
c
b a
c b a abc c b a ++≥
3．：.222,,,3
3
3
2
22
22
2
ab
c
ca
b
bc
a
b
a c a
c b c
b a
c b a R c b a +
+
≤
++
++
+≤
++∈+
求证
4．设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，
求证：.3
2
13
12
112
2
32
21n
a a a a n
n +
++
+
≤+
+++
.
5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++
6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8
14
4
≥
+b a
7．利用排序不等式证明n n A G ≤
8．证明：对于任意正整数R ，有.)
1
11()
11(1
+++
<+n n
n n
9．n 为正整数，证明：.)1(13
12
11]1)1[(1
1
1
----<+
++
+
<-+n n
n
n n n
n n
例题答案：
1. 证明：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++
)
()()()
2()2()2(2
222
2
2
2
2
2
≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a
.6)()()(a b c a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴
评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将2
2b a +
)(ca bc ab ++-配方为
])()()[(2
12
2
2
a c c
b b a -+-+-，亦可利用,22
2ab b
a ≥+
ca
a
c bc c
b 2,22
22
2≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式
获证.
2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.
不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且
c b b a ,
c
a
都大于等于1.
.
1)()()()
(3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
23
23
23
≥??=?????==---------------++c a c b b a b
c a
c c
b a
b c
a b
a b
a c c
a b c
b a c
b a c
b
a
c
a
c
b
b a
c
c
b
b
a
a
c
b
a
abc c
b a
评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若≥=>n
a n
a a
i a a a n i a 2
12
1),,,2,1(0则
.)
(2121n
a a a n n
a a a +++
（3）本题还可用其他方法得证。因a b b a b a b a ≥，同理c a a c b c c b a c a c c b c b ≥≥,，
另c b a c b a c b a c b a ≥，4式相乘即得证.
（4）设.lg lg lg ,0c b a c b a ≥≥≥≥≥则例3等价于,lg lg lg lg a b b a b b a a +≥+类似例4可证.lg lg lg lg lg lg lg lg lg a c b b c a a c c b b a c c b b a a ++≥++≥++事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：
设有两个有序数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则n n b a b a b a +++ 2211（顺
序和）
n j n j j b a b a b a +++≥ 2121（乱序和）
1111b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）
其中n j j j n ,,2,1,,,21 是的任一排列.当且仅当n a a a === 21或
n b b b === 21时等号成立.
排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数
组
的
积
的
形
式
.如
c c b b a a a c c b b a c b a R c b a ?+?+??++≥++∈+
2
2
2
2
2
2
3
3
3
,,,时
c
c b
b a
a a
c c
b b
a c
b a a
c
c
b
b
a
a c c
b b a 111111;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?
+?
+?
≥?
+?
+?
?++≥+
+
?+?+?≥.
3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
不妨设a
b
c
c b a c b a 111,
,2
2
2
≥
≥
≥≥≥≥则，则b
c a
b c
a 1112
2
2
?
+?
+?
（乱序和）
c c b b a a 1112
2
2
?+?+?≥（逆序和），同理b
c a
b c
a 1112
2
2?
+?
+?
（乱序和）
c
c b
b a
a 1112
2
2
?+?
+?
≥（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数
组ab
ac
bc
c b a 111333≥≥
≥≥及
，仿上可证第二个不等式. 4.分析：不等式右边各项
2
2
1i
a i
a i i ?
=；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.
设n n a a a b b b ,,,,,,2121 是的重新排列，满足n b b b <<< 21， 又.13
12
112
2
2
n
>>>>
所以2
2
32
212
32
213
2
3
2
n
b b b b n
a a a a n n +++
+
≥+
+++
.由于n b b b ,,21是互不相同的正整
数，故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n
n
b b b b n 12
113
2
2
2
32
21+
++
≥++++
，原式得证.
评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22a b b a b a ?+?≥+
.
32
22333abc ab c ac b bc a ca c bc b ab a a c c b b a c b a =?+?+?≥?+?+?=?+?+?≥++
5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法.
ca a
c bc c b ab b a 2,2,22
2
3
2
2
2
≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证.
评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
如
n
n
x x x x x x x x x +++≥+
++
211
2
3
2
2
2
2
1
，可在不等式两边同时加上
.132x x x x n ++++
再如证)0,,(256)())(1)(1(3
2233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不
等式.
（2）基本不等式有各种变式 如2
)2
(
2
22
b a b a +≤
+等.但其本质特征不等式两边的次数及
系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1. 6. 思路分析：不等式左边是a 、b 的4次式，右边为常数8
1，如何也转化为a 、b 的4次
式呢.
要证,8
144≥
+b a 即证.)(8
14
4
4
b a b
a
+≥
+
评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知,0,1321≥=++i x x x x 求证：3
231x x +
.3
133
≥
+x 右侧的
3
1可理解为.)(3
1
3321x x x ++再如已知0321=++x x x ，求证：3221x x x x +
+013≤x x ，此处可以把0理解为2321)(8
3
x x x ++，当然本题另有简使证法.
（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于n 个正数),,21n a a a
调和平均n
n a a a n
H 1112
1
+
++=
几何平均n
n n a a a G 21?=
算术平均n
a a a A n
n +++=
21
平方平均2
2
2
22
1n
n a a a Q +++=
这四个平均值有以下关系：n n n n Q A G H ≤≤≤，其中等号当且仅当
n a a a === 21时成立.
7. 证明: 令),,2,1(,n i G a b n
i i ==
则121=n b b b ，故可取0,,21>n x x x ，使得
1
113
222
11,,,,x x b x x b x x b x x b n n n
n n =
=
==-- 由排序不等式有：
n b b b +++ 21
=
1
3
22
1x x x x x x n +
++
（乱序和）
n
n x x x x x x 1112
21
1?
++?
+?≥ （逆序和）
=n ，
.,2121n n
n
n n
n
G n
a a a n G a G a G a ≥+++≥+
++∴ 即
评述:对
n
a a a 1,
,1
,
1
2
1 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，n n A G ≤.
8. 分析:原不等式等价于1
11)
11(1++
<++n n
n n
，故可设法使其左边转化为n 个数的几何
平均，而右边为其算术平均.
.111121)11()11(1)11()11()
11(1
1
1
++=++=+++
+
+++n n n n n n n n
n n n n n
个
评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等
式形式相近.类似可证.)
1
11()
11(2
1
++++
<+n n n n
（2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁. 9.证明:先证左边不等式
n
n n n
n n n n 13
12
111)1(13
1211]1)1[(1
1
+
++
+
<
-+?+
+++
<-+
? n
n
n
n n ++++
+
<
+13
12
11)1(1
n
n n n )
11(
)131
(
)12
1(
)11()1(1
++++++++<
+?
(*)13
42321n
n
n n n
+++++
<
+?
.113
42
3213
42
32n
n
n n
n n
n
n +=
++
++
+
>
++++
+
∴ （*）式成立，故原左边不等式成立. 其次证右边不等式
1
1)1(131211--?--<+
+++
n n
n n n
1
)
11()31
1()2
11(11
)131
2
11(1
1
1--
++-
+-<
?
-+
++
+-<
?---
n n
n
n n
n n
n n
?
1
13
22
1
11
--+++
<
-n n
n n
n （**）
（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.
高中数学第一章-集合 考试容：集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合. （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. §01.集合与简易逻辑知识要点 一、知识结构： 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用^ 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法^ 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 ^ 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 A A; ②空集是任何集合的子集，记为A; ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A B ,同时B A,那么A = B. 如果A B, B C,那么A C. ［注］:①Z= ｛整数｝（3 Z =｛全体整数｝（X） ②已知集合S中A的补集是一个有限集，贝U集合A也是有限集.（X）（例：S=N ; A= N 则CA= ｛0｝） ③空集的补集是全集. ④若集合A=集合B,则C A= , C B = 。（C B）=D （注：C B = ）. 3. ①｛（x, V）|xy =0 , x￡ R, y￡R｝^标轴上的点集.
②((x, y) |xyv 0, x€ R, y€ R 二、四象限的点集 ③{ (x, y) |xy> 0, x￡ R, y€ R } 一、三象限的点集.［注］：①对方程组解的集合应是点集 x y 3 例： 解的集合{(2, 1)}. 2x 3y 1 ② 点集与数集的交集是 .(例：A ={(x, y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1}则An B =) 4. ①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有 2n -1个. ③n 个元素的非空真子 集有2n - 2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 .否命题 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真 .原命题 逆否命题. 例：①若a b 5,则a 2或b 3应是真命题. 解：逆否：a = 2且b = 3 ,贝U a+b = 5 ,成立，所以此命题为真 . ② x 1 且y 2,三二 x y 3. 解：逆否:x + y =3 *x = 1 或 y = 2. x 1且y 2扫^x y 3,故x y 3是x 1且y 2的既不是充分，又不是必要条件 ⑵小围推出大围；大围推不出小围 3. 例：若 x 5, x 5或x 2 . 4. 集合运算：交、并、补. 父：A B {x|x A,且 x B} 并：A^B {x|x A 或x B} 补：G J A {x U,且x A 5. 主要性质和运算律 求补律：AA U A=()) A U U A=U U U=()) U =U U U( U A)= A (1) 包含关系： A A, A, A U ,C U A U, A B, B C (2) 等价关系：A (3) 集合的运算律： 交换律：A B 结合律：(A B) 分配律:.A (B 0-1 律：「A 等藉律：A A A C;A 「 B A,A 「B B; A B A 「B A A^B B B A; A B B A. C A (B C);(A B) C C) (A B) (A C); A (B ,U A A ,U 「 A A ,U IJ A A, A A A. .|J B A, 41 B B. C UA U B U A ( B C) C) (A B) (A C) U
高中数学竞赛培训资料 函数 例一． 定义在R 上的函数f(x)满足:f(x － x 1)=x 2+21x （对所有x ≠0） 则f(x)的表达式是 例二． 函数f(x)对任意正实数x ，y 满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，求f(641)之值。 例三． 设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx+d ，其中a ，b ，c ，d 是常数，若f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30， 求f(10)+f(－6) 例四． 对于每个实数x ，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大 值是多少？ 例五． （91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对一切实数x 都满足：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0 恰有6个不同的实根，则这6个实根之和为 （A ） 18 （B ） 12 （C ） 9 （D ） 0 例六．（88年全国联赛试题）设有三个函数，第一个是y=)(x ?，它的反函数就是第二个函 数，而第三个函数的图象与第二个函数图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是 (A) y=)(x ? （B ）y=－)(x -? (C) y=－)(1x -? (D) y=－)(1 x --? 例七．设f(x)=2 442 +x ，求f(10011)+f(10012)+f(10013)++ f(10011000) 之值。 例八．定义在R 上的函数y=f(x)具有以下性质 1． 对任何x ∈R 都有f (x 3 ) = f 3 (x) 2． 对任何x 1, x 2 ∈R 且x 1≠x 2 都有f (x 1)≠f (x 2) 则f 2（－1）+f 2（0）+f 2（1）=
高中数学第一章-集合 https://www.doczj.com/doc/8b11814411.html, 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： https://www.doczj.com/doc/8b11814411.html, （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ? ?=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子 集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255πφφx x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. {|,}{|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C （2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C （3） 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U
必修5知识点总结 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． （正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。） ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 有无交点： 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a
高中数学教师培训心得体会 数学是一们基础学科,也是是高考科目之一.高中数学知识的难度相对初 中数学来说比较大,内容比较多,有一部分同学由于不适应这种变化,数学成绩总是不如人意,甚至影响到学习的积极性,产生厌学心理.出现这样的情况,下面是本人整理的关于高中数学教师培训心得体会，欢迎阅读! 高中数学教师培训心得体会一 我很荣幸地参加了河北省20XX年中小学教师省级培训项目学习。培训的内容丰富多彩，培训的方式多种多样，既有专家的报告，又有特级教师的核心理念，还有视频观摩研讨。为期十天的培训，我感觉每天都是充实的，因为每天都要面对不同风格的讲师，每天都能听到不同类型的讲座，每天都能感受到思想火花的冲击。在培训中，我进一步认识了新课程的发展方向和目标，反思了自己以往在工作中的不足。作为一名中青年教师，我深知自己在教学上是幼稚而不成熟的，在教学过程中还存在太多的问题，但是，经过一段时间的学习，我相信我还是有收获的。一些对教育教学工作很有见解的专家以鲜活的案例和丰富的知识内涵，给了我具体的操作指导，使我的教育观念进一步得到了更新，真是受益匪浅。在千万教师中,能参加这样的培训，我想我是幸运的、是幸福的。 现将学习培训情况总结于后，呈请上级领导审阅，不当之处恳请批评指正。 一、学习收获： 此次培训学习河北师范大学领导非常重视，从授课人员安排来看：安排的大学教师全是教授级别的老师，中学全是全省以及全国知名的特级和优秀教师。从授课时间任务来看：时间紧任务重，但是河北师范大学的领导、老师(特别是班主任闫老师和张老师)特别尽职，安排具体，服务到位，一些细节工作落实得好，如我们的住宿安排，组织班级学员的交流活动等，大家比较满意，评价很高，
高中数学新课标学习心得体会 高中数学课程是义务教育或普通高级中学的一门主要课程，它从国际意识、时代需求、国民素质、个性发展的高度出发，是对于数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题，分析问题、解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 高中数学课程力求将教育改革的基本理念与课程的框架设计、内容确定以及课程实施有机结合起来。 一、课程的基本理念 总体目标中提出的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）本人认为可以简单的这样表述：数学知识是“数与形以及演绎”的知识。所谓数学事实指的是能运用数学及其方法去解决的现实世界的实际问题，数学活动经验则是通过数学活动逐步积累起来的。 1、基本的数学思想 基本数学思想可以概括为三个方面：即“符号与变换的思想”、“集合与对应的思想”和“公理化与结构的思想”，这三者构成了数学思想的最高层次。 2、重视数学思维方法 高中数学应注重提高学生的数学思维能力，着是数学教育的基本目标之一。数学思维的特性：概括性、问题性、相似性。数学思维的结构和形式：结构是一个多因素的动态关联系统，可分成四个方面：数学思维的内容（材料与结果）、基本形式、操作手段（即思维方法）以及个性品质（包括智力与非智力因互素的临控等）；其基本形式可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种类型。 3、应用数学的意识 这个提法是以前大纲所没有的，这几年颇为流行，未见专门的说明。结合当前课改的实际情况，可以理解为“理论联系实际”在数学教学中的实践，或者理解为新大纲理念的“在解决问题中学习”的深化。 4、注重信息技术与数学课程的整合 高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。在保证笔算训练的全体细致，尽可能的使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 二、课程设置 1、高中数学课程分为必修课程与选修课程两部分. 2、设置了数学探究、数学建模、数学文化内容 3、模块的逻辑顺序 必修课程是选修课程的基础，学校应在保证必修课程，选修系列1、2开设的基础上，开设其他系列课程，以满足学生的基本选择需求，并积极开发、利用校外课程资源。教师也应根据自身条件制定个人发展计划。 三、内容标准 高中课程的内容是数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程、和实际应
高三数学二轮复习全套资料 高中数学第一章-集合 考试容： 集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，.
[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ? ?=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集 有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小围推出大围；大围推不出小围. 3. 例：若255 x x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. {|,}{|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????C （2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C （3） 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==
高中数学具体内容详见以下表格。 高一：（第一阶段：9月（暑假7，8月），第二阶段：3月（寒假2月）） 课时数：预计正常学习课时数目 情况分析： 人教版新课标的课程紧张，大多数学校在赶进度，所以很多知识点都学习的比较笼统。不少学校频繁的考试，同学的压力很大，再加上科目多，内容杂，高一的学习反而是很困难的。 在高一阶段，必修4中的三角函数部分由于需要记忆大量的公式，故整体较难。必修5部分《数列》是整个高中阶段最难的一部分知识。主要是一些特殊数列的性质的应用和常见的求通项和求和问题。必修2中的立体几何同样也是高中阶段较难的一部分，特别是对于同步的学生，由于空间思维能力还有一定的局限性，故学习起来很吃力。整体来看学生在高中一年级急需课外的辅导来弥补知识漏洞。 xx：课时流程文科 （第一阶段：9月（暑假7，8月），第二阶段：3月（寒假2月）） xx：课时流程理科 （第一阶段：9月（暑假7，8月），第二阶段：3月（寒假2月）） 情况分析： xx阶段xx学习到的知识相比于高一而言较简单，一般从下学期就进入了总复习状态，理科生则需要继续学习很多的内容，到xx学期末或者到xx才会进入总复习状态。因此在xx学期末的暑假可以将招生目标放在这些学生身上。 xx：课时流程理科 （第一阶段：9月（暑假7，8月），第二阶段：3月（寒假2月））
情况分析：在xx阶段有的学校会依照上表内容进行有针对性的讲解，而有的学校在xx阶段不讲选修4 1、选修4-4，而是直接进入总复习状态。而在复习的过程中对该内容进行必要的应试性讲解。建议主任们通过你们教学点的专职老师了解更详细的具体学校的具体情况。
高中数学骨干教师培训总结 高中数学骨干教师培训总结年6月24日7月4日，我有幸参加了广东省教育局厅主办，师范大学承办的高中数学骨干教师培训。来自全省各地市的高中数学骨干教师进行了为期10天的培训，主要采用专题报告、讲座等形式进行理论学习。让我们得以与众多教授、名师面对面地座谈、交流，倾听他们对数学教学的理解，感悟他们的教育教学思想方法。这次培训内容丰富，安排合理，使我们受益匪浅。 （一）一流专家讲座，提升思想理念我们这次培训班听了与二师的知名教授及部分学校的名校长、名师的讲座，从师德、当前教育教学改革动向、教科研、课堂教学专题、教材解读、现代教育技术应用等多方面进行，各位知名专家、学者、特级教师从自己切身的经验体会出发，畅谈了他们对师德以及教学等教育教学各个领域的独特见解。让我们更清晰地意识到作为一个线的中学教师该如何看待自己所处的位置，该如何去提升自己的专业水平。在知识方面，我们深感知识学问浩如烟海，也深深地体会到教学相长的深刻内涵。教师要有精深的学科专业知识，广博的科学文化知识，丰富的教育和心理科学知识。知识结构要合理，当今的自然科学，社会科学和人文科学互相渗透，相互融合，只懂自己专业的知识是远远不够的，这一点我们在学习中体会很深。精深的专业知识是教师担任教学工作的基础。这就要求教师要扎
实的掌握本学科的基础理论，基础知识以及相应的技能，并运用自如。熟悉本学科的学习方法和研究方法，同时还要具备一定的与本学科相关的知识。学员们在这次培训中发现自己专业知识还很欠缺。只有掌握全面的学科知识才能在教学过程中高屋建瓴的处理好教材，把握住教材的难点，才能有对教材内容深入浅出的讲解。从而保证教学流畅地进行，使学生既学到知识，又掌握学习方法和发展能力。 （二）优秀学员论坛，提升学员理论水平在理论培训阶段，为了提升每位学员自身的理论水平，专家们都会预留一定的时间与学员们交流，学员们畅所欲言，许多提出的观点和问题，这些数学教学中的实际问题，引起全体学员的一致共鸣的同时，也得到专家们的重视，他们的回答也给了我们很好的启示，对于我们今后的教学有着积极的促进作用。 （三）答疑解困，理论水平提高的源泉这次培训要求每个学员每天都要做笔记，在自己的博客上写反思，写心得体会，提出困惑。也为我们学习和交流提供了一平台。 这次理论培训，就自身更新优化而言，使学员们树立了终身学习的思想。通过培训，感觉以前所学的知识太有限了，看问题的眼光也太肤浅了。教师只有树立"活到老，学到老"的终身教育思想，才能跟上时代前进和知识发展的步伐，才能胜任复杂而又富有创造性的教育工作。只有不断学习，不断充实自己的知识，
( 校园活动总结) 姓名：____________________ 单位：____________________ 日期：____________________ 编号：YB-BH-072309 高中数学骨干教师培训总结A summary of the training of high school mathematics backbone
高中数学骨干教师培训总结 XX年6月24日——7月4日，我有幸参加了广东省教育局厅主办，xx师范大学承办的高中数学骨干教师培训。来自全省各地市的高中数学骨干教师进行了为期10天的培训，主要采用专题报告、讲座等形式进行理论学习。让我们得以与众多教授、名师面对面地座谈、交流，倾听他们对数学教学的理解，感悟他们的教育教学思想方法。这次培训内容丰富，安排合理，使我们受益匪浅。 （一）一流专家讲座，提升思想理念！ 我们这次培训班听了xx与二师的知名教授及部分学校的名校长、名师的讲座，从师德、当前教育教学改革动向、教科研、课堂教学专题、教材解读、现代教育技术应用等多方面进行，各位知名专家、学者、特级教师从自己切身的经验体会出发，畅谈了他们对师德以及教学等教育教学各个领域的独特见解。让我们更清晰地意识到作为一个线的中学教师该如何看待自己所处的位置，该如何去提升自己的专业水平。在知识方面，我们深感知识学问浩如烟海，也深深地体会到教学相长的深刻内涵。教师要有精深的学科专业知识，广博的科学文化知识，丰富的教育和心理科学知识。知识结构要合理，当今的自然科学，社会科学和人文科学互相渗透，相互融合，只懂自己专业的知识是远远不够的，这一点我们在学习中体会很深。精深的专业知识是教师担任教学工作的基础。这就要求教师要扎
高中教师培训总结 高中教师培训总结现将学习培训情况总结于后，呈请上级领导审阅，不当之处恳请批评指正。 一、学习收获： 此次培训学习广西师范大学领导非常重视，从授课人员安排来看：安排的大学教师全是教授级别的老师，中学全是全省以及全国知名的特级和优秀教师。从授课时间任务来看：时间紧任务重，但是广西师范大学的领导、老师特别尽职，安排具体，服务到位，一些细节工作落实得好，如我们的住宿安排，组织班级学员的交流活动等，大家比较满意，评价很高，数学学院范院长多次来教师看望关照我们，我们从心底非常感谢。 此次培训课程设置合理，促进了教师素质的提高。此次培训以讲座和观摩教学，互动讨论相结合的方式进行，互为促进，相得益彰。 首先是让我们进一步加深了对高中数学新课改的转变观念的重要性和紧迫性的认识，特别是人教数学教材主编章建跃教授《高中数学新课程理念及实验教材编写意图解读》和南宁二中徐华老师《数学课能走多远——高中数学有效教学的技能与艺术案例分析》及广西师范大学唐剑岚博士《高中数学有效教学的技能与艺术案例分析——课件设计与应用》三次讲座，让我受益匪浅。
其次，广西师范大学的教授们及邀请的大牌数学教育家的各个专题讲座让我们进一步理解了高中数学新课程改革的理念和要求，强调教师学习的重要性，分析了新课程背景下的高中数学课堂教学方式方法、讲解了数学教育心理学及其在高中数学教学中的应用，中学数学学生探究性思维培养方法对策，数学教学与多媒体技术等等。 第三，增进学员之间的交流，加深了友谊与感情，特别是关于高中参与教育教学科研的体会的探讨，班主任管理中的感悟与体会的交流，促进了大家的进步与提高。 二、学习体会 通过近两周多的学习培训，感悟良多。 首先是广西师范大学老师的敬业精神，令人敬佩，为我们上课的每一位老师都是精心准备，深入浅出，尽心尽职，特别是唐剑岚教授为了准备上课素材，开班后每天只睡过5个小时，体现了一种高尚的职业操守和精湛的业务水平，对促进教师专业发展起了极其重要的作用。 其次，我们的教学观念有所改变，教学思想有所更新。 1、倡导探究学习，培养学生的探究能力和深入思考的能力。这是一个漫长而艰巨的工程，需要各方面共同的努力。首先需要我们大力转变观念，下大工夫改变长期以来习惯了的单纯接受学习的方式，大力开展探究学习，让学生在这样的学习中增强探究兴趣，养成探究意识和习惯。二是要了解
高三第一轮复习资料（注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用
高中数学 暑假培训资料 15 函数的奇偶性 新人教A 版必修1 一、知识点： 1．函数的奇偶性的定义： ① 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。 ② 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。 ③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 2．.函数的奇偶性的判断： 可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 )0)((1) ()(0)()()()(≠±=-? =±-?±=-x f x f x f x f x f x f x f ,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性. 注意： ①若0)(=x f ,则)(x f 既是奇函数又是偶函数,若)0()(≠=m m x f ,则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是奇函数且在0=x 处有定义，则0)0(=f ③若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数。 3．奇偶函数图象的对称性 （1） 若)(x a f y +=是偶函数，则?=-?-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的 图象关于直线a x =对称； （2） 若)(x b f y +=是偶函数，则?-=-?+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称； 二、基础篇： 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x =+ D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数
高中数学教师培训总结 高中数学教师培训总结7月21-22日，XX县全体高中物理教师在XX县教师教育中心进行了暑期培训。培 训工作在候校长、李主任和刘主任的正确领导和精心指导下，在高中物理教学指导委员会全体成员的不懈努力下取得了 圆满成功。 本次教师培训的目的是构建适合XX研训一体的教师专 业成长的校本模式，让老师们重视教研、学会教研、应用教研。提高教师开展校本教研的主动性、创新性和执行力，有效提升XX教育发展水平和教师专业成长水平。 培训工作由教研员主持，首先进行的是教研员领导老师们认真学习了《高中物理课程标准》，物理学是一门基础自 然科学，它所研究的是物质的基本结构、最普遍的相互作用、最一般的运动规律以及所使用的实验手段和思维方法。与九年义务教育物理或科学课程相衔接，旨在进一步提高学生的科学素养。高中物理在课程目标上注重提高全体学生的科学素养。在课程结构上重视基础，体现课程的选择性;在课程 内容上体现时代性、基础性、选择性;在课程实施上注重自 主学习，提倡教学方式多样化;在课程评价上强调更新观念，促进学生发展。课程标准还详细提出了教学建议和评价建议，并着重指出教学评价的内容要多元化，要为学生有个性、有特色的发展提供空间;评价形式倡导评价方式的多样化;提 倡建立学生学习记录档案;提倡多主体评价;提倡评价方式 的多元化。 培训内容接下来进行的是由孙西革老师做了题为《高中基础年级课堂教学中存在的问题》的精彩报告，指出目前我县高中物理教学缺乏和探究;教师的教学设计直白，不能有 效的创设情境;解题示范性不强，有的教师没有读题、审题 等环节，不能及时拓展升华。教师要从重结果向重过程转变，要用教材教而不是教教材，要尝试现代化教学模式。教师角色要由知识的传授者向学生学习的合作者转换。 然后由陈辉老师进行了题为《XX届高三一轮复习备考意
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学竞赛讲义 (五)──数列 高中数学竞赛讲义（五） ──数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b 为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式： S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn. 定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时， S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b 0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。 2010年高中新课程培训心得体会 地调中学程浩宇 我已经作为学校高三老师接手高三教学工作。由于今年是高中新课程高考第一年，所以有关新课程的高考理念可以说是一无所知，带着这么一份期待，自始至终我都很认真的学习新课程培训的内容。只有从这一次学习当中我才真正感受到了一些新课程的教学理念和新课程大纲下高考内容应该怎么样来考察知识点。新课程教学理念中，新课程标准是一条教学准绳。 洛阳二中教师程文给我们分析了07~10年高考趋势与数学复习对策，首先给我们展示了对以前的高考的回顾，并提出了2011年高考的新特点。更是给我们在一线的高三老师提供了很多宝贵的复习策略。作为每年的数学评卷组长给我们分析了高考解题当中应该注意的问题，并提出了2011年高考数学命题的趋势更是分析的非常精辟。其中给我们提到的选考内容更是进一步明确了有关选考内容究竟该怎么样来选考，为今后的高考提供了一个方向标的作用。选考内容文理有异，第一次明确提出了文科是二选一，理科是三选二的选修内容进行考察。并对所有数学老师提出了要求：提高推理运算求解能力和数据处理能力。希望老师在教学过程中围绕着新课程标准，抓住主干，推陈出新，集中精力，突出重点，研究新理念，抓住新内容。提到新内容的教学，程文说了“新内容肯定考察，但是难度不会太大，并以近三年高考题对新内容的考察比例进行说明，新内容的考察分值和难度有一个逐年提升的迹象。最后程教师对高考题的探索性问题（压轴题）的提出了自己独到的看法。要求高三老师指导考生克服紧张的情绪，以平和的心态参加考试，并合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解决试题。 短短的几天紧张而又充实的新课程培训，让我结识了不少异地的有经验的数学老师，与他们相互学习和交流让我觉得自己学到了很多以前还做得不够的地方。新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”，转向“关注学生活动”，重塑知识的形成过程课程设计将由“给出知识”转向“引导活动”数学新教材倡导学生主动探索，自主学习，合作讨论，体现数学再发现的过程，数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是鼓励学生“观察”“操作”“发现”，并通过合作交流，让学生发展自主学习的能力，个性品质的发展，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力，那么新课程理念下要做好数学教育教学工作，我认为应该侧重以下几方面： 一、学习兴趣的培养 兴趣是最好的老师。浓厚的学习兴趣可以使人的大脑处于最活跃的状态，能够最佳地接受教学信息。浓厚的学习兴趣，能有效地诱发学习动机，促使学生自觉地集中注意力，全身心的投入学习活动中。在教学中可以通过介绍我国数学领域的卓越成绩，介绍数学在生活、生产和其他科学中的广泛应用，激发出学生学习数学的动机。通过设计情景，提出问题引导学生去探索，去发现，让学生从中体验成功的喜悦和快乐。运用适当的教学方法和手段引导他们的求知和好奇心，从而培养他们浓厚的学习兴趣。 二、注重数学思想方法教学 数学思想方法是数学思想和教学方法的总称。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理论知识，是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决数学问题的手段和工具，数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才能 真正掌握数学，因而数学思想方法也是学生必须具备的基本素质之一，现行的教材当中蕴涵了多种数学思想方法，在教学中应当挖掘由数学基础知识所反映出来的教学思想和方法，设计教学思想方法的目标，结合教学内容适时渗透，反复强化，及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。 三、思维能力的培养 目录 考点一：排列 (2) 题型一、排列数计算 (3) 题型二、排列在实际问题中的应用 (5) 课后综合巩固练习 (6) 考点一：排列 排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． 排列组合一些常用方法 1．特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏． 3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列． 5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排 成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有1 1m n C --． 7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题． 实际问题的解题策略 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；高中数学竞赛讲义(五)──数列培训资料
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