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线性代数第一章习题解答(下)

线性代数第一章习题解答(下)
线性代数第一章习题解答(下)

线性代数习题解(部分)

解:(2)

69

=612-98=0812

?? (4)

22322

11

(1)(1)11

x x x x x x x x x x -=-++-=--++. 2. 计算下列三阶行列式: 解:(1)123

3

12=111+222+333231

??????123231312-??-??-??=361818-=. 3. 当k 取何值时,1

0143k k

k -=0. 解:1

0143k

k

k -0)3(0)(02-----++=k k , 得 0342=+-k k , 所以 1=k 或 3=k . 4. 求下列排列的逆序数:

解:(2) 501013)426315

(=++++=τ. (3) 21123456)7654321

(=+++++=τ. 5. 下列各元素乘积是否是五阶行列式 ij a 中一项?如果是,该项应取什么符号? 解:(2) 不是. 因为 5145332211a a a a a 中有俩个元素在第一列.

(3) 是. 由4553312412245532431124512532431)1()!(a a a a a a a a a a a a a a a -=-=

53453124123

)1(a a a a a -=

=τ1021)24153

(+++=τ 1)1()1(73-=-=-+τ

所以该项应取负号.

6.选择i , j 使j i a a a a a 54234213成为五阶行列式 ij a 中带有负号的项.

解: 当 )5,1(),(=j i 时, 30102)31425

(=+++=τ, 是奇排列; 当 )1,5(),(=j i 时, 81232)35421

(=+++=τ, 是偶排列; 所以 i = 1, j = 5.

7.用行列式的定义计算下列行列式:

解:(2)n

n 00

00000

01000

1200000

-

!)1(0!)1(2

)

1)(02(01)3()2(n n n n n n -+-+++-+--=+-= !)

1(0!)1(2

)

1)(02(01)3()2(n n n n n n -+-+++-+--=+-=

(4)

1

0000

00

4

32002300

140055000=240!5!50!5)1(!5)1(12340123=+=+-+-++++++. 8.利用行列式性质计算下列行列式 . 解: (1) 1223

131

2

3

1

2

3

1

2

3

22

12034

034=6111032

002

r r r r r r

-+-+------+--- . (3)

1111111111111

111---82

00002000

0201

1114,3,21-=---=+-i r r i

.

(4) 1502321353140422-----15023213531402112-----=1

1203840

5

5300

211

2

2344

1312

1-----+++r r r r r r

1120

51000

4610

02112

3424-----+-+-r r r r 71300

510004610

02112

221------+-r r 7

1300

12004

610

211

)

5(2-------=

02700

12004610

0211

)

5(2743------+-r r 27

00021006

410

20

11)

5(243------?c c 270-=. (6)

2324323631063a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d ++++++++++++++++++23124

200023243200231,2,30363106300373i a b c d

a b c d r r r r a a b a b c a a b a b c a a b a b c a a b r r i a a b a b c a a b

-+-+++++++++++-+=++++34430

000

00a

b c d

r r a a b a b c

a a a

b a

-++++=+.

9.用行列式性质证明:

(1) 33

33

32222

21

111

1c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++=3

3

3

222

111

c b a c b a c b a . 证明: 333332222

21

111

1c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++3

3

3

322221

11

123c b kb a c b kb a c b kb a c c ++++-3

3

3222

111

12c b a c b a c b a c kc +-. (2) ef

cf bf

de cd

bd

ae

ac ab

---=abcdef 4. 证明: ef cf

bf de cd bd

ae

ac ab

---d c b e c b e c b abf ---的公因子提取各行1111111

11---abfbce 的公因子提取各列

20200

1

113

121-++abcdef r r r r 2

00

020

1

112

3--?abcdef r r abcdef 4=.

(3) y y x x ++++111111111

1111111y x xy y x 222222++=.

证明: y y x x ++++1111111111111111=y

y x x +++++++11101111011

11011111

y y x +++=1111111111111111 y y x x ++++111011*********y y x 0000000001111=y y x x +++++++110101101011101101 y y x

x y y x

xy ++++++

+

=101001100101010100000001110

1112y

y x x y x

x xy xy ++

++

+=10001001

001

001100110011011022 y

y x x y x x xy ++

+

=10001001

0010000

110011011022

=+++=)1(2222y y x y x xy 222222y x y x xy ++. (4) x

z

y y x z

z y x

b a az by ay bx ax bz ax bz az by ay

bx ay

bx ax bz az by )(33+=+++++++++ 解: 由=+++++++++az by ay bx ax bz ax bz az by ay

bx ay

bx ax bz az by +++++++az by ay bx bz ax bz az by bx ay

bx ax bz by az by ay bx ax ax bz az by ay ay

bx ax bz az ++++++

+++++++=az by ay bx z

ax bz az by x

ay

bx ax bz y b az by ay bx x ax bz az by y ay

bx ax bz z

a +++++++=by bx z bz by x bx

bz y b az

ay x ax az y ay

ax z a x

z

y

y x

z

z y x

b a )(3

3+= 10.解下列方程:

(1)

0913

251323

2223

2112

2

=--x x .

解: 由

22432122400

05132320321129132513232223211x x r r r r x x ----+-+---2

2

3

1400013103

203

21

12x x r r ------+-

2222

1240

00

131033200

3211

x x x r r x -------+2

2

22

340

00332001

310

3

211

x x x r r ------?)4)(32(22x x ---= 得 0)4)(32(22=---x x 所以 2=x 或 2-=x .

(2)

0011101101110=x x x

x . 解: 由

=++++=+01110110122224,3,201

1

101101

110

1x x x x x x x i r r x

x x x i 0

111011011111)

2(x x x

x + 111011*********)2(4

13

12

1-------++-+-+-x x x x x x r r r xr r r x

x x

x x x x r r -------++1001101

0101

111)2(43

x x x x x x x x x x x x x x x r r x ------+=----+----++-100)1(001

0101

111)

2(100)1)(1(10010101111)2()1(32x

x x x x x ----?

-+=1)1(1011)

2(=})1(){1)(2(22x x x x -+-+2

)2)(2(x x x -+-= 得 0)2)(2(2

=-+x x x , 所以 021==x x ,23=x , 24-=x .

11.求行列式 4

119

607

1

32

--- 中元素7和—4的余子式和代数余子式. 解: 元素7的余子式 234

111

321=-=

M ,代数余子式23)1(211221-=-=+M A ;

元素—4的余子式 210

73233

-=-=M , 代数余子式21)1(333333-=-=+M A . 12.按第三行展开以下各行列式,并计算其值.

(1) 2

501032042133825-----

解: 2

514233

85)1(2250421382)1(02

5010

32042133

8252313----?+-----?=-----++

501

2138

25)

1(02

014133

25

)

1(34

33

3----?+------?+++ 2

014133

25)1(3251423385)1(23323------?+----?=++ 由 852

177

17)1(12512170

7

17

03525142

33

85132

31

3=---?=---++----+r r r r

112

17

2)1(10

01

2137

2

5

2201

413

3

251331=----?=----+-----+c c

所以 2031138522

501032042133

825=?+?=-----

(2)

1111

110

11014321-----a a a a

解:

1111

1101

1014

321-----a a a a 0

111101

11)1(011111110)1(232131----?+------?=++a a

1

111101

1

)1(01

111

01

1

)1(434333-----?+----?+++a a

01

111

01

20)1(01112

01

10)1(232131----?+-----?=++a a 2

101101

1

)1(11011

01

1

)1(434333-----?+----?+++a a

1112)1(1211)1(21----?+----?=a a 2

11

1)

1(111143----?+--?+a a )(34321a a a a +++=.

13. 设35213124

02301052D ---=-,D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求

11121314A A A A +++和11213141M M M M +++.

解: 11121314A A A A +++

11121314105105115110

(1)313(1)113(1)133(1)1314413213243241

++++---=-+--+--+--=---------

11213141M M M M +++

1

5

5

2

1

5

2

1

521

31331310510504134134133

13

----=++-+=---------

14.计算下列各行列式. (3)

解: 121

11

3

4

2

31211

11

2132431121x x x

x x x x n n n n x x x n n n

n

-------)

(11 11 -1 0

00 0 1 1 1 1 10110 00 01 11

1 1 11 1101 01

,,1n i

i x x x x x x x x n i r r ----=+-+

)

1(1

1

111

0 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1

101

1

1111

)

1(-+-----n n x x x x

按第一列展开

2)-(111110 011

1 0 11111

111

)1{()1(

n n x x x

-----++展开列按第一}110

011

1 0 11111

111)1(2)

-(12n x x

x

----++

2)

(1

110

011

1 0 11111

11

1

)}1(1{)

1(-+------=n n x x

x x

3)-(1

11

110

011

1 0 11111111

)

1{()

1( n n x x x x

-----++展开

列按第一}110

011

1 0 1111

1

111)1(-)

(12n x x

x

----++

3)

-(2

1

110

011

1 0 11111111

)

1(n n x x

x x

----=+2131)1(1111)1(

-+-+-=--=n n n n x x x 类推以此

.

(4) 解: 122

110 (000)

1...00...

(00)

...

1...n

n n x x x

a a a a a x

-----+按第一列展

11

1112

3

21(2)(2)

10...00100 (00)

01...0010...00+(1)..................+(1)..................

000 (1)

000...10 (00)

...1n n n n n n n n x x x a x x a x a a a a a x x ++------?

?--??

--??

???-?-??

--????+-?

?

再按第一列展

22

112

112

3

2

1(2)

10...0001 (00)

1=++......

.....................++......+000 (1)

...n n n n n n n n n x x

x

a a x x a a x x a a x

x a a a a a x ----------=+-+再按第一列展 21121++......++n n n n n a a x a x a x x ---=+

15. 用克莱姆法则解下列线性方程组:

(3) ???

??=+-=+-=+-4

45222725 1243321

321321x x x x x x x x x

解: 由系数行列式 638

7

017

0211245

218

12

112452725

2

43312

12

31

3=--+-+----+-+----=r r r r r r r r D

=--+-+---=4

1143786220

1

2445472

222

413

1211c c c c D 63 12600

2312

54

53224427225

21

3

3

12

12=---+-+-=r r r r D

189107017703

1

1

245214813

1

1

24522225

14

3312

12

31

33=--+-+---+-+----=r r r r r r r r D

得 111==

D D x , 222==D D

x ,333==D

D x .

(5) ???????=+-+-=+-=--=+-+0

674522 96 385243214324

214321x x x x x x x x x x x x x x

解: 由系数行列式

6741212060311512-----=

D 12

7702

1206

03113

57024212-----+-+-r r r r 12

7721213

57)1(12----=+

2

770103

5

3)1(22321

2-------++c c c c 272162

73

3)1(22=+=----?=+

67402125603915181------=D 2

7122111

511)1(3274122

1210

0301

511123224212-------?-=-------+-++c c c c

12

7110109

5

6

32321

2----+-+c c c c 8112

1196)1()1(322=-?-?-=+

67012150609115822-----=

D 12

7902

1506

09113

510024212-------+-+-r r r r 12

7921513

510)1(12-------=+

2

7260103

51525321

2-----++-c c c c 1082

263

15)1(22-=--=+

60412520693118123---=D 12

9725213

107)1(12

9702

5206

93113

10702124212----=-----+-+-+r r r r

8

13420179

0358

132

529

03222

33

212-+--+-+-r r r r r r 2742

179

3)1(2

3-=--=+

07415120903185124-----=

D 9

7705

1209

03110

57024212-------+-+-r r r r 9

7751210

57-------=

271057826

7153)

1(26

770101553522

23

212=+-=---=------+-++c c c c

得 311==

D D x , 422-==D D x , 133-==D D x , 144==D

D

x . 16. 判断下列齐次方程组是否有非零解:

(1) ???????=+-+=-+-=++--=+-+0

320508307934321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

解:由系数行列式

3211151118137931------=D 4

7208

144022

19807

93134

13

12

1------+-+-+r r r r r r 0472814422198=-----= (第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解.

(2). ???????=-++=+++=-++=+-0

302x 4303320

22432143214

321421x x x x x x x x x x x x x x

解:由系数行列式

3

0151111

04)1(2301511122)1(3

0015

01131321

022113

1214331321

022********---+----=----+-+----=

+r

r r r r r D

013

111

4≠=---

=

此齐次方程组只有唯一的非零解. 17. 若齐次线性方程组 ?

??=-+=+-0)2(50

4)3(y x y x λλ 有非零解.则λ取何值?

解:由系数行列式 )2)(7(14520)2)(3(254

32+-=--=---=--=

λλλλλλλ

λD

其齐次线性方程组有非零解,则 7=λ 或 2-=λ.

18. .当k 取何值时,齐次线性方程组 02020kx z x ky z kx y z +

=??++=??-+=?

仅有零解.

解:由系数行列式

()()()31

21

1

001

01

21

21212221

21

21

k

kc c D k k k k k k +-+=-=--=----

齐次线性方程组仅有零解,则 0D ≠,即2k ≠.

习题二

A 组

1. 计算下列矩阵的乘积.

(1) ???? ?

?-????

? ??-2312521131.

解: ???? ??-????

? ??-2312521131????

?

??--=????? ???+??+-??-+??-+-??+??+-?=12111577251253)2(22

)1(113)1()2(1231133)2(1. (3) ?????

??-?

?????

?

??---???? ??-35002103531152112401321214. 解: ?????

?

?-??????

? ??---???? ??-35002103531152112401321214???? ??-=?????

??-???? ??=10316665350021161167923. 2. 计算下列各矩阵:

(1) 5

2423

???

? ??--.

解: 5

2423???? ??--2

2423???

? ??--=2

2423

???

? ??--???? ??--2423

???? ??--=4421???? ??--4421

??

?? ?

?--2423 ????

?

?--=812

67???? ??--2423

???

? ??-=8423. (3) n

???

?

??1011.

解: n

???? ??1011n

???? ?????? ??+???? ??=00101001

=n

n n n

n n n ???

?

??++???? ?????

?

??-+???? ???

??

? ??+???? ??--0010001010012)1(00101001100122

1

+???? ??=1001???

?

??=???? ??101000n n ,

其中 2

0010???? ?? =???? ??=3

0010???

?

??=???? ??=00000010n

.

(4) n

????

? ??λλλ001001

解: n

????? ??λλλ001001=n ????? ??????? ??+????? ??000100010000000λλλn

????

? ??????? ??+????? ??=000100010100010001λ

?????

? ??+????? ??????? ??-+????? ??????? ??+????? ??=---- 2

2211

0001000101000100012)1(000100010100010001100010001n n n n n n n n n λλλ

?

?????

?

??-+????? ??+????? ??=-0000002)1(0000000000000002n n

n n n n n n n n λλλλλλ

??????

?

?

?-=-n

n n

n n

n

n n n n λλλλλλ0

002)1(1

其中 ???

?? ??=????? ??0000001000001000102

,

????

?

??=????? ??==????? ??0000000000001000100001000103n

. 3. 设1210,1312A B ????

== ? ?????

,问下列等式是否成立?

(1)AB BA =;

(2)()2

22

+2A B A AB B =++;

(3)()()22+A B A B A B -=-. 解:121034101212131246121312AB BA ????????????

====

??? ? ??? ?????????????

,,所以AB BA ≠.

同理(2),(3)也不成立.

4. 证明:若A 为实对称方阵,且2

A O =则A O =.

解:设111212122

212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ??

?

?= ?

?

??

,由A 为实对称方阵,有T

A A =

1121112

22212..................

...n n T

n

n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ???1112

12122

212

.....................n n n n nn a a a a a a a a a ??

? ?= ?

???

,由2

A O =,有

1112111

2112122

21222221212...........................

...............n n n n T n n nn n

n nn a a a a a a a a a a a a A AA AA a a a a a a ????

???

???===

???

???????0

0 (00)

0...0...

0

0...

0?? ?

?= ?

???

得 22

211121...0n a a a +++= 由 11121...n a a a ,,,都是实数,则11121==...=0n a a a =,同理

2122==...=0nn a a a =.

5. 证明:对任意m n ?矩阵A ,T

A A 和T

AA 都是对称方阵;而当A 为n 阶对称方阵,则对任意n 阶方阵C ,

T C AC 为对称方阵.

解: 由已知T

A A 为n 阶对称方阵,且()

()T

T

T T T T A A

A A A A ==,即T A A n 阶对称方阵.

同理T

AA 是m 阶对称. 由(

)

()T

T

T

T T T T C AC

C A C C AC ==,所以T C AC 为对称方阵.

6.设C B A ,,均为n 阶方阵.证明:如果方阵

CA A C AB E B +=+=, 则.E C B =-

解: 由已知 E B A E E AB B =-=-)(, 则 B A E =--1

)(.且 A CA C =- 即 A A E C =-)(, 则 AB A E A C =-=-1

)(. 得 E AB B C B =-=-.

9. 解下列矩阵方程: (1) ???

?

??-=????

??23123512X 解: 由 ???

?

??--=???? ??-251335121

, 得 ???

? ??--=???? ??-???? ??--=???? ??-???? ??=-1161923122513231235121

X .

(3) ???

?

?

??---=????? ??????? ??02110

2341010100001100001010X 解: 由 1

010010100100001001-????

? ?

= ? ? ? ?????

1

100100001001010010-????

? ?= ? ? ? ?????

, 有 ?????

??????? ??---????? ??=????? ??????? ??---????? ??=--0101000010211023411000010100101000010211023411000010101

1

X

????? ??---=????? ??????? ??---=201431012010100001021341102, 即 ???

?

?

??---=201431012X .

10.利用逆矩阵解下列线性方程组:

(1)1212

8+62

541x x x x =??+=-?

解:设12862,,541x A X b x ??????

=== ?

? ?-??????

,则AX b =为方程组的矩阵形式.因862054A ==≠,A 是 可逆矩阵.有1

X A b -=. 由 1

461582A --??= ?-??,则1

4627158192X A b --??????=== ??? ?---??????

,即解为

127,9x x ==-.

(2) 12312

1

232231

220

x x x x x x x x ++=??

-=??-++=? 解一:设12322311

10,,21210x A X x b x ?????? ? ? ?

=-== ? ? ? ? ? ?-??????

则AX b =为方程组的矩阵形式.因

31

223

523

110

11070121

21

c c A +=--=-≠-,A 是可逆矩阵.有1X A b -=. 由 1

461582A --??= ?-??,则17=911X A b --??

?=- ? ?

??,即解为123-7,911x x x ==-=,.

解二: ()1212132231110221

102,110

222310

4

331210121

00

1

1

2r r r r A b r r --+-???????

? ? ?=-??→- ? ? ?→ ? ? ?--+?

?????

31233210

1410

1431100

7001110112010

94011200

11132001

113(1)

r r r r r r r r r r r ++-??????→

?

?

?→--??→- ? ? ?→ ? ? ?-+--+??????

?- 则解为123-7,911x x x ==-=,.

11. 设 B A AB A -=???

?

?

??--=2,011002100, 求.B

解: 由已知 ,2)(,2A B E A A B AB =+=+

因 01622)(3

≠-===+=+A A B E A B E A

1)(-+E A 存在, 则 A E A B 2)(1?+=-

()??

?

?

? ??----?→?++-????? ??----=+22240420001021010120220042001110121012,3121r r r r A E A 由

???

?? ??----??→?++-????? ??-----?→?+--313222113100010001216264042002002101013

21231332r

r r r r r r

所以 ????

? ??----=?+=-31322211132)(1

A E A

B .

12.设均为n 阶方阵,为n 阶单位阵,证明: (1) 若,AB B A =+ 则E A -可逆;

(2) 若O E A A =+-432 则E A -可逆,并求

-1

)(E A -. 解: (1)由已知 E E B A AB =+--, 即E E B E A E E B E B A =--=---))((,)()(,

所以 E A -可逆,且

E B E A -=--1

)(. (2)由已知 E E A E A A E E A AE AA 2)(2)(,222-=----=+--,

,2))(2(E E A E A -=-- 所以 E A -可逆,且

A E E A E A 2

1)2(211

--=--=-)(. 13.计算下列矩阵的乘积

(1) ??

?

?

?

??

??-???????

??3-00032001-21013013000120010100121

解: ??

?

?

??+=???? ?

?+=???? ?????? ?

?=?????

?

?

??-??????? ?

?222222211111

22222212111122122211

3-000

32001-210130130

1200

10100121B A O

B B A A B A O EB B A E A B O B E A O E A

其中 ???

?

??--=???? ??-=???? ??=???? ?

?=3032,1213,3012,10

2122122211B B A A , 且 ???

?

??-=???? ??--+???? ??--=???? ??--+???? ??-???? ??=+422530321217303212131021221211B B A

???

?

??--=???? ??--???? ?

?=6044203230122222B A 所以???

?

?

??

??---=

??????? ??-???????

??60004400422025213-00032001-210130130

0012001010

0121

(2) ??????

? ??-???????

?

?-234

1230000200

01

41

00001000320011

解: ???

?

??+=???? ?????? ??=?????

?

? ??-???????

?

?-22222122112111

11222111

222111

00023

40

12300002000

141

00001000320011B A B A B A B A B B B A A A 其中 ???

?

??=???? ??=???? ??-=???? ??=???? ??=???? ??-=2312,4030,0201,4100,0010,32

11222111222111B B B A A A ; 且 ???? ??-=???? ??-???? ?

?-=0404020132

111111B A , ???

? ??=???? ?????? ??=91400231241002222B A ???

?

??-=???? ??+???? ??-=???? ?????? ??+???? ??-???? ?

?=+19002190000002403041000201001021221121B A B A ; 得 ??????

?

??-=

??????? ??-???????

?

?-91419000020004000423

40

12300002000

141

000010003

20011 14.设??????

?

?

?---=1100210000

2300

12A , 求 4

,A

A 及1-A . 解: 3311

12

12312=?=---=

A ,

由???

?

??=???? ??????

??=???? ??7-48-7-11-2197168-56-9723-1-24

4

, 所以 ?????

?

? ??-----=74008

7000097

16800

56974A . 由???? ??=???? ?????? ??=???? ??112-13111-21231223-1-2-1

-1,, 所以 ?????

?

?

?

?=31310

032-3100

002300

12

1

-A . 15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形:

(1) ???

?

?

??=02-112321-1A

解: ????? ??=02-112321-1

A ???

?

? ??-+-+?????-- ??+-+-100010001)1(1001101012-1-05-5021-133********r r r r r r r r r .

16.求下列矩阵的秩:

(1) 32111

232442

3A ??

?=- ? ?-??

解:31321112

321

23212

3

244

2

34423r r A ---????-+

? ?=-- ? ?→ ? ?--?

??

? 1211312123

2(1)123

200000

410

540410

50

00

0r r r r r r r +---?--????

? ?→→-- ? ? ? ?+--?????

得 ()2r A =.

(3) 23240

52170521721210312103210110521733

111

205217r r A r r ----????-+ ? ?-- ? ?

=→

?

?-----+ ? ?---???? 1312140

5217121031

2103052170

0000000000

00

00

0r r r r r r ---??

??-+?

? ?---

?

?

→→ ? ?-+

? ???

??

得 ()2r A =.

17. 设得 110111

01,2101111a A B a a ????

? ?

== ? ? ? ?????

.且矩阵得 2AB =,求a .

解:由 110112211

012112101

111322a a

a AB a a

a a a ++??????

???

?

==++ ??? ? ??? ??

?????

122123131

0(1)10

01

00

1210

210

2

13

2230

220

1a r r r r r r a a a a a r r a a -++??????-+-+

?

?

?++→++ ? ? ?→→ ? ?

?-+-+?????? 所以 1a =时, ()2r AB =.

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵,且|A |=5,则|A*|=__125____,|2A |=__80___,|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解,则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上,行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时,方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1.设) (则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B (A)0 ; (B)―12 ; (C )12 ; (D )1 2.设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解,则k = ( A ) (A )2 (B )0 (C )-1 (D )-2 3.设A=7 925138 02-,则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4.已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,-7,4, 则D= ( A ) (A ) -15 (B ) 15 (C ) 0 (D ) 1 三、计算行列式

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分,共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项,则,12 i j = =。 令1,2i j ==,(12354)(13524)134τπ+=+=,取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ,则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子,所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵,5A =,则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知:1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集(含答案) 第一章 【1】填空题 (1) 二阶行列式 2a ab b b =___________。 (2) 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 (3) 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 (4) 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 (5) 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2 a b -;4.3 3 3 3x y z xyz ++-;5.4abc 。 【2】选择题 (1)若行列式12 5 1 3225x -=0,则x=()。 A -3; B -2; C 2; D 3。 (2)若行列式11 1 1011x x x =,则x=()。 A -1 , B 0 , C 1 , D 2 ,

(3)三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=()。 A -70; B -63; C 70; D 82。 (4)行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -;B () 2 2 2a b -;C 4 4 b a -;D 44 a b 。 (5)n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =()。 A 0; B n !; C (-1)·n !; D () 1 1!n n +-?。 答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。 答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。 (2)τ(217986354)=18,此排列为偶排列。 (3)τ(987654321)=36,此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数: (1)135 (2n-1)246 (2n );(2)246 (2n )135 (2n-1)。 答案:(1) 12n (n-1);(2)1 2 n (n+1) 【6】确定六阶行列式中,下列各项的符号:

线性代数1-5章习题教学文稿

线性代数1-5章习题

线 性 代 数 习 题 集 皖西学院金数学院编制

第一章 行 列 式 一、判断题 1.行列式如果有两列元素对应成比例,则行列式等于零. ( 1 ) 2. 213 210 124121012342 =-.( 2 ) 3. 134 34 121.42 042 =- ( 1) 4. 1 23213 1 232 131 2 3 213.a a a b b b b b b a a a c c c c c c =( 1 ) 5. 1 23123 1 231 231 2 3 1 2 3 .a a a a a a b b b b b b c c c c c c ---------=---( 1 ) 6. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 为1n -阶行列式. ( 1 ) 7. 312 143 245328836256 =.( 2 ) 8. 11 12 13 2122 23313233a a a a a a a a a 122r r + 11 1213 21112212 231331 32 33 222+++a a a a a a a a a a a a ( 2 ) 9.如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必等于零. ( 1 ) 10. 如果方程个数与未知数个数相等,且系数行列式不为零,则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题 1.若12532453r s a a a a a 是5阶行列式中带正号的一项,则,r s 的值为( B ). A.1,1r s == B.1,4r s == C.4,1r s == D.4,4r s ==

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010~ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2. 设A 、B 为4阶方阵,且,2||1 =-A 813=B ,则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ,且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4.设??????????=210110001A ,则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5.已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示,则21,αα线性 相关 . 6.设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ,且1α,32αα,线性相关, 则=t 8 . 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ,???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8.设三阶方阵A 的每行元素之和均为零,又2)(=A R ,则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ; )B ( 2 ; )C ( 1 ; )D ( 0. 2.设C B A ,,均为二阶方阵,AC AB =,则当(C )时,可以推出C B =. .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) . )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关,则21,αα线性相关; )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似,则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解,则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解,其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η,???? ????????=+444432ηη, 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( B ) )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6.若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则(A )

线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个:一是试题的计算量偏大,无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解,还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算,稍有不慎,即会出错;二是前后内容紧密相连,纵横交织,既相对独立又密不可分,形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下,下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练,切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵,努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系,努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多,公式结论多,而且前后知识联系紧密,环环相扣,几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练,全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事,除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外,还要靠平时的积累,要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯,只要持之以恒、坚持练习,计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习, 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时,该项为正;逆序数是奇数时,该项为负;在一个n元排列的n!项中,奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn

线性代数习题参考答案

第一章 行列式 §1 行列式的概念 1. 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ,该排列为 排列。 (2) i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为偶排列,该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中, 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ,含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2. 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解: 该行列式的3!项展开式中,有 项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。 3. 证明:在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。 证明:n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。

4. 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多,则此行列式为0,为什么? 5. n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少? (提示:利用3题的结果) 6. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)2 011 411 8 3 --- (2)2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题(共5小题,每题2分,共计10分) 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中,2x 的系数为 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵,(),r A r B =是m 阶可逆矩阵,C 是m 阶不可逆矩阵,且 ()r C r <,则 ( ) (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值,且各自有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似,但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵,且AB BC CA E ===,其中E 为n 阶单位阵,则 222A B C ++= ( ) (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5.设1010,0203A B ???? == ? ????? ,则A B 与 ( ) (A)合同,且相似 (B)不合同,但相似 (C)合同,但不相似 (D )既不合同,又不相似

二、填空题(共 二、填空题(共10小题,每题 2分,共计 20 分) 1.已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠,则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2.设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ,若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3.已知β为n 维单位列向量, T β为β的转置,若T C ββ= ,则 2C = 。 4.设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量,则 12T αα= 。 5.设A 是四阶矩阵,A * 为其伴随矩阵,12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解,则()r A *= 。 6.向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7.已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解,则 λ= 。 8.已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===,则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9.设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10.二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1.下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4. 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6.在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ,则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ,则 12 8.若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

第一章 行列式 4.计算下列各行列式: (1)???? ????? ???71 10 025********* 4; (2)????????????-26 52321121314 1 2; (3)????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4)????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+

2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分

线性代数习题[第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义 1. 计算三阶行列式123 4 56789 。 2. 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3. 利用行列式的定义计算下列行列式: ⑴0 004003002001 0004 D

⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 10000 200 0010Λ ΛΛΛΛΛΛn n D n -= 4. 利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质 1. 计算下列各行列式的值: ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

2. 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛ2 1 222 2111211 = 中,已知),,2,1,(n j i a a ji ij Λ=-=, 证明:当n 是奇数时,D=0. 3. 计算下列n 阶行列式的值: ⑴x a a a x a a a x D n Λ ΛΛΛΛ= ⑵n n a a a D +++= 11 1 11111121 Λ ΛΛΛΛ()120n a a a ≠L

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

线性代数详细答案

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明:(1)首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?,所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++,我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域,所以有理数的和、差、积仍然为有理数,所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ,则必有22,b a 不同时为零,从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数,所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述,我们有)3(Q 是数域。 (2)类似可证明)(p Q 是数域,这儿p 是一个素数。 (3)下面证明:若q p ,为互异素数,则)()(q Q p Q ?。 (反证法)如果)()(q Q p Q ?,则q b a p Q b a +=? ∈?,,从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数,而q 是无理数,所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ,则2 qb p =,这与q p ,是互异素数矛盾。

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4.=0001001001001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 00 323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101111 0403--= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是 .

袁晖坪线性代数教材习题答案提示

第一章 行列式和Cramer 法则 第一章知识清单 1.行列式定义: () ()() 121211********* 21 212 1,n n n n n i i i j j j n i j i j i j i j n n nn a a a a a a a a a a a a ττ? +=-∑ 说明1)()()()12 1 , n n n k i k k i i i t k t i τ=== =∑∑ ()k k k t i i i :在左边比打的数的个数. 说明2):行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法 基本方法: 1)化为三角式;2)降阶法:10 n i k jk k D i j a A i j ==?=? ≠?∑ 常用方法: 利用定义或性质,拆解法,升阶法,递推法。 特殊行列式:上三角式,对角式,范德蒙行列式。 3.行列式性质(5条) 行列等同;两行互换值相反;数乘行列式;行列式加法;第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则

?????? ?=++=++=++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222212111212111 .n A x b =即: 解:12,, , T n D D D x D D D ?? = ??? ,.n D A = 推论:0.n n A x o A =?=有非零解 基本作业建议 A 组:1,4,6(1),7(1),8, 10(1); B 组:一 (1),(6);二(3),(4) 一(A )4(1):列标:54243,表明第四列有两元素:否; (2): () ()() 24531452131ττ+-. 一(A )5: ()( ) ()()() () ()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--. 一(A )6(5):32 1 42 2 222222223234 21 21 21 21 21212121 044444444222269696969 6 6 6 6 ,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++=== ==== =++++++++ 一(A )7(1),(2):同6(3),见课件例1.15—1.18。四种方法: 1 1123,,,n i i i c r r i n D D =-=∑=========提公因式方法一:上三角式; 1 23,,,i r r i n D -=====方法二:箭形行列式 12312 3 1231231 2 3 10 n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a D a a a b ------=== --加边 方法三: 1231,2,311000100010001 n i r r i n a a a a b b b b +=------===== -- ()123 2312323 1 23231 2 3 2 3 000 n n n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c D ------=-=拆解 方法四:略. 一(A )7(3,5,6,7)同类型,见课件和课本例题1.9:。

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