2021年高考数学一轮复习 题组层级快练68（含解析）
1．若过抛物线y ＝2x 2
的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )
A ．－2
B ．－12
C ．－4
D ．－
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答案 D
解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y .其焦点坐标为F (0，18)，取直线y ＝1
8，则其与y ＝2x 2交于A (－
14，18)，B (14，18)，∴x 1x 2＝(－14)·(14)＝－1
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. 2．设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜
率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
A ．k 2
－e 2
>1 B ．k 2－e 2
<1 C ．e 2
－k 2
>1 D ．e 2
－k 2
<1
答案 C
解析 l 与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是－b a a 2＝e 2－1，即e 2－k 2 >1，故选 C. 3．已知椭圆x 2 ＋2y 2 ＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C. 30 3 D.32 6 答案 C 解析 设y －1＝k (x －1)，∴y ＝kx ＋1－k . 代入椭圆方程，得x 2 ＋2(kx ＋1－k )2 ＝4. ∴(2k 2 ＋1)x 2 ＋4k (1－k )x ＋2(1－k )2 －4＝0. 由x 1＋x 2＝ 4k k －12k 2 ＋1＝2，得k ＝－12，x 1x 2＝1 3 . ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2＝4－43＝83. ∴|AB |＝ 1＋14·263＝303 . 4．已知抛物线y ＝2x 2 上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，那么m 的 值等于( ) A.32 B.52 C ．2 D ．3 答案 A 解析 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2 上，所以y 1＝2x 2 1，y 2＝2x 2 2，两式相减，得y 1－y 2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1 y 1－y 2 x 1－x 2 ＝－1，所以x 1＋x 2 ＝－12.而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝ y 1＋y 2 2＝2x 2 1＋2x 2 22＝54.因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32 . 5．已知双曲线x 2 －y 2 4＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 A 解析 ①斜率不存在时，方程为x ＝1符合． ②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0. ? ?? ?? 4x 2 －y 2 ＝4，y ＝kx －k ＋1， (4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2 ＋2k －5＝0. 当4－k 2 ＝0，k ＝±2时符合； 当4－k 2 ≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条． 6．(xx·东北三校)设抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A ，B ，且满足AF →·BF → ＝0，则直线AB 的斜率k ＝( ) A. 2 B.22 C. 3 D. 33 答案 B 解析 依题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理，得k 2x 2＋(2k 2 －4)x ＋k 2＝0.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4 >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则??? ?? x 1＋x 2＝4－2k 2 k 2，x 1x 2＝1. 又因为AF →·BF →＝0，所以(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，(x 1－1)(x 2－1)＋k 2 (x 1＋1)(x 2 ＋1)＝0，(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0.把??? ?? x 1＋x 2＝4－2k 2 k 2 ，x 1x 2＝1，代入并整理，得k 2 ＝12 .又k >0， 所以k ＝ 2 2 ，故选B. 7．已知抛物线y 2 ＝8x ，过动点M (a,0)，且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，|AB |≤8，则实数a 的取值范围是________． 答案 －2 解析 将l 的方程y ＝x －a 代入y 2 ＝8x ， 得x 2 －2(a ＋4)x ＋a 2 ＝0. 则|AB |＝2[ x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]