第一章集合
第一讲集合及其子集
【知识要点】
1．集合的概念
【析】（1）集合是一个不定义的原始概念，应注意集合概念中的“确切的对象”与“整体”两个词。（2）集合中元素的性质：①确定性；②互异性；③无序性。
（3）集合的分类：有限集、无限集和空集。
（4）常用数集：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合的表示方法：列举法、描述法。
【析】（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来。
（2）描述法：将集合中元素所具有的共同性质描述出来，起形式为{x | P}，其中x为元素的一般形式，P 为元素的公共属性。
（3）有时集合集合也用图示法（数轴、韦恩图）来表示。
3．子集：若集合A中任何一个元素都属于集合B，则集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A。
【析】（1）空集是任何集合的子集，即??A。
（2）集合A是其自身的子集，即A?A。
（3）子集的传递性：若A?B，B?C，则A?C。
（4）若A?B，则AB或A = B。
4.相等的集合：对于两个集合A和B，若A?B，且B?A，则叫做集合A与集合B相等，记作A = B。
【析】相等的集合中的所含元素完全相同。
5.真子集：对于集合A和B，若A?B，且B中至少有一个元素不属于A，则集合叫做集
合B的真子集，记作A?B或BùA。
【析】（1）空集是任何非空集合的真子集。
（2）N*?N?Z?Q?R
（3）连接元素与集合的符号有：∈和?。
（4）连接集合与集合的符号有：?，?，≠，=等。
【学习目标】
1．理解集合的基本概念及元素与集合的关系；
2．掌握集合的表示方式；
3．理解子集、相等的集合、真子集的概念；
4 . 能正确判断集合与集合之间的关系；
5 . 培养正确使用数学语言进行表述的能力。
【典型例题】
1．集合概念问题
【例1】用符号∈和?填空：
（1）若集合A = { x | x2 + 2 = 0}，则0___A；
（2）若集合B = { x | x2– 3x + 2 = 0}，则1___B;
（3）若集合C = { y | y = -x2 + 2}，则0___C；
（4）若集合D = { y | y = x2 + 1，x∈Z}，则（0，1）___D；
（5）若集合E = {（x,y）| |x| = 2且|y| = 1}，则（-2,1）___E。
【分析】理解集合的含义，注意集合表示的元素类型。
【解答】（1）?；（2）∈；（3）∈；（4）?；（5）∈.
【例2】已知集合A = {1,2,3,4,……,n}。记A* = {A的所有子集}。下列说法哪些是正确的？
①A?A*；②A∈A*；③??A*；④?∈A*；⑤{?}?A*；⑥{?}∈A*。
【分析】注意集合A*的元素类型，并判断出A*的元素应该有哪些。
【解答】A*中的元素是A的子集，所以A*是集合的集合，即A*中的元素是集合，而A中的元素是数字，所以①是错误的；
因为A 是本身A 的子集，所以A 应该在集合A *里，所以②是正确的； 空集是任何集合的子集，所以③是正确的；
又因为空集是集合A 的子集，所以?是在A *里面，即④也是正确的；
{?}表示集合的集合，这不是空集，里面有元素?，而?∈A *，显然⑤是正确的，⑥是错误的。
【点评】注意③和④中的空集意义的不同，前者相当于一个没有装集合的空篮子，后者相当
于一个没有装数字的空篮子。
2．集合的表示方法
【例1】用列举法表示下列集合： （1） A = {x |
6
,3Z x Z x
∈∈-}； （2） B = { (,)x y |6,,x y x N y N +=∈∈}；
【分析】（1）集合A 中的元素x 是整数，且6能被3-x 整除；（2）集合是点集，或者看成由方程x+y=6的所有自然数解组成的集合。
【解答】（1）集合A 用列举法表示为{-3,0,1,2,4,5,6,9}；
（2）取x = 0,1,2,3,4,5,6，分别求出相应y 的值为：6,5,4,3,2,1,0，所以集合B 用列举
法表示为{（0,6）（1,5）（2,4）（3,3）（4,2）（5,1）（6,0）}。 【点评】注意数集与点集。
【例2】用另一种方法表示下列集合： （1）A = {x |2
(1)0x a x a -++=}；
（2）A = {x |a b x a
b
=
+
，a 、b 均为非零实数}。
【分析】根据集合元素的互易性进行分类讨论。
【解答】（1）易知方程2
(1)0x a x a -++=的实数根为1和a ，
∴当a =1时，A = {1}；当a ≠1时，A = {1，a }。
（2） a b x a
b
=
+
，∴当0,0a b >>时，2x =；当0,0a b <<时，2x =-；当
0ab <时，0x =。综上，A = {2,0,2-}。
3．集合之间的关系问题
【例1】设集合A = {2
,,a a ab }，B = {1,,a b }，且A = B ，求实数a b 、的值。 【分析】要使有限集合A 与B 相等，须使集合A 与B 中所有元素分别相等。
【解答】若
{
21a b
ab ==，则
{
1
1a b ==，这不满足集合互异性，舍去；
若
{
21
a a
b b ==，则1a =（舍去）或1a =-，∴
{
10a b =-=
【例2】已知集合B = {(,)|21x y y x =-}，且集合A 、C 满足A ?B ?C ，请用列举法写出一个集合A ，用描述法写出一个集合C 。
【分析】首先分析集合B 是怎样的一个集合，由于题目只需要求出满足条件的一个集合A 和C ，所以答案是不唯一的。
【解答】集合B 的元素是一条直线上的点，要A 是B 的真子集，且要使用列举法来表示A ，我们可以求出B 中几个点，如令A = {（1,1），（2,3）}，则A 是B 的真子集。
同样的，要B 是C 的真子集，C 集合的点一定要比B 的多，可以用逻辑连接词“或”来解决这个问题，如令C = {(,)|2121x y y x y x =-=+或}，则B 是C 的真子集。当然，也可以令C = {(,)|(21)(21)0x y x y x y ---+=}，和上面的C 是一样的（思考为什么）。 【点评】答案不唯一的时候，使用最简单的答案，将犯错误的概率降到最小。
【基础训练】
1． 下列说法中，正确的是（ ）
A ．集合{6,9}和集合{9.6}是两个不同的集合
B ．数轴上到原点为1的点的全体可构成一个集合
C ．若*
,a N b N ∈∈，则a b +最小值为2 D ．集合{|y y x =}与集合{|x y x =}是不同的集合
2． 集合A 中的元素是被3除余2的数，用描述法表示为________；
3． 设集合A = {|13x x -<<}，B = {x a >}，满足A ?B ，则a 的取值范围__________； 4． 若集合M = {1，a}，N = {1，a 2}，且M = N ，则实数a 的值为_________； 5． 集合A = {2
1,,a a a -}，则a 应满足的条件为______________；
6． 已知集合A = {，B = {1,2,x }，C = {2
1,2,4,x }，且A ?B ?C ，求实数x 的范围。
7． 已知集合M = {2
2
(,)|20,,x y x y x y x R y R +=-=∈∈且}，请写出M 的所有子集；
8． 对于所含元素为实数的集合A ，若a A ∈，则
11a
A a
+∈-，请解答下列问题： （1）已知2A ∈，求集合A ；
（2）试找出一个数b ，使得b A ∈，并求出A ；
（3）根据已知已知条件和（1）（2），你能得出什么结论？（写出一个你认为正确的即可，不必证明）
【能力提高】
1. 若集合A = {0,2,3}，集合B = {|,x x ab a b A =∈、}，则B 的子集个数为（ ）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
2. 若集合A = {**34|,5
n n
n N n N +∈∈}，集合B = {2*|(21)1,x x k k N =-+∈}，则集合A 与B 的关系为（ ）
A ．
B ?A B ．A ?B
C ．A = B
D ．A ?B
3. “若集合A = { ? }，则一方面??A ，另一方面?∈A 。”像这样既是集合A 的子集，
又可以看成集合A 的元素的集合还有很多，请你写出一组具有这种性质的非空集合A 与B ：_________________________________；
4. 集合 A = {|(2)(1)(21)0x x x x ++-> }，B = {2
|0x x ax b ++≤ }，若A B =
{|2x x >- }，A B = {1
|32
x x <≤ }，求,a b 的值。
5. 已知集合A = {1|,24x x k k Z ππ=
+∈}，集合B = {1|,42
x x k k Z π
π=+∈}，试探索集合A 和B 之间的关系，并证明你的结论。
第二讲 集合及其子集
【知识要点】
1．交集：{|}A B x x A x B =∈∈ 且
【析】 （1） 交集的性质：①;A B B A = ②;A A A = ③;A ?=? ④
;A B A ?
⑤;A B B ?
（2） 若,;,A B A A B A B A B A =??= 则若则 2．并集：{|}A B x x A x B =∈∈ 或
【析】 （1）“交集”与“并集”的定义仅一字之差，但结果却完成不同，“交集”中的“且”有时可省略，而“并集”中的“或”不能省略
（2）并集的性质：①;A B B A = ②;A A A = ③;A A ?= ④;A A B ?
⑤;B A B ?
（3）若,;A B A B A B A A B A =??= 则若，则
（4）集合的运算满足分配率：①()()()A B C A B A C = ②()()()A B C A B A C = 3．补集：{|}U C A x x U x A =∈?且
【析】 （1） 补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同 （2） 补集的性质：①;U A C A =? ②;U A C A U = ③()U U C C A A = （3） 摩根定理：①();U U U C A B C A C B = ②()U U U C A B C A C B =
【学习目标】
⒈掌握交集和并集的概念 ⒉会进行交集和并集的运算
⒊理解全集和补集的概念
⒋会借助于数轴或韦恩图进行集合的交运算，并运算和补运算
【典型例题】
1．集合的基本运算问题
【例1】若集合A = {|5}x x >，当全集U 分别取下列集合时，写出U A e。 （1）U = R ；（2）U = {|0}x x ≥；（3）U = {|5}x x ≥。 【分析】由于所给的全集不同，所以同一个集合的补集也不同。
【解答】（1）U A e={|5}x x ≤ ；（2）U A {|05}x x =≤≤e；（3）U A {|5}{5}x x ===e。
【例2】若2
2
{2,1,31},{1,3,2}A a a a B a a a =---=+++，当{2,3}A B = 时，求实数a 。
【分析】由条件{2,3}A B = 可知，2,3,2,3A A A B ∈∈∈∈,再根据集合的互异性可求解。 【解答】3A ∈ 213313a a a ∴-=--=或，若前者成立，4a =，此时2
313a a --=，这与集合的互异性矛盾，所以只能是2
313a a --=，解出41a a ==-或，4a =舍去，所以1a =，此时集合{2,3,4}B =满足条件。
2．集合与集合之间的混合运算
【例1】{
}
2
(2)10,A x x a x x R A R a +
=+++=∈=? 设集合,若，求实数的集合。 【分析】由题意知方程2(2)10x a x +++=没有正实数根。
【解答】当A =?时，即0?<，2
(2)40a ∴+-<，40a ∴-<<
当A ≠?时，即方程2
(2)10x
a x +++=有两个或者一个负实根，0?≥，再由韦
达定理12120,0x x x x +<>，所以20a +>，所以0a ≥。
综上，4a >-。
【点评】注意不要忽略A =?的情况。
【例2】已知2{150,}A M x x px x R ?=-+=∈，2
{0,},B N x x ax b x R ?=--=∈且
{3},{2,3,5}A B A B == ，求参数,,p a b 。
【分析】由{3},{2,3,5}A B A B == ，可以得到A 和B 的元素个数都是2个，即A = M ，B = N ，再由韦达定理可解。
【解答】3A ∈ ，而A 为一个一元二次方程两根组成的集合，且1215x x =，所以另一个根
是5， {3,5}A ∴=，{2,3}B ∴=，所以358p =+=，235,(23)6a b =+==-?=-。
3．集合综合题
【例1】高一某班的学生中,参加语文课外小组的有20人,参加数学课外小组的有22人,既参加语文又参加数学小组的有10人,既未参加语文又未参加数学小组的有15人,问该班共有学生多少人?
【分析】本题利用容斥原理求解，即利用公式()()()()n A B n A n B n A B =+- ,其中，
()n A 表示集合A 的元素个数。
【解答】设全集U={全班同学}，A={参加语文课外小组的同学}，B={参加数学课外小组的同学}，由题意得：()20,()22,()10n A n B n A B === ，()20221032n A B ∴=+-= ，其意义是：参加了课外小组的同学人数。所以()321547n U =+=。
【例2】集合{,},M x x n n Z ==∈{,},n N x x n Z ==∈1{,},P x x n n Z ==+∈则下
列各式正确的是： （ ）
A. M=N
B. M ∪N=P
C. N=M ∪P
D. N=M∩P
【分析】首先分析各个集合表示的实际值，可借助数轴。
【解答】集合M 表示数轴上的整点，集合N 表示数轴上整数点和两个整数点之间的中点，而集合P 只表示两个整数点之间的中点。由此分析可知C 答案正确。
【基础训练】
1． 下列说法中，正确的是（ ）
A ．A
B A B ?若，则? B ．A B A B ?若，则?
C ．若a A ∈，则a A B ∈
D ．若A B A = ,则A B ?
2． 若集合2
{1,2,31},{1,3},{3},A m m B A B =--=-= 则A B =____________； 3． 已
知
集
合
61,6p x x p Z ?+?==∈????P 1,23a Q x x q Z ??==-∈????1,26r R x x r Z ??==+∈????
则
P ,Q,R 的关系是__________； 4． 设
集
合
5
{|41},{13},{|0
2
A x x
B x
C x x x =-≤<=-<≤
=≤≥或，则A B =___________；
5． 已知2
{,}A x x ax x a a R =-≤-∈，{214},B x x =≤+≤若A B B = ，求a 的取值
范围。
6． 已知集合{1,2,3,4,5},{1,3,5,7}A B ==，且集合C 满足,C A C B ??,写出集合C 的
所有子集。
7． 如果全集{|}U x x =为小于20的非负偶数，且
{4,8U A B = e，
{10,14,18}U A B = e，U U
A B =?
痧，求集合U U
A B
痧。
8． 22
{|20},{|0}
A x x px
B x x qx r =--==++=已知，
{2,1,5}A B ?=-且，
A B ?={2},,,p q r -求的值。
【能力提高】
1. 设
集
合
2{(,)|13},{(,)|(12
A x y y x
B x y y m
x ==-
==-+，其中,,x y R m R ∈∈，若A B =? ，则实数m 的值的集合是_________________;
2. 设
全
集
3
{(,)|,},{(
2
y U x y x
y R A x y x -=∈==∈-，{(,)|1}B x y y x ==+，则U A B = e_____________
3. 已知集合{|32},{|10}A x x x B x mx B A =<->=+<或且?，则m 的取值范围是
________
4. 集合2
{|480}x x x m R -++>=，x 关于的方程2
3)(23)0m x m ++++=的
两个不等实根为m Z αβ∈，，当时，βα
αβ
求：＋的值。
5. 对任意两个集合X 和Y ，X-Y 是指所有属于X 但不属于Y 的元素的集合，X 和Y 的对称差
()()X Y X Y Y X ?=-- ,设集合2{|,},{|55}A y y x x R B y y ==∈=-≤≤，求A
和B 的对称差。
第三讲 命题与充要条件
【知识要点】
1． 命题与推出关系
【析】 （1） 真假命题的判断方法：判断真命题需证明，判断假命题，只要举一个满足命
题条件而不满足命题结论的例子（反例）即可。
（2） 推出关系：若α事件成立，则β事件成立，就说由α可以推出β，记为：αβ? （3） 推出关系的传递性：若αβ?，βγ?，则αγ?（这是证明真命题的一
种方式）
（4）等价关系：若αβ?且βα?，则称α与β等价，记为αβ?
（5）命题与定理区别：①命题有真假之分，而定理都是真的； ②命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理
2． 四种命题形式及其相互关
【析】 （1） 词语的否定形式：①“是”与“不是”；②“都是”与“不都是”；③“一
定是”与“一定不是”；④“且”与“或”；⑤“正数”与“非正数”；⑥“>”与“≤”；⑦“至少一个”与“一个也没有”；⑧“至多一个”与
“至少两个”，等等
（2）等价命题——同真同假的两个命题，原命题与逆否命题是等价命题，逆
命题与否命题是等价命题
（3）当判断或证明某一个命题有困难时，可间接证明与该命题等价的逆否命
题是否成立
3．充分条件与必要条件
【析】 （1）如果αβ?，那么①α是β的充分条件，②β是α的必要条件，③β的
充分条件是α，④α的必要条件是β
（2）既有αβ?，又有βα?，即αβ?
，那么①α是β的充要条件，②β
是α的充要条件，③α的充要条件是β，④β的充要条件是α
（3）对于事件α，β，“条件”又可具体分为以下四种情况：①α是β的充分
非必要条件：αβ?且βα?
；②α是β的必要非充分条件：
βα?αβ?；③α是β的充要条件：αβ?且βα?；④α既
不是β的充分条件又不是β的必要条件：αβ?
且βα?
【学习目标】
⒈理解命题的概念与推出关系 ⒉学会判断或证明命题的真假 ⒊分清命题的四种形式及其相互关系 ⒋理解充分条件、必要条件及充要条件的意义 ⒌会熟练判断充分条件、必要条件及充要条件
【典型例题】
1．有关命题真假的判断
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由。
（1）若实系数方程2
0(0)ax bx c a ++=≠满足0ac <，则该方程有实数根。 （2）若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数根，则0ac <。 （3）若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠。
【分析】判断一个命题为真命题，需要由学过的公式定理和已知正确的结论推导出来，而判断一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可。
【解答】（1）该命题为真命题。2
040ac b ac <∴?=-> ，所以该方程有两个实数根。 （2）该命题为假命题。例如方程2
210x x ++=有实根1x =-，而0ac >。
（3）该命题为真命题。考察其逆否命题，即若2a =且3b =，则5a b +=，显然成立。
【例2】命题p ：34x -<≤；命题q ：07x <<，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求x 的范围。
【分析】p 和q 中有且只有一个命题为真命题，可分情况讨论。
【解答】若p 为真q 为假，则34x -<≤且7x ≥或0x ≤，取交集：30x -<≤。 若q 为真p 为假，则4x >或3x ≤-且07x <<，取交集：47x <<。 综上，(3,0](4,7)x ∈- 。
2．命题的四种形式之间的改写问题
【例1】判断命题“若c ＞0，则2y x x c
=+-的图象与x 轴有两个交点”的逆否命题的真假。
【分析】注意逆否命题和原命题是等价的。
【解答】当c ＞0时，计算该二次函数的?，14()140c c ?=--=+>，所以原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题。
【点评】你能写出该命题的逆命题与否命题，并判断其真假吗？
【例2】写出原命题：“已知空间四点，如果其中任意三点都不在同一条直线上，那么这四个点不共面”的其他三个命题，并判断他们的真假。
【分析】确定条件和结论，再按照三种命题的定义写出他们，再判断真假。
【解答】逆命题：已知空间四点，如果这四个点不共面，则其中任意三点都不在同一条直线上。真命题。
否命题：已知空间四点，如果其中存在三点在同一条直线上，那么这四个点共面。真命题。 逆否命题：已知空间四点，如果这四个点共面，那么其中存在三点在同一条直线上。假命题。 【点评】（1）注意“已知空间四点”这是大前提，不应该归为条件一类。
（2）关于否命题的几个结论：任意←??
→否定存在，至少←??→否定至多，恒成立←??→否定
不恒成立，恒不成立←??→否定
存在…成立，都是←??→否定
不都是，都不是←??→否定
至少一个是。
【例3】用反证法证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上是增函数，那么方程()0f x =在区间
[,]a b 上至多只有一个实根。
【分析】反证法八字要诀：否定结论，推出矛盾。
【解答】利用反证法，若函数()f x 在区间[,]a b 上是增函数，那么方程()0f x =在区间[,]a b 上至少有两个个实根。不妨设12,[,]x x a b ∈为方程两实根，且12x x <，所以有
12()()0f x f x ==；又因为()f x 在区间[,]a b 上是增函数，由12x x <推出12()()f x f x <，
这与前面12()()0f x f x ==矛盾，所以原命题成立。 【点评】注意反证法只否定结论，这与否命题是不同的。
3．充分条件和必要条件
【例1】（1）“||||||x y x y +
=+”是“0xy >”的________条件；
（2）“sin 2α=
”是“3πα=或23
πα=”的_______条件；
（3）“a 不是整数”是“a 是无理数”的_______条件。 【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接推出答案。
【解答】（1）当0xy >时，即是说,x y 同号，所以||||||x y x y +=+成立，而当0,0x y ==时，||||||x y x y +=+也成立，所以“||||||x y x y +=+”是“0xy >”的必要非充分条件；
（2）当3
π
α=
或23πα=
时，sin α=，而当73
πα=时，sin α=也成立，所以
“sin 2α=
”是“3πα=或23
πα=”的必要非充分条件； （3）若a 是无理数，则a 一定不是整数，而a 不是整数，a 还可以是分数，不一定是无理数，所以“a 不是整数”是“a 是无理数”的必要非充分条件。
【例2】记函数()f x =A, ()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域为B. (1) 求A ；
(2) 若A 是B 的必要条件, 求实数a 的取值范围。 【分析】A 是B 的必要条件即是B ?A 。 【解答】(1)2－
13++x x ≥0, 得1
1
+-x x ≥0, x <－1或x ≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(1)(2)x a a x ---, 得(1)(2)0x a x a ---<
1,12a a a <∴+> (2,1)B a a ∴=+。
∵B ?A, ∴21a ≥或11a +≤-a+1≤－1, 即a ≥
2
1
或a ≤－2, 而a <1, ∴
21≤a <1或a ≤－2, 故当B ?A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[2
1,1)
【基础训练】
1． 若集合},0{2
m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的……（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件
2． 命题“0a >或0b ≤”的否定形式为（）
A.0a <或0b ≥
B. 0a <且0b ≥
C. 0a ≤或0b >
D. 0a ≤且0b > 3． 命题“不是菱形的平行四边形的两对角线不互相垂直”的等价命题是____________； 4． 已知,x y R ∈，若甲：2
2
0x y +>；乙：0x ≠或0y ≠，则甲是乙的_______条件； 5． 命题“若a b ≥，则33a b ≥”的逆命题是_____ .
6． 写出命题“如果0c =，那么抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的图像过原点”的逆命题，
否命题和逆否命题。
7． 设集合2
{|2320},{|2}M x x x N x ax =+-==-，试写出N M ?的一个充分非必要
条件，并说明理由。
8． 已知二次函数2
()f x ax x =+有最小值，不等式()0f x <的解集为A 。
(1)求集合A ；
(2)设集合{||4|}B x x a =+<，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围。
9． 已知x R ∈，求证：(1||)(1)0x x -+>的充要条件是1x <且1x ≠-。
【能力提高】
1. 若p 是r 的充分条件，q 是s 的必要条件，且r 是s 的充分条件，这p 是q 的______条件;
2. 设全集
3{(,)|,},{(
2
y U x y x
y R A x y x -=∈==∈-，{(,)|1}B x y y x ==+，则U A B = e_____________
3. 设曲线1c 和2c 的方程是12(,)0(,)0F x y F x y ==和，则点12(,)()P a b c c ? 的一个充分
条件是_____________________ 4. 已知集合2
221{(,)|},{(,)|()9,0}2
A x y y x
B x y x y a a ==
=+-=>，如果A B ≠? ，那么05a <≤。
（1）证明上述命题是真命题；
（2）写出它的逆命题，并证明它的真假。
5. 设函数)2lg()(2
--=x x x f 的定义域为集合A ，函数()g x =
B ．已知α：x A B ∈ ，β：x 满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的
取值范围。