故
B 中图象可以是函数f (x )的图象，当a ＝0时，f (x )＝1，此时对应
C 中图象，对于D
可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D 中图象 不可能为函数f (x )的图象． 答案：D 二、填空题
7．已知函数f (x )＝2sin x ，g (x )＝2sin ????π
2－x ，直线x ＝m 与f (x )，g (x )的图象分别交M 、
N
两点，则|MN |的最大值为________．
解析：构造函数＝2sin x －2cos x ＝22sin ????
x －π4，故最大值为2 2. 答案：2 2
8．曲线y ＝2sin ????x ＋π4cos ????x －π4与直线y ＝1
2在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次
记
为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于 ( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π
解析：y ＝2sin ????x ＋π4cos ????x －π4＝2sin ????x ＋π4·cos ????x ＋π4－π2＝2sin 2????x ＋π4＝1－ cos ????
2x ＋π2＝1＋sin 2x ，|P 2P 4|恰为一个周期的长度π. 答案：π
10．有下列命题：
①函数y ＝4cos 2x ，x ∈[]－10π，10π不是周期函数；
②函数y ＝4cos 2x 的图象可由y ＝4sin 2x 的图象向右平移π
4个单位得到；
③函数y ＝4cos(2x ＋θ)的图象关于点????π
6，0对称的一个必要不充分条件是
θ＝k 2π＋π
6
(k ∈Z )；
④函数y ＝6＋sin 2x 2－sin x 的最小值为210－4
其中正确命题的序号是________．
解析：①中的函数不符合周期函数的定义，所以不是周期函数；因为②中函数y ＝ 4sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到y ＝4sin 2????
x －
π4，即y ＝－4cos 2x 的图象，不 是y ＝4cos 2x 的图象；③把点????π6，0代入函数y ＝4cos(2x ＋θ)，有4cos ????π3＋θ＝0，
则π3＋θ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以θ＝k π＋π6(k ∈Z )，又??????θ|θ＝k 2π＋π6(k ∈Z )?{θ|θ＝k π＋
π
6
(k
∈Z )}，所以③正确；④函数y ＝6＋sin 2
x 2－sin x ＝(2－sin x )2
－4(2－sin x )＋10
2－sin x
＝(2－sin x )＋
10
2－sin x
－4，如果它的最小值为2 10－4，那么(2－sin x )2＝10，
而
(2－sin x )2的最大值为11，故不正确． 答案：①③ 三、解答题
11．(2010·天津)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．
(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间????
0，
π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65
，x 0∈????
π4，π2，求cos 2x 0的值． 解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ????2x ＋π6，
所以函数f (x )的最小正周期为π.
因为f (x ) ＝2sin ????2x ＋π6在区间????0，π6上为增函数，在区间????π6，π2上为减函数，又f (0) ＝1，f ????
π6＝2，
f ??π2＝－1，所以函数f (x )在区间????0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ???
?2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ??2x 0＋π6＝35.由x 0∈????π4，π2，得2x 0＋π6∈????2π3，7π6
从而cos ??2x 0＋π6 ＝－
1－sin 2????2x 0＋π6＝－4
5
所以cos 2x 0＝cos ???
?????2x 0＋π6－π
6
＝cos ????2x 0＋π6cos π6＋sin ????2x 0＋π6sin π6＝3－4310
. 12．(2010·福建)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇
出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30
海
里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的 航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行
方
向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解：解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝ 900????t －
132
＋300.
故当t ＝1
3时，S min ＝103，
此时v ＝
103
13
＝30 3. 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，则
v 2t 2
＝400＋900t 2
－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2
＝900－
600t ＋400
t
2.
∵0600t ＋400
t
2≤900， 即2t 2－3t ≤0，解得t ≥2
3. 又t ＝2
3
时，v ＝30.
故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于2
3
.
此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇
航
行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．
在Rt △OA C 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝v t ， 此时，轮船航行时间t ＝1030＝13
， v ＝
103
13
＝30 3. 即艇以
303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)猜想v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t . 又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝2
3.
据此可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时．这样，小艇能以最短时
间
与轮船相遇． 证明如下：
如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC .且对于线段AC 上任意点P ，有 OP ≥OC >AC .
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A 、C 之间
(包
含C )的任意位置相遇．
设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中，CD ＝103tan θ，OD ＝
103
cos θ
.
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝
10＋103tan θ
30
和t ＝
103
v cos θ
， 所以，10＋103tan θ30＝103
v cos θ.
由此可得，v ＝
153
sin (θ＋30°)
.
又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥
3
2
. 从而，30°≤θ≤90°.由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33
. 于是，当θ＝30°时，t ＝
10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为2
3
.
解法三：(1)同解法一或解法二．
(2)设小艇与轮船在B 处相遇．依据题意得： v 2t 2
＝400＋900t 2
－2·20·30t ·cos(90°－30°)， (v 2－900)t 2＋600t －400＝0.
①若0－675
v 2
－900， v ∈[153，30]．
(ⅰ)当t ＝－300－20v 2
－675
v 2
－900
时，令x ＝v 2－675，则x ∈[0,15)，
t ＝
－300－20x x 2
－225＝－20x －15≥4
3
，当且仅当x ＝0 即v ＝153时等号成立．
(ⅱ)当t ＝－300＋20v 2－675v 2
－900时，同理可得232
3.
②若v ＝30，则t ＝2
3
；
综合①、②可知，当v ＝30时，t 取最小值，且最小值等于2
3此时，在△OAB 中，OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 13．向量m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )(ω>0)，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，函数f (x )
＝m ·n ＋t ，若f (x )图象上相邻两个对称轴间的距离为3π2
，且当x ∈[0，π]时，函数f (x )的
最小值为0.
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2
B ＝cos B ＋cos(A －
C )，求sin A 的值． 解：(1)f (x )＝m ·m ＋t ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23cos ωx ·sin ωx ＋t ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋
t ＝2sin(2ωx ＋π
6
)＋t .
依题意f (x )的周期T ＝3π，且ω>0，∴T ＝
2π2ω＝π
ω
＝3π. ∴ω＝13，∴f (x )＝2sin ????23x ＋π6＋t .∵x ∈[0，π]， ∴π6≤2x 3＋π6≤5π6 ∴12
≤sin ????2x 3＋π6≤1， ∴f (x )的最小值为t ＋1，即t ＋1＝0，∴t ＝－1. ∴f (x )＝2sin ????23x ＋π
6－1.
(2)∵f (C )＝2sin ????2C 3＋π
6－1＝1，
∴sin ????2C 3＋π6＝1.
又∵∠C ∈(0，π)，∴∠C ＝π2
.
在Rt△ABC中，
∵A＋B＝π
2
，2sin2B＝cos B＋cos(A－C)，
∴2cos2A＝sin A＋sin A，sin2A＋sin A－1＝0.
解得sin A＝－1±5
2
.
又∵0∴sin A＝5－1 2
.
水产价格 https://www.doczj.com/doc/8f10737193.html,/shuichan/ 水产价格峍奣尛
