1.3基本不等式
【教材线索】
教材首先运用比较法证明了不等式
),(2
R b a ab b
a ∈≥+ （1），然后给出了两个正数a ，
b 的算术平均数与几何平均数的概念，进而借助对这两个概念对所证明的不等式作出文字上的解读，并利用不等式（1）得到了四个不等式，明确
把其中的一个不等式ab b a 222≥+ （2）与不等式（1）合称为“基本不等式”。紧接着，教材利用基本不等式提出了一个“不等式串”。最后，教材安排了一道包括两个小题的例题介绍了基本不等式在不等式证明中的应用。 【教学目标】 1. 知识与技能：
理解算术平均数与几何平均数的概念。 2. 过程与方法：
掌握基本不等式的应用条件、结构特征以及等号成立的条件，能够运用基本不等式证明一些简单的不等式。 3. 情感态度与价值观：
在由基本不等式导出若干个常用不等式的过程中，体会数学知识发现的过程。
《基本不等式》教案 教学三维目标： 1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 教学重点、难点： 重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导： 基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 教学过程： 一、基础梳理 基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b + （当且仅当a b 时取""=号 ） 代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思 想得到基本不等式） 几何背景：半径不小于半弦。 常见变形： （1）ab 22 2a b + （2）222a b + 2 2a b +?? ??? （3）b a a b + 2（a ，b 同号且不为0） 3、算术平均数与几何平均数
如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题（建构策略） 问题： （1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式： 已知x ，y 都大于0则 （1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ； （2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 . 二、课前热身 1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ） A. 22a b + B. C. 2ab D. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=?≥+ x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=?≥+ ≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+ >a a a 三、课堂探究 1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。 2、典例分析 例1、设02,x <<求函数y =. 例2、41,3lg lg x y x x >=++ 设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x << 变式2：去掉条件1x > 变式3：将条件改为1000≥x 例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.
3.4.1基本不等式 教材分析 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。 教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。 课程目标分析 依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标： 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解 决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几 何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等 式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的 能力。 2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几 何解释→应用（最值的求法、实际问题的解决） 的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽
象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会 数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手 段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学 习数学规律的方法，体验成功的乐趣。 3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从 实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过 数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤 于动手的良好品质。 教学重、难点分析 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本 不等式 2b a a b + ≤的证明过程及应用。 难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）； 2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。 教法分析 本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
实用标准 文档大全基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0} ．． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 实用标准 文档大全二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥∴a2＋b2≥2ab ．． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．
基本不等式（一） 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2.
华东师大版七年级下册第八章 “8.2.3一元一次不等式的应用”第一课时 教学感想： 实际问题与一元一次不等式是初中学数学中的一个难点，那么如何能突破这个难点，顺利完成这节课的教学任务呢？老师们在一起探讨后，都认为不好教学。于是今天把我的教学课堂实例和大家一起来分享探讨。 教学目标： （1）知识与技能： 列一元一次不等式解决具有不等关系的实际问题。 （2）过程与方法： 经历由实际问题转化为数学问题的过程，掌握利用一元一次不等式解决问题的基本过程。 （3）情感态度与价值观： 通过运用一元一次不等式解决实际问题，进一步强化运用数学的意识，从而使学生乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用。 教学重点： 由实际问题中的不等关系列出不等式． 教学难点： 列一元一次不等式描述实际问题中的不等关系。 教学方法： 以探究式教学为主，以活动教学、启发式教学等教学方法为辅。 教学过程 （一）创设情境，激发情意 1、简阳市中小学生篮球比赛将于5月28号在简阳市举行，下面老师带来了一组云龙学区篮球运动选拔赛的图片。 2、涌泉初中女子篮球队代表云龙学区租车去参赛，从涌泉初中到简阳市路程是50千米，他们打算2小时到达，请你他们算一算，司机的车速至少是多少？ （设计理念：兴趣是最好的老师。情境的创设针对学生的年龄特点，利用篮球运动会这一具特定情境的设置，不仅充分激起了学生的关注和兴趣，还顺其自然引出了蕴含的数学信息，真正起到了“敲门砖”的作用） （二）师生互动，探究新知
1、大胆尝试，上面问题中不超过2小时，则速度应满足什么？ 50/x≤2 50/2≤x 2x≥50 及时分析三种方法，并表扬学生 （设计理念：复习不等式的几种情况，为下面学习新知打下基础） 2、学生参赛完后要回来时，老师想给家人买点礼物。比赛场地有甲、乙两家超市正在搞活动，请帮老师选择。 甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费； 乙商场的优惠措施是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费． 问题1：从这个活动中，你能发现什么信息？ 问题2：如果老师打算购买40元的一件礼物，去哪家超市好呢？80元呢？大于100元呢？（设计理念：通过购物这个学生非常熟悉的生活实例，引起学生浓厚的学习兴趣，感受到数学来源于生活，生活中更需要数学.） （这里学生有可能得出两种结果，那就让学生探究到底哪家商店便宜；如果学生们只有一种答案，那么教师可举例说120元呢？180元呢？让学生知道两种结果都有，那么怎么界定这两种结果呢？进入探究） ①分组活动． 先独立思考，理解题意．再组内交流，发表自己的观点．最后小组汇报，派代表论述理由． ②在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案： (1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？ (2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)什么情况下，两个商场收费相同？ （设计理念：鼓励学生大胆猜想，对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，涌现出多样化的解题思路．教师及时予以引导、归纳和总结，让学生感知不等式的建模.） ③我们先来考虑方案： 设累计购物x（x>100）元时，如果到甲商场购买更优惠． 问题1：如何列不等式？ 问题2：如何解这个不等式？ 在学生充分讨论的基础上，小组派代表板书，并解释这样列不等式的根据是什么？其他同学帮忙补充，最后老师进行点评。 （设计理念：完整的解题过程的展现，有利于培养学生有条理地思考和表达的习惯） ④让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完成情况． （设计理念：这是上面问题的重现，让学生独立完成，不仅可以培养学生自己解决问题的能力，还可以巩固上面所学的内容，可以说一举两得） ⑤最后师生共同总结分析： （1）如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的； （2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小． （3）如果累计购物超过100元，又有三种情况： A、什么情况下，在甲商场购物花费小？ B、什么情况下，在乙商场购物花费小？ C、什么情况下，在两家商场购物花费相同？ （设计理念：过程的重现就是解题过程的重现，可以帮助学生更好的理清思路，培养学生开放型思维的能力） 3、总结一元一次不等式的解法和解决实际问题的步骤 去分母---去括号---移项---合并同类项---系数化为1
基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:
基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立，
对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是
初中数学教学案例 一元一次不等式的应用 【案例主题：】学生积极参与教学，集中体现了现代教学理念：活动、民主、自由 【背景：】我在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想： 例题：在一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下表所示：船型每只船载人数租金大船5 3元小船3 2元请你帮助设计一下：怎样的租船才能使所付租金最少？（严禁超载） 师：谁能公布一下自己的设计方案？（学生都在紧张的思考中）（突然间，我发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。也有了我思想上的一次飞跃。） 生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！（这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，我赶紧制止。） 师：很好！你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢？生（一下子来劲了）：如果租大船，则需要船只数为48/5=9.6只，因为不能超载，所以租大船需10只，则所付租金要3×10=30元。如果租小船，则需要船只数为48/3=16只，则所付租金要16×2=32元。如果既租大船又租小船……（说到这里，该生卡了壳）（我边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话） 师：刚才×××同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴（教室里响起一片掌声）。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧。（在师生的共同研讨中得出）：设租用X只大船，Y只小船，所付租金为A元。则：5X + 3Y = 48 A = 3X + 2Y 得到：A = 1/3X + 32 因为：0 ＜5X ＜48 且X为正整数所以：X = 9时，A最小值= 29 即租用9只大船和1只小船时，所付租金最少，最少租金为29元。此时有45人（5×9）坐大船，有3人坐小船。 师：今天的课程内容还有一项，那就是请×××同学（示意刚才的同学）谈谈这堂课的感想。生：……以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的，所以一下子……我今天才发现不是这样……我今后还会努力发言的……理念反思： 从这一个学生的举手发言到说得头头是道的“意外”中，我明白了：学生需要一个能充分展示自我的自由空间，作为老师，我们需要给学生一个自由的民主的氛围，能充分培养学生的自信，使“学困生”也能产生发言的欲望，也能对问题畅所欲言，教师还应能及时捕捉到这一闪光点，给每一位学生都有展示的机会。也就是说要使学生全部积极参与教学，因为它集中体现了现代课程理念：活动、民主、自由。 1、民主是现代课程中的重要理念。民主最直接的体现是在课程实施中学生能够平等地参与。没有主动参与，只有被动接受，就没有民主可言。相反，如果没有民主，学生的参与就不是主动性参与，而是被动的、消极的参与。在课程进行中，教师应形成一种有利于学生主动参与的人际关系氛围。尊重是进行一切活动的前提，只有尊重学生，才能理解学生，才能做到平等，学生才会感到安全，才不会出现有的学生被冷落，被讽刺，甚至被耻笑的现象。 2、在提问时，应设计开放性的问题，如：“请你帮助设计一下，怎样租用，才能使所付租金最少？”这样才没有限制学生的思维，给学生创设一个自由的空间，学生在这个空间中可以按自己的方式展开想象，才能畅所欲言。
《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过
基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式
1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc；
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】
【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+
《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
教学设计与反思 课题：3.4.3 基本不等式 2b a a b + ≤的应用（二） 科目：数学教学对象：高二(290)学生课时：1课时提供者：和安单位：安一中 一、教学容分析 本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实. 根据本节课的教学容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助. 二、教学目标 （一）知识目标：构建基本不等式解决函数的值域、最值问题； （二）能力目标：让学生探究用基本不等式解决实际问题 （三）情感、态度和价值观目标： 通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯； 三、学习者特征分析 在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应
1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣. 教学重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题. 2.让学生探究用基本不等式解决实际问题； 教学难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题； 2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；
基本不等式完整版(非 常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取 “=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时 取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时 取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a + ≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、
《基本不等式》教学设计 一、教材分析 本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第一课时。本节课是在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习打下基础，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，学好基本不等式非常重要。 二、学情分析 本节授课对象是高一学生，学生已经学习了不等关系和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用，高一学生学习热情高涨，探索知识兴趣强，但对数学知识迁移和类比的能力还亟待提高，运算能力也不强，探索发现能力也需进一步提高。 三、教学目标 1、知识与技能 （1）掌握基本不等式，了解推导过程； （2）运用基本不等式解决一些简单的求最值问题和证明问题； 2、过程与方法 (1)通过运算，推导，小组合作探究基本不等式； (2)通过观察，分析，探究基本不等式性质，通过实际应用解决问题； 3、情感、态度与价值观 (1)体验类比思想在探究数学知识时的重要意义与价值； (2)培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯； (3)感受学习数学、探索发现的乐趣与成就感。 四、教学重难点 重点：基本不等式及应用和证明； 难点：运用基本不等式应用解题。 五、教法与学法 教法：应用启发式教学，以学生为主体，引导学生在自主探究过程中经历类比发现、归纳、演绎推理等过程，体会类比和数形结合的思想。同时利用PPT 辅助教学。 学法：应用探究式学法，引导学生自主探索，探究向量的表示方法，合作学习，理解和掌握基本不等式。 六、教学过程 【环节一：巧设疑云，导入新课】 【师生活动一】回顾：求函数f （x ）=x +1 x 在（0，+∞）上的最小值 提示：证明函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增； 【师生活动二】请学生重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD 的面积S 和里面的四个小三角形面积之和S ’的大小，有怎样的不等关系？ 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，正方形的面积为222b a S +=。
不等式的实际应用教案 教学设计 4 不等式的实际应用 整体设计 教学分析 生活中的许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．不等式有着丰富的实际背景．本节通过具体问题的分析，总结归纳解实际问题的一般程序：设未知数，分析数量关系，列方程和不等式，最后求解．注意培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．本节练习、习题都很基础，要求A组全做，B做选做．通过本节学习，让学生进一步理解数学在实际中的应用，理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述刻画问题的一种数学模型． 三维目标 ．通过具体问题的探究，了解不等式产生的实际背景，掌握解决实际问题的一般程序和一些典型实际问题的解法．．通过具体问题的分析解决，提高学生分析问题和解决问题的能力．认识不等式的优化思想． ．通过对生活中熟悉的实际问题的解决，激发学生学习
的热情．培养学生严肃认真的科学态度，同时感受数学的应用性． 重点难点 教学重点：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．掌握一些典型实际问题的解法． 教学难点：用不等式表示实际问题中的数量关系． 课时安排 课时 教学过程 导入新 思路1.许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．本节我们将用不等式的知识来探究一些实际问题． 思路2.章头插图的人造卫星，高低不一的雄伟大楼的壮观画面，它将我们带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中．使学生在具体情境中感受到不等关系的大量存在．那么我们怎样用不等式的知识表示实际问题呢？由此进入新课． 推进新 新知探究 提出问题 1
基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程
1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+
基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式a ＋b 2≥ab (1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )； (2)a b ＋b a ≥ 2 (a ，b 同号)； (3)ab ≤( a ＋ b 2)2(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22 ≥ (a ＋b 2)2 . 3．基本不等式求最值 (1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大． (2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 A 、C 中，a ＝b 时不成立， B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D. 2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D)
A ．ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ≤(a ＋b 2)2 C.a 2＋b 22≥a ＋b 2 D.2ab a ＋ b ≥ab 易知A ，B 成立， 对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b 2，故C 成立． 对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为(A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ，宽为y ， 则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30， 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A. 4．设函数f (x )＝2x ＋1 x －1(x <0)，则f (x )(A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x )＝－[(－2x )＋(－1 x )]－1≤－22－1， 当且仅当x ＝－2 2时，等号成立， 所以函数f (x )有最大值，所以选A. 5．(2017·山东卷)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为 8 . 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， 所以1a ＋2 b ＝1， 所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b ·b a ＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.