图2
绝密★启用前
揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试
数学(理科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知}4,3,2,1{=A ，}2|{2x
x x B ≥=，则=B A （A ）}2{ （B ）}3,2{ （C ）}4,2{ （D ）}4,3,
2{
（2）已知复数(12)()z i
a i =++（a 为实数，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则||z =
（A ）5
（B ）
（C ）
（D ）50
（3）已知命题2
:,10p x R x x ?∈-+>；命题:q 若2
2
lg lg a b <，则a b <，下列命题为假命题的是
（A ）p q ∨ （B ）p q ∨? （C ） p q ?∨ （D ）p q ?∨? （4）已知sin
24
a π
=，cos
24
b π
=，且a 、b 的夹角为
12
π
，则=a b ?
（A ）116 （B ）18 （C ）8 （D ）1
4
（5）设x ，y 满足约束条件??
?
??≤≥+-≤-1040
x y x y x ，则y x z --=的最小值为
（A ）6- （B ）4- （C ）2-
（D ）0
（6）函数()f x 的部分图象如图1示，则()f x 的解析式可以是
（A ）222()()f x x x π=- （B ）()cos f x x x π=+
（C ）()sin f x x x = （D ）2()cos 1f x x x =+- （7）图2程序框图是为了求出10099321????? 的常用对数值，那么
在空白判断框中，应该填入
（A ）99≤k （B ）100≤k （C ）99≥k （D ）100≥k （8）某几何体三视图如右图3示，则此几何体的体积为
（A ）π48640+ （B ）π176（C ）π16640+ （D ）704
正视图
侧视图
俯视图
图3 （9）已知10<<
（A ）
1ln ln
b a a ln ln >
（C ）b b a a ln ln < （D ）b
a b a > （10）已知抛物线x y 42=，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，
且|AB |=10，以线段AB 为直径的圆与y 轴相交于M 、N 两点，则|MN |=
（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC
的面积为4153，2=a ，3=b ，则=A
a
sin
（A ）
364 （B ）151516 （C ）3154 （D ）3
64或151516
（12）已知函数()()f x x R ∈满足()(4)f x f x =-，若函数2
|41|y x x =-+与()y f x =图象的交点为
112233
(,),(,),(,),,(,),n n x y x y x y x y 则1
n
i i x ==∑
（A ）0 (B)n (C) 2n (D)4n
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）7)1(+ax 的展开式中3
x 的系数为280-，则实数a 的值为________.
（14）记函数()f x =A ，在区间[-3,6]上随机取一个数x ，则x ∈A 的概率是 . （15）设函数()cos(3
f x x π
=-
，则以下结论:
①()f x 的一个周期为2π- ②()f x 的图象关于直线43
x π
=
对称 ③()f x π+为偶函数 ④()f x 在(
,)2
π
π单调递减
其中正确的是 .（请将你认为正确的结论的代号都填上）
（16）已知双曲线1222
=-b
y x 的离心率为25
，左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上运动、点Q 在圆
1)1(22=-+y x 上运动时， ||||1PF PQ +的最小值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列}{n a 满足258,a a +=633a a -=. （Ⅰ）求数列}{n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若21
32n n n
b S -=+?，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
D
C
B
A
P
E D C B
A
（18）（本小题满分12分）
如图4（1）所示，平面多边形ABCDE 中， AE=ED ，AB=BD
，且AB =2AD =，
AE =1CD =，AD CD ⊥，现沿直线AD 4（2）
将ADE ?折起，得到四棱锥P ABCD -，如图4（2）示． 图4（1）
（Ⅰ）求证：PB AD ⊥； （Ⅱ）图4（2
）中，若PB =
PD 与平面PAB 所成角的正弦值．
（19）（本小题满分12分）
从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维 长度（单位：mm ）， 得到如图5的茎叶图，整数位为茎， 图5 小数位为叶，如27.1mm 的茎为27，叶为1．
（Ⅰ）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的 大小及方差的大小；（只需写出估计的结论，不需说明理由） （Ⅱ）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标 准如下表：
试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率；
（Ⅲ）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取4根，记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数，求ξ的分布列和数学期望.
（20）（本小题满分12分）
在圆2
2
4x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为A ，点Q 在线段AP 上，且
AP AQ =，当点P 在圆上运动时.
（Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与上述轨迹C 相交于M 、N 两点，且MN 的中点在直线1=x 上，求实数k 的取值范围． （21）（本小题满分12分）
已知函数1ln )1()(--+=ex x ax x f （a 为实数）. （Ⅰ）若1--=ex y 是曲线)(x f 的条切线，求a 的值； （Ⅱ）当e a ≤<0时，试判断函数)(x f 的零点个数．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为??
?==α
αsin 2cos 2y x （α为参数，],0[πα∈）；现以原
点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为ρ=
，
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设1C 和2C 的交点为M 、N ，求MON ∠的值． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数||||)(a x a x x f --+=，
（Ⅰ）设3)2(>f ，求a 的取值范围；
（Ⅱ）当1|| f 与|)(|x f 的大小． 揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学 (理科)参考答案及评分说 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 解析（12）由()(4)f x f x =-知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且函数2 |41|y x x =-+的图象也关于直线2x =对称，则两个函数图象的交点两两关于直线2x =对称，故 1 n i i x ==∑2n . 解析（16）依题意可知1=a ，2 = b ，设)1,0(B ，由12||||2PF PF -=得 12||||=||||+2PQ PF PQ PF ++2||2F Q ≥+，问题转化为求点2F 到B 上点的最小值，即 2min 231||||1122F Q F B =-=-=,故1min 15 (||||)222 PQ PF +=+=． 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由633a a -=得数列}{n a 的公差63 13 a a d -==，---------------------------2分 由258,a a +=得1258a d +=，解得13 2 a = ------------------------------------------------4分 ∴1(1)(2) 22n n n n n S na d -+=+= ；----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211(2)2 n S n n n n ==-++； -------------------------------------------------7分 ∴n n b b b b T ++++= 321 1111113(1)()()(122)32422n n n -=-+-++-+++++ -------------------8分 11111111321(1)()233412221n n n n n -=++++-++++++?++--------10分 3113(21)2122 n n n =--+?-++ A O D C B A P 111 3212 n n n -=?- - ++.-----------------------------------------12分 （18）证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，---------1分 ∵BA BD =，EA ED =，即PA PD =， ∴OB AD ⊥且OP AD ⊥，-----------------------------------3分 又OB OP O =，∴AD ⊥平面BOP ，------------------5分 而PB ?平面BOP ， ∴PB AD ⊥；-----------------------------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2， 2 2 2 5O P O B P B +==，∴ PO OB ⊥,-------------------------------------7分 ∴OP 、OB 、OD 两两互相垂直， 以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 则(010),(200)A B -，，，，，(010),(001)D P ，，，，, (0,11),(011)DP AP =-=，，，，(2,0,1)BP =-, 设(,,)m a b c =为平面PAB 的一个法向量，则 由00 200AP m b c a c BP m ??=+=?????-+=?=? ?? 令1,a =则得2,2c b ==-，∴(1,2,2)m =-，---------------------------10分 设PD 与平面PAB 所成角为θ， 则|,cos |sin ><=m θ| |||m DP ?=32 2324=?=，-------------------11分 故sin 3θ= ，即PD 与平面PAB 所成角的正弦值为3 .--------------------12分 【解法2：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2， 2 2 2 5O P O B P B +==，∴ PO OB ⊥,-------------------7分 又OP ⊥OD ，OB OD O =, ∴OP ⊥平面ABD ，----------------------------------------------------------8分 设点D 到平面PAB 的距离为h ，由D PAB P ABD V V --=得PAB ABD S h S PO ???=?, ∵1 2,2 ABD S AD OB ?= ? =1322APB S AP ?==, ∴214332 h ?==，-----------------------------------------------------10分 设PD 与平面PAB 所成角为θ ，则sin 3 h PD θ=== , 即PD 与平面PAB 所成角的正弦值为 3 .----------------------------------------------------12分】 （19）解：（Ⅰ）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大； 乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小． -----------------------------------------2分 （Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9]（即二级）比率分别为： 51255=，--------------3分； 30.1225 =，---------------------------------------------------4分 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15（或0.2）和3 25 （或0.12）.-----5分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，从甲种棉花中任取1根，其纤维长度为二级的概率为1 5 ， 不是二级的概率为14 155 -=， 依题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4. 又4 4256(0)()5 625P ξ=== （或0.4096），1 3414256(1)()55625P C ξ==??=（或0.4096）， 22241496(2)()()55625P C ξ==??=（或0.1536），3 341416(3)= 55625P C ξ==??（）（或0.0256）， 411 (4)= 5625 P ξ==（）（或0.0016）---------------------------------------10分 故ξ的分布列为： 455 E ξ=?=（或0.8）.-------------------------------------------------12分 （20）解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)Q x y ，------------------------------------------1分 由AP =得 则00,x x y ==，--------------------------------------------------------------------------2分 ∵点P 在圆22 4x y +=上，即22004x y +=， ∴2 2 )4x +=，即12 42 2=+y x ， ∴点Q 的轨迹C 方程为12 42 2=+y x （2±≠x ）.--------------------------------------5分 （Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行， 则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分 把m kx y +=代入12 422=+y x ，得0424)12(222=-+++m kmx x k ，-----7分 则)42)(12(4162222-+-=?m k m k )48(82 2m k -+=， 由0>?，得2 2 )12(4m k >+，-------------------------------------------------------8分 由 11 222221=+-=+k km x x ，得1222+=-k km ，---------------------------------9分 所以2 2 2 2 2 2 )12(4)12(16+=>+k m k k k ，解得1142 >k ， 所以k 的取值范围是),14 14()1414,(∞+- -∞ ．--------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(∞+， e x ax x a x f -++ =1ln )('e a x x a -++=1 ln ，----------------------------------1分 设切线与曲线)(x f 的切点为),(00y x P ，则切线的斜率为)('0x f ， 即e e a x x a -=-++0 01 ln ，化简得1)1(ln 00-=+x ax （*），-----------------2分 又1ln )1(0000--+=ex x ax y 且100--=ex y ， 得0ln )1(00=+x ax ，----------------------------------------------------------------------3分 ∴0ln 0=x 或010=+ax ， 联立（*）式，解得1-=a ；---------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）设e a x x a x f x g -++ ==1 ln )(')(， 由01)('2 >-=x ax x g 得a x 1 >， ∴)(x g 即)('x f 在),1(∞+a 上单调递增，在)1 ,0(a 上单调递减， 得e a a a a f x f -+-==2ln )1 (')('min ，其中e a ≤<0，-------------------------6分 设e x x x x h -+-=2ln )(（e x ≤<0）， 由01ln )('>+-=x x h ，得e x <<0， ∴)(x h 在],0(e 上单调递增，得0)()(=≤e h x h ， ∴0)('min ≤x f （仅当e a =时取“=”），-------------------------------------------------7分 ①当e a =时，0)('min =x f ，得0)('≥x f ， ∴)(x f 在),0(∞+上单调递增，又011)(2 =--+=e ae e f ， ∴函数)(x f 仅有一个零点，为e ；--------------------------------------------------------8分 ②当e a <<0时，0)1 (')('min <=a f x f ， 又0)('>+=- a e a e e a e f ， ∴存在11 x a >，使1'()0f x =，----------------------9分 又0)1('=-++-=e a e a e f ，而a e 11<， ∴当)1,0(e x ∈1(,)x +∞时，0)('>x f ，当11 (,)x x e ∈时，0)(' ∴函数)(x f 在)1,0(e 和1(,)x +∞上单调递增，在11 (,)x e 上单调递减，-----10分 又03)1(<--=e a e f ，01)(>-=a e e f a e ，---------------------------------------11分 ∴函数)(x f 仅有一个零点， 综上所述，函数)(x f 仅有一个零点．---------------------------------------------------12分 选做题 （22）解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O ----2分 其极坐标方程为[])0,ρθπ= ∈；-----------------------------------------4分 （Ⅱ）联立方程[])0,ρθπ= ∈，ρ= 得sin 2cos20θθ-=，-----5分 于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分 解得24 π θ= 或524 πθ= ，即M N θθ和的值为858ππ和------------------------8分 所以2 ||π θθ= -=∠M N MON ．--------------------------------------------------------10分 （23）解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f --------------------------------------------------------1分 ①当2--+--a a ，无解；--------------------------------------------2分 ②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23> a ，所以22 3 <+-+a a ，恒成立；-----------------------------------------------4分 综上知，a 的取值范围为),2 3 (∞+．------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）| || 1|||1|1||1|)1(22a a a a a a a a a f --+=--+=，---------------------------------------------6分