第三章 不等式
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题 第2课时 简单线性规划的应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A ．z ＝6x ＋4y
B ．z ＝5x ＋4y
C ．z ＝x ＋y
D ．z ＝4x ＋5y
解析：设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z ＝6x ＋4y ，即目标函数z ＝6x ＋4y .
答案：A
2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A.?????x ＋y ≤10，
2x ＋y ≤10，
x ＋y ≤6，x ，y ∈N
z ＝20x ＋40y
B.?????x ＋y ≥10，
2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N
z ＝20x ＋40y
C.????
?x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，
z ＝20x ＋40y D.?????x ＋y ≤10，
2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N
z ＝40x ＋20y
解析：由题意可知选A. 答案：A
3．当x ，y 满足条件|x |＋|y |＜1时，变量u ＝x
y －3
的取值范围是( ) A ．(－3，3)
B.? ??
??
－13，13 C.????
??－13，13 D.? ????－13，0∪? ??
??0，13 解析：不等式|x |＋|y |＜1表示的平面区域如右图所示：令k ＝y －3
x ，则k 表
示区域内的点P (x ，y )与A (0，3)的连线的斜率，|k |＞3，1|k |＜1
3
.
又x ＝0时，u ＝0， 因为|u |＜13?－13＜u ＜1
3.
答案：B
4．已知a ＞0，x ，y 满足结束条件????
?x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），
若z ＝2x ＋y 的最小值
为1，则a ＝( )
A.14
B.1
2
C ．1
D ．2 解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，
由?????x ＝1，y ＝a （x －3），得?????x ＝1，y ＝－2a ，
所以z min ＝2－2a ＝1，所以a ＝12.
答案：B
5．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少， A 、B 两种用品应各买的件数为( )
A ．2，4
B ．3，3
C ．4，2
D ．不确定
解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则
?????100x ＋160y ≤800，
x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *
.
求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．
答案：B 二、填空题
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
2
2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
??
?
??0.5x＋0.7y≥1.9，
x＋0.5y≤2，
x≥0，
y≥0.
目标函数z＝3x＋6y，
由
??
?
??0.5x＋0.7y＝1.9，
x＋0.5y＝2，
得
??
?
??x＝1，
y＝2.
记P(1，2)，画出可行域，如图所示，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为z min＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
7．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．
解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为z 万日元，则
????
?3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，
目标函数为z ＝9x ＋6y .
不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．
当直线z ＝9x ＋6y 经过点M ? ??
??
63019，13519，即到达l 1位置时，z 取得最大值，
但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33，7)，此时z ＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．
答案：33 7
8．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元．
解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为
?????x ＋y ≤50，0.4x ＋0.1y ≤8，x ≥0，y ≥0，即?????x ＋y ≤50，
4x ＋y ≤80，
x ≥0，
y ≥0.
投资者获得的利润设为z ，则有z ＝0.8x ＋0.4y .作出可行域如图所示，
由图可知，当直线经过点B 时，z 取得最大值．解?????x ＋y ＝50，
4x ＋y ＝80，
得B (10，40)．所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．
答案：10 40 三、解答题
9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：
最大收益是多少？
解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益
为z ，则目标函数为z ＝80x ＋60y ，根据题意可知，约束条件为?????20x ＋30y ≤300，
10x ＋5y ≤110，
x ≥0，y ≥0，
x ∈N ，y ∈N ，
即?????2x ＋3y ≤30，
2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，
作出可行域如图阴影部分所示，
作出直线l ：80x ＋60y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线过点M 时，z
取得最大值，解?????2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，
得M (9，4)，
所以z max ＝80×9＋60×4＝960，即搭载A 产品9件，B 产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：
润是多少？
解：设空调和冰箱的月供应量分别为x ，y 台，月总利润为z 元，
则????
?3 000x ＋2 000y ≤30 000，500x ＋1 000y ≤11 000，x ，y ∈N *，
z ＝600x ＋800y ，作出可行域(如图所示)．
因为y ＝－34x ＋z 800，表示纵截距为z
800，斜率为k ＝－ 34的直线，当z 最大
时z 800最大，此时，直线y ＝－34x ＋z
800
必过四边形区域的顶点． 由?
????3 000x ＋2 000y ＝30 000，500x ＋1 000y ＝11 000，得交点(4，9)，所以x ，y 分别为4，9时，z ＝600x ＋800y ＝9 600(元)．
所以空调和冰箱的月供应量分别为 4台、9台时，月总利润最大，最大值为9 600元．
B 级 能力提升
1．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：
450千瓦，则该厂最大日产值为( )
A ．120万元
B ．124万元
C ．130万元
D ．135万元
解析：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值z ＝8x ＋12y ，
线性约束条件为????
?7x ＋3y ≤56，20x ＋50y ≤450，x ≥0，y ≥0，
作出可行域如图所示，
把z ＝8x ＋12y 变形为一簇平行直线系l ：y ＝－812x ＋z
12，由图可知，当直线
l 经过可行域上的点M 时，截距
z
12
最大，即z 取最大值，解方程组?????7x ＋3y ＝56，20x ＋50y ＝450，
得M (5，7)， z max ＝8×5＋12×7＝124，所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨时该厂日产值最大，最大日产值为124万元．
答案：B
2．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．则该公司可获得的最大收益是________万元．
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，
总收益为z 元，由题意得?????x ＋y ≤300，
500x ＋200y ≤90 000，
x ≥0，y ≥0.
目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .
二元一次不等式组等价于?????x ＋y ≤300，
5x ＋2y ≤900，
x ≥0，y ≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.
平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．
联立?????x ＋y ＝300，
5x ＋2y ＝900，
解得x ＝100，y ＝200.
所以点M 的坐标为(100，200)．
所以z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．
因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
答案：70
3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.
(2)约束条件为：
?????5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，
100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，
整理得?????x ＋3y ≤200，
x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N.
目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，
如图所示，作出可行域，初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，
由?????x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得?
????x ＝50，y ＝50. 最优解为A (50，50)，所以W max ＝550(元)．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
1. “平面区域”型考题 1．不等式组?? ? ??-≥≤+<31y y x x y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则 （ ） A ．D P D P ??21且 B ．D P D P ∈?21且 C ． D P D P ?∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y x D ．82300>+y x 3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题 1.设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 A B C D 2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域 {(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 4 3、若A 为不等式组0 02x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫 过A 中的那部分区域的面积为 . 4、 若不等式组0 3434 x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ） 73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 高 5、若0,0≥≥b a ，且当?? ? ??≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面 区域的面积等于__________. 3. “求约束条件中的参数”型考题 1.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. － 5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ） A ． B ．1 C ． D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-?-+??+-? ， ，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图 象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9] 4.设m 为实数，若{250(,)300x y x y x mx y -+≥??-≥??+≥? }22 {(,)|25}x y x y ?+≤，则m 的取值范围是___________. 4. “截距”型考题 1. 满足约束条件，则的最大值为( ) 2.设变量满足，则的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.若满足约束条件，则的最小值为 。 4.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ． 5 . “距离”型考题 1. 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥?? ≥??≥? 所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对 称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于()A. 285 C. 12 5 2.设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A B C D 3、如果点P 在平面区域?? ???≥-≤-+≥+-012020 22y y x y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(2 2PQ y x =++最小值为 (A) 23 (B) 15 4- (C)122- (D)12- 6. “斜率”型考题 1.足10,0 x y x -+≤?? >?则y x 的取值范围是（ ）A.(0,1) B.(]0,1 C.(1,+∞) D.[)1,+∞ 2.已知正数满足：则的取值范围是 ． 7. “求目标函数中的参数”型考题 1.若x ，y 满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．（，
高中数学必修五：线性规划 1. 设变量,x y 满足-10 0+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 2..若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件?? ? ??≥≤--≤-+m x y x y x 0 320 3，则实数m 的最大值为（ ） A ．2 1 B ．1 C ．2 3 D ． 3.在平面直角坐标系中，若不等式组10 1010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积 等于2，则a 的值为（ ） A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 4.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组43250 22010x y x y x +-≤??-+≤? ?-≥? ，则c o s P O Q ∠的最小值为( ) A ．12 B ．1 5 ．当实数,x y 满足不等式?? ? ??≤+≥≥220 y x y x 时,恒有3ax y + ≤成立,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．0a ≤ B ．0a ≥ C ．02a ≤≤ D ．3a ≤ 6 ．已知实数?? ?? ?≤+-≤≥.,13, 1,m y x x y y y x 满足如果目标函数y x z 45-=的最小值为—3,则实数m=（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．3 11 7.若A 为不等式组0 02x y y x ≤?? ≥??-≤? 所示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y=a 扫过 A 中的那部分区域面积为（ ）A ．2 B ．1 C ．34 D ．74 8．设实数 ,x y 满足约束条件: 360200,0x y x y x y --≤?? -+≥??≥≥? ,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为 12,则2294a b + 的最小值为（ ）A ．12 B ．1325 C ．1 D ．2 9．设y x ,满足约束条件?? ???≤+≥≥,1434,, 0y x x y x 则2 1++x y 的取值范围是（ ） A ．]6 17,21[ B ．]4 3,21[ C ．]6 17,43[ D ．) ,2 1[+∞
§3.3.2 简单的线性规划问题（第一课时） 【学习目标】 1. 复习掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域； 2. 了解线性规划的意义以及线性的约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解的概念； 3. 了解线性规划问题的图解法，掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。 【重点和难点】 重点、难点：掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。 【课堂教学】 （一）复习：二元一次不等式（组）与平面区域 1. 满足二元一次不等式（组）的解()y x ,可以看成直角坐标平面内点的坐标。于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。 2. 平面区域：二元一次不等式表示平面区域的判定方法是：以线定界（包括边界，画实线；不包括边界，画虚线），以点定域（以0>++C By Ax 为例）：（1）画边界：即画出直线0=++C By Ax 。 （2）定区域：在直线0=++C By Ax 的一侧取一个特殊点()00,y x 作为测试点代入式子C By Ax ++，由C By Ax ++00的符号判定0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域，当 0≠C ，常选取()0,0作为测试点；当0=C ，常选取()0,1或()1,0作为测试点。 （3）求交集（公共部分）：二元一次不等式组表示的平面区域是各不等式表示的平面区域的公共部分。 【温故而知新】 1. 在平面直角坐标系中，若点()t A ,2-在直线042=+-y x 的上方，则t 的取值范围是___________。 2. 点()2,1与点()4,3-在直线0=++a y x 的两侧，则实数a 的取值范围是____________。 3. 画出不等式（组）?? ???≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域，并求其面积。 （二）简单的线性规划问题
1. “平面区域”型考题 1．不等式组?? ? ??-≥≤+<31y y x x y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则 （ ） A ．D P D P ??21且 B ．D P D P ∈?21且 C ． D P D P ?∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y x D ．82300>+y x 3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题 1.设平面点集{} 221 (,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则A B 所表示的平 面图形的面积为 A 34π B 35π C 47π D 2 π 2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域 {(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 4 3、若A 为不等式组002x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫 过A 中的那部分区域的面积为 . 4、 若不等式组0 3434 x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ） 73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 高 5、若0,0≥≥b a ，且当?? ? ??≤+≥≥1,0, 0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面 区域的面积等于__________. 3. “求约束条件中的参数”型考题 1.在平面直角坐标系中，若不等式组10 1010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2， 则a 的值为 A. －5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件?? ???≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ． 21 B ．1 C ．2 3 D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-? -+??+-? ，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图 象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9] 4.设m 为实数，若{250 (,)300x y x y x mx y -+≥??-≥??+≥? }22 {(,)|25}x y x y ?+≤，则m 的取值范围是___________. 4. “截距”型考题 1. ,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) ()A 12()B 11 ()C 3()D -1 2.设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.若,x y 满足约束条件1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。 4.设函数ln ,0 ()21,0 x x f x x x >?=?--≤?，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成
高中数学必修五学案：线性规划的整数解和非线性规划问题 （解析版） 学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法. 2.会求一些简单的非线性规划的最优解. 知识点一 非线性约束条件 思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域. 答案 梳理 非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件. 知识点二 非线性目标函数 思考 在问题“若x ，y 满足???? ? x ＋y ≥6，x ≤4， y ≤4，求 ＝y －1 x －1 的最大值”中，你能仿照目标函数 ＝ ax ＋by 的几何意义来解释 ＝ y －1 x －1 的几何意义吗？ 答案 ＝y －1 x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率. 梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.
1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.(√) 2.目标函数 ＝x 2＋y 2的几何意义为点(x ，y )到点(0,0)的距离.(×) 3.目标函数 ＝ax ＋by (b ≠0)中， 的几何意义是直线ax ＋by － ＝0在y 轴上的截距.(×) 类型一 生活实际中的线性规划问题 例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件，y 件，获取的利润为 百元， 则 ＝2x ＋y (百元)，????? 6x ＋2y ≤24，x ＋y ≤5， 5y ≤15， x ，y ∈N ， 即????? 3x ＋y ≤12， x ＋y ≤5，y ≤3，x ，y ∈N ， 作出可行域，如图阴影部分中的整点， 由图可得O (0,0)，A (0,3)，B (2,3)，C ? ??? 72，32，D (4,0). 平移直线y ＝－2x ＋ ，又x ，y ∈N ，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时， 有最大值. 所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大. 反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析. 跟踪训练1 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多
高二数学必修5 线性规划（一） 教学目标： 1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念； 2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解； 3．了解线性规划问题的图解法。 教学重点：线性规划问题。 教学难点：线性规划在实际中的应用。 教学过程： 1．复习回顾： 上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略） 2．讲授新课： 例1：设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件： ? ????x －4y ≤－3 3x ＋5y ≤25x ≥1 ，求z 的最大值和最小值. 解：变量x ，y 所满足的每个不等式都表示一个平面 区域，不等式组则表示这些平面区域的公共 区域．（如右图）． 作一组与l 0：2x ＋y ＝0平行的直线l ：2x ＋y ＝t .t ∈Ｒ可知：当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ，y ）满足2x ＋y ＞0，即t ＞0，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （５，２）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B （１，１）的直线l 1所对应的t 最小．所以 z max ＝2×5＋2＝12 z min ＝2×1＋1＝3 说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念． 线性规划的有关概念： ①线性约束条件： 在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z ＝2x ＋y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
简单的线性规划问题 【知识梳理】 线性规划的有关概念 【常考题型】 题型一、求线性目标函数的最值 （X+2Q2, 【例1】设变重X, *满足约束条件〈2x+ y<4, 则目标函数z= 3x- V的取值范围 〔4*- - 1, 是（） 3 A. -6 C. [-L6] D. -6, 3. "+2E, [解析]约束条件〈2X+V<4,y> - 1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y= 3x- Z斜率为
3 z 取最小值- 3 .??z=3x-y 的取值范围为6」，故选A. ［答案］A 【类题通法】 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而 言，最优解一般在可行域的边界上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. 【对点训练】 X- 4y< -3, 3x+5y<25, 求z 的最大值和最小值. Q1, ［解］作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示.把z=2x+＞变形为v=-2x +乙则得到斜率为-2,在）/轴上的截距为乙旦随z 变化的一组平行直线.由图可以看出, 当直线z=2x+*经过可行域上的点/时，截距z 最大，经过点8时，截距z 最小. |x-4y+3 = 0, 解方程组i3H5 =。，得/点坐标为厚）， X=l, 解方程组L-4*+3 =。，得8点坐标为(")， 大值 = 2x5 + 2=12, z 建小值=2x 1 + 1 = 3. ( 于4尸 3=0 =0
题型二、求非线性目标函数的最值 ( X- y+5>0, X+VA O,x<3. ⑴求"=/+必的最大值与最小值； V ⑵求 >=六的最大值与最小值. X— O ［解］画出满足条件的可行域如图所示， (1) /+,=。表示一组同心圆(圆心为原点Q,旦对同一圆上的点】+必的值都相等，由图可知：当(X, M在可行域内取值时，当旦仅当圆。过c点时，〃最大，过(0,0)时，〃最小.又Q3,8),所以u意大也=73、"缺小值=0. y (2) v^=—表示可行域内的点Rx, H到定点Q(5,0)的斜率，由图可知，蜘最大，处。最 A— O 小,又03,8), 8(3, -3), -3 3 8 所以/ 是大渲= 3 — 5 = 1'，照小坦=3 _ 5 = 一4? 【类题通法】 非线性目标函数最值问题的求解方法 ⑴非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果?
专题线性规划 1．【河北省石家庄市师大附中田家炳中学2017-2018学年高一下学期期末】已知,x y 满足约束条件 330x y x y y -≥-?? +≤??≥? ，若2z x y =+的最大值为（ ） A.6 B.6- C.5 D.5- 【解析】绘制平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：3 0x y y +=?? =? ，可得点A 坐标为：()3,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 2306z =?+= . 2．【安徽省合肥市庐阳区四校2019-2020学年高一上学期期末】设变量x ，y 满足约束条件0 024236 x y x y x y ≥??≥? ?+≤??+≤?， 则43z x y =+的最大值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【解析】 由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），因为43z x y =+，所以4+33 z y x =-， 平移直线4+33z y x =- ，由图象可知当直线4+33 z y x =-经过点A 时， 目标函数43z x y =+取得最大值，由24236x y x y +=??+=?，解得321x y ? =???=? ，即3,12A ?? ???， 即3 41392 z =? +?=，故z 的最大值为9．故选：C ．
3．【湖南省长沙市雅礼教育集团2018-2019学年高一下学期期末】设变量x ，y 满足10020015x y x y y -≤?? ≤+≤??≤≤? ，则 23x y +的最大值为（ ） A ．55 B ．45 C ．35 D ．25 【解析】变量x ，y 满足约束条件10020015x y x y y -≤?? ≤+≤??≤≤? 的平面区域，如图所示： 令23z x y =+，可得 233z y x =- +，则3 z 为直线230x y z +-=在y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 作直线l ：230x y +=，把直线向上平移可得过点D 时，z 最大， 由15 20y x y =??+=? 可得x ＝5，y ＝15，此时232531555z x y =+=?+?=.故选：A ． 4．【吉林省长春外国语学校2018-2019学年高一下学期期末】若实数x ，y 满足条件250 24001 x y x y x y +-≤??+-≤? ?≥??≥?，目标 函数2z x y =-，则z 的最大值为( ) A ． 5 2 B ．1 C ．2 D ．0 【解析】若实数x ，y 满足条件25024001 x y x y x y +-≤??+-≤? ?≥??≥?，目标函数2z x y =-如图： 当3 ,12 x y = =时函数取最大值为2 故答案选C
简单的线性规划问题 【知识概述】 线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题. 解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点 1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题； 2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节 （1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）； （2）求目标函数的最值. （3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型： ①0 b>时，截距最大（小），z的值最大（小）； ②0 b>时，截距最大（小），z的值最小（大）； 【学前诊断】 1.[难度] 易 满足线性约束条件 23, 23, 0, x y x y x y +≤ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? 的目标函数z x y =+的最大值是（） A.1 B.3 2 C.2 D.3 2.[难度] 易 设变量,x y满足约束条件 0, 0, 220, x x y x y ≥ ? ? -≥ ? ?--≤ ? 则32 z x y =-的最大值为( ) A.0 B.2 C.4 D.6
3. [难度] 中 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥??≤??+≤? 下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取 值范围为（ ） A ．(1,1 B ．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【经典例题】 例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A.5 B.4 C.1 D.8 例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??--≤??≥≥? ，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小 值为8，则a b +的最小值为____________. 例4. 在约束条件下0,0,,24, x y x y s x y ≥??≥??+≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )
新人教版高中历史必修三第5课《西方人文主义思想的起源》精品教案A教学目标 一、知识与能力： 掌握智者学派兴起的背景，探讨智者学派的思想主张和意义；了解西方人文精神的历史发展轨迹，理解西方人文精神的内涵；发挥历史借鉴作用，利用人文智慧解决问题或拓宽解决问题的思路； 二、过程与方法： 1、阅读课文所提供的历史材料和教师提供的材料，学会从材料中获取有效信息。 2、梳理从材料中获得的有效信息并联系自己生活经验和平时所学进行积极思考，再针对教师所提的问题作出自己个人的表述，培养学生独立思考能力和语言表达能力。 3、在分析和解读材料事例中加深对西方人文精神的内涵的理解。 三、情感态度与价值观： 1、理解“人是万物的尺度”这句话的深刻意义，认识人是历史的主体和历史的创造者； 2、理解人之为人的可贵理性，人要反思，审视自己的思想和行为，以促进社会的良性发展； 3、引导学生感受古希腊先哲勇于否定权威，坚持独立思考，坚持真理的人文精神；引导学生关注现实中人文精神缺失的现状； 4、教育学生追求真、善、美，批判地继承古典文化。 B重点与难点 重点：智者学派苏格拉底。 难点：哲学观点比较抽象、难懂。 C教学方法： D教学过程 【分析导言与导入新课】 人文精神 1、含义： 西方人文精神与人文主义有一定的联系，它和人文主义一样是发源于古希腊哲学，发展于文艺复兴，但是人文精神最后还经过了启蒙运动理性精神的滋养，对人和人性有着比人文主义更全面、更深刻的理解。 在西文中，“人文精神”一词应该是humanism，通常译作人文主义、人本主义、人道主义。 狭义是指文艺复兴时期的一种思潮，其核心思想为： 一、关心人，以人为本，重视人的价值，反对神学对人性的压抑； 二、张扬人的理性，反对神学对理性的贬低； 三、主张灵肉和谐、立足于尘世生活的超越性精神追求，反对神学的灵肉对立、用天国生活否定尘世生活。 广义则指欧洲始于古希腊的一种文化传统。简单地说，就是关心人，尤其是关心人的精神生活；尊重人的价值，尤其是尊重人作为精神存在的价值。 2、人文精神的产生、复兴和发展成熟的过程 西方奴隶制时代（公元前5世纪中叶以后）人文精神的萌芽——古希腊思想家们（智者学派、苏格拉底等）的思想。 14---17世纪人文主义的兴起与发展——文艺复兴和宗教改革所体现的思想 17---18世纪人文主义思想的进一步弘扬——启蒙运动。 大家都知道古今中外有很多神话传说，那么为什么会有那么多对神的敬畏与崇拜？ 由于早期人类知识匮乏，对于自然界很多现象无法解释，处于对自然界的恐惧、对自身能力缺乏自信，所以早期人类流传下许多美丽动人的神话传说。我们今天就讲一个关于宙斯和赫拉的神话故事宙斯是众神之王,也是人类之王。有一天夜晚，宙斯和赫拉(宙斯的胞妹)悄悄的起来，站在草坪上完成了婚姻大事。宙斯经常离开奥林匹斯山，下凡拜会仙女们，赫拉以为自己被宙斯抛弃而大发雷霆。当丈夫回到家里的时候，就当着众神的面训斥他，并且离家出走,她来到和宙斯第一次幽会的地方，独自伤心
3.3.2 简单的线性规划问题 双基达标 (限时20分钟) 1．(2010·福建高考)若x ，y ∈R ，且????? x ≥1，x －2y ＋3≥0， y ≥x ， 且z ＝x ＋2y 的最小值等于 ( )． A ．2 B ．3 C ．5 D ．9 解析 可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为 1＋2＝3. 答案 B 2．设x ，y 满足????? 2x ＋y ≥4x －y ≥－1， x －2y ≤2则z ＝x ＋y ( )． A ．有最小值2，最大值3 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最大值3，无最小值 D ．既无最小值，也无最大值 解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域， 如图中阴影部分所示．由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ， 令z ＝0，作直线l ：y ＝－x .当平移直线l 至经过A (2,0)
时，z 取得最小值，z min ＝2，由图可知无最大值．故 选B. 答案 B 3．已知点P (x ，y )的坐标满足条件????? x ＋y ≤4，y ≥x ， x ≥1 ，则x 2＋y 2的最大值为 ( )． A.10 B ．8 C ．16 D ．10 解析 画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A (1,1)，|OA | ＝2，B (2,2)，|OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10. ∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10. 答案 D 4．已知????? 2x ＋3y ≤6x －y ≥0 y ≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________． 解析 画出可行域如图所示，当直线z ＝3x －y 过点(3,0)时，z max ＝9. 答案 9 5．已知实数x ，y 满足????? x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0， 则y x 的最大值为________． 解析 画出不等式组
必修三第5课《西方人文主义思想的起源》集体备课教案 A教学目标 一、知识与能力： 掌握智者学派兴起的背景，探讨智者学派的思想主张和意义；了解西方人文精神的历史发展轨迹，理解西方人文精神的内涵；发挥历史借鉴作用，利用人文智慧解决问题或拓宽解决问题的思路； 二、过程与方法： 1、阅读课文所提供的历史材料和教师提供的材料，学会从材料中获取有效信息。 2、梳理从材料中获得的有效信息并联系自己生活经验和平时所学进行积极思考，再针对教师所提的问题作出自己个人的表述，培养学生独立思考能力和语言表达能力。 3、在分析和解读材料事例中加深对西方人文精神的内涵的理解。 三、情感态度与价值观： 1、理解“人是万物的尺度”这句话的深刻意义，认识人是历史的主体和历史的创造者； 2、理解人之为人的可贵理性，人要反思，审视自己的思想和行为，以促进社会的良性发展； 3、引导学生感受古希腊先哲勇于否定权威，坚持独立思考，坚持真理的人文精神；引导学生关注现实中人文精神缺失的现状； 4、教育学生追求真、善、美，批判地继承古典文化。 B重点与难点 重点：智者学派苏格拉底。 难点：哲学观点比较抽象、难懂。 C教学方法： D教学过程 【分析导言与导入新课】 人文精神 1、含义： 西方人文精神与人文主义有一定的联系，它和人文主义一样是发源于古希腊哲学，发展于文艺复兴，但是人文精神最后还经过了启蒙运动理性精神的滋养，对人和人性有着比人文主义更全面、更深刻的理解。 在西文中，“人文精神”一词应该是humanism，通常译作人文主义、人本主义、人道主义。 狭义是指文艺复兴时期的一种思潮，其核心思想为： 一、关心人，以人为本，重视人的价值，反对神学对人性的压抑； 二、张扬人的理性，反对神学对理性的贬低； 三、主张灵肉和谐、立足于尘世生活的超越性精神追求，反对神学的灵肉对立、用天国生活否定尘世生活。 广义则指欧洲始于古希腊的一种文化传统。简单地说，就是关心人，尤其是关心人的精神生活；尊重人的价值，尤其是尊重人作为精神存在的价值。 2、人文精神的产生、复兴和发展成熟的过程 西方奴隶制时代（公元前5世纪中叶以后）人文精神的萌芽——古希腊思想家们（智者学派、苏格拉底等）的思想。 14---17世纪人文主义的兴起与发展——文艺复兴和宗教改革所体现的思想 17---18世纪人文主义思想的进一步弘扬——启蒙运动。 大家都知道古今中外有很多神话传说，那么为什么会有那么多对神的敬畏与崇拜？ 由于早期人类知识匮乏，对于自然界很多现象无法解释，处于对自然界的恐惧、对自身能力缺乏自信，所以早期人类流传下许多美丽动人的神话传说。 这些神都具有人的形象和思想感情,他们会妒忌、会爱、会恨。
线性规划 姓名： 班级： . 一、选择题（共8小题；共40分） 1.目标函数z =3x ?y ，将其看成直线方程时，z 的意义是 () A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线的纵截距的相反数 D.该直线的横截距 2.完成一项装修工程，请木工需要付工资每人50元，请瓦工需要付工资每人40元，现有工人工资2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人的约束条件是 () A.5x +4y <200 B.5x +4y ≥200 C.5x +4y =200 D.5x +4y ≤200 3.不在3x +2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 4.在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ?2≤0 x ?y +2≥0y ≥0 表示的平面区域的面积是 () A.4√2 B.4 C.2√2 D.2 5.设变量x ，y 满足约束条件{x ?y ≥?1, x +y ≥1,3x ?y ≤3, 则目标函数z =4x +y 的最大值为 () A.4 B.11 C.12 D.14
6.设变量x ，y 满足约束条件{2x ?y ?2≤0, x ?2y +2≥0,x +y ?1≥0,则S =y+1 x+1 的取值范围是( ) A.[1,3 2] B.[1 2 ,1] C.[1,2] D.[1 2 ,2] 7.给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为 () A.1 4 B.3 5 C.4 D.5 3 8.已知点P 在平面区域{x ?1≤0 3x +4y ≥4y ?2≤0上，点Q 在曲线(x +2)2+y 2=1上， 那么∣PQ ∣的最小值是 () A.1 B.2 C.-1 D.1 2 二、填空题（共4小题；共20分） 9.约束条件{x ≥0， y ≥0，x +y ≤2 所表示的平面区域的面积为 ． 10.已知点A (3,1)和点B (?4,6)在直线3x ?2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 ． 11.设x ，y 满足约束条件{x ≤1, y ≤2,2x +y ?2≥0, 则目标函数z =√x 2+y 2的最小值为 ． 12.不等式{x ≥0 y ≥0y ≤?kx +4k (k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kS k?1 的最小值为 ． 三、解答题（共4小题；共52分） 13.将图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来． 14.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙 型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，问该公司如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润?并求出最大利润．
【自学】 对于题目：已知实数,x y 满足：12,x y ≤+≤11x y -≤-≤，求2x y +的取值范围. 有个同学的解法如下： 解：由已知，得不等式组：12(1) 11(2)x y x y ≤+≤ ?? -≤-≤ ? ， 两个同向不等式作加法，得： 原不等式组化为 两个同向不等式作加法，得023(4)y ≤≤ 即 0 1.5y ≤≤ (5). 两个同向不等式（3）和（5）作加法，得 从而2x y +的取值范围是[0,4.5]. 思考：上题合适的解法该是怎样的呢？？？ 【对话】 【精讲点拨】 例1、已知2z x y =+，其中实数,x y 满足：12 11 x y x y ≤+≤??-≤-≤?，求z 的最大值和最 小值. 小结：
1、线性规划中的几个相关概念： 2、解决简单线性规划的方法： 3.解简单线性规划问题的步骤：
【对话】 【合作探究与展示分享】 例2、设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最小值. 变式1、在例2中将2z x y =+改为610z x y =+，求z 的最大值和最小值. 变式2、在例2中将2z x y =+改为2z x y =-，求z 的最大值和最小值. 例3、设变量,x y 满足条件1035371x y x y x -+≤?? +≤??≥? ， （1） 找出,x y 均为正整数的可行解； （2） 求出目标函数53z x y =+的最大值； （3） 若,x y 均为正整数，求目标函数53z x y =+的最大值.
【评价】 【自我评价】 1. 右图中阴影部分的点满足不等式组52600 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?在这些点中，使目标函数68z x y =+取得最大值的点的坐标是______________. 2. 求函数23z x y =+的最大值，式中的,x y 满足约束条件2324700 x y x y x y +-≤ ??-≤? ?≥??≥? *3、在例2中将2z x y =+改为y z x =，求z 的最大值和最小值. *4、在例2中将2z x y =+改为2 2 z x y =+，求z 的最大值和最小值. **5.已知变量,x y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤?? -≤-≤? ，若目标函数 (0)z ax y a =+>其中仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为____________.
二元一次不等式组和简单的线性规划模拟试卷 一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 ( ) A. a ＜－1或a ＞24 B. a =7或a =24 C. －7＜a ＜24 D. －24＜a ＜7 2.若x , y 满足约束条件210,0,0.x y x y +-≤?? ≥??≥? 则x +2y 的最大值是 ( ) A.［2，6］ B.(2，5) C.(3，6) D.(3，5) 3.满足｜x ｜+｜y ｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x , y )的个数是 ( ) A.16 B.17 C.40 D.41 4.不等式x －2y +6＞0表示的平面区域在直线x －2y +6=0的 ( ) A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 5.不等式组3,0,20x x y x y ≤?? +≥??-+≥? 表示的平面区域的面积等于 ( ) A.28 B.16 C. 4 39 D.121 6.在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,0 x y x y x y y ->??+-
7.点P (a , 4)到直线x －2y +2=0的距离等于25且在不等式3x + y －3＞0表示的平面区域内，则点P 的坐 标为（ ） A ．(16，－4) B ．(16，4) C ．(－16，4) D ．(－16，－4) 8.在直角坐标平面上，满足不等式组22 4640, 233x y x y x y ?+--+≤??-+-≥?? 面积是 ( ) A ．6π+10 B ．9π－18 C ．8π－10 D ．18π－9 9．如图220x y -<表示的平面区域是 （ ） 10．已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．a <－7或a >24 B ．a =7或a =24 11．给出平面区域如图所示，其中A （5，3），B （1，1）， C （1，5），若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 （ ） A ． 32 B ．21 C ．2 D ．2 3 12．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根 据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有 ( ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.
高中数学必修五公式方法总结 第一章 解三角形 一．正弦定理： 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ? ==?? ? ==?? ? ==?? 推论：::sin :sin :sin a b c A B C = 二．余弦定理： 三．三角形面积公式：111 sin sin sin ,222 ABC S bc A ac B ab C ?= == 第二章 数列 一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数) 2.通项公式：()n 1 n 1d a a =+-或()n m n m d a a =+- 3.求和公式:()()d n n n n a a a S n n 2 12 11-+ =+= 4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+?+=+ (2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列 二．等比数列：1.定义： )0(1 ≠=+q q a a n n 2.通项公式：q a a n n 1 1 -?=或q a a m n m n -?= 3.求和公式: n 1S na ,q 1== n 11n n a (1q )a a q S ,q 11q 1q --==≠-- 4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =?+=+ 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 222 222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B a c a b c C ab +-=+-=+-=