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最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定》课后训练

最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定》课后训练
最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定》课后训练

课后训练

1.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有()

A.2对B.3对C.4对D.5对

2.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的β有()

A.只能作一个B.至少一个

C.不存在D.至多一个

3.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是() A.平面E1FG1与平面EGH1

B.平面FHG1与平面F1H1G

C.平面F1H1H与平面FHE1

D.平面E1HG1与平面EH1G

4.在下列命题中正确命题的个数是()

①若直线a平行于平面α,直线b?α,则a∥b;

②如果点P是直线a上的动点,且P?平面α,那么a∥α;

③一条直线和一个平面内的无数条直线都异面,则这条直线和这个平面平行;

④过平面α外一点可作无数条直线和α平行.

A.0 B.1 C.2 D.3

5.如图,下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形序号是()

A.①③B.①④

C.②③D.②④

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1上的动点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是__________.

7.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,则这两个平面的位置关系是__________.8.如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F,G,H分别为P A,PD,PC,PB的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:

①平面EFGH∥平面ABCD;②直线P A∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④直线EF∥平面BDG.

其中正确的序号是__________.

9.如图,在三棱锥D-ABC中,E在AB上,F,G,H分别是棱BC,CD,AC的中点.求证:DE∥平面FGH.

10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面P AO?

参考答案

1答案:C

2答案:D

3答案:A

4答案:C

5答案:B

6答案:相交或平行

7答案:平行或相交

8答案:①②③

9答案:略

10答案:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面P AO.

高中数学 必修二 平面

§2.1.1平面 【使用说明及学法指导】 1.先自学课本,理解概念,完成导学提纲; 2.小组合作,动手实践。 【学习目标】 1.掌握平面的表示法,点、直线与平面的关系,有关平面的三个公理;2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系; 【重点】 1.与平面有关的三个公理; 【难点】 2.三个公理的理解和应用; 一、自主学习 (一)复习回顾 阅读课本P40的“思考?”内容; (二)导学提纲 阅读课本P40-43,并完成下列问题: 1.生活里的“平面”和几何里的“平面”的概念一样吗? 2.平面怎么画?怎么表示? 3.公理1: 公理2: 公理3: 4.你能举出生活中应用三个公理的例子吗? 二、基础过关 例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。

变式1:用符号表示下列语句 (1) 点A 在平面α内,点B 在平面α外 (2)直线l 经过平面α外的一点M 例2 不共面的四点可以确定几个平面?共点的三条直线可以确定几个平面? 变式2:判断正误 1.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面( ) 2.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合( ) 方法、规律总结: 三、拓展研究 例3. 画出同时满足下列条件的图形: l =βα ,α?AB ,β?CD ,AB ∥l ,CD ∥l 变式训练: 如右图,试根据下列要求,把被遮挡的部分改为虚线:

(1) AB 没有被平面α遮挡; (2) 画出AB 被平面α遮挡; 方法、规律总结 四、课堂小结 1. 知识 2. 数学思想、方法 3. 能力 五、课后巩固 (一)完成课本P51第3题: (二)完成以下试题 1.空间中ABCDE 五点中,ABCD 在同一平面内,BCDE 在同一平面内,那么这五点( ) A 共面 B 不一定共面 C 不共面 D 以上都不对 2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( ) A.异面直线 B.相交直线 C.不相交直线 D.不平行直线 3. 三条直线相交于一点,可能确定的平面有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 4.直线12l l ∥,在1l 上取3点,2l 上取2点,由这5点能确定的平面有( ) A.9个 B.6个 C.3个 D.1个 5.给出下列命题: 和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内; 三条两两相交的直线在同一平面内;

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学必修二2.1.1 平面

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 【选题明细表】 1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B ) (A)a∈α,A?a?A?α (B)a?α,A∈a?A∈α (C)a∈α,A∈a?A?α (D)a∈α,A∈a?A∈α 解析:直线在平面内用“?”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B. 2.给出下列说法:(设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点) ①若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l?α;

②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB; ③若l?α,A∈l,则A?α,则正确的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:③中点A可以是直线与平面的交点,所以错误.①,②正确.故选B. 3.下列图形中不一定是平面图形的是( D ) (A)三角形(B)平行四边形 (C)梯形 (D)四边相等的四边形 解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形, 故选D. 4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C ) (A)5部分(B)6部分(C)7部分(D)8部分 解析:如图所示,三个平面α,β,γ两两相交, 交线分别是a,b,c且a∥b∥c, 观察图形, 得α,β,γ把空间分成7部分. 故选C.

5.(2018·昆明一中高一测试)如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D ) (A)点A (B)点B (C)点C但不过点D (D)点C和点D 解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ, 所以γ与β的交线必过点C和D. 6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. (1)A?α,a?α; (2)α∩β=a,P?α且P?β; (3)a?α,a∩α=A ; (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O . 解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面. 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B 7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为()。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2.已知=(2,3), b=(-4,7),则在b上的投影为()。 A、B、C、D、 3.设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量=(-1,-1)平移后得 向量为()。 A、(2,3) B、(1,2) C、(3,4) D、(4,7)4.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么ΔABC是()。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5.已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°,则| +b|等于()。A、B、C、D、 6.已知O、A、B为平面上三点,点C分有向线段所成的比为2,则()。 A、B、 C、D、 7.O是ΔABC所在平面上一点,且满足条件,则点O是ΔABC的()。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8.设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题:(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2

(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是( )。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9.在ΔABC 中,A=60°,b=1, ,则 等 于( )。 A 、 B 、 C 、 D 、 10.设 、b 不共线,则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是( )。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.). 11.在等腰直角三角形ABC 中,斜边AC=22,则CA AB =_________ 12.已知ABCDEF 为正六边形,且AC =a ,AD =b ,则用a ,b 表示AB 为______. 13.有一两岸平行的河流,水速为1,速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。 14.如果向量 与b 的夹角为θ,那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”, ×b 是一个向量,它的长度| ×b |=| ||b |sin θ,如果| |=3, |b |=2, ·b =-2,则| ×b |=______。 三、解答题:(本大题共4小题,满分44分.) 15.已知向量 = , 求向量b ,使|b |=2| |,并且 与b 的夹角 为 。(10分)

高中数学课时作业:直线、平面平行的判定及其性质

课时作业44直线、平面平行的判定及其性质 一、选择题 1.已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的关系为(D) A.平行B.相交 C.直线b在平面α内D.平行或直线b在平面α内 解析:依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内. 2.已知α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(D) A.垂直B.相交 C.异面D.平行 解析:对于选项A,当m⊥α时,因为n?α,所以m⊥n,可能; 对于选项B,当A∈n时,m∩n=A,可能; 对于选项C,若A?n,由异面直线的定义知m,n异面,可能; 对于选项D,若m∥n,因为m?α,n?α,所以m∥α,这与m∩α=A矛盾,不可能平行,故选D. 3.(四川乐山四校联考)平面α∥平面β的一个充分条件是(D) A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β D.存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析:存在一条直线a,a∥α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故A错;存在一条直线a,a?α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故B错;存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故C错;存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,据此可得平面α∥平面β,该条件是平面α∥平面β的一个充分条件.故选D.

高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版

【必修4】 第二章平面向量 2.1 练习 1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力(1cm 长表示10N ). 2、非零向量的长度怎样表示?非零向量的长度怎样表示?这两个向量的长度相等吗?这两个向量相等吗? 3、指出图中各向量的长度. 4、(1)用有向线段表示两个相等的向量,如果有相同的起点,那么它们的终点是否相同? (2)用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量,如果有相同的起点,那么它们的终点是否相同? 2.2.1 练习 1、如图,已知b a ,,用向量加法的三角形法则作出b a +. 2、如图,已知b a ,,用向量加法的平行四边形法则作出b a +.

3、根据图示填空: (1)________;=+d a (2).________ =+b c 4、根据图示填空: (1)________;=+b a (2)________;=+d c (3)________;=++d b a (4).________ =++e d c 2.2.2 练习 1、如图,已知b a ,,求作.b a - 2、填空: ________;=- ________;=-BC BA ________;=-BA BC ________; =- .________=-

3、作图验证:b a b)(a --=+- 2.2.3 练习 1、任画一向量e ,分别求作向量e b e a 44-==, 2、点C 在线段AB 上,且 2 5 =CB AC ,则.________AB BC AB AC ==, 3、把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积: ;,e b e a 63)1(== ;,e b e a 148)2(-== ;,e b e a 3132)3(=-= .3 2 43)4(e b e a -=-=, 4、判断下列各小题中的向量b a 与是否共线: ;,e b e a 22)1(=-= .22)2(2121e e b e e a +-=-=, 5、化简: ;)32(4)23(5)1(a b b a -+- ;)(2 1 )23(41)2(31)2(b a b a b a ----- .)())(3(a a y x y x --+ 6、已知向量)(三点不共线、、B A O ,求作下列向量: );(21 )1(OB OA OM += );(2 1 )2(OB OA ON -= .23)3(OB OA OG += 2.3 练习 1、已知向量b a 、的坐标,求b a b a -+,的坐标: ;,,,)25()42()1(=-=b a

高中数学必修二平面解析几何知识点梳理

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. ②经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数. (4)共点直线系方程:经过两直线交点的直线系方程为 (除),其中λ是待定的系数. 9.曲线与的交点坐标方程组的解. 10.圆的方程: (1)圆的标准方程:(). (2)圆的一般方程:. (3)圆的直径式方程: 若,以线段为直径的圆的方程是:. 注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是,. (2)一般方程的特点: ①和的系数相同且不为零;②没有项;③ (3)二元二次方程表示圆的等价条件是: ①;②;③. 11.圆的弦长的求法: (1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为,弦心距为,半径为, 则:“半弦长+弦心距=半径”——; (2)代数法:设的斜率为,与圆交点分别为,则 (其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或,利用韦达定理求解) 12.点与圆的位置关系:点与圆的位置关系有三种 ①在在圆外. ②在在圆内. ③在在圆上.【到圆心距离】 13.直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有三种(): 圆心到直线距离为,由直线和圆联立方程组消去(或)后,所得一元二次方程的判别式为.;;. 14.两圆位置关系:设两圆圆心分别为,半径分别为, ;; ;; . 15.圆系方程: (1)过直线与圆:的交点的圆系方程:,λ是待定的系数. (2)过圆:与圆:的交点的圆系方程:,λ是待定的系数. 特别地,当时,就是 表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线. 16.圆的切线方程: (1)过圆上的点的切线方程为:. (2)过圆上的点的切线方程为: . (3)当点在圆外时,可设切方程为,利用圆心到直线距离等于半径, 即,求出;或利用,求出.若求得只有一值,则还有一条斜率不存在的直线. 17.把两圆与方程相减

高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义

平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ<0时,λa与a反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a(交换律);

最新高中数学必修二知识体系整合

第二章点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1、含义:平面是无限延展的 2、“3个公理” 公理内容图形符号 公理1如果一条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线在此平面 内 A∈l,B∈l,且A ∈α,B∈α ?l?α 公理2过不在一条直线上的三点,有且 只有一个平面 A,B,C三点不共 线?存在唯一的α, 使A,B,C∈α 推论:①一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 公理3如果两个不重合的平面有一个公 共点,那么它们有且只有一条过 该点的公共直线 P∈α,P∈β ?α∩β=l,且P∈l 二、空间中点、直线、面的位置关系(“3种关系”) 1、空间两条直线的位置关系 位置关系特点 共面相交同一平面内,有且只有一个公共点平行同一平面内,没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点

异面直线的画法 1.异面直线所成角θ的范围是【锐角(或直角)】 00<θ≤900 2.当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面 直线互相垂直,记作a⊥b; 2.直线与平面的位置关系 位置关系直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点 符号表示a?αa∩α=A a∥α 图形表示 3.两个平面的位置关系 位置关系图示表示法公共点个数 两平面平行α∥β没有公共点 两平面相交α∩β=l 有无数个公共点(在一条直线 上) 三、平行(3种)

线线平行 线面平行 面面平行 ?? ?? ?a ∥α a ?βα∩β= b ?a ∥b ?? ?? ?a ?α b ?αa ∥b ?a ∥α β ααα ββ //////?????? ???? =???b a p b a b a ?? ?? ?α∥β α∩γ=a β∩γ=b ?a ∥b αββα////a a ?? ?? ? β αααββ //////??? ? ? ?? ? ? ? ? ???=???=???m b n a Q n m n m p b a b a ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 垂直于同一平面的 两直线平行 βαβα//?? ?? ⊥⊥l l 垂直于同一条直线 的两平面平行 ? ??? ?a ∥b b ∥c ?a ∥c . βαγβγα//////?? ?? 四、垂直(3种)

高中数学必修2知识点总结(史上最全)

高二数学必修 2 知识点总结 第 1 章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体:一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体:我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD '几何特 征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何 特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 ( 5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影:我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影。 3.平行投影:我们把在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影。(又分为正投影和斜投影) 4 空间几何体的三视图

高中数学直线平面平行的性质及判定

一、空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= 二、空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上( 4球体的体积 3 34R V π= 三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行, 用符号表示为a ?α,b ?α,且a ∥b ?a ∥α。 (1)运用直线与平面平行的判定定理时,必须具备三个条件: ①平面外一条直线;②平面内一条直线;③两条直线相互平行. (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行,证两直线平行是平面几何的问题,所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想. (3)判定直线与平面平行有以下方法:一是判定定理;二是线面平行定义;三是面面平行的性质定理. 【例1】 如右图所示,已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心. 求证:PQ ∥平面BCC 1B 1. 证:如右图,取B 1B 中点E ,BC 中点F ,连结PE 、QF 、EF , ∵△A 1B 1B 中,P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点, ∴PE 1 2 A 1 B 1.同理QF 1 2 AB .又A 1B 1AB ,∴PE QF . ∴四边形PEFQ 是平行四边形. ∴PQ ∥EF . 又PQ ?平面BCC 1B 1,EF ?平面BCC 1B 1, ∴PQ ∥平面BCC 1B 1. 2 22r rl S ππ+=

高一数学必修4第二章平面向量测试题含答案

必修4第二章平面向量教学质量检测 : 班级: 学号: 得分: 一.选择题(5分×12=60分): 1.以下说法错误的是( ) A .零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2.下列四式不能化简为AD 的是( ) A .;)++(BC CD A B B .);+)+(+(CM B C M B AD C .;-+BM A D M B D .;+-CD OA OC 3.已知a =(3,4),b =(5,12),a 与b 则夹角的余弦为( ) A . 65 63 B . 65 C .513 D .13 4. 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =( ) A .7 B .10 C .13 D .4 5.已知ABCDEF 是正六边形,且?→ ?AB =→ a ,?→ ?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1 → → -b a (B ) )(2 1→ → -a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 6.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→?BC (C )?→?AD =-?→?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)

高中数学必修二《2.1.1平面》教学设计

2.1.1 平面 东莞市南城中学陈立 1.内容和内容解析 (1)内容 《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节,教学内容安排一个课时,主要内容是平面的描述性概念及三个公理。 (2)内容解析 平面是最基本的几何概念,教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基本性质即公理1、公理2、公理3,是研究立体图形的理论基础,也是进一步推理的出发点和根据。其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内;公理2用来确定一个平面,判断两平面重合,或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。 学生在第一章的学习过程中,经历了对立体图形的整体把握,这节课以学生熟知的长方体为载体,引出本节课的主要内容,拓展学生已有的平面几何观念,帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此,本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念,了解平面的表示方法和画法;理解平面的基本性质即三个公理,会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。 2.目标和目标解析 (1)目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求,结合学生现有的知识水平和理解水平,确定本节课的教学目标如下: ①了解平面的描述性概念; ②了解平面的表示方法和基本画法; ③理解公理1、公理2、公理3; ④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 ⑤感知数学语言的美,激发学习兴趣。 (2)目标解析 通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识,借助学生已有的直线的描述性概念,通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。在学生了解平面的描述性概念以后,首先给出平面的表示方法,然后类比画直线的方式,从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难,但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度,没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点,因此,将这些内容定位为了解。平面的三个公理,是本节课的重点内容,要求学生充分重视,并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美,提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间,进而激发学生的求知欲。 3.教学问题诊断分析 本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度,因此,在教学时一定要让学生多感受,多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面,教学中要引导让学生通过观察,体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。三个公理是研究立体几何的理论基础,也是以后论证推理的逻辑依据,学生容易掌握文字语言、图形语言,但符号语言较难掌握,教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。 基于上述分析,本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。 4.教学支持条件分析 立体几何教具,多媒体,直尺。 5.教学过程设计

高一数学必修二 课时分层作业7 平面

课时分层作业(七)平面 (建议用时:45分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是() ①A∈a,a?α?Aα;②A∈a,a∈α?A∈α;③A a,a?α?Aα;④A∈a,a?α?A?α. A.0 B.1C.2D.3 A[①不正确,如a∩α=A;②不正确,∵“a∈α”表述错误;③不正确,如图所示,A a,a?α,但A∈α;④不正确,“A?α”表述错误.] 2.下列命题中正确命题的个数是() ①三角形是平面图形; ②四边形是平面图形; ③四边相等的四边形是平面图形; ④圆是平面图形. A.1个B.2个 C.3个D.4个 B[根据公理2可知①④正确,②③错误.故选B.] 3.两个平面若有三个公共点,则这两个平面() A.相交B.重合 C.相交或重合D.以上都不对 C[若三点在同一条直线上,则这两个平面相交或重合,若三点不共线,则这两个平面重合.] 4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是() A.A,B,C,D四点中必有三点共线 B.A,B,C,D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交

D.直线AB与CD平行 B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面,选B.] 5.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为() A.0 B.1 C.0或1 D.1或3 D[当三条直线是同一平面内的平行直线时,确定一个平面,当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时,确定三个平面,选D.] 二、填空题 6.设平面α与平面β相交于l,直线a?α,直线b?β,a∩b=M,则M________l. ∈[因为a∩b=M,a?α,b?β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.] 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有________条. 5[由题图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条.] 8.已知平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条. 1或2或3[当β与γ相交时,若α过β与γ的交线,有1条交线;若α不过β与γ的交线,有3条交线;当β与γ平行时,有2条交线.] 三、解答题 9.已知:A∈l,B∈l,C∈l,D l,如图所示. 求证:直线AD,BD,CD共面.

高中数学-直线与平面平行判定和性质

高中数学-立体几何典型例题一 例1简述下列问题的结论,并画图说明: (1) 直线a 平面 ,直线b a A ,则b 和 的位置关系如何? ,直线b//a ,则直线b 和 的位置关系如何? (1) 由图(1)可知:b 或b A ; (2) 由图(2)可知:b//或b . 典型例题二 例2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, Q 是PA 的中点,求证: PC//平面BDQ . 分析:要证明平面外的一条直线和该平面平行,只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以 了. 证明:如图所示,连结 AC ,交BD 于点0 , ???四边形 ABCD 是平行四边形 ??? AO CO ,连结0Q ,则0Q 在平面BDQ 内, APC 的中位线, ? PC // 0Q . ??? PC 在平面BDQ 外, ? PC//平面 BDQ . 说明:应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,怎样 找这一直线呢? 由于两条直线首先要保证共面,因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交,如果能证明已知 直线和交线平行,那么就能够马上得到结论?这一个证明线面平行的步骤可以总结为: 过直线作平面,得交线,若线线平行,则线面平行. 典型例题三 (2)直线a 分析: 且 OQ 说明:

例3经过两条异面直线a, b之外的一点P,可以作几个平面都与a , b平行?并证明你的结论. 分析:可考虑P点的不同位置分两种情况讨论. 解:(1)当P点所在位置使得a , P (或b , P )本身确定的平面平行于b (或a )时,过P点再作不出与a , b都平行的平面; (2)当P点所在位置a , P (或b , P)本身确定的平面与b (或a)不平行时,可过点P作a//a , b 〃b.由于a , b异面,则a , b不重合且相交于P .由于a b P , a , b确定的平面,则由线面平行判定定理知:a// , b〃?可作一个平面都与a , b平行. 故应作“ 0个或1个”平面. 说明:本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论,漏掉第(1)种情况而得出可作一个平面的错误结论?可见,考虑问题必须全面,应区别不同情形分别进行分类讨论. 典型例题四 例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另 已知:直线a//b, a//平面,b . 求证:b// . 证明:如图所示,过a及平面内一点A作平面 . 设c, ??? a// ??? a//c. 又??? a//b, ? b//c. ??? b , c , ? b// . 说明:根据判定定理,只要在内找一条直线c//b,根据条件a// ,为了利用直线和平面平行的性 质定理,可以过a作平面与相交,我们常把平面称为辅助平面,它可以起到桥梁作用,把空间问题向平面问题转化. 和平面几何中添置辅助线一样,在构造辅助平面时,首先要确认这个平面是存在的,例如,本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的. 典型例题五 例5已知四面体S ABC的所有棱长均为a .求: (1 )异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长;

高中数学必修四第二章平面向量经典100道例题

第二章 平面向量 1.设向量a →的始点坐标为(3,1),终点坐标为(-1,-3),则向量a → 的坐标为( ) A. (-1,-3) B. (4,4) C. (-4,-2) D.(-4,-4) 2.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,(2,4),(1,3)AB AC ==, 则=( ) A.)4,2( B.)5,3( C.)5,3(-- D.)4,2(-- 3.已知6,3,12a b a b ==?=-,则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 4- B. 4 C. 2- D. 2 4.如图,F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点, 则=+( ) A. AD B. 2 1 C. 2 1 D. 5.在下列向量组中,可以把向量()2,3=表示出来的是( ) A. )2,1(),0,0(21==e e B . )2,5(),2,1(21-=-=e e C. )10,6(),5,3(21==e e D. )3,2(),3,2(21-=-=e e 6.等边ABC ?的边长为1,设===, ,,则=?+?+?a c c b b a ( ) A .23 B .21 C .23- D .2 1- 7.已知点(1,1)A -,(1,2)B ,(2,1)C --,(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A B C .D . 8.在△ABC 中,6AB O =,为△ABC 的外心,则AO AB ?等于 A B .18 C .12 D .6 9.已知向量(1,2),(2,1)a b ==-,下列结论中不正确的是( ) A .a ⊥b B .a ∥b C .a b = D .a b a b +=- 10.已知向量)sin ,(cos θθ=a , )1,3(-=b 则|2|b a -的最大值,最小值分别是( )

高中数学:直线、平面平行的判定与性质练习

高中数学:直线、平面平行的判定与性质练习 (时间:30分钟) 1.已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是( C ) (A)存在一条直线b,a∥b且b?α (B)存在一条直线b,a⊥b且b⊥α (C)存在一个平面β,a?β且α∥β (D)存在一个平面β,a∥β且α∥β 解析:在A,B,D中,均有可能a?α,错误;在C中,两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,故C正确. 2.(全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A ) 解析:如图,O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A. 3.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( C ) (A)a∥b,b?α,则a∥α (B)a,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β (C)a⊥α,b∥α,则a⊥b (D)当a?α,且b?α时,若b∥α,则a∥b 解析:由a∥b,b?α,也可能a?α,A错;B中的直线a,b不一定相交,平面α,β也可能相交,B 错;C正确;D中的直线a,b也可能异面,D错.故选C.

4.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( D ) (A)不存在(B)只能作出1个 (C)能作出无数个(D)以上都有可能 解析:设直线l外两点确定直线AB,①当AB与l相交时,满足题意的平面不存在;②当AB与l 异面时,满足题意的平面只能作一个;③当AB∥l时,满足题意的平面有无数多个. 5.(咸宁模拟)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 中,点D为AC的中点,点D 1 是A 1 C 1 上的一点,若DC 1 ∥平 面AB 1D 1 ,则等于( B ) (A)(B)1 (C)2 (D)3 解析:因为DC 1∥平面AB 1 D 1 ,DC 1 ?平面ACC 1 A 1 ,平面ACC 1 A 1 ∩平面AB 1 D 1 =AD 1 ,所以DC 1 ∥AD 1 ,又AD ∥C 1D 1 ,所以四边形ADC 1 D 1 是平行四边形,所以AD=C 1 D 1 .又D为AC的中点,所以D 1 为A 1 C 1 的中点, 所以=1. 6.(丽江模拟)若正n边形的两条对角线分别与平面α平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α,那么n的取值可能是( A ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)12 解析:因为正五边形的对角线都相交,所以正五边形所在的平面一定与平面α平行. 7.(益阳模拟)设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若a?α,b?α,a,b是异面直线,那么b∥α; ②若a∥α且b∥α,则a∥b; ③若a?α,b∥α,a,b共面,那么a∥b; ④若α∥β,a?α,则a∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是. 解析:①中的直线b与平面α也可能相交,故不正确;②中的直线a,b可能平行、相交或异面,故不正确;由线面平行的性质得③正确;由面面平行的性质可得④正确. 答案:③④

高中数学必修2知识点(精)

高 中 数学 必 修 2知识点 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图:斜二测画法 4斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2 R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= (二)空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?= 底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)3 1 下下上上( 222r rl S ππ+=

4球体的体积 33 4R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c

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