填空:(1 古埃及、古巴比伦)
1古埃及人纸草书有两种:一是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书;二是收藏于俄国莫斯科美术博物馆,被称为莫斯科纸草书。
2古埃及人的计数制:是十进制,并有数字的专门符号,当一个数出现某个数码的若干倍时,就将它的符号重复若干次,遵守加法的法则。计数系统是叠加制(乘、除法运算用叠加进行的)不是位值制。已有分数概念。
3古埃及代数纸草书中出现“计算若干”的问题,相当于方程问题,解决这类问题的方法是试位法。有关数列问题记载。
4古埃及几何:古埃及人通过具体问题说明了正四棱台的体积公式是V=1/3(a2+ab+b2)h。著名数学史家贝尔形象地将此称为“最伟大的埃及金字塔”。
5古巴比伦的计数制:采用的是楔形文字,计数系统是60进制。
6古巴比伦的代数:已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式,他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。还发现了级数问题,勾股数表。
7古巴比伦的几何:实际中的几何问题都可以转化为代数问题,他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。古巴比伦算术代数较为领先,古埃及几何成果较为突出。
(2希腊数学)
1数学史上把公元前6世纪至公元前3世纪的希腊数学称为古典时期的希腊数学或前期希腊数学,把公元前3世纪至公元6世纪称为后期希腊数学。
2泰勒斯:希腊科学之父,论证几何学、测量学鼻祖。内接于半圆的角必为直角—(~定理)
3毕达哥拉斯学派发现的不可公度量(希帕索斯)向希腊数学提出了一个难题是:如何处理离散与连续、有限与无限的关系。
4芝诺运动的悖论:二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说。
5亚里士多德对数学最大贡献是建立了形式逻辑学。提出了矛盾律、排中律等思维的规律。6欧几里得(雅典)《几何原本》是在公元前300年左右完成的。
《几何原本》包括:几何代数、初等数论、无理数、立体几何。
7丢番图解代数方程的大师。绝大多数问题是不定方程。第一次系统地提出代数符号,其主要著作《算术》,堪称古代数学的典籍。丢番图符号系统中,没有加法、乘法和除法的运算记号,加法他是用并列来表示的,乘法和除法则通过累加和累减去进行。他总是只使用一个未知数。丢番图被后人称为『代数学之父』
8托勒密写成三角学最早系统性论著《数学汇编》,该书中有著名的托勒密定理:在圆内接四边形中,两对角线之积等于两对对边乘积之和。据此托勒密作出了从(1/2)°到180°间隔为(1/2)°的弦表。海伦著作《测量学》摆脱了古典数学的狭隘性,表现出直接与生产联系的强烈特色。其中有著名的三斜求积公式。
(3印度阿拉伯)
1印度数学家:阿耶波多:《阿耶波多文集》得出了圆周率为3.1416的较为精确的近似值。阿耶波多的著作中给出了一些级数求和公式。
婆罗门笈多:《婆罗门修正体系》;摩诃毗罗:《算术九章》;婆什伽罗:《丽罗娃提》和《算法本原》;
2印度中时期数学发展:印度数码和10进位值制计数法,人们所说的“阿拉伯数码”实际上最早是由印度人发明的。
3阿拉伯花拉子米:《代数学》在书中给出符号“0”以及0在十进位值数制中作用以及其运算规则。“复原”与“对消”相当于今天的移项和合并同类项。花拉子米采取演算与论证并举的方式阐述解方程的过程。
(4 中国传统数学)
1《周髀算经》问题集共90题比《九章算术》稍早一些大约成书于公元前2世纪的西汉时期。《九章算术》成书于西汉末东汉初,即公元1世纪初。
2《九章算术》全书采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。
3刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”,并借助极限的方法。圆周率近似值为π≈3.14化为分数就是157/50“徽率”。
4祖冲之π≈3.1415926,密率为355/133;约率为22/7。祖暅原理:“缘幂势既同,则积不容异”。即夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若所得截面总相等,则此二几何体体积相等。西方称为“卡瓦列利原理”。
5宋元四杰,就是宋元时期最杰出的四位数学家秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰。宋元时期(四大发明)是以代数为中心的时期,北宋数学家贾宪创造的“增乘开方法”包括了四种算法:缩根、估根、减根和倍根。在开方过程中,随乘随加、反复迭代,计算减根变换后方程各项系数的方法,具有鲜明的算法特点,与现代所用的“霍纳算法”基本一致。李冶《测圆海镜》在数学上的最大贡献,就是总结、发展并完善了“天元术”。
6秦九韶《数书九章》问题集形式,全书81个数学实际应用问题,按性质分为九类,每类九题,共18卷。其中,他推广传统的“开方法”,创立了“正负开方术”。他的程序与贾宪方法的区别在于:由于规定了“实常为负”,整个程序便统一用加法,真正实现了随乘随加的机械操作。《数学九章》中最突出的有两项:一项是“正负开方术”,另一项是“大衍求一术”。“大术”与高斯定理是等价的,“大术”为求解同余式题目找到了一条科学的途径,从而诞生出了“中国剩余定理”。
7“天元术”标志着中国传统数学发展到一个新的高度,半符号代数的产生。朱世杰推广了“天元术”,提出了用“四元术”来解四元方程。“四元术”是一种四元高次方程组的布列与求解方法。(天地人物)“四元术”中“相消法”步骤是“剔而消之”“互隐通分相消”和“内外相消”三步。
8沈括《梦溪笔谈》提出高阶等差数列求和的“隙积术”。
9徐光启明末翻译(利玛窦口授)欧几里得《几何原本》前六卷。入清后李善兰后九卷。10中国传统数学的特点:追求适用;注重算法;寓理于算。《九章算术》特点注重实际问题和长于计算,
11数学教育的开始周代《周礼?地官》中的礼、乐、射、御为大艺,书、数为小艺,前者为大学所授,后者为小学所习,并称“六年教之数,十年学书计”。
(5 欧洲中世纪数学)
1从5世纪中叶到15世纪是欧洲中世纪黑暗时期。培根(英格兰贵族)号称“万能博士“他提倡科学,重视现实,反抗权威。他认为数学的思想方法是与生俱来的,并且是与
自然规律相一致的。
2斐波那契(意)数列1,1,2,3,5,8,……
3文艺复兴时期:布鲁内利斯,他第一个认真研究了透视法并试图运用几何方法来进行绘画,但尝试从数学角度去研究这一方法的却是阿尔贝蒂。第一个对于透视法所产生的问题从数学上给予解答是德沙格。
4帕斯卡定理:“如果一个六边形内接于一条圆锥曲线,则其三对对边的交点共线;反之亦然。”
5数学是思维的体操,又是一种符号的游戏。用字母表示数标志着代数从算术脱胎而出,成为一门独立的学科。
6韦达“符号代数之父”。著作有《三角学的数学基础》、《分析方法引论》、《几何补编》、<<有效的数值解法》、和《论方程的整理与修正》,他在符号代数方面的贡献最为突出。他在《分析方法引论》一书中他第一个有意识地、系统地实用了字母。《分析方法引论》符号代数著作。他把符号化代数称为“类的算术”。韦达使用“+”与“-”分别表示加法和减法,但没有一个确定的符号来表示相乘和相等,通常用文字来说明。
5对数的发明是计算技术的一次重大进步,归功于苏格兰贵族纳皮尔。
(6 解析几何)
1解几是代数与几何相结合的产物,它把变量引入数学,用运动的观点研究几何轨迹。解几创始人笛、费。
2法国哲学家笛卡尔《指导哲理之原则》中提到“数、形同质”的思想以及用代数方法研究几何问题的思想。《方法论》的附录《几何学》的问世,是解几学产生的重要标志。科学的需要和对方法论的兴趣,推动了费马和笛卡尔对坐标几何的研究。
2费马是由通过研究阿波罗尼斯的椭圆关系式而创立了解几的方法的。费马创立的解几虽然具有创造性,但还不够成熟,这主要在他对纵坐标如何依赖横坐标注意不够。
3雅各布·伯努利是极坐标的发明者。约翰·伯努利首次引入空间直角坐标系。
(7 微积分的创立)
1微积分解决问题的思想是先在局部“以不变代变”或“以直代曲”,求得所求量的近似值,然后在无限变化的过程中实现近似转化为精确。
2牛顿(英格兰)是受笛卡尔启发而研究微积分的。莱布尼茨(德国)创设的微积分符号优于牛顿。莱~和牛顿将积分和微分真正沟通起来,两者内在的直接的联系:微分和积分是互逆的两种运算。微积分“是牛和莱大体上完成的,但不是由他们发明的。”牛顿在微积分方面的研究虽然早于莱~,但莱~成果的发表则早于牛。
(8概率论)
1概率论的研究虽来源于对赌博问题的研究,但促使它迅速发展的直接动力却是来自保险业的需要。概率论的基本内容是探求偶然现象中的数学关系。概率和数理统计构成了研究偶然现象的或然数学的主要内容。
2概率论的发生和发展过程的四个阶段:方法积累、理论概括、系统整理和公理体系完成。3雅各布·伯努利(瑞士)《推想的艺术》,法国棣莫弗在概率论中贡献最大,《抽签的计量》后改为《机遇原理》是专著之一。书中“正态分布”
4高斯主要贡献在于奠定了最小二乘法和误差估计的理论基础,推广“大数定律”和“中心极限定理”
(9 微积分的发展)
1分析基础的严密化柯西分析学的逻辑基础发展史上的重大事件是实数理论的建立。魏尔斯特拉斯提出“区间套原理”来建立实数理论,他根据实数理论为微积分的严密化作出了重要的贡献。
2海伦主要的著作是《测量学》
(几何学代数学现代数学)
1非欧几何学:主要指双曲几何学和椭圆几何学。
2非欧几何是由高斯、波尔约和罗巴切夫斯基创立的。
3黎曼(德)是复变函数论的奠基人、组合拓扑的开拓者
4非欧几何、群论和集合论的出现,是19世纪数学的三大革命。
5现代数学时期以泛函分析、抽象代数和拓扑学为理论基础。
6巴拿赫被人们称为“泛函分析之父”。
7“抽象代数”主要奠基人诺特(德)。1920年,她引入了“左模、右模”的概念,在公理化的基础上建立了一般的理想论,成为交换代数发展的里程碑。
8数学结构除了代数结构外,还有拓扑结构和序结构。
9拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变的一门学科(如七桥问题)。拓扑学分为点集拓扑学和组合拓扑学。第一本拓扑学的著作,是高斯的学生1874年李斯廷发表的《拓扑学初步》,首先引用了拓扑学这一术语。
10应用数学①运筹学②控制论,该学科的创始人是美国数学家维纳③密码学,莫尔斯发明了有线电报,对保密的迫切需要,推动了密码学的研究④模糊数学美国加利福尼亚大学的控制论专家L.A查德创立了一门新的学科——模糊数学。⑤计算机与计算数学《方法论》
1数学方法论主要研究和讨论数学的发展规律,数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。
2波利亚四个具体解题模式:双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式。
3解题过程中思维活动的性质①解题过程主要由动员与组织这两种活动组成的。②辨认与回忆,充实与重新安排:辨认与回忆是构成动员的两个主要环节。充实和重新安排可以看成组织的两个基本意义。③分离与组合;分离是指“从整体里把特殊的细节挑出来”。组合则是指“把零散的细节重新集合成一个有意义的整体”。
4数学美的基本内容①统一性(对称性)泰②简单性二③奇异性不④抽象性群数学美是一种客观存在,是自然美在数学中的反映。
5所谓抽象就是指由具体事物中抽取出相对独立的各个方面、属性及关系等的思维活动。强抽象可以看成概念的适当组合。群、环、域等概念就组成了如下的强抽象链。群+→环+→域。函数+→连续函数+→可微函数。
6在欧氏空间概念的基础上逐步引出内积空间、距离空间、拓扑空间等概念是弱抽象。
7波利亚《怎样解题》的步骤①弄清问题②找出已知数与未知数之间的联系,如果找不到直接的联系,你可能不得不考虑辅助问题,最终得出一个求解计划③行你的计划④演算所得到的解。
简答:
1欧几里得总结古典希腊数学,用公理方法整理几何学,写成13卷《几何原本》。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。
2《几何原本》的历史贡献:~是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,是约300年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶,其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起,在长达两千多年的时间里一直盛行不衰,除《圣经》之外,没有任何其他著作,其研究、使用和传播之广泛,能够与《几何原本》相比,但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响,却是《圣经》所无法比拟的。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神,是人类文化遗产中的瑰宝。
3丢番图(希腊)的数学成就:亚历山大的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用,对後来的数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是讲数论的,它讨论了一次、二次以及个别的三次方程,还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程,如果只考虑其整数解,这类方程就叫做丢番图方程,它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数,而只要求是正有理数。从另一个角度看,《算术》一书也可以归入代数学的范围。
4阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械师。他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理方法有机地结合起来,使力学科学化。阿基米德(生活在古希腊亚历山大前期)数学成就:数学著作《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》这些论著无一不是数学创造的杰出之作;阿基米德是力学的创始人。确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。在推演这些公式的过程中,他创立了“穷竭法”,即我们今天所说的逐步近似求极限的方法,因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法,比较精确的求出了圆周率。面对古希腊繁冗的数字表示方式,阿基米德还首创了记大数的方法,突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限,并用它解决了许多数学难题
5希腊数学的特色和局限性:亚历山大时期大大开拓了希腊数学的领域,正是由于这个时期的成就,希腊数学才能作为一个比较完整的体系载入史册,在这一时期,定量研究有了很大的进展,但并没有使偏重几何的方向发生逆转。算术和代数中,演绎式逻辑结构始终没有建立起来;三角学的研究尚未摆脱天文学,这就决定了对于数的研究仍然是直观的、经验的、其发展是缓慢的,从而使几何的发展步履艰难。
6希腊的数学特色①使数学成为抽象性的一门科学②建立了演绎推理证明数学的公理化体系③建立了几何学三角学代数
学并奠定了数论的基础④有了一些高等数学知识萌芽如数论,极限等⑤发现若干定理和证明,逻辑结构严密论证认真细致。局限性①片面强调几何而忽视计算技巧,从而在很大程度上限制了代数的,并且是几代人看不出几何与算式在概念的运算上的相似之处,使人们认为几何方法就是数学证明的唯一方法②在逻辑上拘泥于严格性而了创造性③由于哲学而回避了无限过程。从而与极限方法失之交臂
7评价阿拉伯数学在数学发展中的贡献不太一致。有人认为阿拉伯数学有很高的创造性,尤其是在代数学和三角学方面;也有人认为阿拉伯数学缺少创造性,并且他们工作无论
在数量上或质量上,都比不上古希腊或现代学者。但是,阿拉伯数学将前人的遗产继承下来,并传给后代欧洲人,在数学史上继往开来的作用是被一致公认的。
8赵爽中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期数学家赵爽给出的,赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者,他的工作主要包括三个方面的内容:一为文字解释;二为较详细的数学理论推演,三是补图。其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。这篇注文,五百余字简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果,最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题,他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。
9刘徽:杰作《九章算术注》和《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产.《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法,发展《九章算术》的理论,完善《九章算术》的体系做出杰出的贡献。《九章算术注》中载录了它在数学上的许多重要贡献。刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”,并借助极限的方法。他的另一著作《海岛算经》,是关于“测高望远之术”的专著。该书共9问,涉及到的勾股测量方法有重表、累矩、连索以及两望、三望、四望。《海岛算经》是刘徽对中国古代重差理论的进一步发展,展示了勾股比率和重差测量的演化历程,标志着中算家在测量技术及理论方面所达到的新的高度。他从圆的内接正六边形出发,取半径为一尺,一直推算到内接正192边形,得到圆周率近似值为π≈3.14化为分数就是157/50“徽率”。
在几何方面,刘徽的贡献尤为突出,他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明,这些方法包括“圆形割补法”、“代数法”“极限法”以及“无穷小分割法”等等。
10祖父子的贡献父子俩都对在代数方面,《九章算术》与刘徽注有浓厚的兴趣,他们的著作《缀术》在唐代曾被李淳风收入“算经十书”作为教科书。祖冲之最突出的的成就是对圆周率的推算
11秦九韶《数学九章》著作继承了中国古代传统数学特色,受《九章算术》的影响,采用问题集的形式。他推广传统的“开方法”,创立了“正负开方术”。马蒂生高度评价了秦九昭的“大衍求一术”指出它实质上与高斯定理是等价的。
12宋元四杰:李治的《测园海镜》和益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作。“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度,这就是半符号代数的产生。
13 朱世杰(13~14世纪元)《四元玉鉴》,其主要数学成就是求解方程的四元术、高阶等差数列研究及其在内插法上的应用。推广了“天元术”,提出用“四元术”来解四元方程,可以说是中国筹算代数学的顶峰。美国科学史家萨顿称朱世杰是“贯穿古今的一位最杰出的数学家”。
14沈括,接近下层,注重实际,掌握了大量的第一手科技资料,晚年写成的名著《梦溪笔谈》,被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。
15徐光启:1606年,利玛窦口授,徐光启笔述,翻译了欧几里得《几何原本》前六卷,这是翻译西方数学书籍的开始。
16中国传统数学的特点①追求实用,与古希腊数学追求纯粹的“理念”形成强烈的对比,传统数学有浓厚的应用色彩。②注重算法:中国传统数学实用性的特点,决定了它以解决实际问题和提高计算技术为主要目的。③寓理于算:刘徽《九章算术注》堪称中国传
统数学理论的典范,主张“析理以辞。解体以图。
17解析几何的诞生平面解析几何通过平面直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,以及曲线与方程之间的一一对应关系,运用代数方法研究几何问题,或用几何方法研究代数问题。十六世纪以后,由于生产和科学技术的发展,天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如,德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的,太阳处在这个椭圆的一个焦点上;意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线,要研究这些比较复杂的曲线,原先的一套方法显然已经不适应了,这就导致了解析几何的出现。
18解几产生意义:有了解几几何概念可以用代数表示,几何的目标可以通过代数达到;反之,给代数语言以几何的解释,可以直观地掌握那些语言的意义,又可以从中得到启发去提出新的结论。解几的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合,使形与数统一起来,这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤,解几的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。
19笛卡尔(法1596-1650)。著作《方法论》其中包括:《几何学》、《屈光学》和《气象学》。主要成就有:开创性地用代数方法研究几何问题,把代数方程和曲线、曲面联系起来;引出了变量和函数的概念。
20费马的贡献他和笛卡儿都是坐标几何的发明者外,他在数论和微积分方面的工作也是非常突出的,并还同帕斯卡一同开创了概率论的研究工作。关于研究圆锥曲线的探索,费马是由通过研究阿波罗尼斯的椭圆关系式而创立了解析几何的方法的。费马又从阿波罗尼斯的工作中导出了双曲线方程xy=zpl,对于费马建立的解析几何,虽然具有创造性,但还不够成熟。这主要表现在他对纵坐标如何依赖横坐标注意不够,而这又是解析几何中十分重要的问题。
21笛和费解几比较费马的工作与笛卡儿工作的共同之处是都没有负坐标,也没有y轴,他们的“坐标系”都是斜坐标系,但是,两人研究坐标几何的方法不大相同。笛卡儿批评了希腊的传统,而且主张同这些传统决裂;费马则着眼于继承希腊人的思想,认为他自己的工作是重新表达了阿波罗尼斯的工作,真正的发现——代数方法的威力——是属于笛卡儿的,他知道自己是在改造古代的方法。他在《几何学》的引言主中说:“我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论,以及考查这些性质的方法,依我看,远远超出了普通几何的论述,正如西塞罗的词令远远超过儿童的简单语言一样。”因此,和费马的方法相比,笛卡儿的方法具有普遍性,而且就潜力而论也适用于更一般的曲线。
22费马与笛解几没被重视的原因:①费马的《引论》出版较晚,而笛的《几何》强调几何作图问题,所以掩盖了用代数方法表示几何曲线,并通过代数方程研究几何曲线这一珍贵思想②当时许多数学家反对把代数和几何混淆起来,或者把算术和几何混淆起来。23莱布尼茨断定一个事实:作为求和过程的积分是微分的逆。1686年在《学艺》上发表了题为《深奥的几何与不可分量及无限的分析》的第一篇积分学论文。在这篇论文中,他初步论述了求积(积分)问题与切线(微分)问题的互逆关系。莱布尼茨还是历史上最大的符号学者之一。莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的。莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质,得出复数的对数并不存在,共轭复数的和是实数等结论。他还对线性方程组进行研究,对消元法从理论上进行了探讨,并首先引入了行列式的概念,提出行列式的某些理论。此外,莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。1673年他到巴黎去制造了一
个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后,计算工具的进一步进步,他还系统地阐述了二进制计数法,并把它和中国的八卦联系起来,为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。莱布的物理学成就也是非凡的。在光学方面,莱布也有所建树,另外,莱布对中国的科学、文化和哲学思想十分关注,他是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。
24牛顿和莱微积分的共同点①他们都把微积分作为一种能应用于一般函数的普遍方法②都认识到积分问题与微分问题之间的本质联系,从而都提出了微积分学的基本定理③都把微积分从前期学者的几何形式中解脱出来,建立了一整套运算方法和符号体系,以便应用和进一步发展④他们的微积分都带有初创的痕迹,极限概念比较模糊,缺乏严密的逻辑基础.
25牛顿和莱关于微积分缺陷①牛顿回避了运动变化的观点而将无限小增量“瞬”看作是静止的无限小量,并在某些情况下令其为0,这就带有了浓厚的不可分量的色彩②莱看不清楚怎样从一组矩形得到曲线下的面积。
26牛顿和莱的工作各有什么缺陷,给后来的数学家留下了哪些问题?微积分“牛顿和莱布尼茨大体上完成的,但不是由他们发明的”。剖析牛顿和莱创立微积分的过程,可以看到,对于微积分这门新的学科而言,还有许多概念有待澄清,例如,对于无穷小的概念,牛顿曾经作出了三种解释,虽然他自己认为其中以最初比和最终比的观点最为严密,但就这仍被当时的很多数学家认为是不可靠的。莱布尼茨也是一样,虽然他自始至终用了无穷小量方法,但对微分的态度仍是摇摆不定的,时而看做不确定量,时而看做定性的零,有时又看到做辅助变量,可以说牛顿和莱布尼茨都没有清楚地理解也没有严密地定义他们的基本概念,这就给今后微积分的进一步发展留下了许多课题,使得18世纪几乎成为分析的时代。
27牛顿和莱微积分的差异牛顿继承了培根的经验论,对归纳特别青睐。牛顿的微积分明显带着从力学脱胎而来的物理模型的痕迹,以机械运动的数学模型出现,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都来自机械运动,是机械运动瞬间状态的数学抽象。他建立微积分的目的是为了解决特殊问题,强调的是能推广的具体结果。而莱布强调能够应用于特殊问题的一般方法和算法,以便统一处理各种问题。莱布在符号的选择上花费了大量的时间,发明了一套富有提示性的符号系统。他把 sum(和) 的第一个字母S 拉长表示积分,用dx 表示x 的微分,这套简明易懂又便于使用的符号一直沿用至今。牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸,关心的是微积分在物理学中的应用。经验、具体和谨慎是他的工作特点,这种拘束的做法,使他没有能尽情发挥。而莱布尼兹关心的是广泛意义下的微积分,力求创造建立微积分的完善体系。他富于想象,喜欢推广,大胆而且有思辩性,所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。
28欧拉(瑞士)创立了分析力学、刚体力,研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料力学,并把振动理论应用到音乐理论中去。他研究问题最鲜明的特点是:把数学研究之手深入到自然与社会的深层。他不仅是一位杰出的数学家,而且也是一位理论联系实际的巨匠、应用数学的大师。他还是微分方程近似解法的创始人。
29实数三大派理论:巍尔斯拉特斯的“有界单调序列”,戴德金“分划”康托尔海涅的“基本序列”再加上集合论和柯西、巍尔斯特拉斯的极限论,使数学分析结束了300多年的混乱局面,建立在牢固的逻辑上,其中逻辑上的严密性,有如欧几里得几何学一样令人
惊叹;其形式上的严谨性,实非古希腊人所能梦想。关于微积分学的发展,毕达哥的名言是惊人的贴切:万物皆数。
30代数学的扩张四元数(A+bi+cj+dk )格拉斯曼等人扩张的意义:不仅在于提供不满足乘法交换律以外,具有实数和复数几乎所有性质的一种代数,也不仅在于它为物理等学科提供了一个适当的数学工具,而在于在哈密顿以前,人们一直把数的加法、乘法满足性质a+b=b+a,a×b=b×a,当作公理,而哈密顿四元数的乘法,不满足乘法的交换律,这与学的“正统思想”如此相悖,他的工作向数学界表明;在代数中也可以像非欧几何那样,在人为天经地义的代数公理系统中去掉几条或添上几条就会得到新的代数。
31集合论的创立归功于康托尔。代数数集是可数的,而实数集是不可数的。即超越数比代数数“多得多”。康托尔创立集合论的成功之处是他敢于承认有限和无限的本质区别,排除一切传统的、直观的世俗偏见,利用一一对应这一有效的工具,对无穷数集合的特性进行了深入的、纯理性的分析。
32非欧几何的产生对后来的影响:在客观上对研究了2000多年的第五公设作了总结,它引起了人们对数学本质的深入探讨,影响着现代自然科学、数学和数学哲学的发展①非欧几何的产生是数学以直观为基础的时代进入一个以理性为基础时代的重要标志②非欧几何的产生,引起一些重要的数学分支,如数的概念、分析基础、数学基础、数理逻辑等,公理化方法也获得进一步完善③非欧几何学的创立,为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具,给物理学带来了一场深刻的革命,动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位,使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃④非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期。冲破传统观念并破除千百年来的思想习惯,对数学的绝对观点刮来一场暴风,给康德的唯心哲学以有力一击,使数学从传统的而上学的束缚下解放出来,用康托尔的话说“数学的本质在于其自由”。总的来说,非欧几何的建立所产生的一个“最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变对数学性质的理解”。
33分析基础的严密化19世纪初,数学家转向数学分析的基础的建设,最早对无穷小概念进行审慎研究的先驱是波尔查诺,最重要工作是关于微积分基本概念的研究。在这方面有突出贡献的首推数学家柯西特长是:在分析学方面,他对微积分给出严密的基础,还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理,现在所谓的柯西定义实际是半个世纪后经过魏尔斯特拉斯的加工才完成的,分析学的逻辑基础发展史上的重大事件是实数理论的建立。魏尔斯特拉斯是将严格的论证引入分析学的一位大师,作为一个反例,他发现处处不可微的连续函数,提出“区间套原理”来建立实数理论,他根据实数理论为微积分的严密化作出了重要的贡献。
34运筹学的建立和发展过程:运筹学是运用数学方法解决生产、国防、商业和其他领域中的安排、筹划、控制、管理等有关问题的音乐数学的分支。最早产生于二战中的英国,用以解决空防雷达信息系统与战斗机系统的协同配合问题。不久美军也开始了类似的研究,并在战争中建有奇功。目前运筹学已包括有数学规划论、博弈论、排队论、决策分析、图论等。
(已考过)
1芝诺悖论的意义:芝诺针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念,提出了45个违背常理的悖论,把这些矛盾暴露出来,在希腊数学界引起了巨大的震动,其中
关于运动的三个悖论尤为引人注目:(1)二分说(2)阿基里斯追龟说(3)飞箭静止说。芝诺这些悖论在当时是十分困难的,因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还是很模糊的无限与连续的概念,更重要的是,人们明知他的悖论是不符合常理的,却又不能驳倒他,这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。毫无疑问,这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。
2巧辩三大几何难题:只允许用尺规作一正方形使其面积与给定的圆的面积相等;给定立方体的一边,求作另一立方体之边,使后者的体积两倍于前者体积;三等分任一已知角。直到1831年数学家万采尔首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图解决。德国数学家林德曼于1882年,证明了π的超越性,否定了用尺规画圆为方的可能性。3巧辩学派把作图工具只限于直尺和圆规,反映对数学的怎样认识:即他们强调在研究一个概念时必须证明它的存在,只有从真理出发,依靠演绎推理才能获得真理,在他们看来,直线和圆客观存在的,所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾。这样的思想促进了希腊数学的严密化。
4亚里士多德对数学的贡献柏拉图学派的亚里士多德对数学最大的贡献是建立了形式逻辑学,虽然以前已有不少学者奠定了逻辑的基础但他把形式逻辑规范化和系统化,使之上升为一门科学。他提出了矛盾律、排中律等思维的规律;把逻辑学理解为论证的学问:从个别到一般的归纳和从一般到个别的演绎;他还研究三段论法的格和规则,这些都为数学推理提供了基本的逻辑依据。亚里士多德的著作中也有许多重要的几何定理,如多边形的外角之和等于四直角,在包围给定面积的所有平面图形中,圆的周长最小等。由于这些数学学派的工作,为希腊数学积累了丰富的素材,也为希腊数学后来的进一步发展打下了坚实的基础。
5引入对数概念的原因:对数的发明是计算技术的一次重大进步。16世纪初,欧洲人的商业活动和科学探索对计算技术提出了更高的要求。特别是以精确测量为基础的天文学的兴起,使得人们遇到繁杂的数值计算,人们由衷地希望简化计算,比如说把乘除运算归结为加减运算。对数的发明功绩归于苏格兰贵族纳皮尔,他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法。
6概率论的产生和发展的阶段(四个):方法积累、理论概括、系统整理和公理体系的完成。①概率论起源于对赌博问题的研究,帕斯卡和费马二人他们在估计赌徒获胜的可能性时,总是利用有利情形数与所有可能数之比。他们会同惠更斯一起,给出了概率、数学期望等基本概念的雏形,并得到了相应的性质和计算方法,《关于赌博中的推断》一书,公认的有关或然数学的奠基之作。②由于概率论在保险理论、人口统计、射击理论、年度预算、产品检验以及天文学、物理学等学科的应用,概率论随之进入了一个崭新的阶段,雅格布.伯努利出版《推想的艺术》他的工作使得建立在经验分析基础上的频率稳定性的轨迹理论化,概率论也从由对特殊问题的求解发展为对一般理论的概括阶段。③到了19世纪初,概率论的研究开始朝系统化方向发展,其中贡献较大的数学家有:法国的拉普拉斯、泊松、德国的高斯,俄国的契比雪夫、马尔科夫等。④1917年,前苏联数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系,1933年,科尔莫哥洛夫以其莫斯科学派所擅长的实变函数论和测度论为基础,又给出了概率论的一个公理体系。
数学方法论绪论
1数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。
2微观的数学方法论与宏~的区分:微~主要着眼于数学工作者个人的研究活动,即集中在数学的思想方法及数学发明创造的启发法则的研究上;宏~则希望通过历史的考察揭示出数学发展的动力与规律。数学方法论属于宏观的范围。
3研究数学方法论的目的和意义①对数学的研究工作来说它能促进对合理方法的天才的、不自觉的运用向有意识的、自觉的应用的转化;②就数学的教学工作而言,数学方法论事实上是对我们的教师提出了更高的要求,我们既要注意知识的传授,也要注意数学方法论方面的训练和培养;③自觉地以数学方法论来指导数学学习,也可以收到更好的学习效果。
第一章:波利亚的数学启发法
1波利亚四个具体解题模式:双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式。
笛卡尔所谓的“万能方法”即认为按照以下的模式就可以有效地解决一切问题:一是把任何问题转化为数学问题,二是把任何数学问题转化为代数问题,三是把任何代数问题归结为解方程。
所谓递归,笼统地说,是指运用收集到的知识作为行动的基础去获得更多的知识。由于这里所涉及的往往是多个甚至是无穷多个求知量,因此,所谓的递归事实上就是指知识的“不断扩张”。数学归纳法也可看成递归模式的直接应用。
所谓叠加模式就是指“从一个导引特款出发,利用特殊情形的叠加去得出一般问题的解。”两个步骤:首先处理一个特殊情形。即“导引特款”,第二用某种指定的代数运算(所谓的叠加)把一些特殊情形组合起来,从而获得一般情形的解。
2波利亚提出的怎样解题包含的环节①弄清问题;我们必须清楚地了解问题,弄清它的主要部分②拟定计划;我们必须了解已知的东西与所要求的东西之间的联系③实现计划;实现我们的求解计划,并仔细地检查每一个步骤④回顾。回顾所完成的解答,对它进行检查和讨论。
3解题过程中思维活动的性质:①解题过程主要由动员与组织这两种活动组成的。动员:波利亚把“从我们的记忆中把有关的条款抽出来”的活动称为动员;“把有关的条款有目的地联系起来”和活动就是组织。②辨认与回忆,充实与重新安排:辨认与回忆是构成动员的两个主要环节。充实和重新安排可以看成组织的两个基本意义。③分离与组合;分离是指“从整体里把特殊的细节挑出来”。组合则是指“把零散的细节重新集合成一个有意义的整体”。
4合情推理简单地说就是合理的猜测方法。合情推理的模式基本归纳模式:A蕴含B B 真/A更可靠
5类比的意义类比是某种类型的相似性…是一种更确定的和更概念性的相似
类比方法的各种用途①类比是提出新问题和做出新发现的一个重要源泉。②类比在求解问题中也有着广泛的应用。
6归纳是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律。
归纳过程的典型步骤:首先,我们注意到了某些相似性;然后是一个推广的步骤,即把
所说的相似性推广为一个明确表述的一般命题;最后,我们又应对所得出的一般命题进行检验,即应进一步考察其他的特例,如果在所有考察过的例子里,这一猜测都是正确的,我们对它的信心就增强了,而如果出现了不正确的情况,我们就应对原来的猜测进行改进。
7类比与归纳的关系①类比是归纳的基础②特殊化和一般化构成了整个归纳过程的基础③如果一批问题是密切相关的,把这些问题联系起来加以考察有时要比单独去解决其中一个孤立的问题容易些。
8特例考察(特殊化)的意义①考察了一般命题的具体特例以后,我们就可以彻底了解这个命题,懂的它的全部意义。②在用新地特例验证了一般结论之后,就得到归纳的证据,这也就是增强了我们对原来猜测的信心。③相对于位于归纳阶段之后的论证阶段来说,特例的考察有助于证明思想的发现。
第二章:数学发现的逻辑与关系映射反演的方法(徐利治)
1化归方法的基本思想“化归”是转化和归结的简称,化归方法是数学解决问题的一般方法,基本思想是:人们在解决数学问题时,常常是将待解决的问题A,通过某种转化手段,归结为另一个问题B,而问题B是相对容易解决或已有固定解决方程式的问题,且通过对问题B的解决可得原问题A的解答。
分割法是实现化归经常用到的一种方法。分割法的基本思想:“把你所考虑的每一个问题,按照可能和需要,分成若干部分,使它们更易于求解。”双轨迹模式和笛卡尔模式可以看成分割法的特殊情况。
2化归方法的一般模式问题问题-问题-解答-解答。
3化归方法的基本原则①简单化原则:是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构,通过化归,将其变为比较简单的形式、关系结构,或者通过问题的简单化,获得解决复杂问题的思路。②熟悉化原则:是指将原问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如,二元方程组化成一元方程组。③和谐化原则:是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此,我们在解题过程中,可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征,利用和谐美去思考问题,获得解题信息,从而确立解题的总体思路,达到以美启真的作用。
化归原则的主要特点:就在于它具有更强的目的性、方向性和概括性。化归原则与波利亚关于在解题过程中应充分利用“辅助问题”思想是一致的。
化归原则:如果把“化归”理解为“由未知到已知、由难到易、由复杂到简单的”转化,那么,我们就可以说,数学家思维的重要特点之一,就是他们特殊善于使用化归的方法去解决问题。
4明确的对应关系在数学中被称为映射。关系映射反演方法的基本思想:这是由中国学者徐利治与1983年提出的,当解决问题甲有困难时,可以借助适当的映射,将问题甲及其关系结构R,转换成比较容易解决的问题乙及其关系结构R[*],在关系结构R[*]中解出问题乙,然后把所得结果,通过逆映射反演到 R,从而求得问题甲的解。
关系映射反演方法方法的基本内容:设R表示一组原象的关系结构(或原象系统),其中包含着待确定的原象X,令M表示一种映射,通过它的作用假定原象结构系统R被映成映象关系结构R[*],其中包含未知原象X的映象X[*],如果有办法在R[*]中把X[*]确定下来,则通过逆映射即反演I=M[-1]也就相应地把X确定下来。利用关系映射反演方法
方法解决问题的步骤为:关系─映射─定映─反演(得解)。明确的对应关系在数学中称为映射。
5特殊化和一般化是数学思维的核心,同时也是怎样解题的关键所在。特殊化是指考虑一般性命题的特殊例子;一般化是指由一些特例抽象出共同的特性。
6特殊化在解题过程中作用①只有通过特殊化我们才能很好地了解所面临的问题②只有通过特殊化我们才能认识导致一般化的模式③对于所得出的一般结论我们又必须借助进一步的特殊化去进行检验。
梅森指出了改进数学思维的三个主要环节①必要的数学知识②必要的方法论知识③必要的心理素质或情感因素
7所谓抽象就是指由具体事物中抽取出相对独立的各个方面、属性及关系等的思维活动。数学抽象的特殊内容是一切数学对象都是抽象思维的产物,就其最基本的意义来说,数学抽象就是指具体事物中抽取出量的方面、属性或关系。
8数学抽象的特殊内容:数学是从量的方面反映客观实在的,即在数学的抽象中我们完全舍弃了食物的质的内容而仅仅保留了他们的量的属性,这种特殊的抽象内容就是数学与一般自然科学的一个基本区别。
9数学抽象的特殊方法:抽象思维事实上就是一种“构造性”的活动:即我们借助于明确的定义“构造”出了相应的数学对象。
10数学抽象的特殊量度数学抽象所达到的高度远远超出了其他科学中的一般抽象。首先,尽管一些基本的数学概念具有较为明显的直观意义,但数学中又有很多概念并非建立在对于真实事物的直接抽象之上,而是较为间接的抽象的结果。其次,更为重要的是,在数学中还有一些概念与真实世界的距离是如此之遥远,以致常常被说成“思维的自由想象与创造”;而且,这种思维的“自由性”又被认为是(现代)数学的“本质”最后,就现代的数学研究而言,其高度的抽象性又突出地表现在公理化方法的现代发展上,即由实质的公理化方法到形式的公理化的发展。
11数学抽象的基本原则:(1)模式建构形式化原则(2)弱抽象、强抽象及其方法论原则(3)同向思维、逆向思维及若干方法论原则(4)悖向思维与悖向思维和谐性原则
会根据实例判断抽象的类型(弱抽象、强抽象)例如,由现实原型出发去构造相应的数学模式,就是一个弱抽象的过程。例如,由“全等形”的概念出发,通过分离出“形状相似”与“面积相等”的特性,我们就可分别获得较为一般的“相似形”和“等积形”的概念。另外,由欧氏空间的概念出发,逐步引出内积空间、距离空间、拓扑空间等概念的过程,也是一系列弱抽象的结果。三种基本的数学结构(代数结构、序结构、拓扑结构)可以看成弱抽象的产物。弱抽象由特殊到一般。
强抽象也叫“概念强化式抽象”,是指通过引入新特征强化原型来完成抽象,从而,所获得的新的概念或理论就是原型的特例。例如,由一般三角形的概念出发,通过引入“两条边相等”或“一个角为直角”的特征,我们就可分别获得较为特殊的等腰三角形和直角三角形的概念。另外,如果以符号“+ ”表示强抽象的关系,则群、环、域等概念就组成了如下的强抽象链。群 +→环+→域。
函数 +→连续函数+→可微函数。强抽象可以看成概念的适当组合。由一般到特殊。
抽象度分析法的基本思想是:数学抽象具有一定的层次性,对此可以定量地予以描述,从而也就有抽象度及其他的有关概念。
12数学美亚里士多德指出:“认为数学科学全不涉及美和善是错误的……数学科学特别体现了秩序、对称和明确性,而这些正是美的主要形式。”
罗素:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美……是一种冷而
严肃的美,它没有音乐美术那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步。”
庞加莱:“数学美在于各部分的和谐秩序,使得物体让我们感官满意的彩虹般的外表。”
“数学的美感,数与形的和谐感,几何学的雅致感,这是一切真正的数学家都知道的审美感……正是这些特殊的审美感,起着我已说过的微妙的筛选作用。”“因此缺乏这种
审美感的人永远不会成为真正的创造者。”
13数学美的基本内容①统一性(对称性):如,泰勒公式和体积计算中的“万能计算公
式”能统一地应用于圆柱、锥及台的体积计算。V=1/3(S+S’+根号SS’)。②简单性(如,
二进位数制)③奇异性(如,不完备定理)④抽象性(如,群的概念)一般美的形象性、情感性、新颖性和功利性都融于数学之中。数学美是一种客观存在,是自然美在数学中的
反映。美感,这是人们的一种愉悦感,是心灵上需要的某种适应性。而数学家对美的感受
则着眼于数学的方法和理论,正入数学家庞加莱所说:“数学家们非常重视他们的方法和
理论是否优美,这并非华而不实的作风。”数学方法与理论中的美,就是各个部分之间的和谐与对称,恰到好处的平衡,一句话,那就是井然有序,统一协调,从而使我们对整体以
及细节都能清楚地认识和理解。
14数学直觉的特性(1)直接性(2)整体性,(3)自信性(4)不连贯性,(5)自发性(6)
猜测性
15数学与艺术之间存在的重要区别:从根本上说,艺术创造是为了激发人们的情感,满足感情的需要;数学创造的最终目的则是为了获得关于客观真理的认识,从而满足理性
的追求。因此,我们就不应片面地强调数学是一门艺术,而应看到数学的双重性质,即
数学既是一门科学,同时也是一门艺术。
16三大几何难题不可解性的证明在数学史上的历史发展中也具有重要的意义:首先它结
束了延续2000年之久的一件“公案”,从而避免了后人再在这些问题上无谓地去耗费时间和精力,其次:从方法论的角度看,这一研究表明了在数学中我们不仅应当寻求正面
的肯定的解答,而且也应考虑可能的、否定的解答;最后这也就从又一角度表明了关系
映射反演方法的重要性及其应用的广泛性。
17三大几何难题不可解性的证明可以看成应用关系映射反演方法得出问题的否定性解答
的实例。三大几何难题,是指由古希腊人提出的三个尺规作图问题:①圆化方问题。求作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积,也即要求作出长度为
π的线段。②倍立方问题,求作一立方体,使其体积等于原立方体积的两倍,也即要求做出长度为3
2的线段。③三等分角问题。要求把任意角三等分。为了解决这三个问题,人们曾做了长期
的努力,但最终却证明了这些问题是不可能解决的。而这种“不可能性”主要就是借助
于关系映射反演方法得到了证明。就倍立方问题与圆化方问题而言,根据伽罗华理论及
林德曼关于π和
π都是超越数的证明,32和π都不属于上述尺规作图准则所确定的数量范
围,因此,这两个问题都是尺规作图所不可能解决的问题。
一、单项选择题 1.关于古埃及数学的知识,主要来源于( )。 A.埃及纸草书和苏格兰纸草书 B.兰德纸草书和莫斯科纸草书 C.莫斯科纸草书和希腊纸草书 D. 兰德纸草书和尼罗河纸草书 2.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。 A.爱奥尼亚学派 B.伊利亚学派 C.诡辩学派 D.毕达哥拉斯学派 3.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。 A.《九章算术》 B.《孙子算经》 C.《周髀算经》 D.《缀术》 4.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。 A.中国 B.印度 C.阿拉伯 D.古希腊 5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后,第一位有影响的数学家是( )。 A.斐波那契 B.卡尔丹 C.塔塔利亚 D.费罗 6.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”,其发现者是( )。 A.伽利略 B.哥白尼 C.开普勒 D.牛顿 7.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 8.公元前4世纪,数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线?( ) A.不可公度数 B.化圆为方 C.倍立方体 D.三等分角 9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 10.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( ) A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 11.射影几何产生于文艺复兴时期的( ) A.音乐演奏 B.服装设计 C.雕刻艺术 D.绘画艺术 12.微分符号“d”、积分符号“”的首先使用者是( ) A.牛顿 B.莱布尼茨 C.开普勒 D.卡瓦列里 13.作为“非欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波尔约是( )
自考课程与教学论试题 及答案 The document was finally revised on 2021
《课程与教学论》综合试题与答案 一、填空 1、课程设计的基本要素包括课程目标、课程内容、学习活动、评价和其他要素。 2、教学模式的结构应该包括理论基础、功能目标、实现条件、活动程序和评价。 3、档案袋的开发一般包括三个步骤,即明确课程目标与评价目的、收集和选择作品和反省与评价。 4、目前,新的高中课程结构由学习领域,科目和模块三级构成。 5、根据教学语言表达方式,把教学语言划分为叙述性语言、论证性语言、说明性语言和描述性语言。 6、多媒体计算机系统在教学中主要有两种应用模式:课堂教学模式和个别化教学模式。 7、辛德等在1992年归纳了三种课程实施取向,它们是忠实观、互动调适观和生成观。 8、所谓教学手段,是指师生为实现预期的教学目的,开展教学活动、相互传递信息的工具、媒体或设备。 9、导课的针对性指教师在教学中既要考虑教学内容的需要,又要顾及学生的特点。 10、课程设计,指按照一定的教育观念和价值取向,对学校课程的整体结构以及一门课程的各构成要素进行的规划与安排。 11、自学一指导教学模式是指教学活动以学生的自学为主,教师的指导贯穿于学生自学始终的教学模式。 12、典型的课程与教学论的研究方法包括调查研究法、观察研究法、实验研究法、人种学研究法。
13、课程资源是教学内容的直接来源,它包括素材性资源和条件性资源。 14、课程与教学目标即是我们对课程与教学预期的结果。 15、一般情况下,课堂气氛可以分为积极的、消极的和对抗三种类型。 16、一个完整的教学模式应包含理论基础、功能目标、实现条件、活动程序和评价等五个要素。 17、在课堂教学中,教师的非言语表达艺术是非常丰富的,它一般要通过副语言、手势、面部表情、眼神和体态等来表达。 18、教学过程的基本构成要素是教师、学生和教学内容。 19、为了使课程与教学评价工作更为有效,根据对象发展的进程,根据不同时期有不同进度、目的和重点的实际情况,评价可以分成三类:诊断性评价、形成性评价和终结性评价。 20、按照古德来德的观点,课程可分为:理想课程、文件课程、理解课程、实施课程和经验课程五个不同层面。 21、综合课程分为相关课程、融合课程和广域课程。 22、泰勒提出课程目标有三个来源:对学习者本身的研究、对校外当代生活的研究和学科专家的建议。 23、人种学研究又叫实地研究或者定性研究,其基本过程有:确定被研究的现象和研究对象、收集资料、分析、得出结论。 24、课程设计“过程模式”的代表人物是英国课程学者斯坦豪斯。25、课程结构是指课程各部分的组织和配合,即课程组成部分如何有机地联系在一起的问题。 26、布卢姆把教学目标分为三个层面,即认知领域、情感领域和技能领域。 二、判断下列说法的对错
密★考试结束前 全国2013年7月高等教育自学考试 课程与教学论试题 课程代码:00467 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2. 每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 一、单项选择题(本大题共30小题,每小题1分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1.奥苏伯尔认为,学生为得到师长的认可和表扬而学习的动机是 A.内在驱力B.自我提高驱力 C.认可驱力D.附属驱力 2.“连续性、序列性、整合性”是 A.有效组织学习经验的三个标准B.课程目标的三个来源 C.课程评价的三个特点D.课程内容选择的三个取向 3.“非指导性教学”的理论基础是 A.行为主义心理学B.人本主义心理学 C.认知心理学D.精神分析心理学 4.目标模式的主要代表人物是 A.塔巴B.惠勒 C.泰勒D.坦纳 5.布卢姆等人的“教育目标分类学”把课程与教学目标分为三大领域,即 A.知识、技能、技巧B.认知、情感、动作技能 C.知、行、意D.德、智、体 6.“体现不同性质的教育和不同阶段的教育的价值,如基础教育、高等教育、职业教育等”,指的是 A.课程目标B.教育目标 C.教育目的D.教学目标 7.在学生的学习活动中,人们期望的不是学生反应的一致性,而是反应的多样性、个体性。这一特点说的是 A.生成性目标的特点B.表现性目标的特点
§5.2阿拉伯数学 5.2.1阿拉伯文明概况 阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家,大多分布在亚洲西部和北非一带,一般使用阿拉伯语,信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学,而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学,是穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。 穆斯林在默罕莫得(mohammed)的鼓舞下,在默罕莫得死后(632)不到半个世纪的时间内征服了从印度到西班牙,乃至北非和南意大利的大片土地,到7世纪初,阿拉伯半岛基本统一。661年,叙利亚总督摩阿维亚(muawiyah)被选为哈里发后改为世袭制,开始了倭马亚王朝(umayyads, 661-750).755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国。750年阿布尔·阿拔斯(abū'l-abbās,722-754)推翻倭马亚王朝,建立了东部王国阿拔斯王朝,762年迁都巴格达。756年,逃亡到西班牙的倭马亚王朝后裔阿卜杜·拉曼(abdal-rahmān) 宣告建立西部阿拉伯王国,定首都西班牙的哥尔多华。909年,伊斯兰什叶派脱离巴格达,在北非突尼斯建立一个新的哈里发国家,973年迁都埃及开罗。 11世纪开始,阿拉伯帝国受到外民族的侵略,11世纪初东亚突厥人一支的塞尔柱(seljuk)人入侵阿拉伯,并于1055年在巴格达建立素丹政权;1097年十字军东征,开始了基督教欧洲对穆斯林亚洲的征服;1258年,蒙古人旭烈兀(1219-1265)占领巴格达,建立伊儿汗国,从此阿拉伯帝国灭亡。 在世界文明史上,阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化,最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。阿拉伯建国后,东西两个帝国的哈里发都十分重视科学与艺术事业,他们曾经从拜占庭帝国收买过大量希腊人手稿,他们还延请各地科学家到他们的首都从事科学研究,巴格达成为当时的科学文化中心与商业中心,那里设有学院、图书馆、天文台等科学机构。6世纪柏拉图学院被罗马王封闭后,很多希腊学者转入波斯,这样具有希腊学术传统的波斯文化后来成为阿拉伯文化的一部分。埃及的亚历山大里亚城曾是希腊的学术中心,被阿拉伯征服后,也成为留给阿拉伯人的重要文化遗产,而且叙利亚学派所在的安提阿、大马士革与基督教景教派所在地以得撒,都在阿拉伯帝国的统治下。这样阿拉伯获得印度、希腊、近东等多地区的文化,大多来源于希腊人的手稿或叙利亚与希伯来文译本。今天的研究表明,中国的文化也曾直接流入阿拉伯,或通过印度间接传播阿拉伯世界。 在曼苏尔哈里发时期,婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右传入巴格达,并译成阿拉伯文,8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期,包括《几何原本》和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后都被译成阿拉伯文字。9世纪最著名翻译家,阿拉伯学者伊本·科拉(Tabit ibn Qorra,836-901)翻译了欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作。到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。
一、单项选择题(本大题共30小题,每小题1分,共30分) ? 1、被认为是课程作为独立研究领域诞生标志的着作是(?)? A、《课程》? B、《课程编制的原理》? C、《怎样编制课程》? D、《儿童与课程》 ? 2、被誉为“现代课程理论之父”的是(?)? A、博比特? B、查特斯? C、泰勒? D、泰罗? 3、“实践性课程”的开发方法是(?)? A、观察? B、审议? C、实践? D、规定 ? 4、从本质上看,“泰勒原理”的深层价值取向是(?)? A、技术兴趣? B、解放兴趣? C、实践兴趣? D、价值兴趣?
5、在教育史上第一个倡导教学论的是德国教育家(?)? A、夸美纽斯? B、卢梭? C、裴斯泰洛齐? D、拉特克? 6、标志着理论化、系统化的教学论确立的着作是(?)? A、《大教学论》? B、《普通教育学》? C、《课程与教学的基本原理》? D、《学记》? 7、提出“教育性教学”思想的教育家是(?)? A、杜威? B、裴斯泰洛齐? C、赫尔巴特? D、罗杰斯 ? 8、学习过“平行四边形”概念的儿童,通过学习“菱形”这一概念,知道了“菱形是四边形一样长的平行四边形”,这种学习是奥斯伯尔所提出的(?)? A、尚未学习? B、下位学习? C、并列结合学习? D、总结学习 9、儿童生来就有好奇心,随着后天经验的增长,他们越是不断探索周围世界、了解周围世界,越是从中得到满足,这是奥苏伯尔所提出的(?)?
A、成功驱力? B、自我提高驱力? C、附属驱力? D、认知驱力? 10、下列属于行为控制取向的教学设计模式是(?)? A、加涅的教学设计模式? B、布鲁纳的教学设计模式? C、斯金纳的程序教学设计模式? D、奥苏伯尔的教学设计模式 ? 11、斯金纳提出的程序教学的理论基础是“操作条件反应”和(?)? A、“积极强化” B、“消极强化” C、“实物强化” D、“奖励强化” ? 12、“学生将通过陈述而证明已掌握了五个逗号规则的知识,并能在逗号被删除的句子中正确插入逗号。”这种教学目标的表述属于(?)? A、行为目标? B、普遍性目标? C、生成性目标? D、表现性目标 ? 13、课程开发以当代社会的需求为基点、强调当代社会生活的需求的优先性,此种课程观是(?)?
课程与教学论》综合试题与答案一、填空 1、课程设计的基本要素包括课程目标、课程内容、学习活动、评价和其他要素。 2、教学模式的结构应该包括理论基础、功能目标、实现条件、活动程序和评价。 3、档案袋的开发一般包括三个步骤,即明确课程目标与评价目的、收集和选择作品和反省与评价。 4、目前,新的高中课程结构由学习领域,科目和模块三级构成。 5、根据教学语言表达方式,把教学语言划分为叙述性语言、论证性语言、说明性语言和描述性语言。 6、多媒体计算机系统在教学中主要有两种应用模式: 课堂教学模式和个别化教 学模式。 7、辛德等在1992 年归纳了三种课程实施取向,它们是忠实观、互动调适观和生成观。 8、所谓教学手段,是指师生为实现预期的教学目的,开展教学活动、相互传递信息的工具、媒体或设备。 9、导课的针对性指教师在教学中既要考虑教学内容的需要,又要顾及学生的特点。 10、课程设计,指按照一定的教育观念和价值取向,对学校课程的整体结构以及一门课程的各构成要素进行的规划与安排。 11、自学一指导教学模式是指教学活动以学生的自学为主,教师的指导贯穿于 学生自学始终的教学模式 12、典型的课程与教学论的研究方法包括调查研究法、观察研究法、实验研究法、人种学研究法。 13、课程资源是教学内容的直接来源,它包括素材性资源和条件性资源。
14、课程与教学目标即是我们对课程与教学预期的结果。 15、一般情况下,课堂气氛可以分为积极的、消极的和对抗三种类型。 16、一个完整的教学模式应包含理论基础、功能目标、实现条件、活动程序和评价等五个要素。 17、在课堂教学中,教师的非言语表达艺术是非常丰富的,它一般要通过副语言、手势、面部表情、眼神和体态等来表达。 18、教学过程的基本构成要素是教师、学生和教学内容。 19、为了使课程与教学评价工作更为有效,根据对象发展的进程,根据不同时期有不同进度、目的和重点的实际情况,评价可以分成三类: 诊断性评价、形成性评价和终结性评价。 20、按照古德来德的观点,课程可分为: 理想课程、文件课程、理解课程、实施课程和经验课程五个不同层面。 21、综合课程分为相关课程、融合课程和广域课程。 22、泰勒提出课程目标有三个来源:对学习者本身的研究、对校外当代生活的研究和学科专家的建议。 23、人种学研究又叫实地研究或者定性研究,其基本过程有:确定被研究的 现象和研究对象、收集资料、分析、得出结论。 24、课程设计“过程模式”的代表人物是英国课程学者斯坦豪斯程结构是指 25、课课程各部分的组织和配合,即课程组成部分如何有机地联系在一起的问题。 26、布卢姆把教学目标分为三个层面,即认知领域、情感领域和技能领域。 二、判断下列说法的对错 1、课程与教学评价的对象主要是对教师的评价。(错)
《数学史概论》读书报告 数学源自于人类早期的生产活动,早期古希腊、古巴比伦、古埃及、古印度及中国古代都对数学有所研究。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的运用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是:逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。以下对李文林著《数学史概论》作一个读后的总结。 一、《数学史概论》简介及其特点 《数学史概论(第2版)》以重大数学思想的发展为主线,阐述了从远古到现代数学的历史。书中对古代希腊和东方数学有精炼的介绍和恰当的分析;同时充分论述了文艺复兴以来近现代数学的演进与变革,尤其是20世纪数学的概观,内容新颖。《数学史概论(第2版)》中西合炉,将中国数学放在世界数学的背景中述说,更具客观性与启发性。《数学史概论(第2版)》脉络分明,重点突出,并注意引用生动的史实和丰富的图片。 本书共分十五章,其中第一章“数学的起源与早期发展”介绍了人类在蒙昧时期由于生产生活的需要,逐渐形成了数与形的概念,从最早的手指计数到石头计数,再到结绳计数直到距今大约五千多年前,出现了书写计数以及相应的计数系统。在灿烂的“河谷文明”中,重点介绍了埃及数学和美索不达米亚数学。第二章“古代希腊数学”,介绍了雅典时期和亚历山大时期的数学,其中重点对数学家泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯及其成就作了详尽的介绍。第三章“中世纪的中国数学”,从古代著作《世本》中提到的黄帝使“隶首作算数”,殷商甲骨文中使用的完整的十进制计数,到两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期达到了发展的高潮。介绍的著作主要有《周髀算经》,《九章算术》,《算经十书》,介绍了刘徽的“割圆术”和他在面积、体积公式推证的成就,祖冲之父子推算“圆周率”,在推导几何图形体积公式时提出了“出入相补”及“祖氏原理”;第四章“印度与阿拉伯的数学”;第五章“近代数学的兴起”,讲述了中世纪的欧洲,从代数学、三角学、透视学、射影几何等方面的发展向近代数学的过渡,以至解析几何的诞生;第六章“微积分的创立”,分别介绍了牛顿和莱布尼茨从不同的角度提出的微积分原理;第七章“分析时代”;第八章至第十章,分别以代数、几何、分析这三大领域的变革为主要线索,介绍了19世纪数学的发展;第十一章至十三章是“20世纪数学概观”,分别介绍了纯粹数学的主要趋势、空前发展的应用数学、现代数学成果十例;第十四章“数学与社会”,第十五章“中国现代数学的开拓”。 本书有以下几个特点:1、与同类书相比,有着最大的空间跨度和时间跨度,从上古的巴比伦、希腊、中国、印度、阿拉伯世界,到中世纪的欧洲,以至20世纪的近代数学、当代数学,遍及世界各地对于数学的贡献地位与影响,都有中肯的评论。2、本书不仅对史实有详尽而忠实的介绍,而且兼有史评史论的作用,更有精辟的历史观。例如作者认为古希腊的数学是一种论证数学,而说中国的古代数学,在南北朝三国时期,也进入到论证数学,刘徽即为其杰出代表之一。至于中世纪欧洲数学的崛起,微积分的创立以及近代数学的诞生史,对于它们的历史背景与社会根源,作者都有敏锐的评论。作者对整个数学的发展有着明确的数学史观。3、本书不仅对数学家和他们的学术成就作了概括的介绍,而且对于一些重要成就,不惜花费篇幅,作了较详细的忠实于原始创造的说明。例如阿基米德对于球体积与抛物线弓形面积的计算,刘徽对于 的计算原理和方法,牛顿与莱布尼茨关于微积分的发现过程,以至较近代如康托关于非可数集合的发现等等,都作了较详细的介绍。这让读者不仅可以了解历史的发展,而且还能深入体会数学大师们原始创造的艰苦历程与来龙去脉。4、本书除了数学家们的传统故事外,还介绍了许多有趣的奇闻轶事。 二、对数学的认识有了进一步的提高
. 2002年4月自考课程与教学论试题 课程代码:00467 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共30小题,每小题1分,共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.把教学过程分为明了、联想、系统、方法四个阶段的教育家是( ) A.杜威 B.洛克 C.凯洛夫 D.赫尔巴特 2."泰勒原理"的实践基础是( ) A.活动分析 B.解放兴趣 C.八年研究 D.泰罗主义 3.提出"最近发展区"理论假设的是( ) A.赞科夫 B.巴班斯基 C.维果茨基 D.列昂节夫
4.确定学习者需要的过程本质上是( ) A.教师提供选择的过程 B.家长提供选择的过程 C.学习者自由选择的过程 D.学校提供选择的过程 5.( )是指向于特定课程与教学目标、受特定课程内容所制约、为师生所共同遵循的教与学的操作规范和步骤。 A.教学过程 B.教学原则 C.教学方法 D.教学设计 6."精神助产术"的确立者是() A.苏格拉底 B.亚里士多德 C.柏拉图 D.黑格尔 7.( )提出,课程开发的任务之一,是要提供实施的"过程原则"。 A.斯腾豪斯 B.泰勒 C.塔巴 D.奥利沃 8."副学习"概念的提出者是( ) A.克伯屈 B.杰克逊 C.巴罗 D.杜威
9.被誉为"现代课程理论的圣经"的著作是(《》)。 A.课程 B.课程编制 C.课程与教学的基本原理 D.怎样编制课程 10.施瓦布主张,课程开发的基本方法应是( ) A.工作分析 B.课程审议 C.活动分析 D.职业分析 11.五六十年代出现了所谓的"三大新教学论流派",( )是其中之一。 A.行为主义教学论 B.人本主义教学论 C.尝试教学论 D.发展性教学论 12.杜威实现课程与教学一体化的具体途径是( ) A.从做中学 B.反省思维 C.主动作业 D.问题教学 13.被看作是课程开发的经典模式、传统模式的是( ) A.情境模式 B.目标模式 C.批判模式 D.过程模式
第0章数学史—人类文明的重要篇章 一、数学史研究哪些内容?(P1) 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,及其与社会、经济和一般文化的联系。 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学 二、数学史通常采用哪些线索进行分期?(P9) 1、按时代顺序 2、按数学对象、方法等本身的质变过程 3、按数学发展的社会背景 三、本书对数学史如何分期?(P9) 1、数学的起源与早期发展(公元前6世纪); 2、初等数学时期(公元前6世纪-16世纪); A.古代希腊数学(公元前6世纪—6世纪) B.中世纪东方数学(3世纪—15世纪) C.欧洲文艺复兴时期(15世纪—16世纪) 3、近代数学时期(17世纪-18世纪); 4、现代数学时期(1820年至今)。 A.现代数学酝酿时期(1820'—1870) B.现代数学形成时期(1870—1940) C.现代数学繁荣时期(或称当代数学时期,1950—现在) 四、近几年新编的中小学数学教材中,增加了不少数学史知识.
请对这种变化的积极意义谈谈你的认识与体会. 这些数学史有效的补充了教材内容,使教材内容更丰富、充实,让学生对数学的历史有了进一步的了解,激发了学生的学习兴趣,培养了学生的数学素养。将数. 学史融入数学实践活动,例如以七巧板系列活动为主题,以提高学生创新思维为抓手,由浅入深,循序渐进地开展了面向全体学生的智力七巧板实践活动。七巧板实践活动的开展,充实了数学史应用的内容,丰富了学生的课余生活,培养了学生组合分解能力、动手实践能力和思维创新能力,特别是对学生创新素质的提高产生了积极的作用和深远的影响。 第一章数学的起源与早期发展 一、世界上早期常见有几种古老文明记数系统,它们分别是什么数字,采用多少进制数系?(P13) 1.古埃及的象形数字(公元前3400年左右) 2.古巴比伦的楔形数字(公元前2400年左右) 3.中国的甲骨文(公元前1600年左右) 4.希腊阿提卡数字(公元前500年左右) 5.中国的算筹码(公元前500年左右) 6.印度婆罗门数字(公元前500年左右) 7.玛雅数字(?) 其中除巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外,其他均属十进制数系 二、“河谷文明”指的是什么?(P16)
1、1918年,美国著名教育学者博比特出版《课程》。一般认为这是课程作为独立研究领域诞生的标志。 2、科学化课程开发理论发展的里程碑:泰勒。由于泰勒对教育评价理论、课程理论的卓越贡献,因而被誉为现代评价理论之父,现代课程理论之父。 1914年,出版《课程与教学的基本原理》是现代课程理论的圣经。 3、泰勒原理的实质是技术兴趣的追求。是通过合法规律的行为而对环境加以控制的人类基本兴趣,它指向对于环境的控制和管理,其核心是控制。 4、科学结构运动与学术中心课程 1959年9月,主席布鲁纳:讨论怎样改进中小学的自然科学教育问题。 5、学术中心课程:是指以专门的学术领域为核心开发的课程。 6、实践性课程开发理论:施瓦布的贡献。 7、拉特克:在教育史上第一个倡导教学论的德国教育家。
8、夸美纽斯:捷克著名教育家,理论化、系统化的教学论的创立者。1623年《大教学论》把一切事物教论一切人类的全部艺术。本书标志着理论化、系统化的教学论的确定。 9、卢梭的教学论:《爱弥儿》影响深远。指导思想:出自造物之手的东西,都是好的,而一到人的手里,就全变坏了. 10、裴斯泰洛奇:瑞士伟大的民主主义教育思想家、教育改革家。(1)教育教学原理:1.自我发展原理2.直观原理 (2)教学的心里学化:第一次提出了教育教学的心里学化的思想,推动了教学论科学化的进程。 11、19世纪教学论的发展:赫尔巴特的教学论。 (1)观念心理学—观念、统觉、观念团、思想之环。 (2)教学的形式阶段,必定有两种基本的心理活动:专心、沈思,四个教学的形式阶段。 A.明了即清楚、明确地感知新教材 B.联合即把新的观念与旧的观念结合起来。 C.系统即把已建立起的新旧观念的各种联合与儿童的整个观念体系统一起来,概括出一般概念和规律,一形式具有逻辑性德、结构严整的知识系统或观念体系。
科目:课程与教学论 1.1.博比特的科学化课程开发理论的基本内容是什么? 1.2.简述博比特的课程开发的具体步骤。 1.3.简述查特斯的课程开发的步骤。 1.4.博比特与查特斯的课程开发理论有何区别? 1.5.简述布鲁纳认为掌握学科结构的 优点。 1.6.简述施瓦布的“折中的艺术”。 1.7.“概念重建主义者”认为传统课程理论存在的缺陷是什么? 1.8.拉特克教学论的特点是什么? 1.9.卢梭的发现教学论的内涵是什么? 1.10.赫尔巴特所提出的教学的“形式阶段”是什么? 1.11.20世纪教学研究的发展线索是什么? 1.12.课程的内涵及其发展趋势怎样? 1.13.“概念重建主义课程范式”的两种理论倾向是什么? 1.14.简述卢梭的“自然教育论”。1.15.“主动作业”的涵义及特点是什么? 1.16.教学的涵义是什么? 1.17.课程与教学相分离产生的弊端是什么? 2.1.什么是课程开发以及课程开发的目标模式? 2.2.“泰勒原理”的基本内容是什么? 2.3.教育目标的确定要依据的来源是什么? 2.4.怎样通过分析当代生活以得出教育目标? 2.5.泰勒提出的选择学习经验的一般原则是什么? 2.6.简述编制理想的评价工具需要经过的阶段。2.7.简述过程模式中的“过程原则”。 2.8.有意义学习产生的条件是什么? 2.9.先行组织者有助于促进知识的学 习和保持表现在哪些方面? 2.10.简述加涅对学习结果的分类。 2.11.简述范例教学模式的教学论原 则。 2.12.范例的基本特征及其选择原则 是什么? 2.13.构成泰勒原理中课程开发的四 个环节的关系怎样? 2.14.赞科夫的教学原则有哪些? 2.15.程序教学的设计原则有哪些? 2.16.简述人本主义心理学的基本信 念。 2.17.非指导性教学的要旨及基本特 征是什么? 3.1.简述教育目的、教育目标、课程 与教学目标三者之间的关系。 3.2.教育目标的功能是什么? 3.3.课程与教学目标的主要功能是什 么? 3.4.将学科发展确定为课程与教学目 标的来源需要注意认识哪些问题? 3.5.布卢姆等人的“教育目标分类学” 的典型特征是什么? 3.6.艾斯纳是怎样区分“教学性目标” 和“表现性目标”的? 3.7.简单叙述“学术中心课程”、“儿 童中心课程”、“社会中心课程”各 自的涵义。 3.8.简单叙述艾斯纳与斯腾豪斯课程 目标观的相同之处。 3.9.就目前看来,将当代社会生活的 需求确定为课程与教学目标,需要 贯彻的原则是什么? 3.10.确定课程与教学目标的基本环 节是什么? 4.1.学科知识和课程内容的关系如 何? 4.2.科学、艺术、道德的关系如何? 4.3.概念原理的知识与过程方法的知 识之间的关系如何? 4.4.“被动适应论”、“主动适应论”、 “超越论”各自的涵义是什么? 4.5.怎样选择学习者的经验以作为课 程内容? 4.6.课程选择的基本环节是什么? 4.7.教学方法的涵义及其本质是什 么? 4.8.简述提示型教学方法的涵义、价 值及局限性。 4.9.简述共同解决问题型教学方法的 涵义及价值。 4.10.课堂讨论的性质及组织策略是 什么? 4.11.简述自主型教学方法的涵义及 价值。 4.12.怎样运用自主型教学方法? 4.13.简述教学方法选择的涵义及其 应符合的要求。 5.1.课程组织的标准中,课程的整合 性表现在哪些方面? 5.2.课程组织的基本标准是什么? 5.3.什么叫科目本位课程?其特点是 什么? 5.4.卢梭的“浪漫自然主义经验课程” 有何特征? 5.5.经验课程有哪些基本特征? 5.6.简述学科课程的涵义及特征。 5.7.简述学科课程的优缺点。 5.8.经验课程与学科课程的关系如 何? 5.9.“全球性”教育的主要目标是什 么? 5.10.当今时代大力倡导综合课程的 基本依据是什么? 5.11.开发综合课程的有效策略是什 么? 5.12.分科课程与综合课程的关系如 何? 5.13.选修制度的发展趋势如何? 5.14.选修制度与个性化教育、个性 发展的关系是什么? 5.15.隐性课程的涵义及特点是什么? 5.16.开发隐性课程时应注意什么? 5.17.隐性课程和显性课程的关系如 何? 5.18.什么是班级授课组织?其基本特 征是什么? 5.19.简述隐性课程的主要范围或类 型。 5.20.简述凯勒个别化教学体系的特 征。 5.21.简述分组学习的特点。 6.1.简述课程实施的研究意义。 6.2.课程实施的忠实取向的基本特征 是什么? 6.3.课程实施的相互适应取向的基本 特征是什么? 6.4.课程实施的课程创生取向的基本 特征是什么?
自考课程与教学论试题及答案
《课程与教学论》综合试题与答案 一、填空 1、课程设计的基本要素包括课程目标、课程内容、学习活动、评价和其他要素。 2、教学模式的结构应该包括理论基础、功能目标、实现条件、活动程序和评价。 3、档案袋的开发一般包括三个步骤,即明确课程目标与评价目的、收集和选择作品和反省与评价。 4、目前,新的高中课程结构由学习领域,科目和模块三级构成。 5、根据教学语言表达方式,把教学语言划分为叙述性语言、论证性语言、说明性语言和描述性语言。 6、多媒体计算机系统在教学中主要有两种应用模式:课堂教学模式和个别化教学模式。 7、辛德等在 1992年归纳了三种课程实施取向,它们是忠实观、互动调适观和生成观。 8、所谓教学手段,是指师生为实现预期的教学目的,开展教学活动、相互传递信息的工具、媒体或设备。 9、导课的针对性指教师在教学中既要考虑教学内容的需要,又要顾及学生的特点。
10、课程设计,指按照一定的教育观念和价值取向,对学校课程的整体结构以及一门课程的各构成要素进行的规划与安排。 11、自学一指导教学模式是指教学活动以学生的自学为主,教师的指导贯穿于学生自学始终的教学模式。 12、典型的课程与教学论的研究方法包括调查研究法、观察研究法、实验研究法、人种学研究法。 13、课程资源是教学内容的直接来源,它包括素材性资源和条件性资源。 14、课程与教学目标即是我们对课程与教学预期的结果。 15、一般情况下,课堂气氛可以分为积极的、消极的和对抗三种类型。 16、一个完整的教学模式应包含理论基础、功能目标、实现条件、活动程序和评价等五个要素。 17、在课堂教学中,教师的非言语表达艺术是非常丰富的,它一般要通过副语言、手势、面部表情、眼神和体态等来表达。 18、教学过程的基本构成要素是教师、学生和教学内容。
数学史资料---YEP 数学是什么?数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念,为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。 从专业知识学习看数学史的重要性 专业知识与历史知识总是互补的。就是说,不仅研究、学习历史需要具备一定的专业知识,而且学习专业知识也同样需要用历史知识帮助分析和思考。著名数学家外尔(h?weyl,1885-1955)认为:“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果,我们就不可能理解近50年来数学的目标。”如果教材是根据现代数学的分科来编写,并主要是按照公理化的思想方法而不是知识的发生过程编排体系,就会使学生在学习数学知识时,常常知其然而不知其所以然,尤其会对数学概念的发展过程,定理证明的发现过程以及数学各分支之间的联系知之甚少。因此,让学生了解各门课程的发展历史是促进各科学习的必要途径。具体地,数学史的作用可以概括为:(1)对数学给出一个整体框架,对数学有一个整体图景,能认识到各分支之间的相互关系。(2)对数学问题、概念、理论和方法的来龙去脉有一定认识。对引入它们的动机与产生的后果有所了解,以上两点使我们对于某分支在整个数学中的定位能够初步理解。(3)总结历史上的经验、教训,借鉴解决问题的各种途径、方向。(4)对数学发展趋势有一定的估计和预测. 实践经验证明,向学生介绍一些数学家的生平或者历史上数学进展中的曲折历程,以及在教学中提供一些历史上的真实“问题”,还可以激发学生的学习兴趣 数学在人类文明的发展中起着非常重要的作用,数学推动了重大的科学技术进步。但在历史上,限于技术条件,依据数学推理和推算所作的预见,往往要多年之后才能实现。数学为人类生产和生活带来的效益容易被忽视。进入二十世纪,尤其是到了二十世纪中叶以后,科学技术发展到这一步:数学理论研究与实际应用之间的时间差已大大缩短,特别是当前,随着电脑应用的普及,信息的数字化和信息通道的大规模联网,依据数学所作的创造设想已经达到可即时试验、即时实施的地步。数学技术将是一种应用最广泛、最直接、最及时、最富创造力和重要的实用技术 整个人类文明的历史就像长江的波浪一样,一浪高过一浪,滚滚向前.科学巨人们站在时代的潮头,以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮.我们认为,整个人类文明可以分为三个鲜明的层次: 1)以锄头为代表的农耕文明; 2)以大机器流水线作业为代表的工业文明; 3)以计算机为代表的信息文明.数学在这三个文明中都是深层次的动力,其作用一次比一次明显. 古人讲,欲穷千里目,更上一层楼.我们将在文化这一更为广阔的背景下,讨论数学的发展,数学的作用以及数学的价值,让读者不仅从数学自身的思想、方法和应用的角度,而且从文化的高度和历史的高度鸟瞰数学的全貌和数学大厦的宏伟与美丽.数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量.数学不仅在科学推理中具有重要的价值,在科学研究中起着核心的作用,在工程设计中必不可少.而且,在西方,数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法,摧毁和构造了诸多宗教教义,为政治学和经济学提供了依据,塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格,创立了逻辑学.作为理性的化身,数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域,并成为其思想和行动的指南.人类历史上的每一个重大事件的背后都有数学的身影:哥白尼的日心说,牛顿的万有引力定律,无线电波的发现,三权分立的政治结构,一夫一妻的婚姻制度,爱因斯坦的相对论,孟德尔的遗传学,巴贝奇的计算机,马尔萨斯的人口论,达尔文的进化论,达.芬奇的绘画,巴赫的12平均率, 晶体结构的确定,双螺旋疑结的打开等都与数学思想有密切联系。但是,要说清楚数学的中心作用,必须从根谈起,必须从古希腊谈起。 3. 希腊文化小结。古希腊的文化大约从公元前600年延续到公元前300年.古希腊数学的主要贡献是,第一,对自然哲学的贡献。它留给我们一个坚强的信念:自然数是万物之母,即宇宙规律的核心是数学.这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来,并将它数量化. 第二,对数学科学的贡献。他们将数和形抽象化,并坚持演绎证明。这样,数学科学诞生了。并由此它孕育了一种理性精神,这种精神现在已经渗透的人类知识的一切领域.
2019年10月全国自考课程与教学论真题 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的考试课程名称姓名准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 一、单项选择题:本大题共30小题,每小题1分,共30分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其选出。 1.将课程开发的方法视为“工作分析”的是 A.博比特 B.哈罗普 C.贾德 D.查特斯 2.提出课程是“具体存在的个体”的“活生生的经验”的是 A.科学化课程开发理论 B.存在现象学课程论 C.实践性课程开发理论 D.批判课程论 3.下列属于发现教学的基本形式的是 A.实物教学 B.非指导性教学 C.教育性教学
D.学案导学 4.第一次把教学与道德教育统一起来的教育家是 A.夸美纽斯 B.赫尔巴特 C.杜威 D.卢梭 5.兴盛于20世纪70年代的教学设计理论是 A.科学教学论 B.认知性教学设计理论 C.行为主义教学设计理论 D.整合的教学设计理论 6.要学会在高二历史课和高二地理课提供的学习经验之间建立起联系,这种学习经验的组织过程是 A.纵向组织 B.横向组织 C.圆圈组织 D.三角组织 7.先行组织者策略常见于 A.布鲁纳的教学设计模式 B.奥苏伯尔的教学设计模式 C.加涅的教学设计模式 D.瓦根舍因的范例教学模式
8.人本主义教育家心目中的教育目标是 A.学习成绩提高 B.安度生活 C.自我实现 D.参与政治生活 9.学生能够理解交流内容中所包含的文字信息的目标行为或者反应。这一目标领域属于 A.认知领域 B.情感领域 C.动作技能 D.知识领域 10.强调学生、教师与教育情境的交互作用在这种交互作用中不断产生出课程与教学的目标是 A.普遍性目标 B.行为目标 C.生成性目标 D.表现性目标 11.目标问题是学校课程与教学论的基本问题之一。其中,认为学校教育主要包括“训练”、“教学”和“引导”三个过程的教育家是 A.布卢姆 B.斯腾豪斯 C.艾斯纳 D.彼得斯 12.根据特定的教育价值观及相应的课程目标从学科知识、当代社会生活经验或学习者的经验中选择课程要素的过程,被称为 A.课程目标 B.课程选择
外国数学史简介 高二 赵墨君 外国数学史,在古代实际上是指各个地区的数学史,例如古巴比伦数学、古埃及数学、古希腊数学、古印度数学、阿拉伯数学等;在中世纪,是指欧洲数学史;在近代,才是世界数学史。由于中国数学有覣E久的发展史,经历了数千年之久,而且具有很突出的特色,与任何一个国家或地区的发展,极不相称,所以把中国数学史单独列出很有必要,也有充分理论根据。相应地也把外国数学史单列一项。在古代,亚洲底格里斯河与幼发拉底河之间的地带,是人类文明发源地之一,公元前19世纪,苏美尔和阿卡德民族在这里建立了巴比伦王国。19世纪,在美索不达米亚出土约50万块刻有楔形文字的泥板,经考证,这些泥板有的是公元前20世纪的遗物,有的是公元前6世纪的遗物。这些楔形文字中也包括巴比伦人在数学上的一些成就。由于古巴比伦对奴隶的剥削日趋严酷,农奴生活濒于绝境,于公元前6世纪,巴比伦王国覆灭,合并于波斯帝国,而巴比伦数学也告结束。 大约公元前3000年左右,在尼罗河一带,形成了古埃及王国。由于埃及人长期与大自然作斗争,逐渐掌握了一些科学、技术知识;又因需要以物易物、丈量土地、建筑房屋及坟墓,也积累了一些数学知识;为了传递信息,古埃及人也创造了一种像形文字,一般称为僧侣文。根据考证,尼罗河每年定期泛滥,泛滥之后,需要重新丈量被淹没的土地,因而长期以来,便由丈量土地的知识逐渐发展成为所谓几何学。要了解古埃及的某些情况,只能通"莫斯科纸草书"、"阿默斯纸草书"这两卷纸草书进行探讨。由于宗教的改革,古代埃及统治集团的内部斗争愈加剧烈,外部则经常受到欺凌,于公元前6世纪前后,被波斯吞并,成为一个省,而古埃及的文化也随之逐渐消失。 古代希腊人,为人类创造了历史上的文明,尤AE?对西方的文化有巨大的影响。古希腊文明可以追溯到公元前29世纪,一直延续到公元6世纪。古希腊的数学发展是由学派组成的,例如,最早是以泰勒斯为代表的爱奥尼亚学派。在爱奥尼亚学派之后,相继而AE?的是毕达哥拉斯学派,在数学方面,研究了一些初等数论的问题,并以发现勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理)驰名于世。与毕达哥拉斯齐名的学派,是芝诺为代表的悖论学派,悖论学派创立了一些悖论,给学术界造成了极大的震动。原子论学派,主张宇诌e间的物质都由不可分割的元素组成。 与悖论学派差不多同时,雅典出现了诡辩学派,在数学方面。他们提出了三大几何问题,即"化圆为方"、"倍立方"、"三等分角"。在雅典相继而起的是柏拉图学派,柏拉图是古希腊的著名哲学家,他注重数学,并十分推崇几何,认为几何可以培养思维能力。该学派培养出不少优秀学生,亚里士多德就是他的学生之一。在雅典以亚里士多德为首创办了吕园学派。吕园学派的贡献在于创立了逻辑学,因而为欧几里得的《原本》铺平了发展道路。公元前4世纪,亚历山大帝国瓜分为三个国家,最大的是托勒密王朝。托勒密王在亚历山大城建立了最大的图书馆,从而使得亚历山大城变为希腊文化的中心;但是,到公元5-6世纪,由于东罗马的入侵,希腊文化的发展即告终结,而保留下来的希腊文化遗产,为欧洲的文化提供了丰富的营养。 古印度也是古代文明国家之一,印度数学大约产生于公元前4世纪,当时是一种十进非位值制系统,经过千年的变迁,到公元6世纪,才形成印度数码,8世纪传入阿拉伯,13世纪输入欧洲,逐渐演变成现今所谓印度B阿拉伯数码。19世纪出土了"巴克沙利手稿",经考证,记载了印度4、5世纪的数学知识,其中论述了"反演法"及其例证。古印度人还以"库塔卡"来解某些不定方程;还改变了希腊人的"全弦"为"半弦",即今之"正弦"线。
2011年全国自考课程与教学论模拟试卷 一、单项选择题(本大题共30小题,每小题1分,共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. ()提出的“什么知识最有价值”的命题可以说是在课程论发展史上第一次明确提出了课程选择的问题。 A. 奥苏伯尔 B. 斯宾塞 C. 杜威 D. 洛克 答案:B 2. 苏格拉底的教学方法被称为() A. “精神助产术” B. “教学对话” C. “共同讨论” D. “注入式教学法” 答案:A 3. 最先在理论上将班级授课组织确立起来的是() A. 杰克逊 B. 卢梭 C. 赫尔巴特 D. 夸美纽斯 答案:D 4. 在儿童发展的初期,儿童表征客体主要是通过() A. 行为表征 B. 图像表征 C. 符号表征 D. 语言表征 答案:A 5. 20世纪90年代以来,世界课程改革的一个重要动向是() A. 重视技术课程并谋求技术课程与科学课程的融合 B. 仍强调科学课程 C. 技术课程在基础教育中不够重要 D. 技术课程只在高等教育中开设 答案:A 6. “校本课程开发”的核心是() A. 学校 B. 校长 C. 教师 D. 学生 答案:A 7. 第一次明确提出“把心理发展的研究作为教学总原则的基础”的教育家是() A. 夸美纽斯 B. 康德 C. 赫尔巴特 D. 裴斯泰洛齐 答案:D 8. 系统确立“过程模式”的是()
A. 博比特 B. 查特斯 C. 泰勒 D. 斯滕豪斯 答案:D 9. 在布鲁纳所提出的内部动机中,()是指儿童由于对理想人物的憧憬而力图提高自身同理想人物的类同性。 A. 好奇心 B. 能力动机 C. 自居作用 D. 同伴间的相互作用 答案:C 10. 形式性评价与总结性评价的提出者是() A. 斯克里文 B. 泰勒 C. 布卢姆 D. 艾斯纳 答案:A 11. 提出外貌模式的是() A. 泰勒 B. 普罗沃斯 C. 斯太克 D. 古巴和林肯 答案:C 12. 主体取向的评价对应于利维的评价的() A. 古典的考试型时期 B. 心理测量占统治地位的时期 C. 后现代时期 D. 现代时期 答案:C 13. 从研究方法上看,课程研究的趋势是() A. 量的研究 B. 质的研究 C. 量的研究和质的研究的整合 D. 既不是量的研究,也不是质的研究 答案:C 14. 把课程与教学评价的发展历史划分为古典考试型时期、心理测量占统治地位时期、后现代时期的学者是() A. 施瓦布 B. 斯腾豪斯 C. 泰勒 D. 利维 答案:D 二、简答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 1. 如何理解教学对话的性质? 答案:教学对话就是通过教师的提问、激励与引导,学生自由思考、自由表达自己的疑问和见解,因此而获得知识技能、发展能力与人格的教学方法。教学对话是师生共同解决问题型教学