不动产价与回报的V AR-卡尔曼滤波预测研究
【摘要】：在动荡不定的不动产市场条件下,提供科学合理的不动产评估预测结果,是不动产市场参与者和管理者的迫切需要,也是不动产界、金融界、经济管理界及学术界高度关注的热点问题。本文在国家自然科学基金“不动产价与回报的混合评估系统研究”资助下,应用向量自回归模型和卡尔曼滤波方法,利用沪、深股市房地产板块108支不动产股2005年1月7日到2008年7月25日的数据,进行了一类不动产价与回报混合评估模型的预测实证研究,主要工作如下:1.给出了不动产价与回报混合评估模型Z(n,m)的简化模型Z(n,0)的建模及预测方法不动产价与回报的混合评估模型Z(n,m)非常复杂,本文仅考虑一类可化为向量自回归(V AR)模型的简化模型Z(n,0),将模型Z(n,0)写成向量自回归形式,进而改写为状态空间,利用V AR系统得到模型参数估计后,通过卡尔曼滤波迭代算法得到了简化模型Z(n,0)的一步预测方法。2.对沪市和深市的房地产板块不动产价与回报进行了实证分析在假定回报序列可观测的前提下,编写了不动产价与回报一步预测的卡尔曼滤波MATLAB迭代算法程序。先用沪市和深市房地产板块不动产股的价格序列和分红配股计算出回报序列,将价格与回报序列结合,进行平稳化处理后,运用V AR—卡尔曼滤波法,进行了不动产价与回报的一步预测研究,得到预测的平均绝对百分误差为2.61%。该结论表明,简化模型Z(n,0)运用于不动产价与回报的评估预测中,可以较好地预期不动产市场未来的变化趋势,从而为不动产各参与者提供决策
的依据,为不动产评估预测理论、方法和实务创新提供一定的参考。【关键词】：不动产价不动产回报混合评估模型V AR卡尔曼滤波
【学位授予单位】：山西财经大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2009
【分类号】：F224;F293.3
【目录】：摘要6-7ABSTRACT7-91绪论9-141.1选题背景9-101.2国内外研究进展10-121.3主要研究工作121.4论文框架结构12-142V AR—卡尔曼滤波预测法的相关理论14-212.1向量自回归模型介绍14-162.1.1向量自回归模型的一般形式14-152.1.2向量自回归模型滞后阶数的确定15-162.2卡尔曼滤波的基本理论16-202.2.1卡尔曼滤波的工作原理16-192.2.2卡尔曼滤波的初始条件19-202.3V AR—卡尔曼滤波法应用与不动产价与回报预测的合理性20-213不动产价与回报混合评估模型的简化模型的建模及预测方法21-283.1不动产价与回报混合评估模型的简化模型21-243.1.1非线性双重随机过程模型21-233.1.2不动产价与回报混合评估模型的简化模型Z(n,0)23-243.2简化模型Z(n,0)的V AR表示及其状态空间24-263.3简化模型Z(n,0)的一步预测算法26-284沪深两市房地产板块不动产价与回报的实证研究28-374.1样本数据的选取28-294.2数据的平稳性检验
29-314.3V AR—卡尔曼滤波评估预测31-344.4评估预测的结论与分析34-375结论与展望37-395.1主要研究结论375.2需进一步研究的问题37-39参考文献39-41致谢41-42攻读硕士学位期间的研究工作42-43附录43-50 本论文购买请联系页眉网站。
第十三章 卡尔曼滤波 在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。 §13.1 动态系统的状态空间表示 我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。 13.1.1 继续使用的假设 假设表示时刻观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量表示，因此表示动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出： 状态方程(state model) (13.1) 量测方程(observation model) (13.2) 这里，和分别是阶数为，和的参数矩阵，是的外生或者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，维向量和维向量都是向量白噪声，满足： (13.3) (13.4) 这里和是和阶矩阵。假设扰动项和对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有和，有： (13.5) t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y t t 内的信息以外，t x 没有为s t ξ和s t w ( ,2,1,0 s )提供任何新的信息。例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与 ξ和 w (任意 )不相关的变量。 方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列},,,{21T y y y ，这时需要状态向量初始值1ξ。假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：
Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; } 首先是卡尔曼滤波的5个方程： -=--+（1）先验估计 X k k AX k k Bu k (|1)(1|1)() -=--+（2）协方差矩阵的预测(|1)(1|1)' P k k AP k k A Q
一个应用实例详解卡尔曼滤波及其算法实现 标签：算法filtermatlabalgorithm优化工作 2012-05-14 10:48 75511人阅读评论(25) 收藏举报分类： 数据结构及其算法（4） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。 我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。 可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56 度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度
1.2 Kalman 滤波理论的基础 在估计问题中，长考虑如下随机线性离散系统模型 ,11,11k k k k k k k X X W ----=Φ+Γ k k k k Z H X V =+ k X 是系统的n 维状态向量，k Z 是系统的m 维观察向量。 根据状态向量和观察向量在时间上存在的不同对应关系，我们可以把估计问题分为滤波、预 测和平滑，以上式所描述的随机线性离散系统为例，设,?k j X 表示根据j 时刻和j 以前时刻的观察值，对k 时刻状态k X 做出的某种估计，则按照k 和j 的不同对应关系， 叙述如下： （1） 当k=j 时，对,?k j X 的估计称为滤波，即依据过去直至现在的观察测量来估计现在的状态。相应地，称,?k j X 为k X 的最有滤波估计值，简记为?k X 。这类估计主要用于随机系统的实时控制。 （2） 当k>j 时对,?k j X 的估计称为预测或外推，即依据过去直至现在的观察测量来预测未来的状态，并把,?k j X 称为k X 的最优预测估计值。这类估计广泛应用于对系统未来状态的预测和实时控制。 （3） 当k 2017 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:雷达系统导论 学生所在（系）:电子与信息工程学院 学生所在学科:电子与同学工程 学生姓名: 学号: 学生类别: 考核结果阅卷人 第 1 页（共页） 几种非线性滤波算法的介绍与性能分析 作者姓名：学号： 专业院系：电信学院电子工程系 电子邮件： 摘要—非线性滤波算法在雷达目标跟踪中有着重要的应用，对雷达的跟踪性能有着至关重要的影响。好的滤波算法有利于目标航迹的建立及保持，能够得到较精确的目标位置，为发现目标后的后续工作提供可靠的数据依据。本文重点介绍了雷达数据处理中的几种非线性滤波算法：扩展卡尔曼滤波（EKF）、不敏卡尔曼滤波（UKF）、粒子滤波（PF），并且给出了一个利用这三种算法进行数据处理的一个实例，通过这个实例对比分析了这三种算法的性能以及优劣。 关键字—非线性滤波算法；扩展卡尔曼滤波；不敏卡尔曼滤波；粒子滤波； I.概述（一级表题格式） 在雷达对目标进行跟踪前要先对目标进行检测。对于满足检测条件的目标就需要进行跟踪，在跟踪的过程中可以利用新获得的数据完成对目标的进一步检测比如去除虚假目标等，同时利用跟踪获得数据可以进一步完成对目标动态特性的检测和识别。因此对目标进行准确的跟踪是雷达性能的一个重要指标。在检测到满足条件的目标后，根据目标运动状态建立目标运动模型，然后对目标跟踪算法进行设计，这是雷达目标跟踪中的核心部分。 目前主要的跟踪算法包括线性自回归滤波，两点外推滤波、维纳滤波、- αβ滤波、加权最小二乘滤波、维纳滤波和卡尔曼滤波[1]。对于线性系统而言最优滤波的方法就是卡尔曼滤波，卡尔曼滤波是线性高斯模型下的最优状态估计算法。但是实际问题中目标的运动模型往往不是线性的，因此卡尔曼滤波具有很大的局限性。目前主要用的非线性滤波算法可以分为高斯滤波和粒子滤波[2]。不敏卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波就是高斯滤波中的典型代表，也是应用相对较为广泛的。粒子滤波的应用范围比高斯滤波的适用范围要广，对于系统状态非线性，观测模型非高斯等问题都有很好的适用性。本文具体分析阐述了扩展卡尔曼滤波算法，不敏卡尔曼滤波算法，粒子滤波算法，并且通过一个实例利用仿真的方法分析了这三种算法在滤波性能上的优劣，最后对这三种算法做了一定的总结。 我本科毕业设计题目为《基于历史数据的路径生成算法研究》，由于我是跨专业保研到电信学院，该课题所研究内容不属于雷达系统研究范围，是一种城市路网最快路径生成算法。 II.几种非线性滤波算法 A.扩展卡尔曼滤波 扩展卡尔曼滤波是将非线性系统转换为近似的线性系统的一种方法，其核心思想是围绕滤波值将非线性函数展开成泰勒级数并略去二阶及以上的项，得到一个近似的线性化模型，然后应用卡尔曼滤波完成状态估计。 扩展卡尔曼滤波状态空间模型： k k k w x f+ = + ) ( x 1 状态方程 k k k v x h+ =) ( z观测方程 其中(.) f和(.) h为非线性函数 在扩展卡尔曼滤波中，状态的预测以及观测值的预测由非线性函数计算得出，线性卡尔曼滤波中的状态转移矩阵A阵和观测矩阵H阵由f和h函数的雅克比矩阵代替。 对 (.) f和(.) h Taylor展开，只保留一次项有： ) ? ( ) ?( ) ( k k k k k x x A x f x f- + ≈ ) ? ( ) ?( ) ( k k k k k x x H x h x h- + ≈ 其中： k k x x k k dx df A ?= =为f对 1- k x求导的雅克比矩阵 k k x x k k dx dh H ?= =为h对 1- k x求导的雅克比矩阵 ) ?( ? 1-k k x f x=，于是可以得出： k k k k k k k w x A x f x A x+ - + ≈ + ) ? ) ?( ( 1 k k k k k k k v x H x h x H z+ - + ≈ + ) ? ) ?( ( 1 通过以上变换，将非线性问题线性化。接下来EKF 滤波过程同线性卡尔曼滤波相同，公式如下: )) | (?( ) |1 ( X?k k X f k k= + ) ( ) ( ) | ( ) ( ) |1 (P k Q k k k P k k k+ Φ' Φ = + )1 ( )1 ( ) |1 ( )1 ( )1 (S+ + + ' + + = +k R k H k k P k H k )1 ( )1 ( ) |1 ( )1 ( K1+ + ' + = +-k S k H k k P k 自适应卡尔曼滤波 卡尔曼滤波发散的原因 如果卡尔曼滤波是稳定的，随着滤波的推进，卡尔曼滤波估计的精度应该越来越高，滤波误差方差阵也应趋于稳定值或有界值。但在实际应用中，随着量测值数目的增加，由于估计误差的均值和估计误差协方差可能越来越大，使滤波逐渐失去准确估计的作用，这种现象称为卡尔曼滤波发散。 引起滤波器发散的主要原因有两点： （1）描述系统动力学特性的数学模型和噪声估计模型不准确，不能直接真实地反映物理过程，使得模型与获得的量测值不匹配而导致滤波发散。这种由于模型建立过于粗糙或失真所引起的发散称为滤波发散。 （2）由于卡尔曼滤波是递推过程，随着滤波步数的增加，舍入误差将逐渐积累。如果计算机字长不够长，这种积累误差很有可能使估计误差方差阵失去非负定性甚至失去对称性，使滤波增益矩阵逐渐失去合适的加权作用而导致发散。这种由于计算舍入误差所引起的发散称为计算发散。 针对上述卡尔曼滤波发散的原因，目前已经出现了几种有效抑制滤波发散的方法，常用的有衰减记忆滤波、限定记忆滤波、扩充状态滤波、有限下界滤波、平方根滤波、和自适应滤波等。这些方法本质上都是以牺牲滤波器的最优性为代价来抑制滤波发散，也就是说，多数都是次优滤波方法。 自适应滤波 在很多实际系统中，系统过程噪声方差矩阵Q和量测误差方差阵R事先是不知道的，有时甚至连状态转移矩阵 或量测矩阵H也不能确切建立。如果所建立的模型与实际模型不符可能回引起滤波发散。自适应滤波就是这样一种具有抑制滤波发散作用的滤波方法。在滤波过程中，自适应滤波一方面利用量测值修正预测值，同时也对未知的或不确切的系统模型参数和噪声统计参数进行估计修正。自适应滤波的方法很多，包括贝叶斯法、极大似然法、相关法与协方差匹配法，其中最基本也是最重要的是相关法，而相关法可分为输出相关法和新息相关法。 卡尔曼滤波算法实现代码 C++实现代码如下： ============================kalman.h================= =============== // kalman.h: interface for the kalman class. // ////////////////////////////////////////////////////////////////////// #if !defined(AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__IN CLUDED_) #define AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__INCLU DED_ #if _MSC_VER > 1000 #pragma once #endif// _MSC_VER > 1000 #include kalman(int x=0,int xv=0,int y=0,int yv=0); //virtual ~kalman(); }; #endif// !defined(AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C 0__INCLUDED_) ============================kalman.cpp=============== ================= #include "kalman.h" #include 卡尔曼滤波简介及其算法实现代码 卡尔曼滤波算法实现代码（C，C＋＋分别实现） 卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： https://www.doczj.com/doc/849022093.html,/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就 卡尔曼滤波算法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 2015.12.12 void Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; } 首先是卡尔曼滤波的5个方程： (|1)(1|1)() X k k AX k k Bu k -=--+（1）先验估计 (|1)(1|1)'P k k AP k k A Q -=--+（2）协方差矩阵的预测 ()(|1)'/(|1)')Kg k P k k H HP k k H R =--+（3）计算卡尔曼增益 (|)(|1)()(()(|1))X k k X k k Kg k Z k HX k k =-+--（4）进行修正 5个式子比较抽象，现在直接用实例来说： 一、卡尔曼滤波第一个式子 对于角度来说，我们认为此时的角度可以近似认为是上一时刻的角度值加上上一时刻陀螺仪测得的角加速度值乘以时间，因为d dt θω=?，角度微分等于时间的微分乘以角速度。但是陀螺仪有个静态漂移（而且还是变化的），静态漂移就是静止了没有角速度然后陀螺仪也会输出一个值，这个值肯定是没有意义的，计算时要把它减去。 由此我们得到了当前角度的预测值Angle Angle=Angle+(Gyro - Q_bias) * dt; 其中等号左边Angle 为此时的角度，等号右边Angle 为上一时刻的角度，Gyro 为陀螺仪测的角速度的值，dt 是两次滤波之间的时间间隔，我们的运行周期是4ms 或者6ms 。 同时 Q_bias 也是一个变化的量。 但是就预测来说认为现在的漂移跟上一时刻是相同的，即 Q_bias=Q_bias 将上面两个式子写成矩阵的形式 1_0 1_0 Angle dt Angle dt Q bias Q bia o s Gyr -= + 得到上式，这个式子对应于卡尔曼滤波的第一个式子 (|1)(1|1)() X k k AX k k Bu k -=--+ (|)(|1) P k k I Kg k H P k k =--（（））（5）更新协方差阵 直线轨迹预测卡尔曼滤波程序。程序中有小问题，可能运行时会出现error。多运行几次就会出现很好的结果。 clc;clear all; %% 用户轨迹 error=zeros(1,100); Tmax=0; for cishu=1:100 T=0; x=[0]; y=[0]; range_CDMA=[-100, 100 % 用户移动坐标范围 -100, 100]; range_WLAN=[-50, 50 -50, 50]; for i=1:10 xx(i)=randi(range_CDMA(1,:),1,1); yy(i)=randi(range_CDMA(2,:),1,1); end start=randi([1,10],1,1); terminal=randi([1,10],1,1); while (terminal==start) terminal=randi([1,10],1,1); end T=fix(sqrt((xx(terminal)-xx(start))^2+(yy(terminal)-yy(start))^2)/3);%用户移动速度3m/s v_x=(xx(terminal)-xx(start))/T; v_y=(yy(terminal)-yy(start))/T; if T>Tmax Tmax=T; end x(1)=xx(start); y(1)=yy(start); for t=2:T x(t)=x(t-1)+v_x; y(t)=y(t-1)+v_y; end x=x'; y=y'; for i=1:10 slop(i)=(xx(i)-xx(start))/(yy(i)-yy(start)); end Kalman 滤波算法 姓名：刘金强 专业：控制理论与控制工程 学号：2007255 ◆实验目的： （1）、掌握klman 滤波实现的原理和方法 （2）、掌握状态向量预测公式的实现过程 （3）、了解Riccati 差分方程实现的过程和新息的基本性质和过程的计算 ◆实验要求： 问题： F=[a1,a2,a3],其中a1=[1.0 0 0]的转置，a2=[0.3 1.0 0]的转置，a3=[0.1 0.2 0.4]的转置，x(0)=[3,-1,2]的转置；C=[b1,b2,b3],其中b1=[0.3 0.5]的转置，b2=[1,0.4]的转置，b3=[0.8 -0.7]的转置；V1(n)=[0 0 n1(n)sin(0.1n)]的转置，V2(n)=[n2(n) n3(n)];n1(n)为均值为零，方差为1的均匀分布白噪声;n2(n),n3(n)为均值为0，方差为0.1的均匀分布白噪声,n1(n),n2(n),n3(n)相互独立，试用卡尔曼滤波器算法估计x^(n). ◆实验原理： 初始条件： 1?(1)x =E{x(1)} K(1,0)=E{[x(1)- (1)x ][x(1)- (1)H x ]},其中(1)x =E{x(1)} 输入观测向量过程： 观测向量序列={y(1),…………y(n)} 已知参数： 状态转移矩阵F(n+1,n) 观测矩阵C(n) 过程噪声向量的相关矩阵1()Q n 观测噪声向量的相关矩阵2()Q n 计算：n=1,2,3,………………. G(n)=F(n+1,n)K(n,n+1) ()H C n 12[()(,1)()()]H C n K n n C n Q n --+ Kalman 滤波器是一种线性的离散时间有限维系统。Kalman 滤波器的估计性能是：它使滤波后的状态估计误差的相关矩阵P(n)的迹最小化。这意味着，kalman 滤波器是状态向量x(n)的线性最小方差估计。 ◆实验结果： ◆程序代码： （1）主程序 卡尔曼预测方程： 不考虑控制信号对系统的影响，则该离散系统的方程为： 11,1,=k k k k k k k k k k k k k x x H x v v ωω+++Φ+Γ=+公式里括号里的东西其实就是下标， 为了看着方便改成下标 状态方程：观测方程：z 其中、都是白噪声序列 1,k k +Φ为状态矩阵，k H 为观测矩阵，1,k k +Γ为噪声的系数矩阵 一堆公式推导之后得到结果如下 1,/1/1/1+1/1,/11,1,/1/11//1/11,11 =[](1)[](2) =[]T T k k k k k k k k k k k k k T T T k k k k k k k k k k k k k k k k k k T k k k k k k k k k k k k k K K K P H H P H R P P P P H H P H R H P x x x H x +---+-++--∧∧∧∧+--+--=Φ+ΦΦΦ+Φ+----------------------- -其中其中是估计值 z 是最优增益矩阵 是估计误差方差阵 /11,1,1,(3)T T k k k k k k k k k Q -+++ΦΓΓ+----------------- 其中 []Q []T T k k k k k k R E v v E w w ==、 递推方程的具体计算步骤如下： 1、 在0t 时刻给定初值 0/0_000=(x )x x E m ∧∧ == 200/0_00{[]}x P P E x ∧==- 2、 根据公式(2)计算0t 时刻的最优增益矩阵0K 101,0000000[]T T K P H H P H R -Φ=+ 3、 根据公式(1)计算1x 的估计值1/0x ∧ 第十三章 卡尔曼滤波 在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。 §13.1 动态系统的状态空间表示 我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。 13.1.1 继续使用的假设 假设t y 表示时刻t 观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述t y 动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量t ξ表示，因此表示t y 动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出： 11+++=t t t v ξF ξ 状态方程(state model) (13.1) t t t w ξH x A y t +'+'= 量测方程(observation model) (13.2) 这里F ，A '和H '分别是阶数为r r ?，k n ?和r n ?的参数矩阵，t x 是1?k 的外生或者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，1?r 维向量t v 和1?n 维向量t w 都是向量白噪声，满足： ? ??≠=='τττt t E t ,,)(0Q v v (13.3) ? ??≠=='τττt t E t ,,)(0R w w (13.4) 这里Q 和R 是r r ?和n n ?阶矩阵。假设扰动项t v 和t w 对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有t 和τ，有： 0w v =')(τ t E (13.5) t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y --t t 内的信息以外，t x 没有为s t +ξ和s t +w ( ,2,1,0=s )提供任何新的信息。例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与τξ和τw (任意τ)不相关的变量。 方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列},,,{21T y y y ，这时需要状态向量初始值1ξ。假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关： 0ξv =')(1 t E ，对任意T t ,,2,1 = (13.6) 0ξw =')(1 t E ，对任意T t ,,2,1 = (13.7) 状态方程(13.1)表明，t ξ可以表示成为},,,,{321t v v v ξ 的线性函数： 1122221ξF v F v F v F v ξ----+++++=t t t t t t ，T t ,,3,2 = (13.8) 因此，方程(13.6)和方程(13.3)意味着t v 与所有ξ的滞后值都是不相关的： 0ξv =')(τ t E ，1,,2,1 --=t t τ (13.9) 类似地，可以得到： 0ξw =')(τ t E ，T ,,2,1 =τ (13.10) Kalman滤波算法的特点： （1）由于Kalman滤波算法将被估计的信号看作在白噪声作用下一个随机线性系统的输出，并且其输入/输出关系是由状态方程和输出方程在时间域内给出的，因此这种滤波方法不仅适用于平稳随机过程的滤波，而且特别适用于非平稳或平稳马尔可夫序列或高斯-马尔可夫序列的滤波，所以其应用范围是十分广泛的。 （2）Kalman滤波算法是一种时间域滤波方法，采用状态空间描述系统。系统的过程噪声和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特征正是估计过程中需要利用的信息，而被估计量和观测量在不同时刻的一、二阶矩却是不必要知道的。 （3）由于Kalman滤波的基本方程是时间域内的递推形式，其计算过程是一个不断地“预测-修正”的过程，在求解时不要求存储大量数据，并且一旦观测到了新的数据，随即可以算的新的滤波值，因此这种滤波方法非常适合于实时处理、计算机实现。 （4）由于滤波器的增益矩阵与观测无关，因此它可预先离线算出，从而可以减少实时在线计算量。在求滤波器增益矩阵时，要求一个矩阵的逆，它的阶数只取决于观测方程的维数，而该维数通常很小，这样，求逆运算是比较方便的。另外，在求解滤波器增益的过程中，随时可以算出滤波器的精度指标P，其对角线上的元素就是滤波误差向量各分量的方差。 Kalman滤波的应用领域 一般地，只要跟时间序列和高斯白噪声有关或者能建立类似的模型的系统，都可以利用Kalman滤波来处理噪声问题，都可以用其来预测、滤波。Kalman滤波主要应用领域有以下几个方面。 （1）导航制导、目标定位和跟踪领域。 （2）通信与信号处理、数字图像处理、语音信号处理。 （3）天气预报、地震预报。 （4）地质勘探、矿物开采。 （5）故障诊断、检测。 （6）证券股票市场预测。 具体事例： （1）Kalman滤波在温度测量中的应用； （2）Kalman滤波在自由落体运动目标跟踪中的应用； （3）Kalman滤波在船舶GPS导航定位系统中的应用； （4）Kalman滤波在石油地震勘探中的应用； （5）Kalman滤波在视频图像目标跟踪中的应用； 1. 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman ，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems 》（线性滤波与预测问题的新方法）。 基于状态空间描述对混有噪声的信号进行滤波的方法，简称卡尔曼滤波。这种方法是R.E.卡尔曼和R.S.布什于1960和1961年提出的。卡尔曼滤波是一种切实可行和便于应用的滤波方法，其计算过程通常需要在计算机上实现。实现卡尔曼滤波的装置或软件称为卡尔曼滤波器。 卡尔曼滤波器（Kalman Filter ）是在克服以往滤波方法局限性的基础上提出来的，是一个最优化自回归数据处理算法（optimal recursive data processing algorithm ）。它是针对系统的部分状态或是部分状态的线性组合，且量测值中有随机误差（常称为量测噪声）。将仅与部分状态有关的测量进行处理，得出从某种统计意义上讲误差最小的更多状态的估值，从而将混有噪声（干扰）的信号中噪声滤除、提取有用信号。 卡尔曼滤波是一种递推线性最小方差估计，以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。 现设线性时变系统的离散状态方程和观测方程为： ()()()()()X k+1F k X k G k u k ()w k =?++ ()()()()k+1H k+1X k+1k+1Y v =?+ 其中 ()k X 和()k Y 分别是k 时刻的状态矩阵和测量矩阵 ()k F 为状态转移矩阵 ()k G 为系统控制项矩阵 ()k u 为k 时刻对系统的控制量 ()k w 为k 时刻动态噪声，其协方差()Q k ()k H 为k 时刻观测矩阵 ()k v 为k 时刻测量噪声, 其协方差()R k 则卡尔曼滤波的算法流程为： 状态的一步预估计()()()()()??X k+1k F k X k k G k u k |=?|+ 一步预估计协方差矩阵 ()()()()()C k+1k F k C k k F k Q k '|=?|+' 计算卡尔曼增益矩阵 1．什么是卡尔曼滤波器 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。卡尔曼是一个人的名字。 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文 《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个 “optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。（所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。这是考查一个信号的两个不同方面的问题。 高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。） 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平 2015.12.12 void Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; } 首先是卡尔曼滤波的5个方程： (|1)(1|1)()X k k AX k k Bu k -=--+（1）先验估计 (|1)(1|1)'P k k AP k k A Q -=--+（2）协方差矩阵的预测 ()(|1)'/(|1)') Kg k P k k H HP k k H R =--+（3）计算卡尔曼增益 (|)(|1)()(()(|1)) X k k X k k Kg k Z k HX k k =-+--（4）进行修正 5个式子比较抽象，现在直接用实例来说： 一、卡尔曼滤波第一个式子 对于角度来说，我们认为此时的角度可以近似认为是上一时刻的角度值加上上一时刻陀螺仪测得的角加速度值乘以时间，因为d dt θω=?，角度微分等于时间的微分乘以角速度。但是陀螺仪有个静态漂移（而且还是变化的），静态漂移就是静止了没有角速度然后陀螺仪也会输出一个值，这个值肯定是没有意义的，计算时要把它减去。 由此我们得到了当前角度的预测值Angle Angle=Angle+(Gyro - Q_bias) * dt; 其中等号左边Angle 为此时的角度，等号右边Angle 为上一时刻的角度，Gyro 为陀螺仪测的角速度的值，dt 是两次滤波之间的时间间隔，我们的运行周期是4ms 或者6ms 。 同时 Q_bias 也是一个变化的量。 但是就预测来说认为现在的漂移跟上一时刻是相同的，即 Q_bias=Q_bias 将上面两个式子写成矩阵的形式 1_01_0 Angle dt Angle dt Q bias Q bia o s Gyr -=+ 得到上式，这个式子对应于卡尔曼滤波的第一个式子 (|1)(1|1)()X k k AX k k Bu k -=--+ ()|1X k k -为2维列向量 _Angle Q bias ，A 为2维方阵101dt -，()|-11X k k -为2维列向量_Angle Q bias ，B 为2维列向量0dt ， ()u k 为Gyro (|)(|1) P k k I Kg k H P k k =--（（））（5）更新协方差阵几种非线性滤波算法的研究-内附程序
几种卡尔曼滤波算法理论
卡尔曼滤波算法(C--C++两种实现代码)
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码
卡尔曼滤波算法总结
卡尔曼滤波预测轨迹程序
Kalman滤波算法
卡尔曼滤波预测方程基础的计算过程
时间序列分析方法 第3章 kalman滤波
卡尔曼(kalman)滤波算法特点及其应用
卡尔曼滤波器总结
什么是卡尔曼滤波器——基础理解
卡尔曼滤波算法总结
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