情况．
３．知道一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝h 的根就是二次函数y ＝a x ２
＋b x ＋c 与直
线y ＝h (h 是实数)
交点的横坐标．４．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
要点１一一元二次方程a x ２
＋b x ＋c ＝０根的几何意义(
重点)一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０的实数根实际上就是抛物线y ＝a x ２
＋b x ＋c 与
x 轴交点的横坐标．即如果抛物线y ＝a x ２
＋b x ＋c 与x 轴有公共点,
公共点的横坐标是x ０,那么当x ＝x ０时,函数值是０,因此x ＝x ０就是一元二次方程a
x ２
＋b x ＋c ＝０的一个根．
归纳整理:(１)二次函数y ＝a x ２
＋b x ＋c (a ?０)
的图象与x 轴的交点的横坐标x １,x ２就是一元二次方程a x ２
＋b x ＋c ＝０(a ?０)的两个根．因此我们可以通过解方程a x ２＋b x ＋c ＝０来求抛物线y ＝a x ２
＋b x ＋c 与x 轴交点的坐标;反过来,也可以由y ＝a x ２＋b x ＋c 的图象来求一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０的解．
(２)对于二次函数y ＝a x ２
＋b x ＋c ,当函数值y 为某一确定值m 时,对应自变量x 的值就是一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝m 的根．
例１一抛物线y ＝a x ２
＋b x ＋c (a ?０)的部分图象如图２６．２Ｇ１所示,
则由图象可知一元二次方程a x ２
＋b x ＋c ＝０(a ?０)的较大的解是(一一)．
图２６．２Ｇ１
A．－１B ．１C ．２D．３
精析:二次函数与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的解,所以方程的一个
解为－１,由于对称轴是x ＝１,所以二次函数的图象与x 轴的另一个交点的横坐标为３,所以方程较大的解为D ．
２６．２一
用函数观点看一元二次方程
１．知道一元二次方程的根的几何意义(抛物线与x 轴的公共点的横坐标)．
２．会根据抛物线与x 轴的三种位置关系,确定相应的一元二次方程根的三种
要点
２一抛物线y＝a x２＋b x＋c与x轴交点的情况与一元二次方程a x２＋b x＋c＝０根的情况的关系
二次函数y＝a x２＋b x＋c(a?０),当y＝０时,得到一元二次方程a x２＋b x＋c ＝０(a?０)．那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,因此,二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．
(１)当二次函数的图象与x轴有两个交点,这时Δ＝b２－４a c＞０,则方程有两个不相等的实数根;
(２)当二次函数的图象与x轴有一个交点,这时Δ＝b２－４a c＝０,则方程有两个相等的实数根;
(３)当二次函数的图象与x轴无交点,这时Δ＝b２－４a c＜０,则方程无实数根．因此,二次函数y＝a x２＋b x＋c(a?０)与x轴的交点情况有三种:有两个交点二一个交点,没有交点．
归纳整理:
判别式情况Δ＞０Δ＝０Δ＜０
二次函数y＝
a x２＋
b x＋c(a
?０)与x轴的
交点
a＞０
有两个交点有一个交点无交点
a＜０
有两个交点有一个交点无交点
一元二次方程a x２＋b x＋
c＝０的实数根
有两个不
相等的实
数根x１,x２
有两个相
等的实数
根x１＝x２
没有实数根
例y＝a x２ ２x＋１与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所)．
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
精析:先由抛物线y＝a x２－２x＋１与x轴没有交点,求出a的取值范围,再把抛物线的解析式化为顶点式,结合a的取值范围确定顶点所处的象限．
解答:D．
用函数的观点解一元二次方程,从解析式上看,求一元二次方程a x２＋b x＋c＝０(a?０)的解,就是已知函数值为０时,求相应的自变量的值;从图象上看,求一元二次方程a x２＋b x＋c＝０(a?０)的解,就是求二次函数y＝a x２＋b x＋c (a?０)的图象与x轴交点的横坐标的值．
以顶点坐标为１a ,a －１a
()
．?一a ＞１,
?一
１a ＞０,a －１a
＞０,即顶点的横坐标和纵坐标都是正数,
所以顶点在第一象限,故选D ．
解答:
要点利用二次函数的图象求一元二次方程近似解
利用二次函数的图象求一元二次方程近似解的方法主要有两种:
(１)利用抛物线y ＝a x ２
＋b x ＋c (a ?０)与x 轴交点坐标求一元二次方程a x ２＋
b x ＋
c ＝０(a ?０
)的解,其步骤如下:①作二次函数y ＝a x ２
＋b x ＋c (a ?０
)的图象;②观察图象,
确定抛物线与x 轴的交点的横坐标;③所确定的横坐标即为一元二次方程a x ２
＋b x ＋c ＝０(a ?０
)的解．(２)利用抛物线y ＝a x ２
与直线y ＝－b x －c 的交点坐标的方法求一元二次方
程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ?０
)的解,其步骤如下:①在同一个平面直角坐标系中,画出两个函数y ＝a x ２
和y ＝－b x －c 的图象;
②观察图象,
确定出两个函数的交点坐标;③交点的横坐标即为一元二次方程a x ２
＋b x ＋c ＝０(a ?０
)的解．归纳整理:(１
)通过图象法求解时,由于作图或观察可能存在误差,通过图象求得的一元二次方程的根,一般是近似的,有时需要用计算器来估算方程的近似解．
(２)利用方法二求方程的解时,所取的函数不一定就是y ＝a x ２
和y ＝－b x －c ,
也可以是y ＝a x ２
＋b x 和函数y ＝－c 等．
例３一根据下表中二次函数y ＝a x ２
＋b x ＋c 的自变量x 与函数值y 的对应
值,判断方程a x ２
＋b x ＋c ＝０(a ,b ,c 是常数,a ?０)的一个解x 的范围是(一一)．
x ６．１７６．１８６．１９６．２０
y ＝a x ２
＋b x ＋c －０．０３－０．０１
０．０２０．０４
一一A．６＜x ＜６．１７
B ．６．１７＜x ＜６．１８
C ．６．１８＜x ＜６．１９
D．６．１９＜x ＜６．２０
?一抛物线y ＝a x ２
－２x ＋１与x 轴没有交点,
?一(－２)２－４a ?１＜０．解得a ＞１．y ＝a
x ２
－２x ＋１＝a x －１a
()
２
＋
a －１a
,所
精析:本题以表格的形式给出信息,探求一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的一个解x的范围,根据表格提供的信息,在６．１８到６．１９之间一定有一个x的值,使y＝a x２＋b x＋c＝０,因为一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的解是二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象与x轴交点的横坐标,所以方程的一个解的范围是６．１８＜x＜６．１９．
解答:C．
利用二次函数的图象求方程的解时,常常需要计算器估算方程的近似解．
要点４一二次函数与一元二次不等式的关系
设二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象与x轴的交点坐标为(x１,０),(x２,０)(x１＜x２)．
(１)若a＞０,当x１＜x＜x２时,y＝a x２＋b x＋c＜０;当x＜x１或x＞x２时,y＝a x２＋b x＋c＞０;
(２)若a＜０,当x１＜x＜x２时,y＝a x２＋b x＋c＞０;当x＜x１或x＞x２时,y＝a x２＋b x＋c＜０．
归纳整理:根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围．
(１)抛物线在x轴上方的部分,对应的函数值大于０;
(２)抛物线在x轴下方的部分,对应的函数值小于０;
(３)抛物线在x轴上的交点,对应的函数值等于０．
例４一设二次函数y＝a x２＋b x＋c(a?０)与x轴有两个交点A(x１,０),B(x２,０)(x１＜x２),不妨设a＞０,其图象如图２６．２Ｇ２所示．
图２６．２Ｇ２
(１)①当y＝０,即a x２＋b x＋c＝０时,方程的解是x＝x１或x＝x２;
②当y＞０,即a x２＋b x＋c＞０时,不等式的解集是x＜x１或x＞x２;
③当y＜０,即a x２＋b x＋c＜０时,不等式的解集是x１＜x＜x２;
(２)在(１)中,若a＜０,解下列不等式(直接填结果):
①不等式a x２＋b x＋c＞０的解集是一一一一;
②不等式a x２＋b x＋c＜０的解集是一一一一．
(３)利用上述结论,写出不等式的解集:
①３x２－４x＋１＞０的解集是一一一一;
②x２－２x－３＜０的解集是一一一一．
精析:解一元二次不等式,首先要求出对应的抛物线与x轴的交点,然后画出二次函数的草图或在大脑中有对应的图象,根据数形结合就可以求出它们的解集．解答:(２)①x１＜x＜x２一②x＜x１或x＞x２
(３)①x＜１３或x＞１一②－１＜x＜３
不等式a x２＋b x＋c＞０(或a x２＋b x＋c＜０)的解集就是二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象在x轴上(下)方的点所对应的x的取值范围,不等式如果带有等号,其解集也相应带有等号．当a＞０时,y＞０取两边,y＜０取中间．
综合应用
例１一(要点２)二次函数y＝a x２＋b x的图象如图２６．２Ｇ３,所以若一元二次方程a x２＋b x＋m＝０有实数根,则m的最大值为(一一)．
图２６．２Ｇ３
A．－３B．３C．－６D．９
精析:?一抛物线的开口向上,顶点纵坐标为－３,
?一a＞０,－b２４a＝－３,即b２＝１２a．
?一一元二次方程a x２＋b x＋m＝０有实数根,
?一Δ＝b２－４a m?０,即１２a－４a m?０,即１２－４m?０,解得m?３．
?一m的最大值为３．故应选B．
解答:B．
探索 发现:本题考查的是抛物线与x轴的交点,根据题意判断出a的符号及a,b的关系是解答此题的关键．
例２一(要点１)如图２６．２Ｇ４是二次函数y＝a x２＋b x＋c的部分图象,由图象可知不等式a x２＋b x＋c＜０的解集是(一一)．
图２６．２Ｇ４
A．－１＜x＜５B．x＞５
C．x＜－１且x＞５D．x＜－１或x＞５
精析:观察图象可知抛物线对称轴为x＝２,且与x轴交于(５,０),依据对称性可求出抛物线与x轴另一交点坐标为(－１,０)．二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象开口向下,所以不等式a x２＋b x＋c＜０的解集是x＜－１或x＞５．故选择D．
解答:D．
例３一(要点２,３)利用图象解一元二次方程x２＋x－３＝０时,我们采用的一种方法是在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x２和直线y＝－x＋３,两图象交点的横坐标就是该方程的解．
(１)填空:利用图象解一元二次方程x２＋x－３＝０,也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线y＝一一一一和直线y＝－x,其交点的横坐标就是该方程的解;
(２)已知函数y＝－６x的图象(如图２６．２Ｇ５(１)所示),利用图象求方程６x－x ＋３＝０的近似解．(结果保留两个有效数字)
图２６．２Ｇ５(１)一一一一一一一一图２６．２Ｇ５(２)
精析:从 形 的观点来看方程x２＋x－３＝０的解,是由抛物线y＝x２和直线y ＝－x＋３相交而成的交点的横坐标．当然也可理解为抛物线y＝x２－３和直线y＝－x相交而成的交点的横坐标．
解答:(１)x２－３
(２)由图２６．２Ｇ５(２)得出方程的近似解为x１?－１．４,x２?４．４．
探索 发现:根据二次函数图象求一元二次方程的近似解或求不等式的解集及确定函数的增减性,要注意观察图象与x 轴的交点二顶点及图象的开口方向．一元二次方程与二次函数之间的对应关系,实际上就是求二次函数的零点的问题,即二次函数图象与x 轴交点的横坐标的值．
例４一(要点１,２)二次函数y ＝x ２
＋b x ＋c 的图象与x 轴交于A 二B 两点,与y 轴交于(０,３),若?A B C 的面积为９,
求此二次函数的解析式．精析:y ＝x ２
＋
b x ＋
c 与x 轴交于A 二B 两点,则A 二B 两点的横坐标是方程x ２＋b x ＋c ＝０的解．
解答:设点A 的坐标为(x １,０),点B 的坐标为(x ２,０),则x １,x ２是方程x ２
＋
b x ＋
c ＝０的两根．
?一y ＝x ２
＋b x ＋c 过点C (０,３
),?一c ＝３．
又一S ?A B C ＝１２A B O C ＝１２
A B ３＝９,
?一A B ＝６．
?一|x １－x ２|＝６,即(x １＋x ２)２
－４x １x ２＝
３６．而
x １＋x ２＝－b ,x １x ２＝
c ＝３．{
?一b ２
－１２＝３６,
解得b ＝?４３．?一此二次函数的解析式为y ＝x ２＋４３x ＋３或y ＝x ２
－４３x ＋３．探索 发现:二次函数与面积相结合是经常遇到的一种综合题型,解决此类问
题的关键是根据各点坐标准确地表示有关线段的长．
例５一(要点１,２,３)如图２６．２Ｇ６,
已知二次函数y ＝１２
x ２
－m x ＋１２
m ２－２与x 轴相交于A 二B 两点,与y
轴交于点D ．图２６．２Ｇ６
(１)用m 的代数式表示A 二B 二D 三点的坐标;
(２)如果?B O D 为等腰三角形,
请求出m 的值;如果?B O D 不可能成为等腰三角形,
请说明理由．精析:(１)本题需要先求出抛物线与x 轴的交点,于是得先解方程１２x ２
－m x ＋１２
m ２－２＝０．
(２
)分情况讨论三角形的哪两条边相等．解答:(１)对于y ＝１２x ２－m x ＋１２m ２－２,令y ＝０
,则１２
x ２
－m x ＋
１２
m ２
－２＝０．化简,得x ２
－２m x ＋m ２－４＝０,因式分解,得(x －m ＋２)(x －m －２)＝０．
解得x １＝m －２,x ２＝m ＋
２．?一A (m －２,０),B (m ＋２,０)．
对于y ＝１２x ２
－m x ＋１２m ２－２,令x ＝０,则y ＝１２m ２－２,则D (０,１２
m ２－２)．
(２)如果?B O D 为等腰三角形．?一?B O D 为直角三角形,
?一只能O D ＝O B ．
?一１２
m ２－２＝|m ＋２|,当m ＋２＞０时,解得m ＝４或m ＝－２(舍去)．当m ＋２＜０时,解得m ＝０(舍去)或m ＝－２(舍去);当m ＋２＝０时,即m ＝－２
时,B 二O 二D 三点重合(
不合题意,舍去),综上所述:存在实数m ＝４,使得?B O D 为等腰三角形．探索 发现:求两个函数图象的交点,其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解．点与函数图象的关系是:若点的坐标满足函数关系式,则点在函数图象上,反之也成立．
探究创新
例６一(要点２)若x １,x ２是关于x 的一元二次方程a
x ２＋b x ＋c ＝０(a ?０)的两个根,则方程的两个根x １,x ２和系数a ,b ,c 有如下关系:x １＋x ２＝－b a
,x １ x ２
＝c a
．把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝a x ２
＋b x ＋c (a ?０)的图象与x 轴的两个交点为A (x １,
０),B (x ２,
０)．利用根与系数关系定理可以得到A 二B 两个交点间的距离为:A B ＝|x １－x ２|＝
(x １＋x ２)２
－４x １x ２＝
－b
a
(
)
２
－４c
a ＝
b ２－４a c
a
２
＝b ２
－４a c
|a |
．
参考以上定理和结论,解答下列问题:
设二次函数y ＝a x ２
＋b x ＋c (a ＞０)的图象与x 轴的两个交点为A (x １,
０),B (x ２,
０),抛物线的顶点为C ,显然?A B C 为等腰三角形．(１)当?A B C 为等腰直角三角形时,求b ２
－４a c 的值;
(２)当?A B C 为等边三角形时,求b ２
－４a c 的值．
一
一
图２６．２Ｇ７
一一解答:(１)当?A B C 为等腰直角三角形时,过点C 作C D ?A B 于点D ,则A B ＝
２C D ．
?一抛物线与x 轴有两个交点,
?一Δ＝b ２－４a c ＞０,则|４a c －b ２|＝b ２
－４a c ．
?一a ＞０,?一A B ＝b ２－４a c |a |＝b ２
－４a c
a
．
?一C D ＝
４a c －b
２
４a
＝b ２－４a c ４a ．
?一b ２－４a c a
＝b ２
－４a c ２a ．
?一b ２
－４a c
＝b ２
－４a c ２．?一b ２
－４a c ＝(b ２－４a c )２４
．
?一b ２
－４a c ＞０,
?一b ２
－４a c ＝４．(２)当?A B C 为等边三角形时,
由(１)可知C E ＝３２
A
B ,?一b ２－４a c ４a
＝３２?b ２－４a c a ．
?一b ２
－４a c ＞０,
?一b ２－４a c ＝１２．技法 规律:本题考查了一元二次方程和函数图象以及等边三角形的性质,关
键是分类讨论去掉绝对值符号．
?误区１?一忽视二次函数与x 轴的交点个数
例１一已知抛物线y ＝x ２
－(k ＋１)x ＋１４
k ２＋２,求抛物线与x 轴有交点时k 的取值范围．
错解:因为抛物线与x 轴有交点,得b ２
－４a c ＞０,
所以[－(k ＋１)]２
－４?１?１４
k ２＋２()
＞０,
解得k ＞７２．正解:由题意可知b ２
－４a c ?０,
得[－(k ＋１)]２－４?１?１４
k ２＋２()
?０,
解得k ?７２．
警醒:二次函数与x 轴的交点情况主要有三种:当b ２
－４a c ＞０时,
图象与x 轴有两个交点;当b ２－４a c ＝０时,图象与x 轴只有一个交点;当b ２
－４a c ＜０时,
图象与x 轴没有交点,反之,也是成立的．
?误区２?一思维定势认为函数有交点时一定是二次函数
例２一函数y ＝k x ２
－７x －７的图象与x 轴有交点,
则k 的取值范围是一一一一．错解:函数与x 轴有交点时,Δ＝(－７)２
－４k ?(－７)?０,
且k ?０,即k ?７４
且k ?０．
正解:当k ＝０时,函数为y ＝－７x －７,
此时函数与x 轴有一个交点;当k ?０时,函数为二次函数,因此当函数与x 轴有交点时,Δ＝(－７)２－４k ?
(－７)?０,即k ?７４,综上,k ?７４
．
警醒:一般地,一次函数与x 轴二y 轴都有一个交点,二次函数与x 轴的交点情况有三种:一个交点二两个交点和无交点三种情况．因此,当函数没有明确告诉是何
种函数时,只是说函数图象与x 轴有交点时,要注意分类讨论．
?误区３?一二次函数的图象与性质运用不当或错误,
数形结合欠缺图２６．２Ｇ８
例３一如图２６．２Ｇ８,
则下列各式中成立的是(一一)．
A．a b c ＞０
B ．b ＞a ＋c
C ．a ＋b ＋c ＜０D．２c ＞３b
错解:A．正解:D．
警醒:?一抛物线开口向下,?一a ＜０．?一抛物线与y 轴交于点(０,c
),在x 轴上方,?一c ＞０．
?一－b
２a ＝１＞０,
?一b ＞０．
?一a b c ＜０．
故A 错．?一当x ＝－１时,y ＞０,?一a －b ＋c ＞０,即b ＜a ＋c ,
故B 错．?一抛物线上横坐标为１的点在x 轴上方,即y ＝a ＋b ＋c ＞０,故C 错．由上知b ＜a ＋c ,
?一－b
２a
＝１,
?一a＝－１２b．
代入,得２c＞３b,故D正确．
夯基固本
１．(要点１,２)抛物线y＝－x２－x＋４与坐标轴的交点的个数是(一一)．A．３B．２C．１D．０
２．(要点３)下表是二次函数y＝a x２＋b x＋c(a?０)的自变量x与函数值y的对应表,则判断一元二次方程a x２＋b x＋c＝０(a?０)的一个解x的范围是(一一)．
x３．１６３．４２３．６４３．９０
y＝a x２＋b x＋c－０．０２－０．０１０．０３０．０４A．３＜x＜３．１６B．３．１６＜x＜３．４２
C．３．４２＜x＜３．６４D．３．６４＜x＜３．９０
３．(要点２)已知函数y＝(k－３)x２＋２x＋１的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(一一)．
A．k＜４B．k?４
C．k＜４且k?３D．k?４且k?３
４．(要点３,４)如图是二次函数y＝a x２＋b x＋c(a?０)的图象的一部分,给出下列命题:①a＋b＋c＝０;②b＞２a;③a x２＋b x＋c＝０的两根分别为－３和１;④a－２b＋c＞０．其中正确的命题是一一一一．(只要求填写正确命题的序号)
(第４题)一一
(第５题)
５．(要点３,４)如图是二次函数y＝a x２＋b x＋c的部分图象,由图象可知不等式a x２＋b x＋c＜０的解集是一一一一．
综合应用
６．(要点１,２)二次函数y＝a x２＋b x＋c(a?０)的图象如图所示,给出下列结论:①b２－４a c＞０;②２a＋b＜０;③４a－２b＋c＝０;④a?b?c＝－１?２?３．其中正确的是(一一)．
A．①②B ．②③C ．③④D．①④
(第６题)
一一
(第７题)
７．(要点３,４)二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ?０)的图象如图所示,若|a x ２
＋b x ＋c |＝k (k ?０)有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是(一一)．
A．k ＜－３B ．k ＞－３C ．k ＜３D．k ＞３(第８题)
８．(要点１,２,４)
如图,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A (－１,０),点B (３,０)
和点C (０,－３),一次函数的图象与抛物线交于B 二C
两点．则当x 满足条件一一一一时,一次函数的值大于二次函数的值．
９．(要点１,２,３)
利用二次函数的图象求一元二次方程４x ２
－８x ＋１＝０的根．
１０．(要点１,２,３)一元二次方程x ２
＋７x ＋９＝１的根与二次函数y ＝x ２
＋７x ＋９的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来．
１１．(要点１,２,４)抛物线y ＝－x ２
＋(m －１)与y 轴交于点(０,３)．
(１
)求出m 的值并在如图所示的平面直角坐标系中画出这条抛物线;(２)求它与x 轴的交点和抛物线的顶点坐标;(３
)当x 取什么值时,抛物线在x 轴上方?(４)当x 取什么值时,y 的值随x 值的增大而减小
?
(第１１题)
探究创新
１２．(要点１,３)已知二次函数y＝x２－x－６．
(１)求二次函数的图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标;
(２)画出函数图象;
(３)观察图象,指出方程x２－x－６＝０的解;
(４)求二次函数的图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积．
１３．(要点２,４)定义:对于抛物线y＝a x２＋b x＋c(a,b,c是常数,a?０),若b２＝a c,则称该抛物线为黄金抛物线．例如y＝２x２－２x＋２是黄金抛物线．(１)请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式:一一一一．(２)若抛物线y＝a x２＋b x＋c(a,b,c是常数,a?０)是黄金抛物线,请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况(要求说明理由);
(３)将黄金抛物线y＝２x２－２x＋２沿对称轴向下平移３个单位．
①直接写出平移后的新抛物线的解析式;
②设①中的新抛物线与y轴交于点A,对称轴与x轴交于点B,动点Q在
对称轴上,问新抛物线上是否存在点P,使以点P二Q二B为顶点的三角形
与?A O B全等?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存
在,请说明理由．
(提示:抛物线y＝a x２＋b x＋c(a?０)的对称轴是x＝－b２a,顶点坐标是
())
－b２a,４a c－b２
４a
(第１３题)
心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(单位:分)之间满足函数关系y＝－０．１x２＋２．６x＋４３(０?x?３０)．y值越大,表示接收能力越强．此函数可以转化为y＝－０．１(x－１３)２＋５９．９,由此可知,当提出概念所用时间０?x?１３时,学生的接受能力逐步增强;而当１３＜x?３０时,学生的接受能力逐渐降低．在第１３分钟时,学生的接受能力最强,所以你可以观察一下,老师们在课上提出一个新概念时,一般会有创设情境二对比分析二重点强调等,而不是直接将一个
概念呈现出来,这是符合科学根据的．
P １７一思考
(１)抛物线y ＝x ２＋x －２与x 轴有两个公共点,它们的横坐标是－２,１,当x 取公共点的横坐标时,函数值是０,由此得到x ２
＋x －２＝０的根是x １＝－２,x ２
＝１．
(２)抛物线y ＝x ２
－６x ＋９与x 轴只有
一个公共点,这点的横坐标是３,当x ＝３时,函数的值是０,由此得出方程x ２
－
６x ＋９＝０有两个相等的实数根x ＝３．(３)抛物线y ＝x ２
－x ＋１与x 轴没有公共点,由此可知方程x ２－x ＋１＝０没有
实数根．
发现:一般地,从二次函数y ＝a x ２
＋b x
＋c 的图象可知:
(１)如果抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 与x 轴有公共点,公共点的横坐标是x ０,那么当x ＝x ０时,函数的值是０,因此x ＝x ０
就是方程a x ２＋b x ＋c ＝０的一个根．
(２)二次函数y ＝a x ２
＋b x ＋c 的图象与
x 轴的位置关系有三种:
没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,这对应
着一元二次方程a x ２
＋b x ＋c ＝０的根
的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根．
P １９一习题２６．２
１．(１
)如图所示．(第１题)
(２)x ＝３或x ＝１时,y ＝０．
２．(１)x １＝１,x ２＝
２．图象略．(２)x １＝x ２＝－３．图象略．(３
)抛物线与x 轴无交点,方程无实数解．图象略．
(４)x １＝－１,x ２＝
１２．图象略．３．(１)y ＝－１１２x ２＋２３x ＋５３＝－１１２
(x ２
－８x ＋１６)＋３＝－１１２(x －４)２
＋３．抛物线的顶点坐标为(４,３)．令－１１２x ２＋２３x ＋５３
＝０,即x ２
－８x
－２０＝０．
?一x １＝１０,x ２＝－２．即抛物线与x 轴的两个交点为(１０,０),(－２,０)．
令x ＝０,则y ＝５３
,即抛物线与y 轴
的交点为０,５３?
è
?????÷÷÷．函数图象如图:(第３题)
(２
)从图象可以看出,铅球的落点距原点１０个单位,
即铅球推出的距离为１０m ．
４．由抛物线的对称性,
知对称轴为x ＝１．
５．图象如图所示:
(第５题)
(１)方程x２－２x－３＝０的解是x１＝－１,x２＝３．
(２)当x＜－１或x＞３时,函数值大于０．
(３)当－１＜x＜３时,函数值小于０．６．当a＞０时,(１)顶点在x轴下方; (２)顶点在x轴上;(３)顶点在x轴
上方．
当a＜０时,(１)顶点在x轴上方; (２)顶点在x轴上;(３)顶点在x轴
下方．