， 则9m
＋8<9n <92m ＋8. 因此9
m －1＋1≤n ≤9
2m －1
.
故得b m ＝92m －1
－9
m －1
.
于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93
＋…＋92m －1
)－(1＋9＋…＋9
m －1
)
＝9×1－81m
1－81－1－9m
1－9
＝9
2m ＋1
－10×9m
＋1
80
.
—————
——————————————
分组转化求和的通法
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．
1．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2? ??
??1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝
64? ??
??1a 3＋1a 4＋1a 5. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝? ??
??a n ＋1a n 2，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)设公比为q ，则a n ＝a 1q
n －1
，且q >0，a 1>0.
由已知有???
??
a 1
＋a 1
q ＝2? ??
??1a 1
＋1a 1
q ，a 1
q 2
＋a 1
q 3
＋a 1
q 4
＝64? ??
??1a 1
q 2
＋1a 1
q 3
＋1a 1
q 4
，
化简得?????
a 2
1q ＝2，
a 21q 6
＝64.
又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1.
所以a n ＝2
n －1
.
(2)由(1)知，b n ＝? ????a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1
＋14n －1＋2.
因此T n ＝(1＋4＋…＋4
n －1
)＋? ????1＋1
4
＋…＋14n －1＋2n
＝4n
－14－1＋1－1
4n
1－14
＋2n ＝13
(4n －41－n
)＋2n ＋1.
[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式； (2)若数列??
?
?
??1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？
[自主解答] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．
所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以a n ＝2n －1. (2)T n ＝1
a 1a 2＋
1
a 2a 3
＋…＋
1
a n －1a n ＋
1
a n a n ＋1
＝
11×3＋1
3×5＋…＋1
2n －12n ＋1
＝12??????? ????11－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝12?
????1－12n ＋1＝n 2n ＋1，
由T n ＝
n 2n ＋1>100209，得n >1009，所以满足T n >100
209
的最小正整数n 为12. —————
—————————————— 用裂项相消法求和应注意的问题
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．
2．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 2
3＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列????
??
1b n 的前n 项和．
解：(1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2
＝19.
由条件可知q >0，故q ＝1
3
.
由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝1
3.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3
n .
(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12
.
故1
b n ＝－
2n n ＋1＝－2? ??
??1
n －1n ＋1. 1
b 1＋1b 2
＋…＋1
b n
＝－2??????? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1
n －1n ＋1
＝－
2n n ＋1
. 所以数列????
??1b n 的前n 项和为－2n
n ＋1.
[例3] (2012·天津高考)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，
且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *
，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *
，n ≥2)． [自主解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3
，S 4＝8＋6d .
由条件，得方程组?????
2＋3d ＋2q 3
＝27，
8＋6d －2q 3
＝10，
解得???
??
d ＝3，
q ＝2.
所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *
. (2)证明：由(1)得
T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①
2T n ＝2×22
＋5×23
＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1
.②
由①－②，得
－T n ＝2×2＋3×22
＋3×23
＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1
＝6×1－2n
1－2
－(3n －1)×2n ＋1
－2
＝－(3n －4)×2n ＋1－8，
即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1
.
而当n ≥2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2
n ＋1
，
所以T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *
，n ≥2.
若本例(2)中T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *
，求证：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *
)． 证明：由(1)得
T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①
2T n ＝22
a n ＋23
a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1
a 1.②
②－①，得
T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2
n ＋2
＝
121－2n －1
1－2
＋2
n ＋2
－6n ＋2＝
10×2n
－6n －10.
而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n
－6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *
.
—————
—————————————— 用错位相减法求和应注意的问题
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
3．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )q
n －1
(q ≠0，n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)设{a n }的公差为d .
由已知得???
?
?
3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，
解得a 1＝3，d ＝－1.
故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q
n －1
，于是
S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.
若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1
＋2·q 2
＋…＋(n －1)·q n －1
＋n ·q n
.
两式相减得到(q －1)S n ＝nq n
－1－q 1
－q 2
－…－q
n －1
＝nq n
－q n －1
q －1
＝nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －1.
于是，S n ＝nq n ＋1－n ＋1q n ＋1
q －12
. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝
n n ＋12
.
所以S n
＝?????
n n ＋12q ＝1，
nq n ＋1
－n ＋1q n ＋1
q －12
q ≠1.
1种思想——转化与化归思想
数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的．
2个注意——“裂项相消法求和”与“错位相减法求和”应注意的问题
(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
4个公式——常见的拆项公式 (1)
1n n ＋k ＝1k ? ??
??1
n －1n ＋k ；
(2)12n －12n ＋1＝12? ????1
2n －1－12n ＋1；
(3)1
n n ＋1n ＋2＝12????
??1
n n ＋1－1n ＋1n ＋2；
(4)1
n ＋n ＋k ＝1
k
(n ＋k －n ).
答题模板——利用错位相减法解决数列求和
[典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋
kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.
(1)确定常数k ，求a n ；(2)求数列????
??
9－2a n 2n
的前n 项和T n .
[快速规范审题]
第(1)问
1．审条件，挖解题信息
观察条件：S n ＝－12n 2＋kn 及S n 的最大值为8――――――――――――→S n 是关于n 的二次函数
当n ＝k 时，S n 取得
最大值．
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求k 的值及a n ――――――――――――→应建立关于k 的方程
S n 的最大值为8，即S k ＝8，k ＝4. ――――――――――――→可求S n 的表达式 S n ＝－12
n 2＋4n .
3．建联系，找解题突破口
根据已知条件，可利用a n 与S n 的关系求通项公式：
求通项公式――――――――――――→注意公式的使用条件
a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)，a 1＝S 1＝
72――――――――――――→验证n ＝1时，a n 是否成立
a n ＝92
－n .
第(2)问
1．审条件，挖解题信息
观察条件：a n ＝92－n 及数列????
??9－2a n 2n 922n n a -??
????
??????→可化简数列9－2a n 2n
＝n 2n －1. 2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求数列????
??
9－2a n 2n 的前
n 项和T n 2n
??????→分析通项
的特点
可利用错位相减法求
和．
3．建联系，找解题突破口
条件具备，代入求和：T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1①――――――――→等式两边同乘以2 2T n ＝2＋2＋3
2＋…＋n －1
2
n －3＋n 2n －2②――――――→错位相减
②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2
n －1
＝4－
n ＋2
2
n －1
.
[准确规范答题]
(1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12
k 2
，?(2分)
故k 2
＝16，因此k ＝4，?(3分)
从而a n ＝S n －S n －1＝9
2－n (n ≥2)．?(4分)
又a 1＝S 1＝7
2，?(5分)
所以a n ＝9
2－n .?(6分)
(2)因为9－2a n 2n ＝n
2
n －1，
所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n
2n －1，①?(7分)
所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n
2
n －2，②?(8分)
②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋2
2n －1.?(11分)
所以T n ＝4－
n ＋2
2
n －1
.?(12分)
[答题模板速成]
用错位相减法解决数列求和的步骤：
?
?
?的，则可用此法求
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列????
??
1a n 的前
5项和为( )
A.
15
8
或5 B.31
16
或5
C.
3116
D.
158
解析：选C 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且91－q 3
1－q ＝1－q
6
1－q
，解得q ＝
2，所以数列????
??1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝31
16.
2．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
A ．n 2
＋1－12n
B ．2n 2
－n ＋1－12n
C ．n 2
＋1－
12
n －1
D ．n 2
－n ＋1－12
n
解析：选A 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1
2n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]
＋? ????12＋12
2＋…＋12n ＝n 2
＋1－12n .
3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.1
4 B.94 C.134
D.174
解析：选C 由题意可得???
??
8a 1＋8×8－1d
2＝30，
4a 1
＋4×4－1d
2
＝7，
解得?????
a 1＝14，d ＝1.
故a 4＝a 1＋3＝13
4
.
4.12＋12＋38＋…＋n
2n 等于( ) A.2n
－n －12n
B.2n ＋1
－n －2
2n
C.2n －n ＋12
n
D.
2
n ＋1
－n ＋2
2
n
解析：选B 令S n ＝12＋222＋323＋…＋n
2n ，①
则12 S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n
2n ＋1，② ①－②得：
12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12??????1－? ????12n 1－12－n 2n ＋1，
故S n ＝
2n ＋1
－n －2
2
n
. 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
cos n π(n ∈N *
)，S n 为它的前n 项和，则S 2 012
2 013等
于( )
A ．1 005
B ．1 006
C ．2 011
D ．2 012
解析：选B 注意到cos n π＝(－1)n
(n ∈N *
)， 故a n ＝(－1)n n 2
.
因此有S 2 012＝(－12
＋22
)＋(－32
＋42
)＋…＋(－20112
＋20122
)＝1＋2＋3＋…＋2 011＋2 012＝2 012×1＋2 0122＝1 006×2 013，所以S 2 012
2 013
＝1 006.
6．(2013·锦州模拟)设函数f (x )＝x m
＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列????
??1
f n (n ∈N *
)的前n 项和是( )
A.n
n ＋1
B.n ＋2
n ＋1 C.n
n －1
D.
n ＋1
n
解析：选A ∵f ′(x )＝mx
m －1
＋a ，∴m ＝2，a ＝1.
∴f (x )＝x 2
＋x ，f (n )＝n 2
＋n . ∴
1
f n ＝
1n 2＋n ＝1n n ＋1＝1n －1
n ＋1
， 令S n ＝
1f 1＋1f 2＋1
f 3＋…＋1f n －1＋1
f n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ????1n －1－1n ＋? ??
??1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的
n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.
解析：由a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，得a n q 2
＋a n q －2a n ＝0，显然a n ≠0，所以q 2
＋q －2＝0.又
q ≠1，解得q ＝－2.又a 1＝1，所以S 5＝
1×[1－－25
]
1－－2＝11.
答案：11
8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2
n －1
＋2
n －2
＋…＋22
＋2＋2＝2－2n
1－2
＋2＝2n －2＋2＝2n
.
∴S n ＝2－2n ＋1
1－2＝2n ＋1
－2.
答案：2
n ＋1
－2.
9．数列{a n }的通项a n ＝n ?
??
??
cos 2
n π
2
－sin
2
n π2(n ∈N *
)，其前n 项和为S n ，则S 2 013＝________.
解析：∵a n ＝n ?
?
?
??
cos
2
n π
2
－sin
2
n π2＝n cos n π， ∴a 1＝－1，a 2＝2，a 3＝－3，a 4＝4，…，
∴S 2 013＝(－1)＋2＋(－3)＋4＋(－5)＋6＋…＋(－2 009)＋2 010＋(－2 011)＋2 012＋(－2 013)
＝[(－1)＋2]＋[(－3)＋4]＋[(－5)＋6]＋…＋[(－2 009)＋2 010]＋[(－2 011)＋2 012]＋(－2013)
＝1＋1＋…＋1＋1－2 013＝1 006－2 013＝－1 007. 答案：－1 007
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．(2012·湖北高考)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；
(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，
由题意得???
??
3a 1＋3d ＝－3，
a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8.
解得?
??
??
a 1＝2，
d ＝－3，或?
??
??
a 1＝－4，
d ＝3.
所以由等差数列通项公式可得
a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.
故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.
(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|a n |＝|3n －7|＝?
??
??
－3n ＋7，n ＝1，2，
3n －7，n ≥3.
记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4； 当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；
当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－11
2
n ＋10.当n ＝2时，满足此式．
综上可知，S n ＝????
?
4，n ＝1，32
n 2－11
2n ＋10，n ＞1.
11．(2013·合肥模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *
.
(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列．
(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解：(1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， ∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1，且n ∈N *
)． ∴a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， 即a n ＋1＝4a n ，n >1.
又a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，
∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列． (2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n
，
b n ＝log 4a n ＋1＝n .
c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，
T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )
＝(1＋4＋42
＋…＋4
n －1
)＋(1＋2＋3＋…＋n )
＝4n
－13＋1＋n n
2
.
12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *
)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1
>2 013的n
的最小值．
解：(1)证明：因为S n ＋n ＝2a n ，即S n ＝2a n －n ， 所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *
)． 两式相减化简，得a n ＝2a n －1＋1. 所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)． 所以数列{a n ＋1}为等比数列． 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1，得a 1＝1.
a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1.
(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1， 所以b n ＝(2n ＋1)·2n
.
所以T n ＝3×2＋5×22
＋7×23
＋…＋(2n －1)·2
n －1
＋(2n ＋1)·2n
，①
2T n ＝3×22
＋5×23
＋…＋(2n －1)·2n
＋(2n ＋1)·2
n ＋1
，②
①－②，得－T n ＝3×2＋2(22
＋23
＋ (2)
)－(2n ＋1)·2n ＋1
＝6＋2×22－2
n ＋1
1－2
－(2n ＋
1)·2
n ＋1
＝－2＋2
n ＋2
－(2n ＋1)·2
n ＋1
＝－2－(2n －1)·2
n ＋1
.
所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1
.
若T n －22n －1>2 013，则2＋2n －1·2n ＋1
－22n －1
>2 013， 即2
n ＋1
>2 013.
由于210
＝1 024,211
＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10. 所以满足不等式
T n －2
2n －1
>2 013的n 的最小值是10.
1．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ? ????12 013＋f ? ????22 013＋…＋f ? ??
??2 0122 013，则S ＝________.
解析：∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x
41－x ＋2＝22＋4x ，
∴f (x )＋f (1－x )＝4x
4x ＋2＋2
2＋4
x ＝1.
S ＝f ? ????12 013＋f ? ????22 013＋…＋f ? ????2 0122 013，①
S ＝f ?
????2 0122 013＋f ? ????2 0112 013＋…＋f ? ??
??12 013，②
①＋②得
2S ＝??????f ? ????12 013＋f ? ????2 0122 013＋????
?
?f ? ????22 013＋f ? ????2 0112 013＋…＋
????
??f ? ????2 0122 013＋f ? ????12 013＝2 012， ∴S ＝2 0122＝1 006.
答案：1 006
2．求和S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n
＋1
2n
. 解：S n ＝32＋94＋258＋8516＋…＋n ·2n
＋1
2
n
＝? ????1＋12＋? ????2＋14＋? ????3＋18＋? ????4＋116＋…＋? ????n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋? ????12＋14＋18＋1
16
＋ (12)
＝
n n ＋12＋12??????1－? ????12n 1－1
2 ＝
n n ＋12
－? ??
??12n
＋1. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2
n ＝a n ? ????S n －12.
(1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n
2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .
解：(1)∵S 2
n ＝a n ? ????S n －12，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，
∴S 2
n ＝(S n －S n －1)? ????S n －12，
即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，
①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1
S n －1
＝2，
∴数列????
??
1S n 是首项为1，公差为2的等差数列．
∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝12n －1
. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1
＝12? ????12n －1－12n ＋1，
故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝12?
????1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 4．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3n －1
a n ＝n
3
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3n －1
a n ＝n
3
，①
∴当n ≥2时，
a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝
n －1
3
，②
①－②得3
n －1
a n ＝13，∴a n ＝13
n .
在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝1
3n .
(2)∵b n ＝n
a n
，∴b n ＝n ·3n
.
∴S n ＝3＋2×32
＋3×33
＋…＋n ·3n
，③ ∴3S n ＝32
＋2×33
＋3×34
＋…＋n ·3n ＋1
.④
④－③得2S n ＝n ·3n ＋1
－(3＋32
＋33
＋ (3)
)，
即2S n ＝n ·3
n ＋1
－31－3n
1－3，
∴S n ＝
2n －13
n ＋1
4＋34
.
2014年北京市高考数学试卷(理科)
2014年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（5分）（2014?北京）已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（2014?北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A．y＝B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2﹣x D．y＝log0.5（x+1） 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） A．在直线y＝2x上B．在直线y＝﹣2x上 C．在直线y＝x﹣1上D．在直线y＝x+1上 4．（5分）（2014?北京）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A．7B．42C．210D．840 5．（5分）（2014?北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列” 的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）（2014?北京）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（） A．2B．﹣2C．D．﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3 C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2＝． 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||＝1，＝（2，1），且+＝（λ∈R），则|λ|＝． 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2＝1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为． 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种． 14．（5分）（2014?北京）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0） 若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为．
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足 1 z i z +=（i 的虚数单位）的复数z= A 、 1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122 i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种 不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p == 3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 3 2 1x x ++，则(1)(1)f g += A 、3- B 、1- C 、1 D 、3 4、5 1(2)2 x y -的展开式中23 x y 的系数是 A 、-20 B 、-5 C 、5 D 、20 5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题 ①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧? ④()p q ?∨ 中，真命题是 A 、①③ B 、①④ C 、②③ D 、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的 S 属于 A 、[-6,-2] B 、[-5,-1] C 、[-4，5] D 、[-3,6] 7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加 工成球，则能得到的最大球的半径等于 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
2013年北京高考理科数学试题及标准答案
绝密★启封前 机密★使用完毕前 2０１3年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理)（北京卷) 本试卷共5页，１50分，考试时长1２0分钟,考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共4０分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}101A =-， ，,{}|11B x x =-<≤，则A B = Ａ.{}0 B.{}10-， ? C.{}01，?Ｄ.{}101-，， （2)在复平面内,复数()2 2i -对应的点位于（ ) A.第一象限?Ｂ．第二象限?C ．第三象限 D.第四象限 （3)“π?=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件?? ?B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件? D.既不充分也不必要条件 （4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．1? B ． 23??C.1321 D.610987 （５）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x = A ．1e x +????B.1e x - Ｃ.1e x -+? D.1e x -- (6)若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为 A ．2y x =± ?? B.y = C ．1 2 y x =± D ．y = (７)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 ? ?B ．2 Ｃ．8 3 ?
2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 2 y= 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） （ （
4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） 1＞
6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为 作出可行域如图， （﹣ （﹣ ﹣
7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx ， = 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2=﹣1． ） 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ． =．由于向量，|，且+（ = ，满足||=1=+=（ 故答案为：
11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为y=±2x． ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ， ﹣， 故答案为：， 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．
2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)
2014年北京高考数学（理科）试题 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）
.2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数2 11i i +?? = ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则 λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性，且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.
2014年湖南省高考数学试卷(文科)解析
2014年湖南省高考数学试卷（文科） (扫描二维码可查看试题解析) 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）（2014?湖南）设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为（） 2．（5分）（2014?湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（） 3．（5分）（2014?湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分 4．（5分）（2014?湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增 5．（5分）（2014?湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）B 6．（5分）（2014?湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则 7．（5分）（2014?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
8．（5分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） 9．（5分）（2014?湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（） ． ﹣＞lnx2﹣lnx1﹣＜lnx2﹣lnx1 2121 10．（5分）（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） [，[， 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）（2014?湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于． 12．（5分）（2014?湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为． 13．（5分）（2014?湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为． 14．（5分）（2014?湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离 和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是． 15．（5分）（2014?湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=． 三、解答题（共6小题，75分） 16．（12分）（2014?湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和． 17．（12分）（2014?湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： （a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，）， （，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b） 其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败． （Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； （Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 18．（12分）（2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．
2014北京市高考理科数学(理)试题真题及答案
2014年北京市高考数学（理科）试题及答案 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1} B .{0,2} C .{0,1,2} D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??-+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ） .2A .2B - 1.2C 1.2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数211i i +??= ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.
2014年湖南高考语文试题及答案
以下是查字典语文小编给大家整理编辑的2014年湖南高考语文试题及答案，一起来看看吧! 2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 语文 本试题卷共七道大题，22小题，共8页。时量150分钟。满分150分。 一、语言文字运用(12分。每小题3分) 家风是一个家族世代相传沿袭下来的体现家族成员精神风貌、道德品质、审美格调和整体气质的家族文化风格。一个家族之链上某一个人物出类拔( )、深( )众望而为家族其他成员所宗仰追慕，其懿行( )言便成为家风之源，再经过家族子孙代代接力式的( ) 守祖训，流风余韵，绵延不绝，就形成了一个家族鲜明的家风。 1.下列汉字依次填入语段中括号内，字音和字形全部正确的一组是 A.萃孚fóu 佳恪gé B.粹负fú 佳恪kè C.粹负fù 嘉恪gé D.萃孚fú 嘉恪kè 【答案】 D 【解析】出类拔萃：拔：超出;类：同类;萃：原为草丛生的样子，引申指同类丛聚。后以出类拔萃形容卓越出众，不同一般。萃字从草不从米，据义定形。 深孚众望：使大家信服，符合大家的期望。孚：使人信服、信任、相信。读fú，褒义词。 深负众望：指辜负了大家的期望。负：辜负，读fù，贬义词。 懿行嘉言：嘉，美好的意思，不能写作佳。常指有益的言论和高尚的行为。2009年湖南卷字音题曾考过嘉言懿行(yì)。 恪守：谨慎而恭敬遵守。恪读kè ，形声不能套读半边。 试题分析：本题属于一题多考，既考字音、字形，又考成语运用。题目新颖，含金量极高。 考点：识记现代汉语普通话常用字的字音。能力层级为识记A。 考点：识记并正确书写现代常用规范汉字。能力层级为识记A。 考点：正确使用词语(包括熟语)。能力层级为表达运用E。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—北京卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 文科数学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.1 D.15 输出 5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“2 2 a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26 log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 7.已知圆()()2 2 :341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
[历年真题]2014年湖南省高考数学试卷(文科)
2014年湖南省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题,每小题5分,共50分） 1．（5分）设命题p:?x∈R,x2+1＞0,则￢p为（） A．?x0∈R,x02+1＞0 B．?x0∈R,x02+1≤0 C．?x0∈R,x02+1＜0 D．?x0∈R,x02+1≤0 2．（5分）已知集合A={x|x＞2},B={x|1＜x＜3},则A∩B=（） A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（） A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5分）下列函数中,既是偶函数又在区间（﹣∞,0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x 5．（5分）在区间[﹣2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为（）A．B．C．D． 6．（5分）若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11 7．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于（） A．[﹣6,﹣2]B．[﹣5,﹣1]C．[﹣4,5]D．[﹣3,6]
8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（5分）若0＜x1＜x2＜1,则（） A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1 C．x2＞x1D．x2＜x1 10．（5分）在平面直角坐标系中,O为原点,A（﹣1,0）,B（0,）,C（3,0）,动点D满足||=1,则|++|的取值范围是（） A．[4,6]B．[﹣1,+1]C．[2,2]D．[﹣1,+1] 二、填空题（共5小题,每小题5分,共25分） 11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于． 12．（5分）在平面直角坐标系中,曲线C:（t为参数）的普通方程为．13．（5分）若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为． 14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1,0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等,若机器人接触不到过点P（﹣1,0）且斜率为k的直线,则k的取值范围是． 15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数,则a=．
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i 2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（?U A）∩B的子集个数为（） A．7 B．3 C．8 D．9 3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D． 4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（） A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10 5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2） 2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（） A．B．C．D． 6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2） 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D． 8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
2013年高考理科数学湖南卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (湖南卷) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013湖南，理1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 答案：B 解析：z＝i＋i2＝－1＋i，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B． 2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()．A．抽签法B．随机数法 C．系统抽样法D．分层抽样法 答案：D 解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样． 3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B ，则角A等于()． A． π 12 B． π 6 C． π 4 D． π 3 答案：D 解析：由2a sin B 得2sin A sin B sin B，故sin A ，故A＝ π 3 或 2π 3 .又△ABC为锐角 三角形，故A＝π3 . 4．(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件 2, 1, 1. y x x y y ≤ ? ? +≤ ? ?≥- ? 则x＋2y的最大值是()． A． 5 2 -B．0 C． 5 3 D． 5 2 答案：C 解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分． 令x＋2y＝d，即 1 22 d y x =-+， 由线性规划知识可得最优点为 12 , 33 ?? ? ?? ，所以d max＝ 145 333 +=. 5．(2013湖南，理5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()．A．3 B．2 C．1 D．0 答案：B 解析：设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x，y)，
(北京市)2014年高考真题数学(理)试题(WORD高清精校版)
数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 11 页） 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 （1）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B = （A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2} （D ）{0,1,2} （2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是 （A ）y （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ （3）曲线1cos , 2sin x y θθ=-+??=+? （θ为参数）的对称中心 （A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上 （4）当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输 出的S 值为 （A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840 （5）设{}n a 是公比为q 的等比数列．则“1q >”是“{} n a
数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 11 页） 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若,x y 满足20,20,0,x y k x y y +-?? -+??? ≥≥≥ 且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为 （A ）2 （B ）2- （C ） 12 （D ）1 2 - （7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,1,D ．若1S ,2S ,3 S 分别是三棱锥D ABC – 在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 （A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠ （D ）32S S =且31S S ≠ （8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学 生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 （A ）2人 （B ）3人 （C ）4人 （D ）5人
2014年湖南省高考数学试卷(理科)附送答案
2014年湖南省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（） A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i 2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（） A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（） A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20 5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④ 6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（） A． B． C．pq D．﹣1 9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（） A．x=B．x=C．x=D．x= 10．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（） A．（﹣）B．（）C．（）D．（） 二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是． 12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于．
2014年北京高考word版数学文试卷
绝密★启封并使用完毕前 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷） 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 （1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 （2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = （3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.1 B.3 C.7 D.15
（5）设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 （6）已知函数()26 log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ （7）已知圆()()2 2 :341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
2019年北京卷理科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知复数z =2+i ，则z z ?= （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）已知直线l 的参数方程为13, 24x t y t =+=+???（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是 （A ） 15 （B ） 25 （C ） 45 （D ） 65 （4）已知椭圆22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2 （B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b （D ）3a =4b （5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥?1，则3x+y 的最大值为 （A ）?7 （B ）1 （C ）5 （D ）7
（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2?m 1= 52lg 2 1E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）10 10.1 （B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10 ?10.1 （7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：2 2 1||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）函数f （x ）=sin 2 2x 的最小正周期是__________． （10）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=?3，S 5=?10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． （11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长 为1，那么该几何体的体积为__________．
2014年湖南高考作文题目.doc
2014年湖南高考作文题目 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信
念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。
2014年北京高考数学真题及答案(文科)
绝密★启封并使用完毕前 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 （1）若集合{0,1,2,4} I B=，则A B= A=，{1,2,3} （A）{0,1,2,3,4}（B）{0,4} （C）{1,2}（D）{3} （2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是 （A）e x y x = y- =（B）3 （C）ln y x = =（D）|| y x （3）已知向量(2,4) a b b，则2-= =- = a，(1,1) （A）(5,7)（B）(5,9) （C）(3,7)（D）(3,9) （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为Array（A）1 （B）3 （C）7 （D）15 数学（文）（北京卷）第1 页（共13 页）
数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 13 页） （5）设,a b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）已知函数26 ()log f x x x = -．在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(0,1) （B ）(1,2) （C ）(2,4) （D ）(4,)+∞ （7）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0),(,0)A m B m - (0m >)．若圆C 上存在点P ， 使得90APB ∠=°，则m 的最大值为 （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条 件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（,,a b c 是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 （A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟
