第8章 位移法
习 题
一、判断题：
1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 （ ）
2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 （ ） 4、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 （ ）
5、图示结构，当支座B 发生沉降?时，支座B 处梁截面的转角大小为12
./?l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。 （ ）
6、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。 （ ）
/2
/2
2l l θ
θ
C
7、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。 （ ）
8、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。 （ ）
q l
9、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程 的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。（ ） 10、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。 （ ） 11、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于 杆 端 位 移 。 （ ） 12、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
/2
/2
2l l θ
θ
C
二、填空题：
13、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
EI
EI
EI
EI 2EI EI EI
EI
EA
EA a
b EI=
EI=EI=
24442
第13题
14、位移法可解超静定结构、静定结构，位移法典型方程体现了_______条件。 15、图示梁A 截面的角位移φA = ____________。（杆长l ，
荷载作用在中点）
16、图示结构，M AB = __________。
EI =
17、图示刚架，各杆线刚度i 相同，不计轴向变形，用位移法求得 M AD = ，M BA =___________。
18、图示结构M BA 的值为_____________,________________侧受拉。
l
1=
19、图示连续梁各杆之EI =常数，用位移法计算时，典型方程式中之自由项R P 1=_______________。
4m 2m 2m
20、用位移法计算图示结构时，有_______个未知量。
EI
EI
EI
EI =
EI
21、图示结构B 点的竖向位移为____________。
l
l
22、图示结构，EI=常数，各杆长度l 相同。为了使结点A 转动单位角位移，则在该点施加的力偶矩M 应等于_______________。
23、图示刚架，用位移法求解时只有横粱的侧移作为基本未知量，若设横梁AB 、CD 的水平侧移分别为Z 1和Z 2，则其典型方程中的主系数r 22=_________。
2→24、图示结构位移法典型方程中的常数项R p 1=_______，R p 2=_________。
6m
6m
10kN/m
三、选择题：
25、图示梁线刚度为i ，杆长为l ，已知杆件A 端转角为α，竖向位移为a ＝αl ，则杆端A 的弯矩为： （ ）
A ．4i α ；
B ．6i α ；
C ．8i α ；
D ．10i α 。
26、欲使图示结构中的内力M M M M ql AC CA CB BC ====2
12/，则应有：（ ）
A ．A =∞，I I 12,均为常数；
B ．I I 12==∞,A = 常数；
C ．I A 2=∞=∞,；
D ．I A 20=∞=,。
27、图示结构用位移法求解可得： ( )
A . ()
?=P i h //1212
；
B . ()?=P i h //121 ；
C . ()?=Ph i 2
124/ ； D . ()?=P i h //241
。
h
28、图示结构EI =常数，二力杆的EA =∞,正确的杆端弯矩（顺时针为正）是：（ ）
A.M M M FE FC BE ===0;
B.M M m M m FE FC BE =-==-24,;
C.M M m
M m FE FC BE =-==2
,; D.M M m
M FE FC BE =-=
=2
0,.
m
29、位移法典型方程中的系数是： （ ）
A.单位位移引起的杆端力或杆端弯矩；
B.单位位移引起的附加联系的反力或反力矩；
C.单位荷载引起的杆端力或杆端弯矩；
D.单位荷载引起的附加联系的反力或反力矩。 30、连续梁和M 图如图示，则支座B 的竖向反力B F 是： （ ）
()
A.121.↑;
()B.507.↑; ()C.1107
.↓; ()
D.1707.↑。
图 M ()
kN .m 16.72
11.573.21
15.853m 3m
6m
31、图示梁之EI =常数，固定端B 发生向下竖直位移?但不转动，由此引起梁中点C 之竖直位移为： （ ）
A.(/)14?（向上）；
B.(/)12?（向下）；
C.(/)58?(向下）;
D.(/)1116?（向下）。
/2
l /2
l
32、图示结构，各杆EI 常数，截面C 、D 两处的弯矩值M C 、M
D
分别为：（单位：
kN.m ） （ ）
A. 1.0, 2.0;
B. 2.0, 1.0;
C.-1.0, -2.0;
D.-2.0,-1.0。
1m
3m
33、图示结构EI EI 12=∞= , 常数，用位移法求解时，.最少的未知量数为： （ ）
A.1；
B.2；
C.3；
D.4。
1
EI 2
EI 2
EI 12
34、图b 是图a 所示结构位移法所作图的条件是： ( )
A.i i i 123==,为有限值。
B.i i i i 1213≠=,,为有限值。
C.i i i 123≠≠,为有限值。
D.i i i 132==∞,,为有限值。
i i 1
2i 3
l Pl/4
Pl/4
Pl/4
Pl/4
( b )
35、图示连续梁，EI =常数，欲使支承B 处梁截面的转角为零，比值a/b 应为：（ ）
A.1/2；
B.2；
C.1/4；
D.4。
q
36、图示结构，EI=常数，已知结点C 的水平线位移为()?CH ql EI =→71844
/,则结
点C 的角位移?C 应为： （ ）
A.ql 3
/46EI （顺时针向）； B.-ql 3
/46EI （逆时针向）； C.3ql 3
/92EI （顺时针向）； D.-33
ql /92EI （逆时针向）。
q
l
l
四、计算题
37、用位移法计算图示结构并作M 图，各杆刚度均为EI ，各杆长均为 l 。
38、用位移法计算图示结构并作M 图，各杆长均为 l ，EI =常数。
39、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱刚度EI 相同。
2
40、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。
l
l
l /2l /2
41、求对应的荷载集度q 。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 ()5123/()EI →。
12m
12m
8m
q
42、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
l
l l
43、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI 相同。
4m
44、用位移法计算图示结构并作M 图，EI =常数。
18、用位移法计算图示结构并作M 图。
6m
2m
19、用位移法计算图示结构并作M 图。
q
l
l
20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆
EI =常数，q = 20kN/m 。
6m
6m
21、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
l
l l l l
22、用位移法计算图示结构并作M 图，E = 常数。
m
m
2m
l
l 2
46、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
l
q
l
47、用位移法计算图示结构并作M 图。 l = 4m 。
l
l
m 48、用位移法计算图示结构并作M 图。
EI 1=
49、用位移法计算图示刚架并作M 图。已知各横梁EI 1=∞
，各柱EI =常数。
P
P
h
5m
4m
51、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。
q
q
l l /2/2
52、用位移法作图示结构M 图。并求A B 杆的轴力, E I =常数。
l
l
53、用位移法作图示结构M 图。EI =常数。
l
l
l
/2
54、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。
q
q
l l
/2
l /2l
55、用位移法计算图示结构并作出M 图。
6m
30K N /m
56、用位移法计算图示结构并作M 图，E =常数。
2m
57、用位移法计算图示结构并作M 图。 E I =常数。
l
l l
l q
58、用位移法计算图示对称刚架并作M 图。各杆EI =常数。
l l
59、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
60、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
q
l l l l
61、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
q
l
62、用位移法计算图示结构并作M 图。设各柱相对线刚度为2，其余各杆为1。
3m
3m
63、用位移法计算图示结构并作M图。
q
q
l l
64、用位移法计算图示结构并作M图。
2m2m
65、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。
l l
l ql
44、用位移法计算图示结构并作M图，C支座下沉 ，杆长为l。
EI
B
C
EI
2
66、用位移法计算图示结构并作M 图。杆长均为l ，支座A 下沉c 。
67、用位移法计算图示结构并作M 图。
68、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
θ
l l
69、已知B 点的位移?，求P 。
l
l
/2
/2
?
70、用位移法计算图示结构并作M 图。E =常数。
θ
I2I
71、图示对称刚架制造时AB杆件短了Δ，用位移法作M图。EI =常数。
A
B
4l
72、用位移法计算图示结构并作M图。
q
73、用位移法计算图示刚架，作M图。除注明者外各杆EI =常数。
74、用位移法计算图示刚架，作M图。除注明者外各杆EI =常数。
l
75、用位移法计算图示刚架作M图。除注明者外各杆EI =常数，EI1=∞。
q
76、图示结构C 为弹性支座，弹簧刚度k i l =/2
，用位移法计算，并作M 图。
l
l
77、用位移法计算图示结构并作M 图。E =常数。
l
l
/2
/2
l 3
78、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数， k EI l 0=/。
l
l
79、用位移法计算图示结构并作M 图。
l
l /2l /2
80、用位移法求图示梁的M图。已知EI =常数，B支座弹簧刚度k
EI
l
=
3
。
EI
=/l3
81、用位移法作图示结构的M图。弹簧刚度系数k EI l
=/3，设E I =常数。
q
82、试用位移法作图示结构M图。
习题 7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。 (a) (b) (c) 1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移 (d) (e) (f) 3个角位移，1个线位移2个线位移3个角位移，2个线位移 (g) (h) (i) 一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？ 7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。 7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？ 7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。 (a) 解：（1）确定基本未知量和基本结构 有一个角位移未知量，基本结构见图。 l 7- 32
Z 1M 图 （2）位移法典型方程 11110 p r Z R += （3）确定系数并解方程 i ql Z ql iZ ql R i r p 24031831 ,82 12 12 111= =-∴-== （4）画M 图 M 图 (b) 解：（1）确定基本未知量 1个角位移未知量，各弯矩图如下 4m 4m 4m
7- 34 1Z =1M 图 3 EI p M 图 （2）位移法典型方程 11110 p r Z R += （3）确定系数并解方程 1115 ,35 2p r EI R ==- 15 3502 EIZ -= 114Z EI = （4）画M 图 () KN m M ?图 (c) 解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种M 图如下 6m 6m 9m
第八章矩阵位移法 一、基本内容及学习要求 本章内容包括：矩阵位移法的解题思路，单元刚度矩阵及其坐标变换，直接刚度法(先处理)，等效结点荷载以及矩阵位移法应用中的问题。要求会用矩阵位移法计算结构的位移和内力。 通过本章的学习应达到： (1)掌握矩阵位移法的解题思路和步骤，了解矩阵位移法与位移法的内在联系。 (2)建立单元坐标系下的单元刚度矩阵，明确单元刚度矩阵的特性及矩阵元素的物理概念。 (3)弄清坐标变换的含义，形成结构坐标系下的单元刚度矩阵。 (4)借助定位向量，熟练应用直接刚度法(先处理)形成结构刚度矩阵。 (5)计算综合结点荷载。 (6)利用结构刚度方程求解结点位移进而计算杆端内力。 二、学习指导 (一)矩阵位移法的解题思路与步骤 矩阵位移法与位移法的解题思路基本相同，两者的差异仅在于前者从机算考虑，采用矩阵使公式规格化，以适应程序设计的要求，故解题步骤和处理方法都有所不同。为使读者抓住学习要领，现用简例扼要说明两者间的关系。 图8．1所示三跨连续梁承受结点集中力 偶作用。用位移法求解时若将其转化为三根两 端固定梁，按以下步骤直接建立位移法方程。 (1)把三根梁作为三个单元，利用转角位
移方程将其杆端弯矩表示成杆端位移的函数
矩阵位移法和位移法两者比较，求解过程基本相同，关键不同之处在于矩
阵位移法利用了K的组合特性，解算时绕过平衡条件直接建立结构刚度矩阵。下面对此作简要说明，使读者有大致的了解。 位移法通过单元刚度方程，利用平衡条件建立位移法方程，其系数由各单元刚度方程的系数组合而成。矩阵位移法则借助各单元刚度矩阵的元素直接形成结构刚度矩阵，只要把单元刚度矩阵的元素按其附标放到结构刚度矩阵的相应位置(有一方附标为零或两方附标均为零的元素不进入)，再将同一位置的元素相加即可，故又称直接刚度法。这一过程归纳为“对号入座、同位相加”，本题按此即得 读者把K的建立过程与式(g)对照，不难发现二者的共同之处，其差别仅在于位移法的处理较为直观，矩阵位移法更加直接却稍嫌繁琐，以分别适应手算和机算的要求。读者了解这些特点，会使学习思路更加清晰。 (二)单元刚度矩阵 应用矩阵位移法必须首先进行单元分析，建立单元杆端力与杆端位移间的关系(单元刚度方程)，其目的是找到单元杆端力与杆端位移间的转换矩阵——单元刚度矩阵(以下简称“单刚”)。单刚的形式和元素与所取坐标系关系密切，矩
第7章位移法 一. 教学目的 掌握位移法的基本概念； 正确的判断位移法基本未知量的个数； 熟悉等截面杆件的转角位移方程； 熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 二. 主要章节 §7-1 位移法的基本概念 §7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作 §7-3 位移法解无侧移刚架 §7-4 位移法解有侧移刚架 §7-5 位移法的基本体系 §7-6 对称结构的计算 ＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容） §7-8小结 §7-9思考与讨论 三. 学习指导 位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。 四. 参考资料 《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257 第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位
移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。 本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）②基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解） §7-1位移法的基本概念 1.关于位移法的简例 为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。图7-1和图7-2所示。 (a)(a) (b) (b)
第8章 位移法 习 题 一、判断题： 1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 （ ） 2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 （ ） 4、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 （ ） 5、图示结构，当支座B 发生沉降?时，支座B 处梁截面的转角大小为12 ./?l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。 （ ） 6、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。 （ ） /2 /2 2l l θ θ C 7、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。 （ ） 8、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。 （ ） q l 9、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程 的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。（ ） 10、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。 （ ） 11、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于 杆 端 位 移 。 （ ） 12、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
/2 /2 2l l θ θ C 二、填空题： 13、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI=EI= 24442 第13题 14、位移法可解超静定结构、静定结构，位移法典型方程体现了_______条件。 15、图示梁A 截面的角位移φA = ____________。（杆长l ， 荷载作用在中点） 16、图示结构，M AB = __________。 EI =
超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI=EI= 24442 2、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 … 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题： 12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。 2 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。
l l/2l/2 % 14、求对应的荷载集度q。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 () 5123 /() EI→。 12m12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。 l l l l 16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M图。 q l l
[ 20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数，q = 20kN/m 。 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l q l 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 ! 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。
习 题 8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。 8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。 8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。 (a) 解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识 （2）建立结点位移向量，结点力向量 [] T 44332211 θνθνθνθν=? [] T y M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ （3）计算单元刚度矩阵 ?????? ????????-=????????=222232221 1211462661261226466126122EI 2 1 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①① ?? ???? ? ???????-=????????=2 22233332232223 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②② l l l
?? ???? ? ???????-=????????=2 22234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③ （4）总刚度矩阵 ?? ? ?? ????? ?? ? ?????????????=??????????????++=2222222222344433433333223 22222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③ ③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵 支座位移边界条件 [][]00004311 θ θ θν= 将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。 ?? ???? ????????=2 22 222 232004 30 6 30 33182EI l l l l l l l l l - l l -l k θ (b)用先处理法计算 （1）结构标识 （2）建立结点位移向量，结点力向量 [][] T T 0 0 0 0 5411==?ννθν
结构力学第7章位移法习题答案 7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。 (a) (b) (c) 1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移 (d) (e) (f) 3个角位移，1个线位移2个线位移3个角位移，2个线位移 (g) (h) (i) 一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？ 7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。 7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？ 7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。 (a)
解：（1）确定基本未知量和基本结构 有一个角位移未知量，基本结构见图。 Z 1M 图 （2）位移法典型方程 11110 p r Z R += （3）确定系数并解方程 i ql Z ql iZ ql R i r p 24031831 ,82 12 12 111= =-∴-== （4）画M 图 M 图 (b) 4m 4m 4m
精品文档 解：（1）确定基本未知量 1个角位移未知量，各弯矩图如下 1Z =1M 图 3 2 EI p M 图 （2）位移法典型方程 11110 p r Z R += （3）确定系数并解方程 1115 ,352 p r EI R = =- 15 3502 EIZ -= 114Z EI = （4）画M 图 () KN m M ?图 (c) 解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种M 图如下 6m 6m 9m