不可压Navier-Stokes方程解的定性研究
【摘要】：该论文分成两个部分.第一部分讨论Navier-Stokes方程弱解的正则性问题；第二部分讨论的是外区域中Navier-Stokes流的存在唯一性与渐近性问题.三维不可压Navier-Stokes方程弱解的正则性是一个极具有挑战性的公开问题.目前在这个领域有两个主要的研究方向.其一就是考虑奇异集合的大小(所谓的部分正则性),另一个方向是寻求弱解的充分条件以保证没有奇性发生(所谓的正则性准则).本文考虑的正是第二个方向.我们将给出有意义的互不相同的正则性条件来确保解的光滑性.第二部分是本论文的主要部分也是作者在这个方向的主要贡献.外区域中的Navier-Stokes流体也是一个富有意义的问题.具体说来,当一个物体以恒定的速度经过一雷诺数小于50的流体的时候,该物体周围流体的运动呈现的是层流Stokes方程对于雷诺数小于1的流体运动提供了很好的刻画,但对于较大的雷诺数我们需要借助Navier-Stokes方程来获得精确的结果.我们考虑一个物体在雷诺数小于50的不可压缩流体中沿着平行于一墙状障碍物以恒定的速度在一无界的区域里运动,那么该物体周围流体的运动可以用外区域中不可压缩的Navier-Stokes方程和一定的边界条件来进行刻画,这里的边界我们一般考虑的是墙壁、物体的表面和无穷远处.该模型一个很重要的实际应用就是用来描述产生于液体中的气泡沿着平行于墙壁运动的情形.本文考虑具有固定形状的单个气泡在不可压缩流体中沿着平行于墙壁的方向运动,运用截断函数的技巧我们将以一具有紧支
集的源项来取代该气泡得到一个稳态的Navier-Stokes方程,实际上亦是气泡问题的一个简化模型.然后选取适当的变量作为“时间”变量,运用动力系统和傅里叶变换的方法旨在证明该问题解的存在性与唯一性并得到方程解的一致估计.在有了解的存在性后,我们试图进一步具体刻画该解在无穷远处的渐近行为.为了达到这一目的,在所构造的函数空间中,通过仔细分析速度场每个分量的具体构成,我们找出其主导项,然后在傅里叶空间中提取这些主导项的渐近信息去描述速度场的每个分量的渐近性态,最后运用反傅里叶变换可获得速度场的渐近表达式.【关键词】：Navier-Stokes方程正则性准则稳态解流体结构的相互作用渐近行为
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2011
【分类号】：O175.2
【目录】：摘要6-7Abstract7-10第一部分正则性问题10-47第一章引言11-13第二章弱解的正则性条件13-472.1正则性准则Ⅰ13-302.2正则性准则Ⅱ30-412.3正则性准则Ⅲ41-47第二部分外区域的Navier-Stokes流体47-111第三章问题的描述48-52第四章研究现状52-554.1研究成果52-534.1.1理论结果524.1.2数值结果52-534.2研
究进展53-55第五章解的存在唯一性55-645.1简化为发展方程55-595.2函数空间的架构59-625.3唯一性的证明62-64第六章主要引理的证明64-916.1引理5.1的证明64-656.2引理5.2的证明65-916.2.1关于ω_1的估计66-696.2.2关于ω_2的估计69-726.2.3关于ω_3的估计72-786.2.4关于u_1的估计78-826.2.5关于u_2的估计82-876.2.6关于u_3的估计87-91第七章渐近性态91-1107.1u_1的渐近行为92-1017.1.1u_(1,1,1)的渐近项93-987.1.2u_(1,1,2)的渐近项98-1017.2u_2的渐近行为101-1087.3u_3的渐近行为108-110第八章总结110-111附录A积分方程的推导111-122§A.1ω_(1,n,m)的积分核函数116§A.2ω_(2,n,m)的积分核函数116-117§A.3ω_(3,n,m)的积分核函数117-118§A.4u_(1,n,m)的积分核函数118-119§A.5u_(2,n,m)的积分核函数119-120§A.6u_(3,n,m)的积分核函数120-122附录B基本的界限122-130§B.1半群的连续性122-124§B.2半群e~(∧-t)的卷积124-127§B.3半群e~(-kt)的卷积127-130附录C矩阵L的对角化130-132附录D渐近表达式132-135§D.1u_1~(as)(x,y,z)的显式表达式132-135§D.1.1u_2~(as)(x,y,z)的显式表达式133-135参考文献135-142攻读博士学位期间的研究成果142-144致谢144-145 本论文购买请联系页眉网站。
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段：19世纪 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数. 常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222 ()0x y xy x n y '''++-= 其中参数n 和x 都可以是复的. 对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20 ()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-? 1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式 11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+= 和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式. 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2 (1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到
偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）； （2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空
随机微分方程的适定性及微分方程参数的贝叶斯估计方法 本论文主要研究了以下两个方面的内容。一是讨论了随机薛定谔方程解的适定性,包括解的爆破性质和整体解的存在性和唯一性；二是用贝叶斯惩罚B样条方法给出了几类常微分方程模型中参数(常值参数以及时变参数)的估计.关于这些问题的研究背景和动机我们在第一章中给予介绍。微分方程的数学理论研究在物理学,医学,生物学,金融学等应用科学中发挥着重要作用。薛定谔方程是一类特殊的微分方程,其在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用.然而,在现实生活中,很多事情都是不确定的,是受随机因素干扰的,本文在第一部分考虑了在噪声影响下的薛定谔方程即随机薛定谔方程的解的动力学性质。 具体来说,在第二章,我们讨论了在可加噪声和二次位势双重作用下,随机薛定谔方程解的爆破性质,我们得到了不管位势是排斥型还是吸引型,任意有限能量的初值均可能产生爆破解,并且爆破时间可以任意小.这与确定型薛定谔方程不同,对确定性方程来说,排斥型位势具有阻止解爆破的效应。因此,这部分结果表明,噪声对薛定谔方程解的动力学行为的影响比位势的影响要强。与爆破性质对应的,我们在第三章讨论了在Stratonovich型乘积噪声影响下的薛定谔-泊松方程组整体解的适定性。与确定型薛定谔-泊松方程组不同的是,我们建立了随机意义下的交换子估计,进而得到了薛定谔-泊松方程组整体解的存在性和唯一性。 在研究随机薛定谔方程适定性的过程中我们发现,方程中的参数对解的动力学性质产生了重要影响,甚至不同参数会导致方程具有完全不同的动力学行为。这就提示我们在应用微分方程的数学理论之前,应当首先确定微分方程中的参数.为此,本文第二部分提出了一种非参数统计方法——贝叶斯惩罚B样条法,根据观测数据去估计微分方程模型中的参数,这其中包括估计常值参数和时变参数两种情形。我们在第四章中介绍了贝叶斯惩罚B样条法的一般理论,并且考虑了对于2×2的线性方程组及非线性方程组(Lotka-Volterra模型),在所有状态变量的观测数据均已知的情形下,用贝叶斯惩罚B样条法,对模型中含有的参数进行估计,模拟结果表明该方法对模型中的参数估计有效。流行病模型是微分方程中应用较多且与现实生活关系较为密切的一类模型,在本文的第五章我们考虑了流行病模型中参数的估计问题。 估计此类模型中的参数与第四章中参数的估计最大的不同是：对于流行病模
解分数系数方程 教学目的:通过将分数系数方程转化为整数系数方程来实现分数 系数方程的求解(化归思想),然后学会将这种方法运用到应用题中. 教学重点:熟悉整系数方程的解方程基本步骤和注意事项,和分 数系数方程转化成整系数方程的方法(“去”分母的过程)注意: 这里的去加引号就是因为不是直接去掉,而是用约分的方法把它 约去. 教学难点:学生们对去分母不是很理解,过程不是很熟悉,对 “项”的概念,对“合并同类项”的了解不是很深刻. 基础复习过程: T 同学们,咱们已经学过方程了,那什么是方程呀? S 等式,有未知数 T 很好,首先方程是个什么?对,是个等式,然后呢?不是一般的 等式,里面含有什么?含有什么? 对,有未知数.所以方程就是 含有未知数的等式. T 老师板书一个方程 6x+3=15那方程既然给出来了,我们是 不是通过一定顺序来求解这个未知数呀?很好.那大家回忆一 下,你是怎么求解方程的呢? 来，这位同学你说一下，拿到这个方程，你第一步做什么了？ S 把3挪过去 T 很好，然后呢？ S 然后6x=15-3 6x=12 x=2 T 非常棒，一个小印章，这位同学给我们展示了咱们求解方程 的一般方法的中几个很重要的步骤。大家看黑板，老师总结 一下，首先他做什么了呀？对，移项，把等号左边的留下了都
是含有未知数的式子，右边呢，都是不含有未知数的式子。对不对？好，有谁知道咱们能这样做的根据是什么？ S …… T 是不是等式的其中一条性质呀？等式……两边……同时加上或者减去同一个数或者同一个式子，等式仍然成立。对不对？对不对？ S 对，是 T 很好，那第二步呢，他做什么了？是不是把未知数x的系数化成1了？他怎么化成1的？对，把前面的系数除过去！这又是根据什么？想想等式的另外一个性质 S 同时除以或者乘以一个相同的数或者式子，等式仍然 成立 T 非常棒，你们都很厉害。做到这里，做完了么？宝贝们？是不是咱们还得把结果带进原方程中进行下检验啊？确保我们忙活半天是正确的啊？很好 T 刚才老师写的方程形式比较简单，相信大家一眼就能 看出来结果。如果遇到复杂的整系数方程，我们的解答 步骤是： 首先，移项，目的是什么！是让等号一边都是含有未知数的项，另外一边呢？都是不含有未知数的 然后呢，开始合并同类项。有的同学可能对这个概念不是很明白，老师简单的说一下。什么是同类？咱们俩是不是同类？是吧，都是人。你说篮球和足球是不是同类？是吧，都是球。方程里的同类项就是指含有的未知数一样，只是系数有所区别的项。比如4x和9x 你们说是不是同类？ 是吧都含有x，那4x和4y是不是同类？不是吧，因为 他们压根儿含有的什么？ S 未知数 T 不同是不是？一个是含有未知数x的项，一个是含有未知数y的项。然后那些不含有未知数的项，我们叫他们
类型一（简单的一步方程） 1、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。六一班收集了60个，六二班比六一班多收集15个，六二班收集了几个？ 2、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。六二班收集了60个，六二班比六一班多收集15个，六一班收集了几个？ 3、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。六二班收集了60个，六二班收集的是六一班的2倍，六一班收集了几个？ 4、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。其中六二班收集了60个，六二班共有4个小组，平均每个小组收集多少个？（用除法） 类型二（几倍多多少/少多少）： 1、食堂运来150千克大米，比运来的面粉的3倍少30千克。食堂运来面粉多少千克？ 2、吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？ 3、农场一共收获了1200棵大白菜，每22棵装一筐，装完后还剩12棵，共装了几筐？
类型三（求每份数）： 1、学校买来10箱粉笔，用去250盒后，还剩下550盒，平均每箱多少盒？ 2、四年级共有学生200人，课外活动时，80名女生都去跳绳。男生分成5组去踢足球，平均每组几人？ 3、果园里有52棵桃树，有6行梨树，梨树比桃树多20棵。平均每行梨树有多少棵？ 类型四（买东西和卖东西）： 1、小明有面值2角和5角的共9元，其中2角的有10张，5角的有多少张？ 2、我买了两套丛书，单价分别是：<<科学家>>2.5元/本，<<发明家>>3元/本，两套丛共花了28元。其中《科学家》这本书买了4本，《发明家》买了多少本？ 3、王奶奶拿了孙子们帮她收集的易拉罐和饮料瓶去废品收购站卖，共得到7元，易拉罐和饮料瓶每个都是0.15元，已知易拉罐有20个，那么饮料瓶有几个？ 类型五（和倍问题 / 差倍问题）： 1、粮店运来大米和面粉480包，大米的包数是面粉的3倍，运来大米和面粉各多少包？
六年级数学教案—(解分数方程本课题教时数：1本教时为第1教时备课日期9月11日教学目标 1、学会根据一个数的几分之几是多少用乘法来列方程解分数除法的文字题，能正确地解分数方程。 2、认识分数除法里商的大小规律和分数乘法里积的大小规律，培养学生的计算能力。 教学重难点 能正确地解分数方程，并 认识分数除法里商的大小规律和分数乘法里积的大小规律，培养学生的计算能力。 教学准备 教学过程设计 教学内容 师生活动 备注 六、复习铺垫 七、教学新课 八、巩固练习 九、课堂小结 十、作业 1、口答列式
（1）24的是多少？ （2）的是多少？ 问：为什么用乘法？ 2、引入新课 这节课，我们就根据求一个数的几分之几是多少可以列成乘法算式的知识来学习解分数方程。 问：这道题已知什么？要求什么？你能否用一个数量关系表示这句话的意思？ 1、做练一练 指出：由于一个数的几分之几是多少要用乘法式子来表示，因此，按照题意就可以设这个数为X，列出方程来解答。2、做练习八第13题 问：观察前面两列，你们发现了什么？ 指出：在乘法里，一个数乘的数小于1，积小于这一个数；一个数乘的数大于1，积大于这一个数。在除法里，除数小于1，商大于被除数；除数大于1，商小于被除数。 这节课学会了什么？ 这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可
以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?练习八11、12 板书： 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。 一个数= 课后感受 本节课内容较简单，学生们对这一知识有一定的基础，所以本节课基本上是放手让学生自己做，自己讨论发现规律.整个课堂的学习氛围不错. 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看
偏微分方程理论学习 一． 偏微分方程发展简介 1. 常微分方程 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。 2. 偏微分方程 偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。 J.达朗贝尔（D’Alembert ）（1717-1783）、L.欧拉（Euler ）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli )（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange )（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace )（1749-1827）、S.泊松(Poisson )（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier )（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。 十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程 其中k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程 ??? ????<<=>==??=??,0),()0,(,0,0),(,0),0(T T 222l x x f x T t t l T t T x k x ， 其中后面两项分别是边界条件和初始条件。傅里叶为解这个方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为 为了满足初始条件，必须有
第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性 和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）
(0.5+x)+x=9.8÷2 2(X+X+0.5)=9.8 25000+x=6x 3200=450+5X+X X-0.8X=6 12x-8x=4.8 7.5*2X=15 1.2x=81.6 x+5.6=9.4 x-0.7x=3.6 91÷x＝1.3 X+8.3=10.7 15x＝3 3x－8＝16 7(x-2)=2x+3 3x+9=27 18(x-2)=270 12x=300-4x 7x+5.3=7.4 3x÷5=4.8 30÷x+25=85 1.4×8-2x=6 6x-12.8×3=0.06 410-3x=170
5.6x=33.6 0.5x+8=43 6x-3x=18 1.5x+18=3x 5×3-x÷2=8 0.273÷x=0.35 1.8x=0.972 x÷0.756=90 9x-40=5 x÷5+9=21 48-27+5x=31 10.5+x+21=56 x+2x+18=78 (200-x)÷5=30 (x-140)÷70=4 0.1(x+6)=3.3×0.4 4(x-5.6)=1.6 7(6.5+x)=87.5 (27.5-3.5)÷x=4 x+19.8=25.8 5.6x=33.6 9.8-x=3.8 75.6÷x=12.6 5x+12.5=32.3
5(x+8)=102 x+3x+10=70 3(x+3)=50-x+3 5x+15=60 3.5-5x=2 0.3×7+4x=12.5 x÷1.5-1.25=0.75 4x-1.3×6=2.6 20-9x=1.2×6.25 6x+12.8=15.8 150×2+3x=690 2x-20=4 3x+6=18 2(2.8+x)=10.4 (x-3)÷2=7.5 13.2x+9x=33.3 3x=x+100 x+4.8=7.2 6x+18=48 3(x+2.1)=10.5 12x-9x=8.7 13(x+5)=169 2x-97=34.2 3.4x-48=26.8
x － 27 x =4 3 2x + 25 = 35 0.7x + 0.2x = 3.6 x ×53=20×41 0.25 + 10x = 54 5x －3× 21 5 ＝75 x – 0.15x = 68 x ＋83 x ＝121 32x ÷4 1＝12 6x ＋5 =13.4 834143=+X 21x + 61x = 4 4x －3 ×9 = 29 x ＋8 7 x =4 3 4x －6×3 2=2 125 ÷x =310 98 x = 61×5116 x ÷ 356=45 26 ÷2513
班级 姓名 成绩 x ×3 2+2 1=4×8 3 X －7 3X ＝12 5 X －2.4×5＝8 0.36×5- 34 x = 35 23 (x- 4.5) = 7 1 2 x- 0.25x = 10 x- 0.8x = 16+6 20 x – 8.5= 1.5 x- 4 5 x -4= 21 X ＋3 2 X=90 X －37 X= 8 9 185+X = 12 11 3X –1.4×2=1.1 5214 6333 x x --= X+32–21=1817
班级 姓名 成绩 X － 27 X=43 2X + 25 = 35 70%X + 20%X = 3.6 X ×5 3=20×4 1 25% + 10X = 5 4 X - 15%X = 68 X ＋8 3X ＝121 5X －3× 21 5 ＝75 3 2X ÷4 1＝12 6X ＋5 =13.4 83 4143=+X 3X=8 3 X ÷7 2= 167 X ＋8 7X=4 3 4X －6×3 2=2
浅谈微分方程的起源与发展史 摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。 引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以 试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。 关键字：微分方程起源发展史 一、微分方程的思想萌芽 微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布 尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。 1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根 据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。 例1 传染病模型 传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总 x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为 人数为)(t x。 因为总人数为常数n
六年级分数解方程练习题 班级 姓名 成绩 25% + 10X = 5 4 X - 15%X = 68 X ＋8 3X ＝121 5X －3× 21 5＝7 5 3 2X ÷4 1＝12 6X ＋5 =13.4 8 34 14 3= + X 3X=8 3 X ÷7 2= 16 7 X ＋8 7X=4 3 4X －6×3 2=2 125 ÷X=3 10 53 X = 7225 98 X = 61×5116 X ÷ 35 6=45 26×25 13 4x －3 ×9 = 29 2 1x + 6 1x = 4
10 3X －21×3 2=4 204 1=+x x 8)6.2(2=-x 6X ＋5 =13.4 25 X-13 X=3 10 4χ－6＝38 5X=19 15 21 8X=15 4 X ÷5 4=28 15 3 2X ÷4 1=12 5 3X=72 25 9 8X=6 1×51 16 X ÷35 6=45 26÷25 13 X-0.25=4 1 4 X =30% 4+0.7X=102 3 2X+2 1X=42 X+4 1X=105 X-83 X=400 X-0.125X=8 X 36 = 4 3
X+37 X=18 X ×( 16 + 38 )=13 12 x －0.375x=65 x ×3 2+2 1=4×8 3 X －7 3X ＝12 5 X －2.4×5＝8 0.36×5- 34 x = 35 23 (x- 4.5) = 7 1 2 x- 0.8x = 16+6 20 x – 8.5= 1.5 x- 4 5 x -4= 21
第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1122a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则
解分数方程 方程：含有未知数的等式叫方程。 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求方程解的过程叫做解方程。 解方程的依据: 1、等式的性质 （1）等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立; （2)等式两边同时乘以或除以同一个数,等式仍然成立; 2、加减乘除法的变形 加法:加数1 + 加数2 ＝和加数１ = 和—加数2 加数2 ＝和—加数1 减法:被减数—减数 = 差被减数＝差＋减数减数 =被减数—差 乘法:乘数1 ×乘数2 = 积乘数１= 积÷乘数2 乘数2 = 积÷乘数1 除法：被除数÷除数= 商被除数= 商×除数除数=被除数÷商 解方程的步骤: 去括号。(没有括号时,先算乘、除,再算加、减） 去分母。 移项。 合并同类项。 系数化为1。 1．去括号(先去小括号,再去大括号）注意乘法分配律的应用 加法交换律:ａ+b＝b+ａ加法结合律:(a+ｂ)+c=ａ+(ｂ+c） 乘法交换律：ａ×ｂ＝b×ａ乘法结合律:(a×ｂ)×c＝ａ×（b×c) 乘法分配律：(a+b）×c=a×c＋b×c 减法的性质:ａ－b－c=a－(b+c) 除法的性质:a÷ｂ÷c=a÷(ｂ×c) (注意:去括号时，括号前面是减号的，去掉括号，括号里的每一项要变号,也就是括号里的加号要变减号，减号要变成加号。这是运用了减法的性质)
例如： 30ｘ-1０(10-x ）＝1００ 解：30x-(10×１0-１0×x )=100——(乘法分配律） ３0x －(10０－1０x ）=1０0 30x-１０0＋10ｘ=1００——(去括号,括号前是减号,去掉括 号, 括号里的 每一项要变号，加号变减号,减号变加号 ) 40ｘ－10０=１0０——(合并同类项) 4０x=100+１0０——（移项,变号） 40x=2００——(合并同类项) X=５——(系数化为1) 2、去分母:找分母的最小公倍数，等式两边各项都要乘以分母最小公倍数(去分母的目的是，把分数方程化成整数方程） ３、移项:“带着符号搬家”从等式左边移到等式的右边，加号变减号,减号变加号。（移项的目的是,把未知项移到和自然数分别放在等 式的两边) （加号一边省略不写例:2Ｘ－3=１１ 其中2Ｘ前面的加号就省略了，3前面是减号，移到等式右边要变成加号) 例如:4x －10=１0 解： 4ｘ=10+10——（-１0从等式左边移到等式右边变成＋１0) ４ｘ＝20 X=20÷4 X=5 4、合并同类项:含有未知数的各个项相加减,自然数相加减 (也可以先把等式两边能够计算的先算出来，再移项） 例如:6Ｘ + ７ ＋ 5X ＝ １8 解:1１X ＋ 7 ＝ 18 ——(先把含有未知数的量相加减） 11Ｘ = １8- 7 ——(把＋７移到等式右边变成 -7） １1 X = 11 X = 1 ——（系数化为1)
六年级解方程类型题 解方程的根本性方法是利用方程中各个数字之间的关系，将复杂的方程转化为基本形式即Ax=B 的形式，本质就是删繁就简的一个数字游戏。六年级数学涉及到的方程问题包含了基本整数，分数，小数还有百分数，如何进行转移和转化，是解决方程问题的关键。 数字间的基本等量关系 加数+加数=和 一个加数=和—另一个加数 被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=差+减数 因数 ×因数=积 一个因数=积 ÷另一个因数 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 一、 简单的类型 1.加法中的未知数 例题： 6x ＋5 = 2x + 25 = 35 21x + 6 1 x = 4 8 3 4143=+X 70%x+ 20%x = 25% + 10x = 54 练习题： 100+ x=250 x+=4 +x= 3 5 +x=2 35%x+4=11 +25= +x=15 2.减法中的未知数 x-24=63 7x-4x=36 4x －3 ×9 = 29 5x －3×215 ＝7 5 X — 27 x =43 x - 15%x = 68 x －=65
练习题：54-x=23 = X －37 X= 8 9 3.乘法中的未知数 6x=126 218X=15 4 = x ×53=20×41 98 x = 61×5116 4X =30% 练习题： 95x ＝495 = 21x ×61=8×4 3 4 .除法中的未知数 未知数用作被除数：32x ÷4 1 ＝12 未知数用作除数： 125 ÷x =310 练习题：7x ÷14=5 11x ÷=3 X ÷ 356=4526×2513 X ÷356=4526÷25 13 五．比例方程 解比例的关键在将方程转化为a:b=c:d 的形式，利用内项积等于外项目积的等量关系进行计算。 354 61∶8=x ∶52 x ∶28=41∶5 2
偏微分方程理论学习 一．偏微分方程发展简介 1.常微分方程 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。 2.偏微分方程 偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。 J.达朗贝尔（D’Alembert ）（1717-1783）、L.欧拉（Euler ）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli )（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange )（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace )（1749-1827）、S.泊松(Poisson )（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier )（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。 十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程，x k z y x ??=??+??+??T T T T 2222222其中k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程 ??? ????<<=>==??=??,0),()0,(, 0,0),(,0),0(T T 222l x x f x T t t l T t T x k x ，其中后面两项分别是边界条件和初始条件。傅里叶为解这个方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为 ∑∞=-=1)/(.sin ),(T 2222n t l k n n l x n e b t x ππ 为了满足初始条件，必须有 ∑∞==1.sin )(n n l x n b x f π
学生实验报告（4） 一、实验综述 . 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法； 2. 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； 3. 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令； 4. 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。 二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析） 1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据问题，建立的线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件； 3．保存文件并运行； 4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。 三、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论） 1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。 y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；
程序如下：由y=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')得出解析解y =-2*x-2+3*exp(x) 建立函数m 文件：function y=myfun4(x) y=-2*x-2+3*exp(x) 画图函数为fplot('myfun4',[0,1]) 图形如下： 2．求微分方程?? ???====-+]100[0)0(;0)0(01.03t u u u u u 的数值解，要求编写求解程序。 首先建立函数M 文件：function dy=myfun5(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=0.1*(y(1).^3)-y(1); 输入命令：[T,Y]=ode15s('myfun5',[0,10],[0,1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*');
五年级数学（下）解方程练习（1） 班级姓名 1.加数+加数=和加数=和-另一个加数 例：20+ⅹ=45（ⅹ是一个加数，应用：加数=和-另一个加数方法来 解） 解：ⅹ=45-20 ⅹ=25 练习20题： 35+ⅹ=10012.5+ⅹ=45 47+ⅹ=305 3.5+ⅹ=30.5 4.6+ⅹ=27 4.4+ⅹ=100 2.3+ⅹ=30 14+ⅹ=30.5 60+ⅹ=160.5 2.04+ⅹ=35.2ⅹ＋25=38 ⅹ＋2.5=3.8 ⅹ＋3.2=15 ⅹ＋52=100 ⅹ＋0.64=64 ⅹ＋17=35.7 ⅹ＋0.25=1 ⅹ＋14=23.4 ⅹ＋0.64=64.64 ⅹ＋12.72=35.7 五年级数学（下）解方程练习（2） 班级姓名 2、被减数-减数=差被减数=差+减数减数=被减数-差
例：ⅹ-51=43（ⅹ是一个被减数，应用：被减数=差+减数方法来 解）解：ⅹ=43+51 ⅹ=94 例：64-ⅹ=20（ⅹ是一个减数，应用：减数=被减数-差方法来解） 解：ⅹ=64-20 ⅹ=44 练习20题： ⅹ-51=68 ⅹ-12.5=5ⅹ-14.25=43 ⅹ-3.52=2.48 ⅹ－12.5=6.8 ⅹ-3.14=1.86ⅹ-2.33=5.65 ⅹ-40=60 94-ⅹ=20 42.32-ⅹ=30 0.64-ⅹ=0.25 100-ⅹ=0.25 ⅹ-7.24=4.3ⅹ-12=5.6 80-ⅹ=70 1.5-ⅹ=0.25 9.4-ⅹ=2.4 100.5-ⅹ=0.5 0.64-ⅹ=0.25 10-ⅹ=0.55 五年级数学（下）解方程练习（3） 班级姓名 3、 因数×因数=积 因数=积÷另一个因数 例：6ⅹ=48（ⅹ是一个因数，应用：因数=积÷另一个因数方法来 解）