中专高等数学教案

第一章导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；

3、基本初等函数的导数公式；

4、高阶导数；

6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

教学难点：

1、复合函数的求导法则；

2、分段函数的导数；

3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念

一、引例

1．直线运动的速度

设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数:

求动点在时刻t0的速度.

考虑比值

这个比值可认为是动点在时间间隔内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实

践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令

取比值的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即

,

这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度.

2．切线问题

设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C 趋于点M时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT, 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.

设曲线C就是函数的图形. 现在要确定曲线在点处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x, y), 于是割线MN的斜率为,

其中为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, x?x0. 如果当x? 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即

存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里其中是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线.

二、导数的定义

函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:

.

令则相当于于是

成为

或.

定义设函数在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量点仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增量如果与之比当

时的极限存在, 则称函数在点x0处可导, 并称这个极限为函数在点x0处的导数, 记为, 即

,

也可记为, 或.

函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在.

导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有

.

在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.

如果极限不存在, 就说函数在点x0处不可导.

如果不可导的原因是由于,

也往往说函数在点x0处的导数为无穷大.

如果函数在开区间I内的每点处都可导, 就称函数f(x)在开区间I内可导, 这时, 对于任一x ?I, 都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数的导函数, 记作, , , 或.

导函数的定义式:

f ￠(x0)与f ￠(x)之间的关系:

函数f(x)在点x0处的导数f ￠(x)就是导函数f ￠(x)在点处的函数值, 即

.

导函数f ￠(x)简称导数, 而f ￠(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ￠(x)在x0处的值.

左右导数: 所列极限存在, 则定义

f(x)在的左导数: ;

f(x)在的右导数: .

如果极限存在则称此极限值为函数在x0的左导数.

如果极限存在则称此极限值为函数在x0的右导数.

导数与左右导数的关系

2．求导数举例

例1．求函数（C为常数）的导数.

解: .

即

例求的导数

解

例求的导数

解

例2．求函数为正整数)在处的导数.

解

把以上结果中的a 换成x 得即

(C)￠=0, , , .

更一般地, 有其中为常数.

例3．求函数的导数.

解: f ￠(x)

即

用类似的方法, 可求得

例4．求函数的导数.

解: f ￠(x)

.

特别地有

例5．求函数>0, a 11) 的导数.

解:

.

解:

.

即

特殊地.

3．单侧导数:

极限存在的充分必要条件是

及

都存在且相等

f(x)在处的左导数: ,

f(x)在处的右导数: .

导数与左右导数的关系:

函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数和右导数都存在且相等.

如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数和左导数都存在, 就说f(x)

有闭区间[a, b]上可导.

例6．求函数在处的导数.

解: ,

因为所以函数在处不可导.

四、导数的几何意义

函数y在点x0处的导数f ￠(x0)在几何上表示曲线在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率, 即

其中是切线的倾角.

如果在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线的割线以垂直于x 轴的直线

为极限位置, 即曲线在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线

由直线的点斜式方程, 可知曲线在点M(x0, y0)处的切线方程为

过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线在点M处的法线如果

f ￠(x0)10, 法线的斜率为, 从而法线方程为

.

例8. 求等边双曲线在点处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.

解: , 所求切线及法线的斜率分别为

, .

所求切线方程为, 即

所求法线方程为, 即

例9 求曲线的通过点(0, -4)的切线方程.

解设切点的横坐标为则切线的斜率为

.

于是所求切线的方程可设为

.

根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此

,

解之得x0=4. 于是所求切线的方程为

即

四、函数的可导性与连续性的关系

设函数在点x0 处可导, 即存在. 则

.

这就是说, 函数在点x0 处是连续的. 所以, 如果函数在点x处可导, 则函数在该点必连续.

另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.

例7．函数在区间内连续, 但在点处不可导. 这是因为函数在点处导数为无穷大

.

函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数并且

证明(1)

法则(1)可简单地表示为

(2)

=u￠(x)v(x)+u(x)v￠(x),

其中v(x+h)=v(x)是由于v￠(x)存在, 故v(x)在点x连续.

法则(2)可简单地表示为

(uv)￠=u￠v+uv￠.

(3)

法则(3)可简单地表示为

.

(u±v)￠=u￠±v￠, (uv)￠=u￠v+uv￠, .

定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设u、、均可导则有

(uvw)￠=[(uv)w]￠=(uv)￠w+(uv)w￠

即

在法则(2)中如果v=C(C为常数), 则有

(Cu)￠=Cu￠.

例1．y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y￠

解: y￠=(2x 3-5x 2+3x-7)￠= (2x 3)￠---

=2×3x 2-5×2x+3=6x 2-10x+3.

例2. , 求f ￠(x)及.

解: ,

.

例3．y=e x (sin x+cos x), 求y￠.

解 e x (sin x+cos x)￠

= e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x)

=2e x cos x.

例4．y=tan x , 求y￠.

解:

即(tan x)￠=sec2x .

例5．y=sec x, 求y￠.

解: =sec x tan x .

即(sec x)￠=sec x tan x .

用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式:

(cot x)￠=-csc2x ,

(csc x)￠=-csc x cot x .

二、反函数的求导法则

定理2 如果函数x=f(y)在某区间Iy 内单调、可导且f ￠(y)10, 那么它的反函数

在对应区间内也可导, 并且

或

简要证明: 由于在I y内单调、可导(从而连续所以的反函数存在

且在I x内也单调、连续

任取给x以增量由的单调性可知

于是

因为连续故

从而

.

上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数

例6．设为直接函数则y是它的反函数函数在开区间内单调、可导且

因此由反函数的求导法则在对应区间内有

类似地有: .

例7．设为直接函数则是它的反函数函数在区间内单调、可导且

因此由反函数的求导法则在对应区间内有

.

类似地有: .

例8设为直接函数则是它的反函数函数在区间I 内单调、可导且

因此由反函数的求导法则在对应区间内有

到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则

定理3 如果u=g(x)在点x 可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合函数y=f[g(x)]在点x 可导, 且其导数为 或 .

证明: 当u=g(x)在x 的某邻域内为常数时也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立.

当u=g(x)在x 的某邻域内不等于常数时此时有

,

= f ￠(u)×g ￠(x ). 简要证明

例9 , 求 .

解 函数 可看作是由复合而成的因此

例求 .

解 函数 是由复合而成的 因此

对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,

例11．lnsin x, 求 . 解: .

例12． , 求 . 解: .

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形

例如设

则

例13．y=lncos(e x), 求 .

解: .

例14． , 求 . 解: .

例15设证明幂函数的导数公式

解 因为所以

四、基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数

,

(11) ,

(12) ,

(13) ,

(15) ,

(16) .

2．函数的和、差、积、商的求导法则

设都可导, 则

(4) .

3．反函数的求导法则

设x=f(y)在区间Iy 内单调、可导且f ￠(y)10, 则它的反函数在内也可导, 并且

或

4．复合函数的求导法则

设而且f(u)及g(x)都可导, 则复合函数的导数为

或

例16. 求双曲正弦sh x的导数.

解因为, 所以

,

即(sh x)￠=ch x.

类似地, 有

(ch x)￠=sh x.

例17. 求双曲正切th x的导数

解因为, 所以

.

例18. 求反双曲正弦arsh x的导数

解因为, 所以

.

由, 可得.

由, 可得.

类似地可得

例19．为常数), 求

解

-

--

§2. 3 高阶导数

一般地, 函数的导数仍然是x 的函数. 我们把的导数叫做函数的二阶导数, 记作、或,

即

相应地, 把的导数叫做函数的一阶导数.

类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数一般地, 阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作

或

函数f(x)具有n 阶导数, 也常说成函数f(x)为n 阶可导. 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶

导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.

称为一阶导数都称为高阶导数

例1．求

解

例2．求

解

例3．证明: 函数满足关系式

证明: 因为,

所以

例4．求函数的n 阶导数.

解

一般地, 可得

即

例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.

解

,

,

,

,

一般地, 可得

, 即.

用类似方法, 可得.

例6．求对函数的n 阶导数

解

一般地, 可得

即.

例6．求幂函数是任意常数)的n 阶导数公式.

解

一般地, 可得

即

当时, 得到

而

如果函数及v都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数也在点x 处具有n 阶导数, 且

用数学归纳法可以证明

,

这一公式称为莱布尼茨公式.

例8．求y(20).

解: 设则

代入莱布尼茨公式, 得

§2. 4 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

一、隐函数的导数

显函数: 形如的函数称为显函数. 例如

隐函数: 由方程所确定的函数称为隐函数.

例如, 方程确定的隐函数为y .

如果在方程中, 当x取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数.

把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.

例1．求由方程所确定的隐函数y的导数.

解: 把方程两边的每一项对x 求导数得

即

从而

例2．求由方程y5+2y-x-3x7=0 所确定的隐函数在

x=0处的导数

解: 把方程两边分别对x求导数得

由此得.

因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以

.

例3. 求椭圆在处的切线方程.

解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得

.

从而.

当时, , 代入上式得所求切线的斜率

.

所求的切线方程为

, 即.

解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得

.

将代入上式得

,

于是

所求的切线方程为

, 即.

例4．求由方程所确定的隐函数y

的二阶导数.

解: 方程两边对x求导, 得

,

于是.

上式两边再对x求导, 得

.

对数求导法: 这种方法是先在的两边取对数, 然后再求出y的导数.

设两边取对数, 得

两边对x 求导, 得

,

对数求导法适用于求幂指函数的导数及多因子之

积和商的导数.

例5．求的导数.

解法一: 两边取对数, 得

上式两边对x 求导, 得

,

于是

.

解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:

.

例6. 求函数的导数.

解: 先在两边取对数(假定x>4), 得

上式两边对x求导, 得

,

于是.

当x<1时, ; 当2

用同样方法可得与上面相同的结果.

注严格来说, 本题应分三种情况讨论, 但结果都是一样的.

二、由参数方程所确定的函数的导数

设y与x的函数关系是由参数方程确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.

在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.

设具有单调连续反函数且此反函数能与函数构成复合函数若和都可导, 则

,

即或.

若和都可导, 则.

例7. 求椭圆在相应于点处的切线方程.

解: .

所求切线的斜率为.

切点的坐标为, .

切线方程为,

即

例8．抛射体运动轨迹的参数方程为,

求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向

解: 先求速度的大小.

速度的水平分量与铅直分量分别为

所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为

.

再求速度的方向,

设是切线的倾角, 则轨道的切线方向为

.

已知如何求二阶导数

由

.

例9．计算由摆线的参数方程所确定

的函数的二阶导数.

解:

为整数).

为整数).

三、相关变化率

设及都是可导函数而变量x与y间存在某种关系从而变化率与间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率

例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升其速度为140m/min(分当气球高度为500m时观察员视线的仰角增加率是多少？

解设气球上升t(秒)后其高度为观察员视线的仰角为则

其中及h都是时间t的函数上式两边对t求导得

已知(米/秒又当米)时代入上式得

所以(弧度/秒

即观察员视线的仰角增加率是每秒弧度

§2. 5 函数的微分

一、微分的定义

引例函数增量的计算及增量的构成.

一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x0变到问此薄片的面积改变了多少？

设此正方形的边长为x, 面积为A, 则A是x的函数金属薄片的面积改变量为

几何意义:表示两个长为x0宽为的长方形面积表示边长为的正方形的面积.

数学意义: 当时是比高阶的无穷小, 即是的线性函数, 是的主要部分, 可以近似地代替

定义设函数在某区间内有定义, x0及在这区间内, 如果函数的增量

可表示为

其中A是不依赖于的常数, 那么称函数在点x0是可微的, 而叫做函数在点x0相应于自变量增量的微分, 记作即

函数可微的条件: 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导, 且当函数f(x)在点x0可微时, 其微分一定是

证明: 设函数f(x)在点x0可微, 则按定义有

上式两边除以得

.

于是, 当时, 由上式就得到

.

因此, 如果函数f(x)在点x0可微, 则f(x)在点x0也一定可导, 且

反之, 如果f(x)在点x0可导, 即

存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成

,

其中当且是常数由此又有

因且不依赖于故上式相当于

所以f(x)在点x0 也是可导的.

简要证明一方面

别一方面

以微分dy近似代替函数增量的合理性:

当时, 有

.

结论: 在的条件下, 以微分近似代替增量时, 其误差为因此在很小时有近似等式

函数在任意点x的微分, 称为函数的微分, 记作dy或 d f(x), 即

例如

例1 求函数在和处的微分.

解函数在处的微分为

函数在处的微分为

例2．求函数当时的微分.

解: 先求函数在任意点x 的微分

再求函数当时的微分

自变量的微分:

因为当时所以通常把自变量x的增量称为自变量的微分, 记作dx, 即于是函数x)的微分又可记作

从而有.

这就是说, 函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”.

二、微分的几何意义

当是曲线上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当很小时比小得多. 因此在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分的表达式

可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分运算法则.

1. 基本初等函数的微分公式

导数公式: 微分公式:

d x

2. 函数和、差、积、商的微分法则

求导法则: 微分法则:

(u±v)￠=u￠± v￠ d(u±v)=du±dv

(Cu)￠=Cu ￠ d(Cu)=Cdu

(u×v)￠= u￠v+uv￠ d(u×v)=vdu+udv

证明乘积的微分法则:

根据函数微分的表达式, 有

d(uv)=(uv)￠dx.

再根据乘积的求导法则, 有

(uv)￠=u￠v+uv￠.

于是d(uv)=(u￠v+uv￠)dx=u￠vdx+uv￠dx.

由于u￠dx=du, v￠dx=dv,

所以d(uv)=vdu+udv.

3. 复合函数的微分法则

设y=f(u)及都可导, 则复合函数的微分为

于由所以, 复合函数的微分公式也可以写成

dy=f ￠(u)du 或dy=y￠u du.

由此可见, 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式dy=f ￠(u)du保持不变. 这一性质称为微分形式不变性. 这性质表示, 当变换自变量时, 微分形式dy=f ￠(u)du并不改变.

例3．y=sin(2x+1), 求dy.

解: 把2x+1看成中间变量u, 则

dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1)

在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量.

例4. , 求dy.

解:

.

例5．求dy.

解: 应用积的微分法则, 得

例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立.

解: (1)因为所以

, 即.

一般地, 有(C为任意常数).

(2)因为所以

.

因此(C为任意常数).

四、微分在近似计算中的应用

1．函数的近似计算

在工程问题中, 经常会遇到一些复杂的计算公式. 如果直接用这些公式进行计算, 那是很费力的. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.

如果函数y=f(x)在点x 0处的导数f ￠(x)10, 且很小时, 我们有

-

若令即-x0, 那么又有

-x0).

特别当x0=0时, 有

f(x)? f(0)+f ￠(0)x.

这些都是近似计算公式.

例1．有一批半径为1cm的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm. 估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)?

解: 已知球体体积为

镀层的体积为

-. 01=0. 13(cm3).

于是镀每只球需用的铜约为

例2．利用微分计算sin 30°30￠的近似值.

解: 已知30°30￠ , , .

.

即sin 30°30￠?0. 5076.

常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）:

(1) ;

(2)sin x?x ( x用弧度作单位来表达);

(3)tan x?x ( x用弧度作单位来表达);

(4)e x?1+x;

(5)ln(1+x)?x.

证明(1)取那么代入便得

证明(2)取那么代入便得

例3．计算的近似值.

解: 已知 , 故 .

直接开方的结果是 . 2．误差估计

在生产实践中, 经常要测量各种数据. 但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据. 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响, 测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差, 我们把它叫做间接测量误差. 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差.

绝对误差与相对误差: 如果某个量的精确值为A, 它的近似值为a, 那么叫做a 的绝对误差, 而 绝对误差与|a|的比值 叫做a 的相对误差.

在实际工作中某个量的精确值往往是无法知道的于是绝对误差和相对误差也就无法求得但是根据测量仪器的精度等因素有时能够确定误差在某一个范围内如果某个量的精确值是测得它的近似值是又知道它的误差不超过则叫做测量A 的绝对误差限,

叫做测量A 的相对误差限(简称绝对误差). 例4．设测得圆钢截面的直径测量D 的 绝对误差限 利用公式 计算圆钢的截面 积时, 试估计面积的误差. 解: ,

已知

所以

(mm 2); .

若已知A 由函数y=f(x)确定: A=y, 测量x 的绝对误差是那么测量y 的

由有

所以测量y 的绝对误差测量y 的相对误差为 .

第二章 导数的应用

五、导数的应用

1、函数的增减性

设函数)(x f 在区间),(b a 内可导，那么

①如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在该区间内单调增加（上升） ②如果在),(b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在该区间内单调减少（下降） 确定函数)(x f y =的单调区间的步骤：

①求出0)(='x f 的点（驻点）及)(0x f '不存在的点；

②确定)(x f y =的定义域，由①中的点将)(x f 的定义域分成若干个部分区间；

③在每个部分区间上讨论)(x f '的符号，根据)(x f '在每个部分区间上的符号，决定函数的单调区间。

例25-1、确定函数x x x f 3)(3-=的单调增减区间。 解：)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，则11-=x ，12=x

例25-2、 证明当0>x 时，x x <+)1ln(．

证：令)1ln()(x x x f +-=，则)(x f 在[)0,+∞上连续,且在()0,+∞内，

()01111>+=+-

='x

x

x x f ，由单调性判断定理知,)(x f 在[)0,+∞上单调增加,所以,当0>x 时,有0)0()(=>f x f ，即0)1ln(>+-x x ，所以0>x 时,有)1ln(x x +>．

例25-3 、试证当1≠x 时，x x

e e >.

证：令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='x x f . 当1

x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，

即()(1)0f x f >=.

故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x x x x

e e >.

例25-4、证明：函数x

x x f 1

)(2-=不包含点0=x 的任何区间内都是单调增加。

证：x x x f 1

)(2-=的定义区间为),0()0,(+∞?-∞

221

1)1()1()(x

x x x x x f +='-='-='

当0≠x 时，0)(>'x f ，故在不包含点0=x 的任何区间内都是单调增加。

例25-5、证明：当 2π

0<-36

；

证一： 令6sin )(3x x x x f +-=，则21cos )(2

x x x f +-='，

0sin )(>+-=''x x x f ， )2

π

0(<

所以)(x f ''在]2

π,0[上连续且单调增加，则0)0()(=''>''f x f ， 所以)(x f '在]2

π,0[上连续且单调增加，则0)0()(='>'f x f ， 所以)(x f 在]2

π,0[上连续且单调增加，则0)0()(=>f x f ，

即 06

s i n )(3>+-=x x x x f ，也即 s i n x x x >-36 )2π

0(<

证二： 令6

sin )(3

x x x x f +-=，

则 ()2

sin 22cos 1221cos )(2222x x x x x x x f -=--=+-='， 当 2π0<

2sin x

x < 0)2

(222sin 22)(2222=->-='x x x x x f ， 所以当2π

0<

sin )(3x x x x f +-=单调增加，有0)0()(=>f x f ，

高职高专高等数学第一章教案

第一章 函数、极限、连续 教学要求 1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。 2.理解数列极限、函数极限的定义。 3.掌握极限的四则运算法则。 4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。 5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。 6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。 教学重点 函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 函数 一、函数的定义与性质 1.集合； 2.邻域； 3.常量与变量； 4.函数的定义； 5.函数的特性。 二、初等函数 1.反函数； 2.复合函数； 3.初等函数。 三、分段函数 一、 函数的定义与性质 1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a 属于集 合A ，记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ? 2集合的表示法： 列举法 12{,, ,}n A a a a = 描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系: 若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ?；若A B ?且A B,≠ A B 则称是的真子集；若A B ?且B A ?，则A B =。

4常见的数集 N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ??? 5例 {1,2}A =，2{320}C x x x =-+=，则A C = 不含任何元素的集合称为空集, 记作? 例如, 2 {,10}x x R x ∈+==? 规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ?B ? {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ?B ?{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ?{x ∣x ∈A 且x ?B} 4) 补（余）?S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律 (1) A ?B= B ?A , A ?B =B ?A (2)（A ?B )?C =A ?(B ?C) , (A ?B)= A ?(B ?C) (3)（A ?B ) ? C =(A ? C )?(B ? C) （A ? B ) ? C =(A ? C ) ? (B ? C) (4) (),()c C C c c c A B A B A B A B ?=??=? 注意A 与B 的直积A ?B ?{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如：R ?R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R} 表示xoy 面上全体点的集合, R R ?常记为2 R 7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>，称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。点a 叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径。记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+ 点a 的去心δ邻域记做0 ()U a δ ，0(){0}U a x x a δδ=<-<。 注意：邻域总是开集。 8常量与变量: 在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量, 注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的. x δ δ

高等数学上册教案

高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word

word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则：

《高等数学》教案

《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念

1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]

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授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

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高等数学教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

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教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B (读作A 包含于B )或B A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A B 且B A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A B . 若A B 且A B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A B , 即 A B {x |x A 或x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A B , 即 A B {x |x A 且x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B {x |x A 且x B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A , A B B A ; (2)结合律 (A B )C A (B C ), (A B )C A (B C );

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第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。

§4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21.

高等数学(上册)-第一章教案

第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。

高等数学B教案第八章

第八章空间解析几何与向量代数 教学目的： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运 算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平 行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲 面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形； 6、旋转曲面及柱面的方程。

§8.1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求： 1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量概念、向量的运算 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体 讲授内容： 一、向量概念 向量：既有大小,又有方向,这一类量叫做向量. 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 → AB.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭 头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F. 自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a =b.相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模. 向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、| |→a、| |→AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量. 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的. 向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念.设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b 的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 三角形法则 平行四边形法则:

高职高等数学课件

高职高等数学课件 (二)高职高等数学教育虽重要，但没引起足够重视。 高职教育是高等教育的重要组成部分，《高等数学课程对高职生素质培养的重要性》中阐述了高等职业教育的目标、人才规格决定了高等数学教育不容忽视的重要地位，并针对高职教育现状与高职生特点，结合高等数学特质与素质教育的功能，说明了高等数学课程的重要性，但由于客观与某些人的主观臆断，以高等数学课程为代表的公共课并没有得到足够重视。鉴于此，在此呼吁高等数学日后教育教学的改革方向是增强师资力量、提高教师素养、改革教学方法提高学生学习兴趣等。 (三)高职高等数学的教学有待改革。 虽然高职教育在整体趋势上是积极进取的，是逐渐适应这个社会发展的，但面临社会的发展与生源的紧缺、就业率有待提高的紧迫局势，高职院校仍然在教学上面临着诸多困难。郭倩茹在《浅谈高职院校中高等数学教学的现状及问题解决策略》一文中，认为高职院校中高等数学教育的教材编制不合理，与高职教育不适应;高等数学教学没高职特色，与专业脱轨;评价机制落后，考核体系陈旧。与此同时，在描述高等数学教育现状的同时，提出了诸如规范教材与专业接轨、活跃课堂气氛、构建评价、考核新体系等。最后，强调高职院校一定要以学生的特点作为教育的先决条件，因材施教。这正是教育工作者所要考虑的，也是我国高职院校培养人才的目标与宗旨，一切为了学

生，为了学生的一切。 二、高职高等数学教学中存在问题的成因 (一)高等数学不被重视。 大多数高职院校偏重于职业技能的培养和实践活动的开展，作为专业基础课的高等数学学时时多时少，只是专业教学计划里专业课的替补而已。这在综合性的职业院校不常见，但在专业系别少的管理不严格的小职业院校是家常便饭，这无形中也造成了高等数学可有可无的尴尬境地。 (二)高职教师知识更新跟不上，教学方法与教学手段单一，教学态度不积极、忽略学生的德育教育与职业生涯规划导向等。 有些高职院校是中专合并等形式转轨而成或新成立的，万事在摸索前进。大部分教师还停留在原来的教学步伐上，高职教育的先进理论知识不够，年纪大一点的教师甚至根本不关心高职教育的改革与发展，混退休的大有人在。一些教师虽然胜任课程知识的讲解，但不求创新，教学方法单一，教学手段传统，而且对学生的德育与职业生涯规划引导、管理漠不关心，认为只是班主任与学生管理人员的责任，这在某种程度上疏忽了学生课上的教育与管理，这也是教学质量不高的原因之一。 (三)学生入学的数学基础整体较差，学习动力不足，缺乏学好数学的信心。 随着高职院校的扩大招生，高职学生数学基础整体较差。中学的数学知识点繁多、灵活多变且有很大的连续性，这让中学基础差的学

高职《高等数学》教学大纲

《高等数学》课程教学大纲一、课程基本信息

二、课程内容与基本要求 1．理解函数的定义；了解分段函数、基本初等函数、反函数、复合函数的概念；会建立简单实际问题的函数模型。 2．了解极限的描述性定义，了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质；会用两个重要极限公式求极限，掌握极限的四则运算法则。理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类；会用函数的连续性求极限。 3．理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数描述一些简单的问题；熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式；熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数一阶导数的求法；了解高阶导数的概念；了解可导、可微、连续之间的关系。 4．了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理；会用洛必达法则求极限；掌握利用一阶导数判断函数的单调性、极值和最值的方法；会用二阶导数判断函数图形的凹向及拐点，能描绘简单的函数图形。 5．了解原函数、不定积分的概念及性质；掌握不定积分的基本公式；会用换元法和分部积分法求不定积分。 6．理解定积分的概念及其性质，了解定积分的几何意义，了解变上限的定积分的性质；熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式；掌握定积分的换元法和分部积分法。 三、学时分配表

四、对学生能力培养的要求 高等数学是各专业必修的一门重要基础课程，它对培养、提高学生的思维素质，创新能力，科学精神，治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。在授课中应紧密结合实际问题，分析一些代表性的专业相关问题，并建立数学模型。 本大纲所列内容为基本内容，它们是根据课程的基本要求和实用够用的原则规定的，是学生必须掌握的最低限度的基本知识，学生在规定教学时数内能够掌握和了解。 对理论教学内容的深浅程度，采用两个层次，即：对原理性和概念性内容采用“理解”和“了解”两个层次，对于运算性和应用性的内容采用“掌握”和“了解”两个层次。教师要求学生按不同层次理解教学内容的深度和广度。

高等数学教案

高等数学教案第 1 次课

教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集,

记为A B(读作A包含于B)或B A . 如果集合A与集合B互为子集, A B且B A, 则称集合A与集合B相等, 记作A B. 若A B且A B, 则称A是B的真子集, 记作A≠?B . 例如, N ≠?Z ≠? Q ≠? R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作A B, 即 A B{x|x A或x B}. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作A B, 即 A B{x|x A且x B}. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即A\B{x|x A且x B}. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作A C. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A, A B B A; (2)结合律(A B)C A(B C), (A B)C A(B C); (3)分配律(A B)C(A C)(B C),

高等数学教案各章的教学目的、重点、难点

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中 的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在 与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重 要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无 穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点 的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函 数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 闭区间上连续函数性质的应用。

第二章导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数 的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 第三章中值定理与导数的应用 教学目的： 1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中 值定理和泰勒中值定理。 2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和 求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及 其简单应用。 3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的 拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

高职高等数学教学基本要求(工科)

高职高等数学教学基本要求 1.课程定位： 本课程是我院工科各专业学生的一门必修的公共基础理论课。它是为工科各专业的人才培养目标服务的，它将为今后学习专业基础课以及相关的专业课程打下必要的数学基础，为这些课程提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力素质。在本课程的教学中必须遵循“以应用为目的，以必需，够用为度”的原则，注重理论联系实际，强调对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，以提高学生的数学修养和素质。以“必需、够用”为原则，服务于不同专业的实际需要；以突出数学文化的育人功能为主线，服务于素质教育；以培养学生具有应用数学方法解决实际问题并进行创新的能力为重点，服务于能力培养。 2.学分、学时： 建议：8学分，128学时。 3.教学目标： 总体目标 通过本课程的学习，学生能了解微积分学的基本概念，掌握微积分的基本理论，学会微积分的基本运算技能，能具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力和自学能力等。另外，通过学习常微分方程、向量代数与空间解析几何、无穷级数、线性代数等知识，为后续专业课程的学习作好准备。本课程在培养学生的数学应用意识、分析和解决实际问题的能力以及创新精神等方面发挥着重要作用，为其今后的可持续发展奠定基础。 （1）知识目标 了解微积分的基本概念，掌握微积分的基本理论和基本运算。了解常微分方程、无穷级数、线性代数的基本概念及基本理论。 （2）技能目标 掌握比较熟练的运算能力，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运

算能力、空间想象能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，全面提升职业核心能力。 （3）素质养成目标 通过本课程学习，培养学生的数学应用意识、创新精神及团结协作精神，提高数学文化素养和自主学习能力，奠定学生可持续发展的基础。通过对学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性等方面进行一定的训练和熏陶，使学生能利用数学思维和逻辑分析问题、解决问题。 4.主要内容： 学习项目1：函数、极限与连续（14学时） （1）函数：函数的概念、函数的几种特性、反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、建立函数关系。 （2）极限的概念：数列的极限、函数的极限。 （3）极限的运算法则：极限的四则运算法则及其应用计算。 （4）两个重要极限：极限存在的准则、两个重要极限及其应用计算。 （5）无穷小量与无穷大量：无穷小量、无穷大量。 （6）无穷小量的比较：无穷小量的比较、等价无穷小量替换定理及其应用计算。 （7）函数的连续性：连续函数的概念、初等函数的连续性、函数的间断点及分类、连续函数在闭区间上的性质。 学习项目2：导数与微分（12学时） （1）导数的概念：导数的定义、导数的求法、导数的几何意义与物理意义、可导与连续的关系。 （2）函数的求导法则：反函数求导法则、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式及其应用计算。 （3）隐函数及由参数方程确定的函数的导数：隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数、对数求导法。 （4）高阶导数：函数的n阶导数。 （5）函数的微分：微分的定义、微分的几何意义、微分的基本公式及四则运

《高等数学》-授课教案

《高等数学》-授课教案 第一讲 高等数学学习介绍、函数 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数?? ?-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，，

《高职应用数学》(教案)

《高职应用数学》教案 课程名称：高职应用数学 总学时：64

n a a a 个 (n 为正整数0a ≠)． 1 n a = (0a ≠，n 为正整数a a =n ；)n b a b =； )b a b =．

N a a a ==log ()p q a p q +=+=

已知直线l 经过点000()P x y ，， 且斜率为k ．设点()P x y ，为直线l 上不同于点0P 的任意一点，由斜率公式可得 00y y k x x -=-， 整理得 00()y y k x x -=-． 点000()P x y ，也满足上述方程．由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程． 2）直线的斜截式方程 设直线l 与x 轴交于点(0)A a ，，与y 轴交于点 (0)B b ，，则a 称为直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 称为直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）． 设直线l 与y 轴的交点为(0)B b ，，且直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 (0)y b k x -=-， 即 y kx b =+． 3）直线的一般式方程 把形如0Ax By C ++=（A B ，不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程． 2、一元二次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程．一元二次方程的一般形式为 20(0)ax bx c a ++=≠． 1）公式法 一般地，式子24b ac -称为一元二次方程20ax bx c ++=根的判别式，通常用希腊字母“?”表示，即24b ac ?=-． 当0?…时，方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根可写为