解析几何综合题解题方法总结
富源县第一中学
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体,综合函数、不等式、三角、数列等知识,所涉及到的知识点较多,对解题能力考查的层次要求较高,考生在解答时,常常表现为无从下手,或者半途而废。据此笔者认为:解决这一类问题的关键在于:通观全局,局部入手,整体思维. 即在掌握通性通法的同时,不应只形成一个一个的解题套路,解题时不加分析,跟着感觉走,做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握,从微观上去突破,在审题和解题思路的整体设计上下功夫,不断克服解题征途中的道道运算难关.
一、判别式
案例1 已知双曲线12
2:2
2=-x y C ,直线l 过点()
0,2A ,斜率为k ,当10< 分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B 作与l 平行的直线,必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=?. 由此出发,可设计如下解题思路: 解题过程略. 分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路: 简解:设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点,则点M 到直线l 的距离为: 21 222 2=+-+-k k x kx ()10< 于是,问题即可转化为如上关于x 的方程. 由于10< .222222k x kx k x kx +++-=-+- 于是关于x 的方程()* ?)1(22222+=+++-k k x kx ?() ??? ??>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(22 2222kx k k kx k k x ?() ()() ?? ? ? ?>+-+=--++-++-.02)1(2, 022)1(22)1(2212 2 2 222kx k k k k x k k k x k 由10< ( )() 022)1(22)1(2212 2 222 =--++ -++-k k x k k k x k 的二根同正,故 02)1(22>+-+kx k k 恒成立,于是()*等价于 () ( )() 022)1(22)1(2212 2 2 2 2 =--++ -++-k k x k k k x k . 由如上关于x 的方程有唯一解,得其判别式0=?,就可解得 5 5 2= k . 点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 2 判别式与韦达定理 例2 .已知椭圆C:x y 2228+=和点P (4,1),过P 作直线交椭圆于A 、B 两点,在线段AB 上取点Q ,使 AP PB AQ QB =-,求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。 其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点),(y x Q 的变化是由直线AB 的变化引起的,自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数,如何将y x ,与k 联系起来?一方面利用点Q 在直线AB 上;另一方面就是运用题目 条件:AP PB AQ QB =-来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共线,不难得到) (82)(4B A B A B A x x x x x x x +--+=,要建立x 与k 的关系,只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程,利用韦达定理即可. 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数. 在得到()k f x =之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到 关于y x ,的方程(不含k ),则可由1)4(+-=x k y 解得4 1 --=x y k ,直接代入()k f x =即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解:设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ,,则由 QB AQ PB AP -=可得:x x x x x x --=--212144, 解之得:) (82)(4212 121x x x x x x x +--+= (1) 设直线AB 的方程为:1)4(+-=x k y ,代入椭圆C 的方程,消去y 得出关于 x 的一元二次方程: () 08)41(2)41(412222 =--+-++k x k k x k (2) ∴ ??????? +--=+-=+.128)41(2,1 2)14(422 21221k k x x k k k x x 代入(1),化简得:.2 3 4++= k k x (3) 与1)4(+-=x k y 联立,消去k 得:().0)4(42=--+x y x 在(2)中,由02464642>++-=?k k ,解得 4 10 24102+< <-k ,结合(3)可求得 .9 10 216910216+<<-x 故知点Q 的轨迹方程为:042=-+y x ( 9 10 216910216+< <-x ). 点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 3 求根公式 例3. 设直线l 过点P (0,3),和椭圆x y 22 94 1+=顺次交于A 、B 两点,试求AP PB 的 取值范围. 分析:本题中,绝大多数同学不难得到: AP PB =B A x x -,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析1: 从第一条想法入手,AP PB =B A x x -已经是一个关系式,但由于有两个变量B A x x ,, 同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y 得出关于x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出. 简解1:当直线l 垂直于x 轴时,可求得 5 1 -=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时,设())(,,2211y x B y x A ,,直线l 的方程为:3+=kx y ,代入椭圆方程,消去y 得( ) 04554492 2 =+++kx x k ,解之得 .4 95 96272 22 ,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称,点P 在y 轴上,所以只需考虑0>k 的情形. 当0>k 时,4 95 9627221+-+-=k k k x ,4959627222+---=k k k x , 所以 21x x PB AP -== 5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =2 5929181k -+-. 由 () 049180)54(22≥+--=?k k , 解得 9 5 2≥k , 所以 5 15 92918112 -<-+- ≤-k , 综上 5 1 1-≤≤-PB AP . 分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 k 联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定 理,原因在于 2 1x x PB AP -=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式. 简解2:设直线l 的方程为:3+=kx y ,代入椭圆方程,消去y 得 () 045544922 =+++kx x k (*) 则 ??? ???? +=+-=+.4945,4 954221221k x x k k x x ,令λ=2 1x x ,则,.2045324212 2+=++k k λλ 在(*)中,由判别式,0≥?可得 9 5 2≥ k , 从而有 5 36 2045324422≤+≤k k , 所以 5 3621 4≤ ++≤λ λ, 解得 55 1 ≤≤λ. 结合10≤<λ得151 ≤≤λ. 综上,5 1 1-≤≤-PB AP . 点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法. 解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里. 解析几何专项训练 班级 学号 成绩 (一)填空题 1、若直线m my x m y mx 21=++=+与平行,则m =_-1____. 2、若直线2+=kx y 与抛物线x y 42 =仅有一个公共点,则实数=k 1 ,02 3、若直线l 的一个法向量为()2,1n =,则直线l 的倾斜角为 arctan2π- (用反三角函数值表示) 4、已知抛物线2 0x my +=上的点到定点(0,4)和到定直线4y =-的距离相等,则 m = -16 5、已知圆C 过双曲线 116 92 2=-y x 的一个顶点和一个焦点,且圆心C 在此双曲线上,则圆心C 到双曲线中心的距离是 16 3 6、已知直线1l :210x y +-=,另一条直线的一个方向向量为(1,3)d =,则直线1l 与2l 的夹角是 4 π 7、已知直线:0l ax by c ++=与圆1:2 2 =+y x O 相交于A 、B 两点,3||=AB , 则OA ·OB = 12 - 8、若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得线段的长为22,则 直线m 的倾斜角是 0015,75 . 9、若经过点(0,2)P 且以()1,d a =为方向向量的直线l 与双曲线132 2 =-y x 相交于 不同两点A 、B ,则实数a 的取值围是 2215,3a a <≠ . 10、(理科)设曲线C 定义为到点)1,1(--和)1,1(距离之和为4的动点的轨迹.若将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45,则此时曲线C 的方程为__22 142 y x +=___________. 11、等腰ABC ?中,顶点为,A 且一腰上的中线长为3,则 三角形ABC 的面积的最大值 2 12、如图,已知OAP ?的面积为S ,1OA AP ?=. 设||(2)OA c c =≥,3 4 S c =,并且以O 为中心、A 为焦点的椭 圆经过点P .当||OP 取得最小值时,则此椭圆的方程为 22 1106 x y += . (二)选择题 13、“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的( B )条件 (A )充要;(B )充分不必要;(C )必要不充分;(D )既不充分也不必要 14、如果i +2是关于x 的实系数方程02 =++n mx x 的一个根,则圆锥曲线 12 2=+n y m x 的焦点坐标是( D )(A))0,1(±; (B))1,0(±; (C))0,3(± ;(D))3, 0(± 15、已知:圆C 的方程为0),(=y x f ,点),(00y x P 不在圆C 上,也不在圆C 的圆心上, 方程0),(),(:'00=-y x f y x f C ,则下面判断正确的是……( B ) (A) 方程'C 表示的曲线不存在; (B) 方程'C 表示与C 同心且半径不同的圆; (C) 方程'C 表示与C 相交的圆; (D) 当点P 在圆C 外时,方程'C 表示与C 相离的圆。 16、若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线22 2222222 :1(0,0)x y C a b a b -=>>的 焦点相同,且12a a >给出下列四个结论:①2222 1221a a b b -=-; ②1221 a b a b >; ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点; ④2121b b a a +>+;其中所有正确的结论 序号是( B )A. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④ y P x o A 解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从 的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最短距离。 图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y=-1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地, 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为() 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为() A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|=|QP|, 而|QM|=|OM|-|OQ|=2-|OQ| 即|OQ|+|QP|=2>|OP|= 故Q的轨迹是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则解析几何专题训练理科用
解析几何经典例题
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总