2010高考数学复习详细资料(精品)——向量
知识清单
一、向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).
2.向量的表示方法:
⑴字母表示法:如,,,a b c
等.
⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如A B ,C D
等.
⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量O A
的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为O A 的坐标,记为O A
=(),x y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a
与b 相等,记为a b =
.
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线
上.规定:0
与任一向量共线.
注:共线向量又称为平行向量.
7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算 (一)运算定义
①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.
加法：①a b b a +=+ (交换律); ②()()a b c a b c ++=++
(结合律) 实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+ ; ②()a a a λμλμ+=+ ;③()()a a λμλμ=
两个向量的数量积: ①a →
2b →
=b →
2a →
; ②(λa →
)2b →
=a →
2(λb →
)=λ(a →
2b →
);③
(a →
+b →
)2c →
=a →
·c →
+b →
2c →
注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，
例如(a →
±b →
)2
=2
2
2a a b b →→
→→±?+ (三)运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:如果12,e e
是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+ ，称1122e e λλ+ 为12,e e
的线性组合。
①其中12,e e
叫做表示这一平面内所有向量的基底;
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e
的方向分解为两个向量的和,并且这种分
解是唯一的.
这说明如果1122a e e λλ=+ 且''
1122a e e λλ=+
,那么1122λλλλ''=,=.
③当基底12,e e
是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本
定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A(x ，y )，则→--OA =（x ,y ）；当向量起点不在原点时，向量→
--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则→
--AB =(x 2-x 1,y 2-y 1) ⑵两个向量平行的充要条件
符号语言：)0(//→
→
→→
→
→
≠=?b b a b a λ
坐标语言为：设非零向量()()1122,,,a b x y x y == ,则a →∥b →
?(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)，
即12
12
x x y y λλ=??=?,或x 1y 2-x 2y 1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当a →与b →同向时,λ>0；当a →与b
→异向时,λ<0。|λ|=
|
b ||
a |→
→
,λ的大小由a →及b →的大小确定。因此,当a →,b →
确定时，λ的符号与
大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件
符号语言：?⊥→
→
b a 0=?→
→b a
坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y == ，则?⊥→
→b a 02121=+y y x x
⑷两个向量数量积的重要性质：
①2
2
||→
→=a a
即 2
||→→
=
a a (求线段的长度);
②?⊥→
→
b a 0=?→
→b a (垂直的判断);
③cos a b
a b
θ?=? (求角度)。
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
注:①两向量a →
,b →
的数量积运算结果是一个数cos a b θ? (其中,a b θ=
),这个数的大小与
两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
②cos b θ 叫做向量b
在a 方向上的投影（如图）.
数量积的几何意义是数量积a b 等于a 的模与b
在a 方向上的投影的积.
③如果111(,)P x y ,222(,)P x y ,则12P P
=2121(,)x x y y --,
∴12P P =
这就是平面内两点间的距离公式.
课前预习 1．在
A B C D
中，BC CD BA -+=
（ ）
()B C A ()D A B ()A B C ()A C D
2.平面内三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --,若→--AB ∥→
--BC ，则x 的值为( ) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5
3. 设a →
，b →
， c →
是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①(a →
2b →
)c →
-(c →
2a →
)b →
=0 ②|a →
|-|b →
|<|a →
b →
-|
③(b →2c →)a →-(c →2a →)b →不与c →垂直 ④(3a →+2b →)2(3a →-2b →)=9|a →
|2
- 4b →
|2
中，
真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 4. △OAB 中,→
--OA =a →
,→
--OB =b →
,→
--OP =p →,若p →
=(
)||||
a
b
t a b →
→
→
→
+
，t ∈R ，则点P 在( )
(A)∠AOB 平分线所在直线上 (B)线段AB 中垂线上 (C)AB 边所在直线上 (D)AB 边的中线上
5. 正方形P RS Q 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且→--OP =（0，3），→
--OS =（4，0），则→
--RM =( ) (A)（2
1,27-
-
） (B)（
2
1,
2
7） (C)（7，4） (D)（
2
7,
2
7）
6.已知()(),3,2,4,a x b a b ==-⊥
,则实数x =_______.
7.已知()()2,8,6,4,a b a b +=--=-- 则a = _____, b = ______,a 与b
的夹角的余弦值是
_____.
8．在△O A B 中,(2cos ,2sin )O A αα= , (5cos ,5sin )O B ββ=
,若5OA OB ?=- ,则
OAB S ?= ▲ .；
9. 已知
ABC 的三个顶点分别为(()(3,,6,0,5,,A B C 求A C B ∠的大小.
10. 已知△ABC 中，A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量→
--AD 坐标。
11.在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|→--OM |∶|→--OA |=1∶3，|→--ON |∶|→
--OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记→
--OA = a →
，→
--OB =b →，用 a →，b →表示向量OP --→
.
典型例题
一、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与O A
变式1：如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出 图中与O D 、D C
共线的向量。
解：
变式2：如图2，设O
的模相等的向量以及方向相同的向量。 解：
二、平面向量的线性运算
EG2.如图，在平行四边形ABCD 中，AB = a ，AD =
b ，
你能用a ，b 表示向量 A C ，DB
吗？
变式1：如图，在五边形ABCDE 中，AB =
a ，BC =
b ，
CD = c ，EA =
d ，试用a ，b ， c ， d 表示向量C E 和D E .
变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA = a ，O B =
b
则下列各表述是正确的为（ ）
A ．OA O
B AB += B ．O
C O
D AB += C ．CD =- a + b D ．BC =-
(a + b )
变式3：已知OA =a ，OB =b, OC =c ,OD =d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）
A. a +b +c +d =0
B. a －b +c －d =0
C. a +b －c －d =0
D. a －b －c +d =0
变式4：在四边形ABCD
中，若12
AB C D
=-
，则此四边形是( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．梯形
D ．矩形 变式5：已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a －b )垂直的 （ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
变式6：在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，
则四边形ABCD 为（ ） A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
D E C A
B
C
变式7：已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等（ ） A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)
B.λ(AB +BC ),λ∈(0,2
2)
C.λ(AB －AD ),λ∈(0,1)
D.λ(BC AB -),λ∈(0,2
2)
变式8：已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，CA =b ， AB =c ,则下列各式：①EF =2
1c －2
1b ②BE =a +2
1b ③CF =－2
1a +2
1b
④AD +BE +CF =0
其中正确的等式的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
EG3．如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA = a + b ，O B =
a + 2
b ， OC =
a + 3
b ，你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？
变式1：已知OA = a + 2b ，O B = 2a + 4b ，OC =
3a + 6b
(其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．
证明：∵AB OB OA =-=
a + 2
b ，AC OC OA =-=
2a + 4b ，
∴ 2AC AB =
所以，A 、B 、C 三点共线．
变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA = a + b ，(2)O B m =- a + 2b ，(1)O C n =+
a
+ 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．
EG4.已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF HG =
变式1：已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，
求证：2AB DC EF
+=
.
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a = (4，2)，b = (6，y )，且a // b ，求 y ．
b
a
变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（ ）
A ．12513
13??
???，- B ．12
513
13??- ???-
C ．12
51313??
???， 或1251313??- ???- D ．1251313??- ???， 或12
51313?? ???，-
变式2：已知a (1,2)=，b (),1x =，当a +2b 与2a －b 共线时，x 值为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．
13
D ．
12
变式3：已知A (0,3) 、B (2,0) 、C (－1,3) 与AC AB 2+方向相反的单位向量是( )
A ．(0,1)
B ．(0,－1)
C ． (－1,1)
D ．(1,－1)
变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k 为何实数时， k a －b 与a +3b 平行, 平行
时它们是同向还是反向？
EG5.设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ，． (1) 当点P 是线段12P P 上的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求P 的坐标
变式1：已知两点()3,2M ，()5,5N --，12
M P M N =
，则P 点坐标是 （ ）
A ．()8,1-
B ．31,2?
?--
??
? C ．3
1,2??
???
D ．()8,1- 变式2：如图，设点P 、Q 是线段AB
的三等分点，若O A
＝a ，
OB
＝b ，则OP
＝
，O Q
＝ (用a 、b 表示)
四、平面向量的数量积
EG6.已知|a |＝6，|b | ＝4且a 与b 的夹角为60?，求 (a + 2b)2(a 3-b )
变式1：已知()()
3,4,223,a b a b a b ==++=
那么a 与b 夹角为
A 、60?
B 、90?
C 、120?
D 、150?
变式2：已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b ）2a 等于 （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 变式3：在△ABC 中，已知|AB |=4，|AC |=1，S △ABC =3，则AB 2AC 等于（ ）
A.－2
B.2
C.±2
D.±4
变式4：设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
EG7.已知|a |＝3，|b | ＝4且a 与b 不共线，k 为何实数时，向量a + k b 与a k -b 互相垂直？ 变式1：已知a ⊥b ，|a |＝2，|b | ＝3，且向量3a + 2b 与k a -b 互相垂直，则k 的值为（ ）
A ．32
-
B ．
32
C ．32
±
D ．1
变式2：已知|a |＝1，|b | ＝2且（a －b ）⊥a ，则a 与b 夹角的大小为 ．
EG8.已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标． 变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )
A ．3i +2j
B ．－2i +3j
C ．－3i +2j
D ．2i －3j
变式2：已知向量)1,1(=a ，)3,2(-=b ，若b a k 2-与a 垂直，则实数k =（ ）
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．2 变式3：若非零向量b a ,互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ）
A ．b a b a -=+
B ．||||b a b a -=+
C ．0))((=-+b a b a
D ．0)(2=-b a
变式4：已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．
EG9.已知A (1，2)，B (2，3)，C (2-，5)，试判断A B C ?的形状，并给出证明．
变式1：O 是A B C ?所在的平面内的一点，且满足()()
0O B O C O C O A -?-=
，则
A B C ? 一定为（ ）
A ．正三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．斜三角形
变式2：已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA ＋OB ＋OC ＝0，则O 是△ABC 的（ ） A ． 重心
B ． 垂心
C ． 内心
D ． 外心
变式3：已知02
=+?AB BC AB ，则△ABC 一定是
（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
变式4：四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB （1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。
五、平面向量应用举例
EG10.题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1：如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，
求证：PA 2
+PB 2
+PC 2
+PD 2
=8r 2
.
变式2：已知△ABC 中，c AB b CA a BC ===,,，若a c c b b a ?=?=?，求证：△ABC 为
正三角形.
变式3：已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证
OE OD OC OB OA 4=+++.
变式4：四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：)(2
1DC AB EF +=
实战训练
1.（08全国一3）在A B C △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =
A ．
213
3
+
b c B ．
523
3
-
c b C ．
213
3
-
b c D ．12
3
3
+
b c
2.（08安徽卷3）．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)A B = ，(1,3)A C =
,
则BD =
（ ）
A ． （－2，－4）
B ．（－3，－5）
C ．（3，5）
D ．（2，4）
3.（08湖北卷1）设)2,1(-=a ,)4,3(-=b ,)2,3(=c 则=*+c b a )2( C A.(15,12)- B.0 C.3- D.11-
4.（08湖南卷7）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,D C BD = 2,C E E A = 2,AF FB =
则AD BE CF ++ 与BC ( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
5.（08陕西卷15）关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：
①若 a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60 ． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
6.（08广东卷8）在平行四边形A B C D 中，A C 与B D 交于点O E ，是线段O D 的中点，A E 的延长线与C D 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF =
（ ）
A ．
114
2
+
a b B ．
213
3
+
a b C ．
112
4
+
a b D ．123
3
+
a b
7.（08浙江卷9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足
0)()(=-?-c b c a ,则c 的最大值是
（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2
2
8.（08辽宁卷5）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=
，则OC =
（ ） A ．2OA OB -
B ．2OA OB -+
C ．2133
O A O B -
D ．1233
O A O B -+
9.（08海南卷8）平面向量a ，b
共线的充要条件是（ ） A. a ，b
方向相同
B. a ，b
两向量中至少有一个为零向量
C. R λ?∈，
b a λ=
D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=
10.（08上海卷5）若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3
π
，则a b += ．
11.（08全国二13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．
12.（08北京卷10）已知向量a 与b 的夹角为120
，且4==a b ，那么(2)+ b a b 的值
为 ．
13.（08天津卷14）已知平面向量(2,4)a =
，(1,2)b =- ．若()c a a b b =-? ，则
||c =
_____________．
14.（08江苏卷5）a ，b 的夹角为120?，1a = ，3b = 则5a b -=
▲ ．
15.（08江西卷13）直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段B C
的三等分点，则AE AF ?
= ．
16．（08海南卷13）已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b = ，||a b λ+=
且0λ>，则λ=
_____
17（08福建卷17）已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m 2n ＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
18.在A B C ?中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知向量33(cos ,sin ),22
A A
m =
(cos ,sin ),22
A A
n = 且满足m n +=
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若,b c +=试判断A B C ?的形状。
19.已知向量(,sin 2),(cos 2,),,()b m x c x n x f x b c ==∈=?R
，若函数()f x 的图象经过点(0,1)
和(,1).4
π
（I ）求m n 、的值；
（II ）求()f x 的最小正周期，并求()f x 在[0,]4
x π
∈上的最小值；
（III ）当1(),[0,]2
5
f ααπ=
∈时，求sin α的值．
20.在ABC ?中， ,,A B C ∠∠∠所对边分别为c b a ,,.已知(sin ,sin cos ),m C B A =
(,2)n b c =
,且0m n = .
（Ⅰ）求A ∠大小.
（Ⅱ）若,2,32==c a 求ABC ?的面积S 的大小.
21.已知向量(1tan ,1)x =-a ，(1sin 2cos 2,0)x x =++b ，记()f x =?a b ． （1）求f (x )的解析式并指出它的定义域；
（2）若π()85
f α+
=
π
(0,)2
α∈，求()f α．
22.已知向量(cos ,sin )x x =-m ,(cos ,sin )x x x =-n ,x ∈R ,设()f x =?m n . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期. (Ⅱ)若24()13
f x =
,且[,]42
x ππ
∈,求sin 2x 的值.
23.（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点??
?
??2,4π， （Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 24.(07年陕西卷文17）.设函数b a x f 、=)(.其中向量
2)2
π
(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.
（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高考数学三角函数与平面向量复习 三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点. 一、三角函数问题 1．三角函数的图像和性质 （1）具体要求： ①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； ②借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； ③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2π ±α，π±α的正弦、余弦、正切），能画出 y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 图像，了解三角函数的周期性； ④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在（-2π,2π ）上的性质（如单调性、最大 和最小值、图象与轴交点等）； ⑤理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x+cos 2 x=1，x x cos sin =tanx. ⑥结合具体实例，了解y=Asin(ωx+?)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+?)的图 像，观察参数A ，ω，?对函数图像变化的影响； ⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. (2)题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势. 例1.已知函数f (x)= Asin(ωx+?)( A >0,ω>0,∣?∣<2π )的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2),( x 0+3π,-2). （1）求f (x)的解析式； （2）用五点作图法画出函数f (x)在长度为一个闭区间上的简图； （3）写出函数f (x)的单调区间；
碰撞新旧素材，发挥新素材“最能量”【名师导语】新鲜素材一直是考场上的必备利器。然而，经过几年的高考阅卷，我们也发现，并不是大量地堆积新鲜素材就能夺得高分，反而是那些能将新鲜素材与经典素材结合的文章。更能够获得阅卷者的青睐。而在考场上，很多同学往往只能想起一两则新素材，而能下笔的往往还是旧素材。那么，如果将新鲜的素材和较为陈旧的素材良好地结合在一起，让一两则新素材能发挥最大效用，而旧素材也能焕发新的光彩呢? 在此，笔者就结合近两年的高考作文命题，为大家解读一二。 碰撞方法一 简洁正比+犀利反比 数量提示：新素材一则+旧素材一则 考场优势： 新鲜素材和旧素材各一则，挖掘其共同点构成正比，使文章内容丰富，如果反其道而行之，运用新旧两个相反或相对的素材构成反比，可使文章观点鲜明，是非昭然。 正比-方法指路： 任何事物都处于“关系网”中，从不同角度联系周围事物去思考会得到不同的结论。这就要求考生在考场上根据作文立意要求，抓住新素材和旧素材的共同点，展开论述。人物素材要抓住人物思想、行为在某方面的高度一致性；事件素材，则要找到事件背后的共鸣点。 【考场片段】 那一刻我仿佛明白了，原来，那些看似平淡无奇的东西，有一天也会发出令人惊艳的光芒。就像当年，霍去病年仅17岁，小小年纪，却带着本用来保护他的五百人大败匈奴，成为西汉赫赫有名的常胜将军：又如今朝，山东单县平凡朴实的农民朱之文，或许当他初次踏上那个舞台时，在场所有人都只是抱着随意的态度。谁都没有对他抱太大的希望。而他却不顾别人的眼光，笔直地站到最后，一曲激情澎湃的“滚滚长江东逝水”让他获得了满堂喝彩，也让他走进了全国人民的心中，(节选自2011年高考天津卷优秀作文《透过镜子看世界》) 反比·方法指路 古人说：“无反则正不显”，如果把性质相反的新旧素材加以对照，、推导出它们之间的差异点，不仅会使观点鲜明突出，还能有效地说服读者。 【考场片段】
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训
向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ） A 、A B u u u r 与A C u u u r 共线 B 、DE u u u r 与CB u u u r 共线C 、1sin A D θ-u u u r 与A E u u u r 相等 D 、AD u u u r 与BD u u u r 相等 2、下列命题正确的是（ ） A 、向量A B u u u r 与BA u u u r 是两平行向量 B 、若a r 、b r 都是单位向量,则a r =b r C 、若AB u u u r =DC u u u r ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ） (1)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的必要不充分条件；(2)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的既不充分也不必要条件；(3)a r 与b r 方向相同且|a r |=|b r |是a r =b r 的充要条件；(4)a r 与b r 方向相反或|a r |≠|b r |是a r ≠b r 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4) 4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。 5、已知|AB u u u r |=1，|AC u u u r |=2，若∠BAC =60°，则|BC uuu r |= 。 6、在四边形ABCD 中, AB u u u r =DC u u u r ，且|AB u u u r |=|AD u u u r |，则四边形ABCD 是 。 7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL u u u r =NM u u u u r 。 8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。 (1)作出向量AB u u u r 、BC uuu r 、CD uuu r (1 cm 表示200 m )。 (2)求DA u u u r 的模。 T ={PQ uuu r 、 9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合 Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。 向量的加法 1、下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A 、（A B +CD ）+B C B 、（A D +MB ）+（BC +CM ） C 、MB +-A D BM D 、OC OA -+CD 2、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） 第9题图
高考总复习全套完整资料 课题：直线系与对称问题主要知识及方法： 1.点P?a,b?关于x轴的对称点的坐标为?a,?b?；关于y轴的对称点的坐标为??a,b?；关于y?x的对称点的坐标为?b,a?；关于y??x 的对称点的坐标为??b,?a?. 2.点P?a,b?关于直线ax?by?c?0的对称点的坐标的求法：?1?设所求的对称点P 的坐标为?x0,y0?，则PP的中点?’’?a?x0b?y0?,?一定在直线22??ax?by?c?0上. ?2?直线PP’与直线ax?by?c?0的斜率互为负倒数，即y0?b?a???????1 x0?a?b?结论：点P?x0,y0?关于直线l：Ax?By?C?0对称点为?x0?2AD,y0?2BD?，Ax0?By0?C；曲线C：f(x,y)?0关于直线l：Ax?By?C?0的对称曲22A?B22线方程为f?x?2AD,y?2BD??0特别地，当A?B，即l的斜率为?1时，点其中
D??By?CAx0?C?即P?x0,y0?,?P?x0,y0?关于直线l：Ax?By?C?0对称点为??0?，AB??0对称的点为：?y?c关于直线x?y?c?,?x??c?，曲线f(x,y)?0关于x?y?c?0的对称曲线为f?y?c,?x?c???0 3.直线a1x?b1y?c1?0关于直线ax?by?c?0的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 4.点?x,y?关于定点?a,b?的对称点为?2a?x,2b?y?，曲线C：f?x,y??0关于定点?a,b?的对称曲线方程为f?2a?x,2b?y??0. 5.直线系方程：?1?直线y?kx?b. ?2?过定点M?x0,y0?的直线系方程为y?y0?k?x?x0?及x?x0 ?3?与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程为Ax?By?C1?0 ?4?与直线Ax?By?C?0垂直的直线系方程为Bx?Ay?m?0 ?5?过
高考数学总复习专题讲解60 成对数据的统计 分析 [考点要求] 1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用． 1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^ 是待定参数． ?????b ^＝∑n i ＝1 （x i －x ）（y i －y ） ∑n i ＝1 （x i －x ）2 ＝ ∑n i ＝1 x i y i －n x －y － ∑n i ＝1x 2i －nx 2 a ^＝y －b ^x ． 3．回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x －，y － )称为样本点的中心． (3)相关系数 当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 4．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d 构造一个随机变量K 2 ＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量． [常用结论] 1．回归直线必过样本点的中心(x ，y ). 2．当两个变量的相关系数|r |＝1时，两个变量呈函数关系． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( ) (2)通过回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^ 可以估计预报变量的取值和变化趋势．( ) (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．( ) (4)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的是( )
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
话题作文“成熟”写作指导及例文 作文专题 1209 1039 话题作文“成熟”写作指导及例文 【作文题目】： 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不腻耳的音响，一种不再需要对别人察言观色的从容，一种终于停止向别人申诉求告的大气，一种不理会哄闹的微笑，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无须声张的厚实，一种并不陡峭的高度。勃郁的豪情发过了酵，尖利的山风吹过了劲，湍急的细流汇成了海。 人成熟的标志是什么?同学们在一起最爱讨论这个问题有的说成熟的标志是稳重大方，有的说是遇事有主见，有的说是会办事，有的说是懂得关心、理解别人，有的说是善于认识自我、否定自我…… 写作提示：中学生正值风华正茂、多思多梦的花季，一方面．渴望独立、成熟，另一方面，对生活和人生的认识又有着不同的见解，所以，这则话题，学生会觉得有话可说。 【写作指导】： 写作本话题至少要注意以下三点：一是审好题。对所给的语段，要细读，要细领会。此文把“成熟”这一抽象的概念，用八个词具体形象地来表达：光辉——明亮而不刺眼，音响——圆润而不腻耳，从容——毋需对别人察言观色，大气——毋需向别人申诉求告，微笑——毋需理会哄闹，淡漠——毋需偏激，厚实——毋需声张，高度——毋需陡峭。并用三个浅显的比喻作了进一步的诠释。可见，“成熟”是我们所渴望的，是我们所肯定的。二是立好意。“成熟”按《现代汉语词典》的解释，其义项有二：一是指植物的果实等完全长成，泛指生物体发育到完备的阶段；一是指事物发展到完善的程度。不论是植物、生物，写作时都要寓含或点明或譬喻人生，从而使这个非常抽象的概念形象化，或用明确的语言揭示其内涵。当然，立意的角度很多。比如以此文所形象化的八种中的一种或几种，所比喻的三种中的一种或几种作为立意角度都是可以的。三是构好思。根据自己对“成熟”的理解．根据自己立意的角度，可以采用杂文技巧、散文笔法、书信手法、戏剧小品等各种形式，写出自己独特的见解，写出自己的个性。 可以用记叙经历或编述故事的形式来诠释“成熟”。从自己或他人的经历中、成长中，写出由不成熟到成熟的过程。 可以通过托物寓意的手法去写。把自己对“成熟”的理解或渴望或追求等意旨寓含在动物、植物的具体描绘之中。 可用议论的形式直接表达对“成熟”的见解。比如可以以“心理上、思想上的成熟”为议论的重点，揭示“成熟”的内涵。 “成熟”是一个比较抽象的概念，考生对这一概念的理解、认识的程度，将决定立论和论证的过程或立意和形象化的过程。构思时应化虚为实，从处世态度、人格、责任、眼光等生活侧面，对“成熟”的内涵做出或严密、或生动的阐发。根据话题材料的提示，可以提炼出以下几个方面的主旨： 1、成熟是坚持不懈地充实自我，是坚持不懈地向成功的人生挺进。 2、成熟是面对诬陷而不失自信，面对恭维而不失清醒。 3、成熟是对无理取闹也能从容、沉着，对突发事件也能镇静、稳重。
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）
第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础知识部分】 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表 示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A = A ?= B A ? B B ? ()U A =e 2()U A A U =e 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 【基础练习】 1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示 ． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?= ． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为_______． 【反馈演练】 1．设集合{ }2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ?=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______个． )()()U U B A B =?)()() U U B A B =?
专题26 平面向量（知识梳理） 一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边 作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
2021年高考数学总复习全套必考知识点梳理汇 总（通用版） 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元 素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和 ∨∧ ()()? “非”(). ∧ p q p q 若为真，当且仅当、均为真 p q p q ∨ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] >->=+- 0义域 f x a b b a F(x f x f x 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()()
平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标