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2013高考数学三部曲(复习、诊断、练习)备考冲刺之易错题回归复习平面解析几何(教师版)

平面解析几何

一、高考预测

解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．

解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．

二、知识导学 (一)直线的方程

1.点斜式：)(11x x k y y -=-；

2. 截距式：b kx y +=；

3.两点式：121

121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1

=+b y a x ；

5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.

(二)两条直线的位置关系

两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则

1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.

(三)圆的有关问题 1.圆的标准方程

222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为

特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为2

22r y x =+. 2.圆的一般方程

022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，

其圆心坐标为（2D -

，2E -），半径为F

E D r 421

22-+=. 当F E D 42

2-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；

当F E D 42

-+＜0时，方程不表示任何图形. 3.圆的参数方程

圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

22r y x =+ ? cos sin x r y r θθ=??=? （θ为参数）

22)()(r b y a x =-+- ? cos sin x a r y b r θθ=+??=+? （θ为参数）

(四) 椭圆及其标准方程

1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、

2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122

22=+b x a y （a ＞b ＞0）.

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2

x 项的分

母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待

定系数法求解.

(五)椭圆的简单几何性质

1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）.

⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里.

⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a c

e =

叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁

平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2

c 、a c

e =

两个关系，因此确定椭圆的

标准方程只需两个独立条件. (六)椭圆的参数方程

椭圆122

2=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?（θ为参数）.

说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：

θαtan tan a b

；

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程122

22=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较

而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

(七)双曲线及其标准方程

1. 双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹

若

1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF

时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，

其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线122

2=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，

0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是

c a x 2-=和c a x 2

.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a c e =

与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个

独立的条件.

(九)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。

需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。

2．抛物线的方程有四种类型：22y px =、22y px =-、22x py =、22x py =-.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该

项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。

3．抛物线的几何性质，以标准方程y 2=2px 为例（1）范围：x ≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程

2p x =-

；

（6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的

的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）. 注意事项 1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于x 轴的倾斜程度.当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a （a ∈R ）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k 存在与否，要分别考虑.

⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a 、b 分别是直线在x 轴、y 轴上的截距，因为a ≠0，b ≠0，所以当直线平行于x 轴、平行于y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.

⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式. ⑷当直线1l 或2l 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.

2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x 轴上还是y 轴上，还是两种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a 、b 、c 、e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位

置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.⑷双曲线122

2=-b y a x 的渐近线方程为

x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x

n m y ±=，即

0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为

零的常数.⑸双曲线的标准方程有两个12222=-b y a x 和122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里

222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异

同.⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p 的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.

解题的策略有：1、注意直线倾斜角范围、设直线方程时注意斜率是否存在，可以设成，包含斜率不存在情况，但不包含斜率为0情况。注意截距为0的情况；注意点关于直线对称问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化）结合；4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值；5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在轴上时为，焦点在轴上时为；注意化抛物线方程为标准形式（即2p 、p 、的关系）；注意利用比例思想，减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题；熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：①“ 法”；②离心率的范围；③自变量的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法，注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；★④相关点法； 9、注意利用向量方法，注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。

三、易错点点睛

命题角度1对椭圆相关知识的考查

1．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F l PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )

2.2

12.

2.---D C B A

[考场错解] A

[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把|

|21PF PF 当作离心率．

[对症下药] D 设椭圆的方程为2

b y a x +

=l (a ，b >0) 由题意可设|PF 2|=|F 1F 2|=k ，

|PF 1|=

k ，则e=

2222-=+=k k k a

2．设双曲线以椭圆9

252

2y x +=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )

A ．±2

B ．±

34 C ．±21 D ．±43

[考场错解] D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆9

252

2y x +=1长轴的两个

端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=4

3±=±a b

[专家把脉] 没有很好理解a 、b 、c 的实际意义．

[对症下药] C 设双曲线方程为2

2b y a

x -

=1，则由题意知c=5，

a 2=4 则a 2=20

b 2=5，而a=25 b=5∴双曲线渐近线斜率为±

1±

3．从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程

2n y m x +=1中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B={(x ，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( ) A ．43 B ．72 C ．86 D ．90

[考场错解] D 由题意得，m 、n 都有10种可能，但m ≠n 故椭圆的个数10310-10=90．

[专家把脉] 没有注意，x 、y 的取值不同．

[对症下药] B 由题意得m 有10种可能，n 只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m ≠n ，故椭圆的个数：1038-8=72．

4．设直线l 与椭圆16

252

2y x +=1相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、D 两点，C 、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程 ( )

[考场错解] 设直线l 的方程为y=kx+b

如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为A(x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、

C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有AB DB AC ,==3CD

由)1(0)40025(50)2516(116252222

=-+++?????=+

+=b bkx x k y x b kx y 得所以

x 1+x 2=-.

2516502

由?????=-+=122y x b kx y 得(1-k 2)x 2-2bkx-(b 2+1)=0

(2) 若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1

所以x 3+x 4=2

12k bk

-、由?=BD AC x 3-x 1=x 2-x 4

?x 1+x 2=x 3+x 4?-?

12251650k

bk k

bk=0或b =0

①当k=0时，由(1)得x 1、2=±

2164

b - 由(2)得x 3、

4=±12

+b 由

123x x CD AB -?==3(x 4-x 1)即1316

16164

1022±

=?+=-b b b 故l 的方程为

y=±13

②当b=0时，由(1)得x 1、2=±2

251620

k +，由(2)得x 3、4=

11k -±

由

123x x CD AB -?==3(x

-x 3)即.25

16,251616251640

x y l k k k

±=±

=?-=

+的方程为故综上所述：直

线l 的方程为：y=

x y 2516

,1316=±

[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．

[对症下药] 解法一：首先讨论l 不与x 轴垂直时的，情况．

设直线l 的方程为y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x 1，y 1)、B(x 2，

y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有CD AB BD AC 3,==．由?????=+

+=.11625,2

2y x b kx y 得

(16+25k 2)x 2+50bkx+(25b 2-400)=0．(1) 所以

x 1+x 2=-.2516502k bk

+由?????=-+=.1,22y x b kx y 得

(1-k 2+x 2-2bkx-(b 2+1)=0．

若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1．所以x 3+x 4=2

12k bk

- 由?-=-?=4213x x x x BD AC x 1

+x 2=x 2+x 4

0122516502

=?=?-=

?k bk k

bk k

bk 或 b=0．

①当k=0时，由(1)得

.1645

22,1b x -±

=由(2)得

x 3、4=±12

+±b 由

3312=-?=x x CD AB (x

-x 3)．

即.

1316

1164

1022±=?+=-b b b 故l

的方程为 y=±13

②当b=0时，由(1)得x 1、2=

251620k +±

自(2)得x 3、4=

3,11122=-?=-±

x x CD AB k 由(x4-x3)．即.25

1616251640

=?-=

+k k k

故l 的方程为y=

2516±

．再讨论

l 与x 轴垂直时的情况．

x=c ，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y l 、2=

.255

2c -±

.||3||||33412y y y y CD -=-?=即

241

25,241

25=±=x l c 的方程为故

综上所述，直线l 的方程是：y=

x 、y=±13

和x=241

25±

x 3、4=.12

+±b ∵x 2-x 1=3(x 4-x 3)4

1316

161622±

=?+=-b b b ．故l 的方程为y=±13

16 ②当y 0=0，x 0≠0，由(2)得x 4=x 3≠0，这时l 平行y 轴．设l 的方程为x=c ，分别代入椭圆、双曲线方程得：y l 、2=

,2554

2c -±

y3、4=.12-±c ∵

y 2-y 1=3(y 4-y 3)

2412516255822±=?-=-?

c c c

故l 的方程为：

24125

=x ③当x 0=0，y 0=0时，这时l 通过坐标原点且不与x 轴垂直．设l 的方程为y=kx ，分别代

入椭圆、双曲线方程得：x 1、2=

.11

,2516202

4,32

k x k

-±

=+±

2516)(33

412±=?-=-k x x x x 故

l 的

方程为y=.

2516

x y ±

=综上所述，直线

l 的方程是：y=x 2516±

、y=13

16±和x=.

241

25±

5．设A 、B 是椭圆3x 2+y 2

=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． (1)确定A 的取值范围，并求直线AB 的方程； (Ⅱ)试判断是否存在这样的A ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图) [考场错解] (1)设

A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)则有:??????=+=+λλ

2212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y l -y 2)(y l +y 2)=0

依题意，x 1≠x 2 ∴k AB -2

121)(3x x y y ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2,y l +y 2=6从而k AB =-9

又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3312+32

=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)直线AB 的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0

[专家把脉] ①用“差比法”求斜率时k AB =2

)(3121y y x x ++-

这地方很容易出错．②N(1，3)在

椭圆内，λ>3312+32=12应用结论时也易混淆．

[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y=A(x-1)+3，代入3x 2+y 2=λ，整理得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．① 设A(x 1，y 1)、B(x 2、y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个不同的根，

∴△=4[λ(k 2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x 1+x 2=3)

3(22

+-k k k ，由N(1，3)是线段AB 的中点，

得122

1=+x x ，∴A(k-3)=k 2+3．解得

k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)．于是，直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．

解法2：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有

??????=+=+λλ

2212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0

依题意，x 1≠x 2，∴k AB =-2

121)(3y y x x ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y l +y 2=6，从

而k AB =-1．又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3312+32

=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．

(Ⅱ)解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x 2+4x+4 又设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为M(x 0，y 0)，则x 3， x 4是方程③的两根，∴x 3+x 4=-1，且

x 0=21(x 3+x 4)=-21，y 0=x 0+2=23

，即

M(-21，23

)．于是由弦长公式可得

|CD|=

)3(2||)1

(1432-=-?-+λx x k ④将直线

AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x 2-8x+

16-λ=0 ⑤同理可得|AB|=.)12(2||.1212

-=-+λx x k ⑥ ∵当λ>12时，)3(2-λ>)12(2-λ,

∴|AB|<|CD|

假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心．点M

到直线AB 的距离为d=

.2232

42321|2

4|00=-+-=

-+y x ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d 2+

.|2|2321229|2|

2CD AB =-=-+=λλ

故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，

为半径的圆上．

(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A 、B 、C 、D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角?|AN|2

=|CN|2|DN|，即

)2||)(2||()2(

2d CD d CD AB -+=. ⑧

由⑥式知，⑧式左边=2

-λ,由④和⑦知，⑧式右边

,212

)29232232)3(2)(2232)3(2(

-=--=--+-λλλλ

∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12， ∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③

将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得4x 2

-8x+16-λ=0．⑤ 解③和⑤式可得 x l ，2=.23

1,21224,3-±-=-±λλx

不妨设

A(1+)23

3,231(),233,231(,12213,1221-+-+---------λλλλλλD C

)

33,23123(

)

33,23123(-------+=---+-+-+=∴λλλλλλλλCA CA

计算可得0=?CA CA ,∴A 在以CD 为直径的圆上．又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．

(注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD)

专家会诊 1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．

命题角度2对双曲线相关知识的考查 1．已知双曲线x 2-2

2y =1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且021=?MF MF ，则点M 到x 轴的距离为 ( )

32.3

5.3

4.D C B A

[考场错解] B

[专家把脉] 没有理解M 到x 轴的距离的意义．

[对症下药] C 由题意得a=1，b=2，c=3可设M (x 0，y 0)|MF 1|=|ex 0+a|=|3x 0+1|， |MF 2|= |ex 0-a|=|3x 0-1| 由|MF 1|2

+|MF 2|2

=|F 1F 2|2

得 x 0

2||,343

5020==y y 则即点M 到x 轴的距离为

.332

2．已知双曲线

b y a x -

=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF

的面积为2

2a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90° [考场错解] B

[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角． [对症下药] D 由题意得A(

ab c a ,2)s △OAF =212c 2b

a a a

c ab =?==2212

，则两条渐近线

为了y=x 与y=-x 则求两条渐近线的夹角为90°．

解不等式，得

≤

≤e

e的取值范围是

所以

由于

专家会诊1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏． 3．掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用．

命题角度3对抛物线相关知识的考查。

1．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )

A.有且仅只有一条 B．有且仅有两条 C.有无穷多条 D．不存在

[考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 234=8 5<8，故不存在这样的直线．

[专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p的意义．

[对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而|AB|=x1+x2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值，即直线有且仅有两条．

2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论； (Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

[考场错解] (Ⅱ)，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点

A、B的直线方程可写为y=

与y=2x2联立得2x2+2

x-m=0．得x1+ x2=-4

；设AB的

中点N的坐标为(x0，y0)

则

x 0=21(x 1+x 2)=-81,y 0=-21x 0+m=16

+m ．由N ∈l,得161

+m=-41

+b ，于是b=16516

5≥

+m 即

得l 在

y 轴上截距的取值范围为[+∞

,16

[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m>321

，无法进一步求出

b 的范围，只好胡乱地把m 当作大于或等于0．

[对症下药] (1)F ∈l ?|FA|=|FB|?A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意 y 1、y 2不同时为0， ∴上述条件等价于y l =y 2?x 12 =x 22 (x 1+x 2)(x 1-x 2)=0；

∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于 x 1+x 2=0．即当且仅当x 1+x 2=0时，l 经过抛物线的焦点F 。

(Ⅱ)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y=2x+b 过点A 、B 的直线方程可写为

y=-21

x+m ，所以

x 1、x 2满足方程

2x 2+21

x-m=0，得x 1+x 2=-41

； A 、B

为抛物线上不

同的两点等价于上述方程的判别式4

?+8m>0，即m>

321

设

AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，

则

x 0=21(x 1+x 2)=-8

1，y 0=-21x 0+m=16

由

N ∈l ，得161

+m=-41

+b ，于是

b=16

+m>32

9321165=

- 即得l 在y 轴上截距的取值范

围为(32

，+∞)．

3．如图，过抛物线y 2=2px(p>0)上一定点p(x 0，y 0)(y 0>0)，

作两条直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．(1)求该抛物线上纵坐标为

P 的点到其焦点F 的距离； (Ⅱ)当PA

与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求0

21y y y +的值，并证明

直线AB 的斜率是非零常数．

[考场错解] (1)当y=

p 时，x=

又抛物线的准线方程

为x=-P ，由抛物线定义得，所求距离为

.89)(8p p p =--

(Ⅱ)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y 21=2px 1,y 20=2px 0 相减得(y l -y 0)(y 1+y 0)=2P(x 1-x 0) 故k PA =

12y y P +(x 1≠x 0)．

同理可得k pB =0

12y y P +(x 2≠x 0)由k PA =-k PB 得y 0=-2 (y l +y 2)故

.21

021-=+y y y 设直线AB 的斜率为k AB 。由y 22=2px 2,y 21=2px 1 相减得 (y 2-y 1)(y 2+y 1)=2P(x 2-x 1) 故k AB =).

()(221211212x x y y p

x x y y ≠+=--将

y 1+y 2=-21

y 0(y 0>0)代入得k AB =-0

4y p 故k AB 是非零常数． [专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确． [对症下药] (1)当y=

p 时，x=

8p ，又抛物线y 2

= 2px 的准线方程为x=

，

由抛物线定义得，所求距离为8

p -(-2

p )=.85p

(Ⅱ)设直线PA 的斜率为kPA ，直线PB 的斜率为k PB

由y 12=2px 1，y 20=2px 0相减得(y 1-y 0)(y l +y 0)=2P(x 1-x 0)，故k PA =

101012y y p

x x y y +=

--(x 1≠x 0)．同理可得k PB =

12y y p +(x 2≠x 0)．

由PA 、PB 倾斜角互补知k PA =-k PB ，即0

12y y p

+=-

22y y p +，所以y l +y 2=-2y 0，

故0

21y y y +=-2. 设直线AB 的斜率为k AB

由y 22

=2px 2，y 21=2px l

相减得(y 2-y 1)(y 2+y 1)=2p(x 2-x 1)，所以

(2212

11212x x y y p

x x y y k AB ≠+=--=

将y l +y 2=-2y 0(y 0>0)代入得

2021y p

y y p k AB -=+=

所以

k AB 是非零常数．

4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO(如图所示)．

(1)求△AOB 的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；

(Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

[考场错解]（Ⅰ）设△AOB 的重心为G(x,y)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)则

)1(33

2121??????

?+=+=y y y x x x ∵OA 0=?∴⊥OB OA OB x 1x 2+y l y 2=0(2)

又点A 、B 在抛物线上，有y 1=x 12，y 2=x 22

代入(2)化简得x l x 2=0或-1 ∴y=

1)(3132

22121=+=+x x y y [（x 1+x 2）2-2x 1x 2]=3x 2

32或

3x 2，故重心为G 的轨迹方程为

y=3x 2或y=3x 2+

[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB 不存在

[对症下药] （Ⅰ）设△AOB 的重心为G(x,y)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)则)1(33

2121??????

?+=

+=y y y x x x

)

2(0,12121=+-=?∴⊥y y x x k k OB OA OB OA 即又点A 、B 在抛物线上，有y 1=x 12，y 2=x 22代入(2)

化简得x l x 2=-1

∴y=

1)(3132

22121=+=+x x y y [（x 1+x 2）2

-2x 1x 2]=

32)3(312+?x =3x 2+32

所以重心为G

的轨迹方

程为y=3x 2

(Ⅱ)S △AOB =22

211222222122212222212121))((21||||2

1y y y x y x x x y x y x OB OA +++=++=

由(1)得

S △

AOB

2212)1(221222122166

2616261=?=+-=+?≥++x x x x

当且仅当x 16=x 26即x 1=-x 2=-1时，等号成立。所以△AOB 的面积存在最小值，最小值为1。

专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

∴(x 1，y l -1)=12

(x 2，y 2-1)由此得

x 1=12

5x 2，由于x 1， x 2都是方程①的根，且1-a 2≠

0，所以

2222212125,121217a a x a a x -=

--=消去x 2得.1317

60289122

±=∴=

--a a

[专家把脉] (1)没有考虑到1-a 2

≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0．

[对症下药] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组

????=+=-1

,1222

y x y a x

有两个不同的实数解，消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x +2a 2x-2a 2

=0所以

?????>-+≠-0)1(84

012

2a a a a 解得

01112

<<+

=+a a

a 且

a ≠1，∴e>

6且e ，即离心率e 的取值范围为(

)∪(2)．

(Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0，1)．∵

PA ∴(x 1,y 1-1)=12

5(x 2,y 2-1)由此得

x 1=12

5x 2，由于x 1，x 2都是方程①的根，且

1-a 2

≠0，所以12

17x 2=-2222

12125,12a a x a

a --=-，消

x 2，得

-60

289122

-a a ，由a>0，所以a=13

2．给定抛物线C ：y 2

=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点 (1)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小； (Ⅱ)设AF FB λ=，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围．

[考场错解] (1)设OA 与OB 夹角为α；由题意l 的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y 2

=4x

得x 2

-6x+1=0设A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)则有x 1+x 2=6，x 1x 2=1．易得OA 2OB =x 1x 2+y 1y 2=-3，

||||22222121=+?+=y x y x OB OA cos α41

=∴α=-arccos

(Ⅱ)由题意知AF FB AF FB λλ=∴=，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'． ∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| ∴|BB ’|=λ|AA'|，λ∈[4， 9] 设l 的方程为y=k(x-1)由?

????=-=x y x k y 4)1(2得

k 2x 2-(2k 2 +4)x+k 2=0

∴x=2

22122k k k +±+∴|AA'|=

221

22k k k +-++l =2

221

2)1(2k k k +-+

|BB'|=

222

221

2)1(21

22k k k k

k k +++=

+++

3,34[)0(91

2)1(212)1(2412)1(212)1(2|'||'|22222222--

∈∴<≤+-++++≤

∴=+-++++=∴k k k k k k k k k k AA BB λ

[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义．(Ⅱ)思路不清晰．

[对症下药] (1)C 的焦点为F(1，0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为了y=x-1．

将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2

-6x+1=0．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有x l +x 2=6，x 1x 2=1．

OB OA ?=(x 1，y 1)2(x 2,y 2)=x 1x 2+y l y 2=2x 1x 2-(x 1 +x 2)+1=-3．

所以OA 与OB 夹角的大小为π-arc cos 41

3(Ⅱ)由题设AF FB λ=得 (x 2-1，y 2)=λ

(1-x 1，-y 1)，

即??

?-=-=-1212),1(1y y x x λλ由②得y 22=λ2y 21．∵y 21=4x 1，y 22=4x 2，∴x 2=λ2

x 1 ③

联立①、③解得x 2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线

3212+-=e λ

(2)当|PF 1|=|F 1F 2|时，同理可得2

2]1

)3([

]1)3([c e c e c e c

e -+--+-解得e 2=3于是λ=1-3=-2．

(3)当|PF 2|=|F 1F 2|时，同理可得

22222]1

)3([

)3([c e c e c e c e -+---+-=4c 2

解得e 2

=1 于是λ=1-1=0

综上所述，当λ=32

或-2或0

时△PF 1F 2，F 2为等腰三角形．

[专家把脉] (1)没有注意到因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围．

[对症下药] (1)证法一：因为A 、B 分别是直线l ：y= ex+a 与x 轴、y 轴的交点，

所以

A 、

B 的坐标分别是(-0

,e a

)(0,a). 由.,,,1,2222222b a c c b y c x b y a x

a ex y +==-=?????=++=这里得

所以点

M 的坐标是(-c,a

b 2

)，由AB AM λ=得(-c+

b e a 2,)=λ(e a

，a)．即

1e a a

b e a

c e a

-=???????==-λλλ解得

证法二：因为A 、B 分别是直线l:y=ex+a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是(-e

a ，0)，(0，a)，设M 的坐标是(x 0，y 0)，由AB AM λ=得(

a e a

x ,0+

)，

所以

????

=-=.)

1(0

0a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以

b y a x +

=1，

即.

11)1(,1)()]1([22222222

=-+-=+-e e b a a e a

λλλλ所以e 4-2(1-λ

)e 2+(1-λ)2=0，解得e 2=1-λ

即λ=1-e 2．

(Ⅱ)解法一：因为PF 1⊥l ，所以 ∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|,即21

|PF 1|=c. 设点F 1到l 的距离为d ，由21

|PF 1|=d ，

ec a e

a c e =+-=

+++-2

1||1|

0)(|,得

211e

e +-=e ．所以e 2

，于是λ=1-e 2

.即当λ=32

时，△PF 1F 2为等腰三角形．

解法二：因为PF 1⊥l ，所以，∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|,设点P 的坐标是(x 0，y 0)，

则??????

?+-=+-=+-a c x e y e c

x y 220100000解得???????+-=+-=.1)1(2,13220220e a e y e e x 由|PF 1|=|F l F 2|得

2]1

)1(2[

)3([

+-+++-e a e c e c e =4c 2

，

两边同时除以4a 2，化简得1)

1(1

2+-e e =e 2．从而e 2=31于是λ=l-e 2=32．即当λ=32

时，△PF 1F 2

为等腰三角形．

4．抛物线C 的方程为y=ax 2(a<0)，过抛物线C 上一点P(x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同)，且满足k 2+λk 1=0(λ≠0且λ≠-1)．

(Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)设直线AB 上一点M 满足BM =λMA ，

证明线段PM 的中点在y 轴上 (Ⅲ)当A=1时，若点P 的坐标为(1，-1)，求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围．

[考场错解] (1)抛物线C 的方程y=ax 2(a<0)得，焦点坐标为(

a ，0)准线方程为

x=-4

(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax 2上，故a=-1∴y=-x 2

由(Ⅱ)易得y 1=-(k 1+1)2，y 2=(k 2+1)2，因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为A(-k 1 -1,-k 21-2k 1-1)，B(k 1-1，-k 21+2k 1-1)

于是AP = (k 1+2,k 21+2k 1)，AB =(2k 1，4k 1)，=AB AP ,2k 1(k 1+2)(2k 1+1)因∠PAB 为钝角且

P 、A 、B 三点互不相同，故必有AP 2AB <0易得k 1的取值范围是 k 1<-2或21

y l =-(k 1+1)2

故当k 1<-2时，y<-1;当-21

时-1

即

y 1∈ ．

[专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念．

[对症下药] (1)由抛物线C 的方程

y=ax 2

(a<0)得，焦点坐标为(0，a

)，准线方程

为y=-a

41．

(Ⅱ)证明：设直线PA 的方程为y-y 0=k 1(x-x 0)，直线 PB 的方程为y-y 0=k 2(x-x 0)．点P(x 0，y 0)和2点

A(x 1，y 1)的坐标是方程组?????=-=-)2()1()(2010ax y x x k y y

的解．将②式代入①式得ax 2

-k 1x+k l x 0-y 0=0，于是 x 1+x 0=a

k 1

，故

x 1=a

k 1-x 0③

又点P(x 0，y 0)和点

B(x 2，y 2)的坐标是方程组?????=-=-)5()4()(2010ax y x x k y y

的解．将⑤式代入④式得ax 2

-k 2x+k 2x 0-y 0=0．于是x 2+x 0=a

k 2

，故x 2=

k 2-x 0, 由已知得，

k 2=-λk l ，则x 2=0

1x k a

⑥设点M 的坐标为(x M ,y M )，由BM =λMA ，则x M =λ

λ++112x x .将③式

和⑥式代入上式得-

=+--=

λλ10

0x x x M x 0，即x M +x 0=0．所以线段

PM 的中点在y 轴上．

(Ⅲ)因为点P(1，-1)在抛物线y=ax 2

上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x 2．由③式知x 1=-k 1-1，代入y=-x 2得y 1=-(k 1+1)2．将λ=1代入⑥式得x 2=k 1-1，代入y=-x 2得y 2=- (k 2+1)2．因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为 A(-k 1，-1，-k 21-2k 1-1)，B(k 1-1，-k 12

+2k 1-1)．

于是AP =(k 1+2，k 12+2k 1)，AB =(2K 1，4K 1)，AB AP ?=

2k 1(k 1+2)+4k l (k 12+2k 1)=2k 1(k 1+2)(2k 1+1)．因∠PAB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有AB AP ?<0．求得k 1的取值范围是k 1<-2或-21

的纵坐标y 1满足

y 1=-(k 1+1)2，故当

k 1<-2时， y 1<-1；当-21

.即

y 1∈(-∞，-1)U(-1，

-41

)．

专家会诊 1．判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆．2．涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错．3．涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。

命题角度5对轨迹问题的考查

1．(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x 的准

线重合，则该双曲线与抛物线y 2

=4x 的交点到原点的距离是 ( ) A.263+ B ．21 C ．18+122 D ．21 [考场错解] C

[专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻．

[对症下药] B 设双曲线方程为2

b y a

x -

=1，

由题意得

1,32

-=-=c a a c 则

a=3b=6，则

双曲线方程为6

2y x -=1,由

?????==-x

y y x 4163

2得A （3，23），故交点到原点的距离为

.21)32(322=+

2．(典型例题)已知点A （-2，0）、B(3，0)，动点P(x ，y)满足PB PA ?=x 2，则点P 的轨迹是

(Ⅱ)直线l 1:kx-y=0 直线l 2:kx+y=0由题意得 1|

+-k y kx 21|

++k b kx =d 2即1|

222+-k y x k =d 2 ∴k 2x 2-y 2±(k 2+1)d 2=0故动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2±(k 2+1)d 2=0 (Ⅲ)略

[专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成．

[对症下药] 解：(I)W 1={(x ，y)|kx0}，

(Ⅱ)直线l 1:kx-y=0 直线l 2:kx+y=0，由题意得1|

|2+-k y kx 21|

|2++k b kx =d 2，即122

22+-k y x k =d 2

，

由P(x ，y)∈W ，知k 2x 2-y 2>0，所以12

22+-k y x k =d 2，即k 2x 2-y 2-(k 2+1)d 2=0，所以动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2-(k 2+1)d 2=0； (Ⅲ)当直线J 与，轴垂直时，可设直线J 的方程为，x=a (a ≠0)．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为(a ，0)，所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为(

a ，0)，即它们的重心重合，

当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线J 的方程为y=mx+n(n ≠0)．

2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第一讲坐标系

第一讲坐标系一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2.

∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选答案:C

高考数学备考复习易错题二：基本初等函数

高考数学备考复习易错题二：基本初等函数姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共15题；共30分) 2. （2分）(2017·山东) 已知命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2 ，下列命题为真命题的是（） A . p∧q B . p∧￢q C . ￢p∧q D . ￢p∧￢q 3. （2分）在等差数列中，若是方程的两个根，那么的值为（） A . －6 B . －12 C . 12 D . 6 4. （2分）关于x的不等式ax－b>0的解集是(-)，则关于x的不等式≤0的解集是（） A . (－∞，－1]∪[2，＋∞) B . [－1,2] C . [1,2] D . (，1]∪[2，) 5. （2分） (2017高一上·正定期末) 若集合，则M∩N=（） A . {y|y≥1}

B . {y|y＞1} C . {y|y＞0} D . {y|y≥0} 6. （2分）若函数,函数,则的最小值为（） A . B . C . D . 7. （2分）气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了（）． A . 600天 B . 800天 C . 1000天 D . 1200天 8. （2分） (2017高三上·连城开学考) 若二次函数y=f（x）的图象过原点，且它的导数y=f′（x）的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则y=f（x）的图象顶点在（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

艺考生高考数学总复习讲义

2015艺考生高考数学总复习讲义第一章、集合基本运算一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…；描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: 注：本章节五个定义 1.子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得 1 1322 a d a =--，当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立；当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】

2013届高考数学第一轮专项复习教案设计22.doc

9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b

B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）答案：①④⑤⑥ ●典例剖析【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直

小学数学一本好的“错题集”引领成功之路

一本好的“错题集”引领成功之路学习中，大部分学生都会有这样的体会：许多题目讲过了、做过了、考过了，有的还不只考过一遍，最终还是错了，这些错题的背后，往往隐藏了学习过程中所产生的漏洞。那么如何弥补这些漏洞呢？凡是善于总结失败教训的人往往比别人多一些接近成功的机会，正所谓“失败乃成功之母”。因而整理错题集不失为一剂良策。常见的“错题集”有三种类型：一是订正型，即将所有做错题的题目都抄下来，并做出订正；二是汇总型，将所有做错题目按课本的章节的顺序进行分类整理；三是纠错型，即将所有做错的题目按错误的原因进行分类整理。新型的“错题集”——活页型错题集，其整理步骤为： 1. 分类整理。将所有的错题分类整理，分清错误的原因：概念模糊类、粗心大意类、顾此失彼类、图型类、技巧类、新概念类、数学思想类等等，并将各题注明属于某一章某一节，这样分类的优点在于既能按错因查找，又能按各章节易错知识点查找，给今后的复习带来简便，另外也简化了“错题集”，整理时同一类型问题可只记录典型的问题，不一定每个错题都记。 2.记录方法。老师试卷评讲时，要注意老师对错题的分析讲解，该题的引入语、解题的切入口、思路突破方法、解题的技巧、规范步骤及小结等等。并在该错题的一边注释，写出自己解题时的思维过程，暴露出自己思维章碍产生的原因及根源的分析。这种记述方法开始时

可能觉得较困难或写不出，不必强行要求自己，初始阶段可先用自己的语言写出小结即可，总结得多了，自然会有心得体会，渐渐认清思维的种种章碍（即错误原因）。 3.必要的补充。前面的工作仅是一个开始，最重要的工作还在后面，对“错题集”中的错题，不一定说订正得非常完美了，就证明你这一知识的漏洞就已经弥补好了。对于每一个错题，还必须要查找资料或课本，找出与之相同或相关的题型，并作出解答。如果没有困难，说明这一知识点，你可能已经掌握了，如果还是不能解决，则对于这一问题的处理还要再深入一点。因为在下一次测试中，在这一问题上，你可能还要犯同样的错误。 4.错题改编。这一工作的难度较大，解题经验丰富的同学可能做起来比较顺利。因为每道试题都是老师编出来的，既然老师能编，我们作为学生的，当然要能学会如何去改，这是弥补知识漏洞的最佳的方法。初始阶段，同学们只需对题目条件做一点改动。 5.活页装订。将“错题集”按自己的风格，编号页码，进行装订，由于每页不固定，故每次查阅时还可及时更换或补充。在整理错题集时，一定要有恒心和毅力，不能为完成差事而高花架子，整理时不要在乎时间的多少，对于相关错误知识点的整理与总结，虽然工作繁杂，但其作用决不仅仅是明白了一道错题是怎样求解这么简单，更重要的是通过整理“错题集”，你将掌握哪些知识点在将来的学习中会犯错误，真正做到“吃一长一智”。一本好的“错题集”就是自己知识漏洞的题典，平时要注意及时

高三数学模考易错题汇总

高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-<

2013届高考数学第一轮复习教案9.

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第36讲空间向量及其应用一．课标要求：（1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二．命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。三．要点精讲 1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、

速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的

武汉市高考数学备考复习易错题一：集合与常用逻辑用语C卷

武汉市高考数学备考复习易错题一：集合与常用逻辑用语C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共9题；共18分) 1. （2分）已知两点M(1,1),N(7,9)，，点P在x轴或y轴上，若，则这样的点P的个数为（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 2. （2分） (2018高一上·珠海期末) 已知集合，，则（） A . B . C . D . 3. （2分）给定两个命题，.若是的必要而不充分条件，则是的（） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4. （2分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则（）

A . p∧q是真命题 B . p∨q是假命题 C . ?p是真命题 D . ?q是真命题 5. （2分）已知:命题p：“a=1是的充分必要条件”；命题q：“ ,”则下列结论错误的是（） A . 命题“p∧q”是真命题 B . 命题“（）∧q”是真命题 C . 命题“p∧（）”是真命题 D . 命题“（）∧（）”是真命题 6. （2分）下列命题： ①2>1或1<3；②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0； ③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 7. （2分） (2018高一上·江苏月考) 已知集合，则的子集个数为（）

A . 2 B . 4 C . 7 D . 8 8. （2分） (2019高一上·嘉兴月考) 关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（） A . ｛a｜4＜a＜5｝ B . ｛a｜4＜a＜5或－3＜a＜－2｝ C . ｛a｜4＜a≤5｝ D . ｛a｜4＜a≤5或－3≤a＜－2｝ 9. （2分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（） A . 不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B . 存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 C . 存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D . 对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0 二、填空题 (共4题；共4分) 10. （1分）集合{3，x2﹣2x}中，x应满足的条件是________ 11. （1分） (2016高三上·平阳期中) 集合A={0，|x|}，B={1，0，﹣1}，若A?B，则A∩B=________，A∪B=________，?BA=________． 12. （1分）(2017·扬州模拟) 已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=________． 13. （1分） (2016高三上·金华期中) 设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则A∪B=________，?RA=________

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

广西高考数学备考复习易错题一：集合与常用逻辑用语

广西高考数学备考复习易错题一：集合与常用逻辑用语姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共9题；共18分) 1. （2分）(2019·怀化模拟) 有下列四个命题：：， . ：， . ：的充要条件是 . ：若是真命题，则一定是真命题.其中真命题是（） A . ， B . ， C . ， D . ， 2. （2分） (2016高一上·淮北期中) 已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（） A . {0，1，2} B . {1，2，3} C . {1，2} D . {2，3} 3. （2分）(2017·宁德模拟) 已知α，β∈R，则“α＞β”是“α﹣β＞sinα﹣sinβ”的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 即不充分也不必要条件 4. （2分）下列命题： ①2>1或1<3；②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0； ③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；

④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 5. （2分）已知P:x2-x-6<0, q:x2>1,若“p且q”为真命题，试求x的取值范围（）. A . {x|-2x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．其中不是命题的是（） A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ②③④ 7. （2分）(2017·和平模拟) 设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（） A . ﹣2或﹣1 B . 0或1 C . ﹣2或1 D . 0或﹣2

高考数学复习资料精选推荐

高考数学复习资料精选推荐复习是高考数学教学的关键部分，它不仅是对数学知识系统全面的整合与巩固，下面是查字典数学网编辑的高考数学复习资料，供参考，祝大家高考大捷~ 高考数学复习资料精选推荐： (一) 任一x∈A x∈B，记作A B A B， B A A=B A B={x|x∈A，且x∈B} A B={x|x∈A，或x∈B} card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B) (1)命题原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若p则q 逆否命题若q，则p (2)四种命题的关系 (3)A B，A是B成立的充分条件 B A，A是B成立的必要条件 A B，A是B成立的充要条件 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法②描述法

③韦恩图④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数：2n 真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2 (二) 圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率 ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线. 线线平行常用方法总结： (1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。 (3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法 (4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这

高考数学易错题举例解析

咼考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ，但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】 2 2 2

⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4

2013高考数学二轮复习精品资料专题集合与常用逻辑用语名校组合测试题

2013高考数学二轮复习精品资料专题集合与常用逻辑用语名校组合测试题 1．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则(?Z M)∩N＝() A．{0,1}B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2} 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是() A．t＋k＝1 B．t－k＝1 C．t·k＝1 D．t－k＝0 【试题出处】2012·银川一中模拟【解析】∵a＝(2,1)，b＝(－1,2)，∴a·b＝0，|a|＝|b|＝5，∴m⊥n?m·n＝0?(ta＋b)(a －kb)＝0?ta2－kta·b＋a·b－kb2＝0?5t－5k＝0，即t－k＝0. 【答案】D 【考点定位】充要条件 3．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1 i |＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为() A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 4．设集合I是全集，A?I，B?I，则“A∪B＝I”是“B＝?I A”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【试题出处】2012·厦门一中模拟【解析】由B＝?I A?A∪B＝I，而A∪B＝I?/B＝?I A，故“A∪B＝I”是“B＝?I A”的必要不充分条件．

【答案】B 【考点定位】充要条件 5．已知命题p ：?x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：?x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2，则( ) A ．綈p 是假命题 B ．綈q 是真命题 C ．p ∨q 是真命题 D ．綈p ∧綈q 是真命题 6．已知全集U ，集合A ，B 如图所示，则(?U A )∩B ＝( ) A ．{5,6} B ．{3,5,6} C ．{3} D ．{0,4,5,6,7,8} 【试题出处】2012·邯郸一中模拟【解析】由图可知，U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,5,6}，∴?U A ＝{0,4,5,6,7,8)，(?U A )∩B ＝{5,6}．【答案】A 【考点定位】集合 7．下列命题中是假命题的是( ) A ．?x ∈????0，π2，x >sin x B ．?x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．?x ∈R,3x >0 D ．?x 0∈R ，lg x 0＝0 8．已知全集U ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩?U N

高考数学(2021)易错题精选之线性规划

线性规划简单线性规划是教材中的新增内容，纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。简单线性规划正在成为一个高考热点。认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下四个类型。一.求目标函数的最值问题例1.在约束条件???? ???≤+≤+≥≥4 x 2y s y x 0y 0x 下，当5s 3≤≤时，目标函数y 2x 3z +=的最大值的变化范围是（） A.[6，15] B.[7，15] C.[6，8] D.[7，8] 解：由? ??-=-=??? ?=+=+4s 2y s 4x 42x y s y x 则由题意知A（0，2），B（s 4-，4-s 2），C（0， s），D（0，4）。（1）当4s 3≤≤时可行域是四边形OABC，此时，8z 7≤≤；（2）当5s 4≤≤时可行域是OAD ?，此时，8z max =。

由以上可知，正确答案为D。点评：本题主要考查线性规划的基础知识，借助图形解题。例2.已知平面区域D 由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。若在区域D 内有无穷多个点（x，y）可使目标函数my x z +=取得最小值，则m=（） A.2 - B.1 - C.1 D.4 解：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标位置知，ABC ?所在的区域在第一象限，故0y ,0x >>。当0m =时，z=x，只有一个点为最小值，不合题意。当0m ≠时，由z=x+my 得m z x m 1y +- =，它表示的直线的斜率为m 1 -。（1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使 m z 最小，此时需1 33 1k m 1AC --= =- ，即m=1；（2）若m<0，则要使my x z +=取得最小值，必须使 m z 最大，此时需,2m ,5 321k m 1BC =--==- 即与m<0矛盾。综上可知，m=1。点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想

高考数学高考复习易错题分类《排列组合》易错题专题1

高考数学高考复习易错题分类《排列组合》易错题专题 1 2020.03 1,现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种. （A ）5536A A ? （B ）336688A A A ?- （C ）3335A A ? （D ）4688A A - 2, 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）（A ）36个（B ）48个（C ）66个（D ）72个 3,有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 4,在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种. （A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C 5,如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答） 6,5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）（A ）480 种（B ）240种（C ）120种（D ）

96种 7,高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）. （A ）16种（B ）18种（C ）37种（D ）48种 8,现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（） (A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 9,某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种. （A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）630 10,已知02=-b ax 是关于x 的一元二次方程，其中a 、}4,3,2,1{∈b ，求解集不同的一元二次方程的个数. 11,从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种. 答案 1, 误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有 55A 种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有36A 种方法，这样共有5536A A ?种排

高考数学总复习全套讲义(学生)

第一章集合与简易逻辑第1课时集合的概念及运算【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础知识部分】（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A = A ?= B A ? B B ? ()U A =e 2()U A A U =e 【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 【基础练习】 1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?= ． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为_______．【反馈演练】 1．设集合{ }2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ?=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______个． )()()U U B A B =?)()() U U B A B =?

高考数学易错题大盘点(文科)

症状一：审题性失误文科考生数学意识一般不太强，加上在考试过程中存在急于求成的心理，使得部分考生审题时出现失误：或没有注意题目中关键的叙述，误解题意；或对题设信息挖掘不够，理解不透，从而得出错解，这是广大考生最难以接受、而又易犯的错误纠错良方：仔细读题，细嚼慢咽，重要字词，加强分析

即：(w>0)，∴w150471，又w 的最小正整数为472 错将题意中“任意一段”理解为“存依题意：周期T 即 ∵w是整数，故w的最小正症状二：知识性失误文科考生知识掌握不够熟练，借助死记硬背，往往只能停留在“课本知识”的表面，对基础知识不能灵活理解，相互沟通，缺乏综合运用知识的能力纠错良方：知识是能力的载体，基本知识和基本方法的综合运用就是能力，因此，要认真总结知识间的内在联系，强调知识的整合与综合，不断查找知识漏洞

=-11 (x)=0 3 7 错误原因是：误把切点当极值点得到

症状三：思维性失误文科考生在思维能力方面的碍障和缺陷是客观存在的，而解题的分析过程，是运用基本概念和理论对所述内容进行归纳和演绎，是发散思维和收敛思维、直觉思维和理性思维、正面思维和逆向思维等思维加工的过程，如果不注意对思维过程进行分析和研究，不突破思维过程中的障碍，就难以提高思维能力，从而导致解题时漏洞百出，顾此失彼。纠错良方：转化与化归，数形结合，分类讨论等思想方法是走出思维困境的有力武器，同时习题的灵活变通，引申推广以及反思评估也是不断优化思维品质的重要途径

症状四：解法性失误解题策略（方法）是数学思想方法在实际问题的灵活运用，解题方法选择是否恰当，是客观反映学生数学素养的具体体现；许多考生由于解法选取不当耽误了解题时间，有的甚至出现较大失误纠错良方第一要增强灵活运用数学思想方法解题的应用意识，第二是进一步优化解题基本通法的归纳和总结，第三，要强化价值观念、合理优化解法

2013届高考理科数学第一轮复习测试题08

A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20 解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6· (2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15. 答案 C 2．(2012·泰安月考)若二项式? ?? ??x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )． A ．6 B ．10 C ．12 D ．15 解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ? ?? ??－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案 C 3．(2011·天津)在? ????x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )． A ．－154 B.154 C ．－38 D.38 解析在? ????x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6? ????x 26－r ? ????－2x r ＝C r 6? ????126－r x 3－r (－2)r ，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16? ?? ??125(－2)＝－38. 答案 C 4．(2012·临沂模拟)已知? ?? ??x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )． A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28 解析由题意知C 48· (－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和

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